CC BY
26Труды Петрозаводского государственного университета
Серия “Математика” Выпуск 7, 2000
УДК 515.12
Я-СТРУКТУРЫ И е-КОМПАКТИФИКАЦИИ
К. В. Матюшичев
Основным предметом изучения в настоящей работе являются //"-структуры В. В. Федорчука. С помощью дополнительных аксиом на пространстве X определяются такие /^-структуры, что соответствующие им полу регулярные Н-замкнутые расширения X являются его е-компактификациями. Попутно устанавливается несколько характеристических свойств локально Н-замкнутых пространств.
Введение
Всюду ниже рассматриваются только хаусдорфовы топологические пространства.
В [8] С. Хехлер ввел класс е-компактифицируемых пространств, которые определяются следующим образом. Пространство X называется е-компактифицируемым, если оно обладает таким расширением У, что из любого открытого покрытия пространства У можно выделить конечное подсемейство, покрывающее X.
Известно ([7], см. также А. В. Иванов [1]), что расширение У пространства X является е-компактификацией X в том и только в том случае, если У //-замкнуто и X сильно регулярно в У, то есть для любой точки у Е У подпространство X и {у} пространства У регулярно.
Таким образом, всякая е-компактификация У данного е-компак-тифицируемого пространства X является Н-замкнутым расширением X и возникает естественная задача выделения е-компактифика-ций пространства X из множества всех Н-замкнутых расширений пространства X.
© К. В. Матюшичев, 2000
В настоящей работе эта задача решается (теорема 2) для множества всех полурегулярных Н-замкнутых расширений полурегуляр-ного пространства X, получившего описание в работе [6] В. В. Фе-дорчука на языке Н-структур. В теореме 2 формулируется аксиома /е, которой удовлетворяют те и только те Н-структуры, которым соответствуют полурегулярные е-компактификации пространства X (ими можно ограничиться — см. А. В. Иванов [1]). Доказанные в настоящей статье предложения позволяют также дать на языке Н-структур описание класса полурегулярных локально Н-замкнутых пространств (теорема 3).
Содержание работы делится на две части: вспомогательный § 1, содержащий описание полурегулярных Н-замкнутых расширений пространства X с помощью разбиений гиперабсолюта ВХ (см. также
[3]) и теорему 1, содержащую некоторые характеристики локально Н-замкнутых пространств с помощью их гиперабсолютов, и § 2, содержащий все полученные в данной работе результаты об Н-структурах, а также теоремы 2 и 3.
§ 1. Разбиение гиперабсолюта на замкнутые подмножества
Напомним, что гиперабсолютом ВХ пространства X называется множество ультрафильтров в семействе открытых подмножеств пространства X или, для краткости, просто ультрафильтров1, тополо-гизированное определением открытой базы, состоящей из множеств вида Оц = Е ВХ: и Е £}, II — произвольное открытое подмножество пространства X.
Абсолютом аХ пространства X называется множество таких ультрафильтров £, что Г\{[и]х- и Е / 0. Легко видеть, что последнее пересечение одноточечно и равно {х} в том и только в том случае, если £ содержит все окрестности ТОЧКИ X.
На протяжении всей работы употребляется обозначение
х = Е ВХ: Г\{[11]х- и Е = {ж}} = Г\{Оц: и — окрестность х в X}.
В работе С. Илиадиса и С. В. Фомина [2] доказаны все необходимые для дальнейшего свойства ВХ, например, хаусдорфовость, ком-
1 Других ультрафильтров в нашей работе не встретится.
пактность, экстремальная несвязность, плотность аХ в ВХ, замкнутость множества Оц и т. п. Напомним еще, что для отображения $:Х —у У и множества Р принято обозначение f^z(P) = У\/(Х\Р) = {у Е У:/~1(у) С Р} (словами: малый образ множества Р) и что система £ = {11} открытых подмножеств пространства X называется регулярной, если для любого и Е £ найдется V Е £ со свойством [У]х С и.
Предложение 1. Пусть Я — разбиение ВХ на непустые замкнутые подмножества такое, что Я I) {х:х Е X}. Тогда фактор-множество ВХ/К, наделенное топологией с базой 7г^, где тт: ВХ —у ВХ/К — естественная проекция, а — произвольное открытое подмножество пространства ВХ, будет полу регулярным Н-замкнутым расширением пространства X, если само X полурегулярно.
Доказательство. Указанная топология на ВХ/К есть топология малых образов открытых множеств В. В. Федорчука, введенная в [5], и из предложений, доказанных там же, легко следует требуемое. □
Примем следующее соглашение: буквой 7Г ( с возможными индексами) будет всегда обозначаться естественная проекция множества на свое фактор-множество.
Следующее легко проверяемое предложение обращает предложение 1.
Предложение 2. Всякое полурегулярное Н-замкнутое расширение У пространства X может быть получено как пространство ВХ/II, где Я — разбиение ВХ на непустые замкнутые множества, Я I) {х:х Е X}, и множества вида к#(\¥), 7т:ВХ —у ВХ/К, IV открыто в ВХ, образуют базу пространства ВХ/К.
Напомним, что булевой алгеброй канонически открытых подмножеств пространства X называется множество всех таких подмножеств со следующими операциями С*Н = СиН, О+Н = ([ОиН]х)х,
—(? = X \ \G\x- Обозначается эта алгебра символом ЩХ). В силу экстремальной несвязности и компактности ВХ алгебра 21 (ВХ) содержит все множества Оц, и открыто в X, и только их. Кроме того, в алгебре 21 (ВХ) сложение совпадает с обычным теоретикомножественным объединением, а переход к обратному элементу — со взятием обычного теоретико-множественного дополнения. Отображение 0:ЩХ) —у 21 (ВХ), определяемое по правилу 0(0) = 0<з,
как легко видеть, является изоморфизмом. Так как проекция 7г в предложении 1 ^-непрерывна, неприводима и замкнута, то отображение тг^’.ЩВХ) —>■ ЩВХ/Я), ставящее в соответствие множеству Оц множество 7г^{Ои)ч является изоморфизмом (см. [5]). Композиция этих двух изоморфизмов есть не что иное, как изоморфизм М:ЩХ) ЩВХ/Я)2.
Два расширения У1 и У2 пространства X считаются эквивалентными, если существует гомеоморфизм /:У1 —> У2, тождественный на X. Заметим, что эквивалентные Н-замкнутые расширения пространства X индуцируют одно и то же разбиение ВХ; если разбиения Я\ и 1^2 (такие, как в предложении 1) различны, то расширения ВХ/Я\ и ВХ/Къ неэквивалентны. Мы не будем различать эквивалентные расширения. Отметим также, что при отождествлении расширений пространства X условие тождественности на X весьма существенно: просто гомеоморфные расширения ( даже если гомеоморфизм переводит X в X) могут давать различные разбиения гиперабсолюта. Каждый раз, когда пространство X отождествляется с некоторым другим, гомеоморфизм, осуществляющий это отождествление, считается фиксированным раз и навсегда (это касается и гомеоморфизма д из предложения 1).
С учетом сказанного ясно, что предложения 1 и 2 показывают, что под частично упорядоченным множеством полурегулярных Н-замкнутых расширений данного полурегулярного пространства X можно понимать множество всех разбиений Я гиперабсолюта ВХ на непустые замкнутые множества, содержащих х для любого х Е X. Порядок в этом множестве, обозначаемом в дальнейшем вХ, определяется естественным образом: Я\ > Я^, если Я\ вписано в Я2. Любое непустое подмножество ч. у. множества БХ имеет точную верхнюю грань: если {Яа} — такое подмножество, то семейство Я, состоящее из множеств р(£) = и{ра:ра1 Е Яа, £ Е ра}, взятых по всем £ Е ВХ, будет требуемым разбиением гиперабсолюта ВХ. В частности, в БХ имеется наибольший элемент Я8, который состоит из всех ж, х Е X, и всех £ Е ВХ \ аХ. Соответствующее полурегулярное //-замкнутое расширение вХ = ВХ/Я8 пространства X является полурегуляриза-цией расширений аХ и тХ (см. [2]), но в общем случае не совпадает с ними. Для произвольного разбиения Яо Е БХ введем также обозначения 5Х<(/?0) = {Я Е SX.Il < Я0}. Покажем, как пространства
2 Я — semiregular.
В/ИХ, Л Е БХ<(Ло) могут быть получены из ВХ/Ло.
Определение 1. Подмножество Р пространства X назовем к-компактным в X, если из любой системы {(?«} канонически открытых в X множеств, покрывающей Р, можно выделить такую конечную подсистему {(?«• }£-]_, НТО Р С (сумма понимается в смысле
операции сложения в алгебре %[(Х)).
Предложение 3. Пусть Л Е БХ. Множество Р с ВХ/К ж-компактно в ВХ/К в том и только в том случае, если 7г_1(.Р) компактно в ВХ.
Предложение 4. Пусть Ко Е БХ иг — разбиение пространства ВХ/Ко на непустые к-компактные в нем множества, все нетривиальные элементы которого лежат в наросте (ВХ/ Ко) \ X. На фактормножестве (ВХ/Ло)/г введем топологию заданием базы, состоящей из множеств ^(7), где 7 Е ЩВХ/Л0), а 7Го:ВХ/Ло (ВХ/Ло)/г будет полу регулярным Н-замкнутым расширением пространства X, совпадающим с некоторым расширением ВХ/Л, Л < Ло. Более того, так может быть получено любое расширение ВХ/Л, Л < Ло.
Оба предложения непосредственно следуют из определений.
По поводу условий предложения 4 заметим, что в наросте полуре-гулярного Н-замкнутого расширения можно встретить к-компактные в этом расширении, но не компактные подмножества, и что легкое видоизменение в определении базы топологии фактор-множества (7 предполагается обязательно канонически открытым, а не просто открытым, как это было в предложении 1) существенно — произвольные открытые множества использовать нельзя.
Выше было показано, что любое непустое подмножество ч. у. множества БХ имеет точную верхнюю грань. Вопрос о существовании у любого непустого подмножества точной нижней грани решается в случае Н-замкнутых расширений хаусдорфовых пространств точно так же, как и в случае компактификаций вполне регулярных пространств, а именно любое непустое подмножество ч. у. множества БХ имеет точную нижнюю грань в том и только в том случае, если БХ обладает наименьшим элементом. Следующая ниже теорема 1 устанавливает несколько равносильных этому условий.
Определение 2. Пространство X назовем локально Н-замкнутым,
если любая его точка обладает окрестностью, замыкание которой Незамкнуто (как пространство с индуцированной из X топологией).
ТЕОРЕМА 1. Пусть X не Н-замкнутое полурегулярное пространство. Следующие условия равносильны:
(I) пространство X является локально Н-замкнутым;
(II) множество ВХ \ аХ замкнуто;
(III) ч. у. множество БХ обладает наименьшим элементом;
(г\г) пространство X обладает полу регулярным Н-замкнутым расширением с одноточечным наростом;
(у) найдется полурегулярное Н-замкнутое расширение У пространства X, нарост У \ X которого к-компактен в У;
(у1) для любого полурегулярного Н-замкнутого расширения У пространства X нарост У \ X к-компактен в У;
(уп) абсолют аХ пространства X локально компактен.
Утверждение теоремы следует из определений.
§ 2. 0-близости и Д-структуры
2.1. Основные определения и свойства
Напомним некоторые определения.
Бинарное отношение 5 на множестве всех подмножеств топологического пространства X называется 0-близостью на этом пространстве, если оно удовлетворяет следующим аксиомам:
I. А6В = В6А;
II. А8В{, г = 1,2 А6(В1 и В2);
III. ЫХ]
IV. {ж}<Нг/} х = у\
V. А5В => существует такое канонически открытое множество (7, содержащее множество А, что А8(Х \ [С]), Об В;
VI. Если точку х и множество А можно заключить в непересекающи-еся окрестности, то {х}8А.
Следующие далее определения суть лишь легкое видоизменение (без изменения объема понятий) определений из работы В. В. Фе-дорчука [6].
Пусть г] — некоторое семейство 0-близостей на пространстве X. Открытое множество С С X назовем ту-окрестностыо ультрафиль-
тра £, если для любой 0-близости 6 Е г) найдется такое и Е £, что II6 (X \ [С]) (словами: II ^-подчинено С).
Понятно, что ультрафильтр содержит всякую свою ту-окрестность. Если г] состоит из одной 0-близости, то говорят о {£}-окрестностях.
Семейство 0-близостей г] называется Н-структурой на пространстве X, если выполнены следующие аксиомы:
I#. Если ультрафильтры £1 и £2 имеют непересекающиеся 77-окрестности, то для любой точки х Е X существуют такие ту-окрестности ультрафильтров £, г = 1,2, что ж ^ [С].] П [Сг].
II#. Если существует ту-окрестность ультрафильтра £1, не пересекающаяся с некоторым элементом ультрафильтра £2 ? то ультрафильтры £1 и £2 имеют непересекающиеся ту-окрестности.
III#. Если 6 £ 77, то найдется такой ультрафильтр £, что некоторая его 77-окрестность не является его {й}-окрестностью.
Далее, в [6] В. В. Федорчук показал, что существует взаимно однозначное соответствие между множеством всех Н-структур на данном полурегулярном пространстве и множеством всех его полурегуляр-ных Н-замкнутых расширений посредством следующей конструкции.
Пусть 77 — Н-структура на полурегулярном пространстве X. Назовем 77-системой семейство 7 = {С} непустых канонически открытых подмножеств пространства X, если 7 удовлетворяет следующим двум условиям:
1) 7 центрировано;
2) для любого С Е 7 и любой 0-близости 6 Е 77 найдется такое С Е 7, что С8(Х \ [С]) (то есть С ^-подчинено С).
Всякая 77-система содержится в некоторой максимальной 77-системе. Максимальные 77-системы называются еще 77-концами. Множество Н^Х всех 77-концов топологизируется введением базы, состоящей из множеств вида
0(в) = {7 е КХ: С Е 7}, СЕ ЩХ)3.
Доказывается, что система 7Ж всех канонически открытых окрестностей произвольной точки х Е X есть 77-конец, отображение 7: X —у /цХ, 7(ж) = 7Ж, является вложением и Н^Х можно считать полурегу-лярным Н-замкнутым расширением пространства X, отождествляя
30(С) С тогда как Ос С
его с 'у(Х). Соответствие ^//-структура на пространстве Хц н->- \\Н-замкнутое полурегулярное расширение НЦХ пространства Хц является взаимно однозначным отображением ина^.
Теперь установим взаимно однозначное соответствие между множеством всех Н-структур на пространстве X, обозначаемом в дальнейшем НХ, и ч. у. множеством БХ. Тем самым частичный порядок переносится с множества БХ на НХ (этот частичный порядок упоминался в [6]). Пусть г] Е НХ. Для каждого 77-конца 7 = {О} Е НЦХ определим компакт р(7) = П{0<з:0 Е 7} С ВХ и семейство Я^ = {р(т):7 £ Н^Х}. Пусть $.ВХ —у НЦХ — отображение, определенное в предложении 2. Учитывая отождествление X с 7(Х), получаем, что для ультрафильтра £ Е ВХ равенство /(£) = 7 Е НЦХ выполняется в том и только в том случае, если ^7, так как 0(0) ПХ = С, то есть след фундаментальной системы окрестностей {0(0): О Е 7} точки 7 Е Н^Х на X совпадает с самим 77-концом 7. Далее, (37 £ Е
£>(7), откуда следует, что Яц — {/_1(т):7 Е ^Х}, то есть Я^ Е 5Х. Таким образом, определено отображение 77://X —>■ БХ, сопоставляющее //-структуре 77 разбиение Я^.
Покажем, что это отображение сюръективно. Пусть Я Е БХ. Имеем: ВХ/Я — полурегулярное //-замкнутое расширение пространства X. В работе В. В. Федорчука [6] (предложение 3) доказано, что на всяком //-замкнутом пространстве (и, в частности, на ВХ/Я) существует единственная //-структура, состоящая из всех 0-близостей на ВХ/Я. Эта //-структура на ВХ/Я порождает //-структуру на пространстве X: элементами 77 являются сужения на X 0-близостей, заданных на ВХ/Я. Мы докажем требуемую сюръективность, если установим, что Я = ЯГ]. С этой целью рассмотрим расширение НЦХ пространства X, порождающее на X ту же //-структуру, что и ВХ/Я [6, теорема 3]. Там же доказана единственность полурегуляр-ного //-замкнутого расширения пространства X, порождающего на X данную //-структуру 77; при этом гомеоморфизм д'.Н^Х —ВХ/Я, тождественный на X, определяется следующим образом: для 77-конца 7 = {О} Е НЦХ полагается д(7) = П{[0]ях/я: О Е 7} — одноточечное подмножество пространства
ВХ/Я. Пусть д(7) = р Е Я. Тогда р П £>(7) / 0. Действительно, если бы было р Г\р(7) = 0, то нашлись бы такие канонически открытые в X множества ЯиС, что р С О#, С Е 7 и О# П Ос = 0. Тогда тг#(0я)Птг#(0с) = 0, где 7г: ВХ —у ВХ/Я — проекция. Но тг# (Он) — окрестность точки р в пространстве ВХ/Я, а из 7г^(0#)П7г^(0а) = 0
следует, что 7т^(Он) П 0<з = так как С = тг^(Ос) П X, откуда, в свою очередь, следует, что р [С\вх/111 чт0 противоречит определению отображения д. Легко проверить и обратное: если рГ\р(7) = 0, то р = д(7). Отсюда и из биективности д вытекает, что д(7) = р р = ^(7). Итак, Я = Я^ = {р(7): 7 Е /г^Х}, что и требовалось доказать.
Предложение 5. Пусть Н-структуры 771, 772 Е НХ, Ят, Яега2 £
— соответствующие им разбиения. Тогда 771 С 772 в том и только в том случае, если Ят > Ят.
Это утверждение легко следует из леммы, доказанной в [6].
Лемма. Если 77 — Н-структура на пространстве, то все канонически открытые г]-окрестности произвольного ультрафильтра £ образуют единственный г]-конец, содержащийся в £.
Следствие. Отображение т)\НХ —у БХ, г](Я) = ЯГ), является биекцией.
Доказательство. Выше было показано, что 77 сюръективно. Предложение 5 устанавливает его инъективность. □
В дальнейшем НХ рассматривается как ч. у. множество и вместо 77 1 С г]2 можем писать 771 <772- Отображение 77: НХ —у БХ становится при этом порядковым изоморфизмом.
2.2. Компактификации и е-компактификации
Опишем теперь такие элементы ч. у. множества НХ, которые соответствуют полурегулярным е-компактификациям пространства X и компактификациям пространства X (если таковые имеются).
Пусть 77 — некоторое семейство 0-близостей на пространстве X. Мы будем говорить, что 77 удовлетворяет аксиоме 1е, если для 77 выполняется следующее условие:
если С является канонической г]-окрестностью ультрафильтра то найдется каноническая г]-окрестность Н ультрафильтра £ такая, что [Н] С (?.
Пусть опять 77 — некоторое семейство 0-близостей на пространстве X. Скажем, что 77 удовлетворяет аксиоме 1е, если для 77 выполняется следующее условие:
если С — каноническая г]-окрестность ультрафильтра то найдется такая каноническая г]-окрестность Н ультрафильтра £, что у любого ультрафильтра содержащего Н, найдется каноническая 77-окрестность со свойством Ж С С.
Теорема 2. Семейство г], состоящее из О-близостей на пространстве X, является элементом ч. у. множества НХ, соответствующим полу-регулярной е-компактификации пространства X, в том и только в том случае, если 77 удовлетворяет аксиомам 1е,Нц и Шн- Аналогично семейство г] является элементом ч. у. множества НХ, соответствующим компактификации пространства X, в том и только в том случае, если 77 удовлетворяет аксиомам /е, Пн и Шн-
Доказательство. Начнем с аксиомы 1е. В самом деле, пусть семейство г] Е НХ таково, что пространство Н^Х является е-компактифи-кацией пространства X. Так как 77 — Н-структура, аксиомы 11# и III# выполнены. Проверим выполнение аксиомы 1е. Пусть С — каноническая 77-окрестность ультрафильтра £. По лемме С Е Л С £, А — единственный элемент множества /цХ, содержащийся в £. Поскольку пространство НЦХ — е-компактификация пространства X, след {0(0) ПХ:(тЕЛ} = ЛнаХ фундаментальной системы окрестностей {0(С):С Е Л} точки Л в пространстве НЦХ регулярен в X, то есть система Л регулярна в X. Найдется, следовательно, Н Е Л такое, что
[Н] С С. Но по той же лемме канонически открытое множество Н является ту-окрестностыо ультрафильтра £. Итак, ту удовлетворяет 1е. Пусть, обратно, семейство ту удовлетворяет аксиомам и Шн-
Легко видеть, что 1е => 1н • В самом деле, пусть (?1 и ^2 — непе-ресекающиеся канонические 77-окрестности ультрафильтров £1 и £2 соответственно. По 1е получаем, что найдутся такие канонические 77-окрестности Н1 и Н2 ультрафильтров £1 и £2, что [Н{\ С С*, г = 1,2. Понятно, что для любой точки х Е X выполнено X £ [Н1] Г\ [Н2]. Итак, 77 Е НХ. Аксиома 1е и лемма имеют своим следствием следующее утверждение: любой элемент Л Е Н^Х представляет собой регулярную систему, что, как показано выше, означает, что НЦХ — е-компактификация пространства X, что и требовалось доказать.
Теперь перейдем к аксиоме 1е. Действительно, пусть семейство 77 Е НХ таково, что пространство ВХ/КП является компактифика-цией пространства X. Так как 77 — Н-структура, аксиомы Пн и IIIн выполнены. Проверим выполнение аксиомы 1е. Для каждого Л Е Н^Х определяем р(Х) = Г\{Ос : С Е Л} С ВХ\ тогда — {р(А): Л Е Н^Х}
(см. выше). Пусть О — каноническая ту-окрестность ультрафильтра £. По лемме находим элемент Л Є такой, что С Є Л С £ .
Имеем: £ Є р(Х) С Ос- Поскольку пространство ВХ/КЦ регулярно, по доказанному выше получаем, что найдется Н Є 21 (X) такое, что р(Л) С Он и 5^(0#) С Ос- Из включения р(А) С Он следует, что Н является ту-окрестностью ультрафильтра £. Пусть ультрафильтр £ содержит Н : Н Є (. Находим Лі Є НЦХ такой, что Аі С С- Имеем: С Є Он и С Є р(Лі), откуда р(Лі) С 5^(0#) С Ос- Так как р(Аі) = С\{Оцг • ^ Є Лі} — пересечение компактов, найдется элемент IV Є \і такой, что Оцг С О, откуда IV С Є . По лемме \¥ является ту-окрестностью ультрафильтра (. Итак, г] удовлетворяет аксиоме 1е . Пусть, обратно, семейство г] удовлетворяет аксиомам и ІІІн-
Покажем, что 1е => 1н- В самом деле, пусть Єї и (?2 — непересекаю-щиеся канонические ту-окрестности ультрафильтров £і и £2 соответственно. Пусть Ні — каноническая 77-окрестность ультрафильтра £1, как в 1е, и Н2 — каноническая 77-окрестность ультрафильтра £2, как в 1е. Можно считать, что Ні С і = 1, 2. Покажем, что [і?і]П[і?2] — 0, откуда и будет вытекать .
Предположим противное: нашелся х Є X такой, что х Є [Яі] П[Я2]. Тогда {і?і} ГІ7Ж — центрированная система открытых в X множеств (7ж Є Ь,ЦХ — система всех канонических окрестностей точки ж в X). Пусть ультрафильтр £ мажорирует систему {Ні} и 7Ж . Тогда по 1е получаем такую каноническую 77-окрестность ультрафильтра £, что С Сь Но по лемме Є 7Ж, и, следовательно, И^ПЯ2 /0, так что Я2 П С і / 0, откуда и Сі П (?2 / 0 — противоречие. Итак, г] Є НХ. Проверим, наконец, что пространство ВХ/КЦ регулярно. Пусть О Є 21(Х) и р(А) Є іі^А Є НЦХ таковы, что р(А) С Ос- Фиксируем произвольный ультрафильтр £ Є р(Л). По лемме имеем: О — каноническая 77-окрестность ультрафильтра £. Находим такую каноническую 77-окрестность Н ультрафильтра £, как в 1е. По лемме Н Є Л и р(А) С Он- Покажем, что 5^(0#) С Ос-Пусть ( Є (Он)- Найдется Аі Є Нг]Х такой, что ( Є р(М) и р(М) П Он ф 0- Пусть (і Є р(Хі) П Он- Имеем: Н Є (і- По 1е получаем, что найдется каноническая 77-окрестность ультрафильтра (і такая, что \¥ С О. По лемме Є Лі. Окончательно: £ Є р(Хі) С Ос, то есть віл (Он) С Ос, что и требовалось доказать. □
2.3. Системы 0-близостей, дополняемые до Н-структур
Предложение 6. Пересечение непустого семейства Н-структур на пространстве X снова будет Н-структурой на пространстве X.
Доказательство следует из установленного выше взаимно однозначного соответствия между ч. у. множествами НХ и БХ .
Следствие. Если {г]а}— непустое подмножество ч. у. множества НХ, то Пг]а = зир{г]а}.
Следующее предложение доказывается автоматически.
Предложение 7. Пусть 771,772 £ НХ. Тогда 771 > 772 в том и только в том случае, если всякая щ-окрестность любого ультрафильтра £ будет и его 771 -окрестностью.
Рассмотрим некоторые типы семейств 0-близостей, которые можно дополнять до Н-структур. Прежде всего к таким семействам следует отнести Н-системы.
Определение 3. Непустое семейство О-близостей на пространстве X назовем Н-системой, если оно удовлетворяет аксиомам 1ц и Пн-
Доказательства следующих двух предложений автоматически вытекают из определений.
Предложение 8. Всякую Н-систему можно дополнить до некоторой Н-структуры.
Предложение 9. Н-структура [77], определенная для произвольной данной Н-системы 77, совпадает с пересечением всех Н-структур, содержащих Н-систему г], и является, таким образом, наибольшей (в смысле частичного порядка на НХ) Н-структурой, содержащей 77 4.
Пусть 77 — Н-система. Так как у любого ультрафильтра множества его 77- и [^-окрестностей совпадают, а [т7]-концы суть не что иное, как множества [^-окрестностей ультрафильтров (см. лемму), то становится ясно, что всякая Н-система 77 полностью описывает расширение Ь^Х. Приведем некоторые примеры.
В [6] В. В. Федорчук определил для каждого х Е X следующую 0-близость 5Х на пространстве X:
4Что и оправдывает обозначение [ту].
А5ХВ <ФФ> существуют такие окрестности и и V множеств А и В соответственно, что и ПУ = 0 и ж ^ [^] Л [У].
Там же В. В. Федорчук доказал, что всякая Н-структура г] на пространстве X содержит 6Х для всех х Е X. Естественно поэтому предположить, что семейство г]х — х Е X} самым непосредственным образом отвечает наибольшему расширению вХ пространства X. Действительно, имеет место следующее легко проверяемое утверждение.
Предложение 10. Семейство г]х является Н-системой, и Н-структура [г]х\ есть наибольший элемент ч. у. множества, отвечающий расширению вХ.
Вообще, каждый раз, когда для данного семейства 77, состоящего из 0-близостей на пространстве X, найдется Н-структура т/ Е НХ, содержащая семейство 77, имеет смысл говорить о наименьшей (по включению) такой Н-структуре, которую мы будем обозначать [77].
Дальнейшие примеры семейств 0-близостей, дополняемых до Н-структур дает следующее предложение.
Предложение 11. Для любой 0-близости 3 на пространстве X существует Н-структура, ее содержащая.
Доказательство. Прежде всего напомним некоторые построения из работы [4] В. В. Федорчука. Назовем систему А = {11} открытых подмножеств пространства X (5-системой, если она удовлетворяет двум условиям:
(1) А центрирована;
(п) для любого 11 Е А найдется такое V Е А, что У6Х [и].
Максимальные (5-системы называются (5-концами. Все (5-концы делятся на два типа: свободные (5-концы А, для которых П{[С/]: С/ Е А} = 0, и несвободные (5-концы А, для которых Г\{[и]:11 Е А} / 0. Для всякого несвободного й-конца А множество П{[С/]: С/ Е А} одноточечно и Г\{[и]'.и Е А} = {х} в том и только в том случае, если А содержит все окрестности точки х. В этом случае говорят, что А касается х. Множество всех й-концов обозначается Ъ$Х$, а множество несвободных й-концов — Х$. Множество Ъ$Х$ становится топологическим пространством, если определить базу топологии следующим
образом: она состоит из множеств вида 0(11) = {А Е Ь$Х$: и Е А} 5. Доказывается, что Ъ$Х$ — компакт.
Применим теперь эту конструкцию для доказательства нашего предложения. Каждому А Е Ь$Х$ в гиперабсолюте ВХ пространства X поставим в соответствие компакт р(А) = П{Ог/:С/ Е А} / 0. Если А1 / А2, то р(А1) Пр(А2) = 0. Покажем, что множество В = и{р(А):А Е Ь$Х$} компактно. Рассматривая покрытие множества В открытыми в ВХ множествами, можно без ограничения общности считать, что оно имеет вид {Оих: Е А,А Е Ь$Х$}. Тогда семейство
{0(и\):11\ Е А, А Е Ь$Х$} покрывает Ь$Х$. Так как Ь$Х$ компактно, найдутся такие А;,г = 1,...,п, что Ь$Х$ = и^=10(иа{). Понятно, что тогда В С и™=1Оиа.- Итак, В компактно. Покажем, что В всюду плотно в ВХ. Действительно, для любого х Е X найдется А Е Ь$Х$, касающийся х.6 Ясно тогда, что р(А) С х. Так как {х:х Е X} — плотная в ВХ система (то есть каждое непустое открытое подмножество ВХ содержит некоторое множество из этой системы), то [В]вх — ВХ. Так как В замкнуто и всюду плотно в ВХ, то В — ВХ. Если А Е Ь$Х$\Х$, то р(А) С ВХ\аХ; для всякого х Е X имеем: х = и{р(А): А касается х}.
Рассмотрим теперь семейство Я = {р(А: А Е Ь$Х$ и {х: Е X}.
Это семейство — элемент ч. у. множества БХ. Пусть г] Е НХ — соответствующая разбиению Я //-структура. Покажем, что 6 Е г]. Если это не так, то аксиома III# гласит, что найдутся ультрафильтр £ и его 77-окрестность Со, не являющаяся его {£}-окрестностью. Предположим сначала, что £ Е р(А), А Е Ь$Х$\Х$. Найдется элемент 7 Е Н^Х такой, что р(А) = П{Ос:С Е 7}. Имеем: Со Е 7 , откуда р(Х) С О<з0, и, следовательно, Со Е А и Со является {£}-окрестностью £. Противоречие. Предположим теперь, что (Еж для некоторого х Е X. Найдется А Е 1,5 такой, что £ Е р(X) С ж. Так как Со — 77-окрестность £, то х С О<з0, и мы опять получим, что р(А) С О<з0, чт0 приведет к противоречию. Итак, 6 Е 77. Предложение доказано. □
В [6] В. В. Федорчук доказал, что на //-замкнутом пространстве семейство всех 0-близостей образует //-структуру7. Следующая те-
5Опять 0(11) и Оц имеют разный смысл: 0(11) С а Оц С ВХ.
6Все окрестности точки х образуют систему (см. [4]), а всякая ^-система содержится в некотором £-конце.
7На Н-замкнутом пространстве эта /^-структура будет и единственной (см. [6]).
орема устанавливает границы класса пространств, для которых это верно.
ТЕОРЕМА 3. Полурегулярное пространство X является локально Незамкнутым в том и только в том случае, если семейство всех О-близостей на X является Н-структурой на X.
Доказательство. Пусть X локально Н-замкнуто. Тогда в НХ имеется наименьший элемент rjmin- Если S — 0-близость на X , то по предложению 11 найдется г] Е НХ со свойством S Е г]. Так как Г] > Tjmin, ТО есть Г] С T)min, ТО S Е Tjmin- Итак, rjmin СОДерЖИТ ВСе 0-близости на пространстве X.
Обратно, если семейство всех 0-близостей будет Н-структурой, то эта Н-структура будет наименьшим элементом в НХ и X в силу теоремы 1 будет локально //-замкнутым. □
Таким образом, если X — локально //-замкнутое пространство, то для непустого семейства 0-близостей г] можно определить наибольшую (в смысле порядка на НХ ) Н-структуру [ту] = П{?7а Е НХ\т\ С Г]а} = SUp{ria С Н X: 1] С 7]а}.
Resume
The main subject of this paper is notion of H-structure introduced in [6] by V. V. Fedorchuk. Recall that an H-structure is a family of 0-proximities (see [5] and [4]), and there is a one-to-one correspondence between the set of all H-structures on a semiregular Hausdorff space X and the set of all semiregular H-closed extensions of X. Theorem 2 of this paper shows what restrictions it is necessary to impose on an H-structure in order to obtain an e-compactification (see [7]) of X Theorem 3 says that the family of all 0-proximities on a semiregular space X forms an H-structure on X iff X is locally H-closed (i. e. every point of X has an open neighbourhood the closure of whitch is H-closed). Theorem 1 gives some preliminary characteristics of loccaly H-closed spaces.
Литература
[1] Иванов А. В. Относительно компактные расширения вполне регулярных пространств// Труды ПетрГУ. Серия математика. 1996. Вып. 3.
С. 79-87.
[2] Илиадис С., Фомин С. В. Метод центрированных систем в теории топологических пространств// Успехи мат. наук. 1966. Т. 21. Вып. 4. С. 47-76.
[3] Матюшичев К. В. О е-компактификациях и е-компактифицируемых пространствах// Сиб. мат. журнал (в печати).
[4] Федорчук В. В. Совершенные неприводимые отображения и обобщенные близости// Матем. сб. 1968. Т. 76(4). С. 513-538.
[5] Федорчук В. В. Об Н-замкнутых расширениях пространств в-близости/ / Матем. сб. 1972. Т. 89(3). С. 400-418.
[6] Федорчук В. В. Задача А. Н. Тихонова о классификации Н-замкнутых расширений// Fundam. Math. 1974. V. 86. P. 69-90.
[7] Hart К. P., Vermeer J. Non-Tychonoff e-compactifiable space// Proc. Amer. Math. Soc. 1983. V. 89(4). P. 725-729.
[8] Hechler S. H. On a notion of weak compactness in non-regular spaces /N. M. Stavrakas and K. R. Allen, eds.// Studies in Topology. New York: Academic Press, 1975. P. 215-237.
Петрозаводский государственный университет,
математический факультет,
185640, Петрозаводск, пр. Ленина, 33
E-mail: [email protected]
