CC BY
18Труды Петрозаводского государственного университета
Серия “Математика” Выпуск 4, 1997
УДК 513
ОК-РАСШИРЕНИЯ И ОБОБЩЕННЫЕ БЛИЗОСТИ
А. В. Иванов
Определение ОХ-расширения дано в [2]. В настоящей работе получено описание всех ОХ-расширений вполне регулярного пространства X на языке обобщенных близостей. Показано, что непрерывное отображение /: X —ї У имеет ^-непрерывное продолжение на ОХ-расширения X и У тогда и только тогда, когда / близостно непрерывно.
Понятие Оі^-расширения введено в работе [2], где также указан метод построения всех Оі^-расширений данного вполне регулярного пространства. В настоящей работе под Оі^-расширением вполне регулярного пространства X мы будем понимать такое хаусдорфово полурегулярное расширение У Э I, что X относительно компактно в У по терминологии А. В. Архангельского [1] и X ^-вполне регулярно в У 1. Примером Оі^-расширения пространства X может служить любое его бикомпактное расширение. Известно, что бикомпактные расширения X определяются близостями на X. В данной работе мы даем описание всех ОК-расширений вполне регулярного пространства в терминах обобщенных близостей. Доказана также теорема о продолжении близостно непрерывных отображений до отображения соответствующих Оі^-расширений.
Пусть X — вполне регулярное пространство. Центрированную систему Ї открытых множеств X будем называть вполне регулярной
1 Относительная компактность X в У означает, что из любого открытого покрытия У можно выделить конечную подсистему, покрывающую X; X ^-вполне регулярно в У, если для любой точки у £ У подпространство У и {у} вполне регулярно.
© А. В. Иванов, 1998
системой, если для любого U Е t существует V Е t такое, что множества [V] и X \ U функционально отделимы. Максимальную вполне регулярную систему будем называть вполне регулярным концом. На множестве vX всех вполне регулярных концов X рассмотрим топологию, открытую базу которой образуют множества вида
On = {t:U е *},
где U открыто в X. Известно, что возникающее при этом топологическое пространство vX гомеоморфно расширению Стоуна—Чеха /ЗХ (см. [3]). Каждая точка х Е X отождествляется в пространстве vX с вполне регулярным концом ее окрестностей, который в дальнейшем мы будем обозначать через tx.
Определение, v-близостью на вполне регулярном пространстве X будем называть всякое бинарное отношение а на vX, удовлетворяющее следующим аксиомам:
А1. а — отношение эквивалентности;
А2. если satx, то s = tx (х Е X, s Е vX);
АЗ. если sat, то существует V Е s такое, что для любого г Е Оу rat.
Всякая ^-близость а порождает разбиение пространства vX на классы эквивалентности. Это разбиение мы будем обозначать в дальнейшем через Ra. В силу аксиомы А2 элементами Ra являются все одноточечные множества вида {£ж}, где х Е X. Из аксиомы АЗ легко следует замкнутость элементов Ra в vX. Рассмотрим теперь произвольное разбиение R пространства vX на замкнутые подмножества, неодноточечные элементы которого лежат в vX \ X. Определим бинарное отношение а на vX следующим образом: tas тогда и только тогда, когда t и s лежат в одном элементе R. Легко видеть, что а является -^-близостью и Ra = R. Итак, задание -^-близости на X равносильно заданию разбиения пространства vX на замкнутые подмножества, все нетривиальные элементы которого лежат в наросте.
Следующая ниже конструкция была использована в работе [2] для построения Olf-расширений пространства X. Пусть В — бикомпактное расширение X и пусть R — разбиение В на замкнутые подмножества, все нетривиальные элементы которого лежат в наросте В \ X. Рассмотрим на фактор-множестве В/R топологию малых образов В. В. Федорчука [4], открытую базу которой образуют множества вида p^U, где U открыто в Б, а р: В —> B/R — проекция. В
[2] показано, что возникающее при этом топологическое пространство всегда является ОК-расширением X.
Если применить эти построения к пространству уХ и его разбиению Да, порожденному -^-близостью а, мы получим ОТ^-расширение X. Это расширение в дальнейшем мы будем обозначать через аХ, а соответствующую проекцию из уХ на аХ — через ра. Отображение ра всегда ^-совершенно и неприводимо (см.[2]).
В [2] доказано, что для любого ОТ^-расширения В вполне регулярного пространства X существует каноническое ^-совершенное неприводимое отображение2 р:уХ —у В такое, что р\х = и
р~1р(х) = {х} для любой точки х Е X. Таким образом, для любого ОК-расширения В пространства X мы можем задать ^-близость а на X по следующей формуле:
£ а в 4г> р(£) = р(в).
Легко проверить, что отображение / = рар-1: В —у аХ является при этом гомеоморфизмом, причем f\x = 1(1х> Значит, расширения В и аХ совпадают. Итак, нами установлено взаимно однозначное соответствие между множествами -^-близостей и ОТ^-расширений пространства X.
На множестве ^-близостей У(Х) пространства X имеется естественный частичный порядок. Две ^-близости а и Ь связаны неравенством а > 6, если для любых Е уХ из следует вЫ. На множестве ОК(Х) также можно задать отношение частичного порядка. Будем считать, что ОТ^-расширения Вх^В^ находятся в соотношении
> В2, если существует ^-непрерывное отображение /:В 1 —у В2, которое тождественно на X3.
Теорема 1. Установленное выше соответствие между частично упорядоченными множествами V (X) и ОК(Х) является порядковым изоморфизмом.
Доказательство. Пусть а и Ь — -^-близости и а > Ь. Тогда все элементы разбиения Яа содержатся в элементах Ль. Следовательно, отображение / = рър^'.аХ —у ЪХ является однозначным, причем / тождественно на X. Покажем, что / ^-непрерывно.
2Отображение р определяется так: р(£) = ж, если вполне регулярный конец £ содержит систему {Ох П X : Ох — окрестность точки ж в В}.
3 Здесь нет нужды проверять выполнение аксиом частичного порядка, поскольку это следует из доказанной ниже теоремы 1.
Пусть х Е аХ, у = /(х) и пусть Оу = р\и — окрестность точки у в ЪХ. Тогда р^и = О ж — окрестность точки х. Покажем, что /[Ох] С [Оу]. Пусть г Е [Ох] и пусть О — окрестность /(г) в ЬХ. Положим Р = р^1/(г). Существует окрестность V множества Р в уХ такая, что р\У С О. Поскольку p~1z С множество р\у является окрестностью точки г, следовательно, р\у Г\р^а11 / 0 и, значит, Упи ф 0. Имеем ОпОу Э рЪУПрШ = р^Упи) / 0. Итак, /(г) Е [О?/]
— ^-непрерывность / доказана.
Пусть теперь аХ и ЬХ — два ОТ^-расширения пространства X, порожденные ^-близостями а и 6, и пусть аХ > 6Х, т. е. имеется ^-непрерывное отображение /:аХ —>■ ЬХ такое, что /|х = Покажем, что ^-близости а и Ь связаны неравенством а > Ь. Предположим противное. Тогда в разбиении пространства иХ найдется элемент который не содержится ни в каком элементе разбиения Щ. Положим: х = раР, у = /(х),Н = р~гу. Поскольку Р (£ Н, можно взять точку £ Е Р такую, что £ 0 Н, и построить непересекающиеся окрестности и ОН в уХ. Положим: Оу = р\ОН. В силу ^-непрерывности /, существует окрестность Ох точки х в аХ такая, что /[Ох] С [Оу]. Пусть О Г — окрестность Р в г?Х, для которой р$аОР С Ож. Положим: = ОР П ОЬ П X. Все отображения ра,ръ и / тождественны на пространстве X, которое всюду плотно в г?Х, аХ и ЬХ. Следовательно,
0 # /р»^ с /Ох с [Оу].
С другой стороны, //4IV = IV С но р\СЯ П [Оу\ = 0- Противо-
речие. Теорема доказана. □
Рассмотрим теперь на X некоторую близость й, и пусть В — соответствующее 6 бикомпактное расширение X. Поскольку уХ гомео-морфно расширению Стоуна—Чеха пространства X, существует непрерывное отображение /: уХ —у В, которое тождественно на X. Отображение / определяет ^-близость а$ на X по формуле:
-н- /(г) = /(в).
Очевидно, что расширения Б и аД при этом совпадают, т. е. ОК-расширение а$Х является бикомпактным расширением. В дальнейшем мы будем отождествлять близость 6 и соответствующую ей 17-близость а$ и говорить в такой ситуации, что ^-близость а$ является близостью. Отметим, что ^-близость а является близостью тогда и
только тогда, когда расширение аХ является бикомпактом. Если аХ
— бикомпакт, то соответствующая ^-близости а близость 6, для которой а = а<5, определяется так:
А6В [А]аХ П [В\аХ А,ВсХ.
Назовем ^-близость а отделимой, если а удовлетворяет следующему условию:
А4. Если £аз, то существуют и Е £ и V Е 8 такие, что для любых г Е Оц и д Е Оу г ад.
Предложение 1. у-близость а является близостью тогда и только тогда, когда а отделима.
Доказательство. Пусть аХ — бикомпакт, т. е. ^-близость а является близостью. Покажем, что а отделима. Пусть Е уХ и эШ. Возьмем непересекающиеся окрестности 0\ и О2 точек рав и раЬ в аХ. В силу регулярности пространства аХ отображение ра непрерывно. Следовательно, множества р~хО\ и р~102 являются окрестностями точек в и t в уХ. Существуют и Е 5 и V Е £ такие, что О и С р“101,0у С р^102- Поскольку раОц П раОу = 0, ДЛЯ любых двух ^-концов д Е О?/ и г Е Оу имеем даг.
Обратно, пусть ^-близость а отделима. Покажем, что в этом случае расширение аХ сильно хаусдорфово. Пусть ж, у Е аХ, х / у и ^ = р~хх,С = р^1 У- Используя бикомпактность множеств ^ и О и отделимость ^-близости а, путем стандартных рассуждений нетрудно построить окрестности ОР и ОО множеств ^ и О так, что для любых ^-концов р ид, лежащих в О.Р и ОС соответственно, рад. Возьмем такие окрестности О^ и множеств ^ и С, что
[О^] С 0.Р, [01 С] С ОО, и положим р^О^ = 0х^р\0\С = О?/. Покажем, что [Ож]П[02/] = 0, — сильная хаусдорфовость аХ тем самым будет доказана. Пусть г Е аХ. Множество р~хг не может пересекать одновременно ОГ и ОО. Пусть, для определенности, р~1гГ\ОГ = 0. Тогда уХ\[0 1^] —окрестностьр~1г и, значит, множество является окрестностью точки 2; в аХ, которая не пересекается с Ох. Следовательно, г 0 [Ох]. Итак, [Ох] П [Оу] = 0.
В [2] показано, что всякое О^С-расширение Н-замкнуто. Поэтому бикомпактность аХ теперь сразу следует из предложения 2. Предложение 1 доказано. □
Предложение 2. Полурегулярное сильно хаусдорфово Н-замкну-
тое пространство X бикомпактно.
Доказательство. Достаточно проверить регулярность X. Пусть х Е X и Ох — канонически открытая окрестность х. Для каждой точки у Е X \ Ох построим окрестности Оу и Оух точек у и х соответственно, так, что [Оу\ П [Оух\ = 0. Из покрытия {Оу : у Е X \ Ох} и {Ох} пространства X выделим конечную подсистему {Оу{ :г = 1,...,&}и {Ож}, замыкания элементов которой покрывают X. Положим 0\Х = п Оу,х. Имеем
[Огх] СХ\\j\Oyi] С ([Ож]) = Ох,
т. е. пространство X регулярно. Предложение доказано. □
Заметим, что обобщенные близости на пространстве обычно определяются как бинарные отношения на системе подмножеств этого пространства. В этом смысле наше определение -^-близости не соответствует традиционному подходу. В то же время предложение 1 показывает, что отделимые ^-близости могут быть равносильно определены как близости, т. е. некоторые бинарные отношения на системе подмножеств X. В связи с этим возникает вопрос: нельзя ли аналогично описать и произвольные ^-близости? Приведенный ниже пример показывает, что это в принципе невозможно.
Пример. Пусть N — счетное дискретное пространство. Известно, что \уМ\ = 2е (см. [5]). Возьмем в наросте уМ \ N два непересекающихся множества А и В мощности 2е, и пусть /:А —у В — взаимно однозначное соответствие между ними. Для каждого подмножества С С А определим разбиение Не пространства уИ, нетривиальными элементами которого являются двухточечные множества вида {£,/(£)}, где £ Е С. Каждое разбиение Яс порождает ^-близость ас на ТУ, причем для любых двух различных подмножеств С\, С А -^-близости асх и ас2 различны. Таким образом, множество -^-близостей на N имеет мощность > 22 . Всякое бинарное отношение на системе подмножеств N является подмножеством множества Р^) х Р(-/У). Следовательно, множество бинарных отношений на Р^) имеет мощность < 2е.
Итак, -^-близостей на N существенно больше, чем бинарных отношений на системе подмножеств N. Из приведенных выше рассуждений следует, что пространство N имеет 22 ОК-расширений (и в том числе 2е бикомпактных расширений).
Следующее ниже предложение сформулировано для ^-близостей. Однако, в силу наличия порядкового изоморфизма между множествами ОК(Х) и V(X), его можно переформулировать и в терминах Olf-расширений.
Предложение 3. Для каждой v-близости a е V(X) существует состоящее из близостей подмножество А С V(X) такое, что a = inf А.
Доказательство. Для каждого неодноточечного элемента F Е Ra рассмотрим разбиение R(F) пространства vX, единственным нетривиальным элементом которого является множество F. Соответствующая разбиению R(F) ^-близость a(F) является близостью. Положим А = {a(F) : F Е Ra, \F\ > 1}. По построению, для любого a(F) Е А имеет место неравенство a(F) > а. Следовательно, а является нижней гранью множества А. Если для некоторой -^-близости b выполняются неравенства a(F) > b для любого a(F) Е А, то, как легко видеть, каждый элемент F е Ra содержится в некотором элементе разбиения Rb. Значит, a > Ъ. Итак, a — наибольшая нижняя грань А. □
Следствие. Пусть m — мощность множества бикомпактных расширений вполне регулярного пространства X. Тогда \ОК(Х)\ < 2т.
Пусть теперь X и Y — два вполне регулярных пространства с заданными на них У-близостями а и Ь, и пусть f:X —> Y — непрерывное отображение. Известно (см.[5]), что существует единственное непрерывное продолжение vfwX —>• vY отображения /. Будем говорить, что / г’-близостно непрерывно, если для любых s,t Е vX из sat следует vf(s)bvf(t). Пусть аХ и ЪХ — О If-расширения пространств X и У, соответствующие ^-близостям а и Ь. ^-непрерывное отображение /: аХ —>■ bY будем называть продолжением / на О If-расширения, если /\х = /•
Теорема 2. Непрерывное отображение f:X —>■ Y вполне регулярных пространств имеет продолжение на О К-расширения аХ и bY тогда и только тогда, когда / v-близостно непрерывно относительно v-близостей, соответствующих расширениям аХ и bY.
Доказательство. Пусть / — г’-близостно непрерывно. Определим отображение /: аХ —у bY по формуле:
}{х) =pb(vf{p~1(x))),x е аХ.
Поскольку каждый элемент р~1(х) разбиения Ra переводится ото-
бражением vf в некоторый элемент Д*,, / определено однозначно. Очевидно, что /\х = /• Покажем, что / ^-непрерывно.
Пусть х Е аХ, у = f(x) и пусть Оу = рЦУ, где У открыто в иУ. Положим С/ = vf~1(V),Ox = p$aU. Покажем, что f[Ox\ С [Оу]. Пусть z Е [Ож]. Тогда р~г(г) П [U] / 0 (в противном случае p^(vX \ [U]) — окрестность z в аХ, которая не пересекается с Ох). Возьмем точку t Е Ра^ (^0 П \U ]. Имеем г>/(£) Е ^/[С/] = [V], следовательно, f(z) = Pb(vf(t)) Е Рь[^]. Покажем, что р&[У] С [О?/]. Предположим противное. Пусть существует s Е [V] такое, что Pb(s) = d 0 [О^/] -Возьмем окрестность Od точки d, которая не пересекает Оу. В силу ^-непрерывности рь существует окрестность Os точки s такая, что pbOs С [Od]. Следовательно, pbOs П Оу = 0. С другой стороны, OsC\V /0, значит, 0 / p\{Os П V) С Оу — противоречие. Итак, f(z) Е [Оу]. Следовательно, отображение / ^-непрерывно.
Пусть теперь для непрерывного отображения f\X —> Y существует ^-непрерывное продолжение /: аХ —> ЬУ. Покажем, что / v-близостно непрерывно относительно ^-близостей а и Ь. Предположим, что это не так. Тогда существует элемент F разбиения Ra такой, что множество vf(F) не содержится ни в каком элементе разбиения Щ. Пусть х = paF,y = f(x) и G — РьХУ- Поскольку vf(F) (jt G, существует точка t Е vf(F) такая, что t 0 G. Выберем в пространстве vY непересекающиеся окрестности Ot и OG точки t и множества G. Положим Оу = p\OG. В силу ^-непрерывности / существует окрестность Ох = p\U такая, что f[Ox] С [Оу]. Рассмотрим множество W = U П г>/-1(0£) П X. Очевидно, W / 0. Имеем:
Pb(vf{W)) = p\{vf(W)) С plot.
С другой стороны,
Pb(vf(W)) = fpa(W) = fp*w С [Оу].
Но по построению pf Ot П [Оу] = 0. Противоречие. □
Resume
OK-extensions were defined in [2]. In this paper a description of all OK-extensions of a completely regular space X in terms of generalized proximities is obtained. It is proved, that a continuous mapping f: X —»> Y has a ^-continuous extension to OK-extensions of X and Y if and only if / is proximally continuous.
Литература
[1] Архангельский А. В., Хамди М. М. Генеди. Начала теории относительных топологических свойств// Общая топология. Пространства и отображения. М.: Изд-во МГУ, 1989. С. 3-48.
[2] Иванов А. В. Относительно компактные расширения вполне регулярных пространств// Труды ПГУ. Сер. матем. 1996. Вып. 3. С. 79-87.
[3] Илиадис С., Фомин С. Метод центрированных систем в теории топологических пространств// Успехи мат. наук. 1966. Т. 21. Вып. 4. С. 47-76.
[4] Федорчук В. В. Об Н-замкнутых расширениях пространств 0-близости// Матем. сб. 1972. Т. 89(131). С. 400-418.
[5] Энгелькинг Р. Обитая топология. М.: Мир, 1986.
