О восстановлении несамосопряжённого оператора Штурма-Лиувилля Текст научной статьи по специальности «Математика»

Если выражение

т = ^f(x + 2kh)-nx + (2k + l)h)^

к=о 2к + \

а также выражение Q„(f,x), получающееся из Тп(/,х) заменой h на - h, стремится к нулю равномерно на (-оо;+да) при п --» да, то ряд Фурье-Эрмита сходится в каждой точке промежутка (-да;+да), равномерно на любом отрезке [а,Ь],~да <а<Ъ <да.

Последнее утверждение является аналогом признака равномерной

сходимости тригонометрического ряда Фурье Р. Салема [6].

_ 2

ТЕОРЕМА 2. Пусть функция / €Ц-да,+да;е * ] удовлетворяет условию S0. Если в точке хе (-да;+да) существуют значения f(x + o) и f(x-o), то для того чтобы ряд Фурье-Эрмита функции / сходился в этой точке, необходимо и достаточно выполнения равенства (4).

При этом lim Sn(f,x) = + +

/7—>Х 2

Доказательство теоремы 2 опирается на леммы 1, 2 и 4.

СПИСОК ЛИТЕР АТУРЫ

1. Romanovski M. P. Quelques considérations sur la theorie des intégrales singulières// Math. Z. 1931. Bd. 34., H. 1. S. 35 - 49.

2. Фадеев Д. К. О представлении суммируемых функций сингулярными интегралами в точках Lebesque'a // Матем. сб. 1936. Т. 1(43), № 3. С. 351 - 367.

3. Коровкин П. П. Критерий сходимости ряда Фурье в точке Лебега функции. Прикладные вопросы математического анализа. Тула: Изд-во Тульск гос. пед. ин-та, 1972. С. 69 - 72.

4. Борисова Л. В. Критерий сходимости рядов Фурье-Лагерра в точке Лебега. Саратов, 1988. 16 с. Деп. в ВИНИТИ 25.07.1988 г № 5892-В88.

5. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962.

6. Salem R. Essais sur les sériés trigonometriques // Actual. Sci. et Industr. Paris, 1940. N862.

УДК 517.984

С. А. Бутерин

О ВОССТАНОВЛЕНИИ НЕСАМОСОПРЯЖЁННОГО ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ

Введение. Рассмотрим краевую задачу I = Цд(х),к,Н):

-у" + ч(х)у = ху, 0<х<п, д(х)еЬ2(0,к), (1)

и(у):=/(0)-Иу(0)~0, У(у):= у'(п)+ Ну(п)= 0. (2)

ю

В. А. Марченко показал (см., например, [1]), что в самосопряженном случае, когда <](х\ И, Н вещественны, задача Ь однозначно определяется заданием своего спектра вместе с нормами собственных функций, удовлетворяющих одним и тем же начальным условиям. Но в несамосопряженном случае таких данных, вообще говоря, недостаточно, что связано с возможностью появления кратного спектра. Целью данной заметки является обобщение результата Марченко на несамосопряженный случай.

1. Спектральные данные. Теорема единственности. Пусть функции ф(хД), ф(хД), 8(х,Х) являются решениями уравнения (1) с начальными условиями ф(0Д) = 1|/(яД)= 5"(0Д)= 1, ф'(0Д)=/з, ф'(тсД)=-Я, 5(0Д)=0. Пусть {^„}„20 - спектр задачи Ь, тогда

= и , * = 0,1яи-1, яв-

к=х„ 1х=х,

ляются собственными и присоединенными функциями, соответствующими собственному значению Хп кратности тп.

Определение. Спектральными данными задачи Ь назовем

где акп ■ Обратная задача формулируется так:

даны Л, построить Ь.

Наряду с задачей Ь будем рассматривать задачу Ь такого же вида, но с другими коэффициентами ^(х), Я, Й. Условимся, что если некоторый символ А обозначает объект, относящийся к задаче Ь, то символ А обозначает аналогичный объект, относящийся к задаче Ь .

ТЕОРЕМА. Если Х„=к„, тп-тп, акп=акп, к = 0,тп-1,

п = 0,оо, го Ь = Ь, то есть ц(х)=с[{х) п. в. на (0,л), /¡ = /г, Н = Н. Таким образом, задание Л однозначно определяет Ь.

2. Доказательство теоремы единственности. Обозначим

Л(л):= (ф(хД),ф(*Л)),

где {у,г)-уг'-у'2. Функция Д(л) называется характеристической функцией задачи Ь. Пусть ф(х, л) - решение уравнения (1) при условиях С/(ф)=1, К(ф) = 0. Положим М(Я,):=ф(ОД). Функция М(л) называется функцией Вейля задачи Ь. Очевидно, что

фМ - ■= 5(х,Х) + ММ(Х)= -УМ, (4) (ф(хД),ф(.хД))^1. (5)

Известным методом (см., например, [2]) доказываются следующие асимптотические формулы. Пусть А. = р2, тогда при |р| —> °о

ф(х, X) = cos рх + о|р| 1 exp(jlm р|х)), ф'(л:Д)= -psinpx: + 0(exp(jlmp|.x)),

Х) = cos р(я - х)+ o(jpf1 exp(jlm р|(л - х))), ф'(х, X) = psin р(тс - х)+ o(exp(jlm р|(л - "х))). \А(Х) > C5|p|exp(jlmp|u), р е G6, |р| > р*,

где Gs = {р:|р-&|>5,fc = 0,±l,±2,...}, 8>0.

ТЕОРЕМА 1. Справедливо представление

00 тп С ,

(6)

n=Ok^l{X- Х„)

где С_к „- некоторые комплексные числа, тп—кратность Х„, „ 0. Доказательство. Рассмотрим контурный интеграл

ГДС = ^ + [, iVeN, ХеЬйГ,

N >

(7)

а Гд, проходится в положительном направлении. В силу асимптотики спектра задачи (1),(2) (см., например, [3]) для достаточно больших N контур Гдг не проходит через какие-либо собственные значения. В силу асимптотических свойств функций ф(х,А.) и Л(Х) (см. [3]) из (4) следует оценка |м(Х.)| < С8|р|~' при реОа, |р|>р*. Отсюда lmN_+xJN(x)=0 Применяя теорему о вычетах получаем (6). □

ТЕОРЕМА 2. Если М(Я.)=М(Х.), то 1 = 1. Доказательство. Положим

Р,(хД):= ф,ХЩх,Х)- Ф(хД)ф'(х,41 Р2 (л:, X) := ф(х, >.)ф(х, X) - ф(х, Х.)Ф(х, X} ] В силу (4), а также асимптотических свойств функций ф, ф', ф, , д(я) имеет место

^(хД)-8и| = 0(р-1) к = 1,2, реС5, |р|->оо. (8)

С другой стороны, согласно (4) и (7), из условия леммы следует, что при каждом х функции Рк(х,Х), к = 1,2 являются целыми аналитическими по X. Вместе с (8) это дает Рк(х,Х)= 614. Далее, в силу (5) и (7),

ф(хД)=ф(хД), а значит Ь = I. □

ТЕОРЕМА 3. Справедливы соотношения

к __

2><>с-ш„+*-/,» = 5о,*> к = 0,т„-\, (9)

1=0

где а^ „ и С_к „ определяются равенствами (3) и (6) соответственно.

Доказательство. Из (4) следует

к _

£ = (10)

(=0

где Ат^+р^п, р~ 0,1,... - коэффициенты тейлоровского разложения функции А (л) в окрестности точки Х„. С другой стороны, из свойств собственных и присоединенных функций вытекает

к _

EVi.B(0)4>*-i.»(*)=V*.B(*)» к = 0,тп-\. (11)

(=0

Кроме того, нетрудно показать, что

^т„+р,п p,nix)lPm„-l,n(x)c^x у р = 0,т„-\. (12)

Из (10) - (12) следует (9). □

Возвратимся к доказательству теоремы единственности. Согласно (9), из тп=тп, акп = ак>„, к = 0,т„-\ вытекает С_/п = С_,„, 1 = 1,т„.

Отсюда, в силу (6) и Х„ = Хп, и = 0,со, получаем, что и

следовательно, согласно теореме 3, L = L . □

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Freiling G. and Yurko V. A. Inverse spectral problems for second-order differential operators. Part 1 // Schriftenreiche des FB Mathematik der Universitaet-GN-Duisburg. 1999. Vol. 458. 118 s.

2. Левитан Б.М., Саргсян И. С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака. М.: Наука, 1988.

3. Марченко В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев: Наук, думка, 1977.

УДК 519.853.3 + 517.518.82 И. Ю. Выгодчикова

О НАИЛУЧШЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ НЕПРЕРЫВНОГО МНОГОЗНАЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИМ ПОЛИНОМОМ

1. Пусть gfi) и g2(t) - непрерывные на отрезке [0; l] функции, причём gj(r) <g2(t) при t е [0;l], Обозначим через pn(A,t) = a0+alt+...+a„t" полином п-ой степени с вектором коэффициентов А = (а0,а1,...,а„),