К вопросу о сходимости рядов Фурье-Эрмита Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.51

JI. В. Борисова

К ВОПРОСУ О СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ-ЭРМИТА

Пусть {Нп(х)},п = 1,2,3,... - последовательность многочленов Эрми-

2

та, ортонормированных на промежутке (-оо;+со) с весом е х . Для любой

_ 2 л

функции / е ¿[-оо,+со;е * ] через Sn (/, х)- Y.ak ^к С*) > где

00 _ ^

ак - je х f(x)Hk(x)dx, обозначим п-ю частную сумму ряда Фурье-

-00

Эрмита функции /.

Цель статьи - найти необходимые и достаточные условия сходимости ряда Фурье-Эрмита суммируемой с весом функции в точке Лебега этой функции. Отметим, что вопрос о сходимости в точке Лебега сингулярных интегралов и рядов Фурье суммируемых функций исследовался в работах

[1-4].

Аналогичный вопрос для рядов Фурье-Эрмита не решался.

_ 2

Будем говорить, что функция / е L[-co,+co;e 1 ] удовлетворяет условию S0, если выполнены следующие два условия: при любом а> О

а

\\f(x)\dx существует и справедливо равенство

-а

¡е~* х з {/(х)| + |/(-;t)|}dx = о{п~1),п ю. (1)

п

Тогда по аналогии с рядами Фурье-Лагерра имеет место ЛЕММА 1 [5, с. 255]. Пусть f(x) - измеримая в смысле Лебега функция на оси (-оо;+со) и удовлетворяет условию S0. Тогда при произвольном вещественном х справедливо равенство

Шпк(/,*)-1 Т/ю^Й^Ц-о, ®

п-»со[ К х_а x-t J

где а - фиксированное положительное число. Кроме того, равенство (2) выполняется равномерно на любом конечном отрезке [а;б]с(-со;+оо).

ЛЕММА 2 [4]. Пусть функция / суммируема на отрезке [0;ст], где с- фиксированное положительное число. Тогда справедливо равенство

«sin nt

lim í

П~>00 Б'

ДО -/('+-)

п

nt + л

-dt =

= lim X!

1

o2(k +1)

' *(t + 2k) _ f(n{t + 2k + \\

sin та dt,

в котором

E„= U

k=О

an 2 к

-1.

ЛЕММА 3 [4]. Пусть функция / суммируема на отрезке [х-а,х + а], где а - фиксированное положительное число. Если х - точка Лебега функции /, то справедливо равенство

f , . sinni . f(x)

lim if(x±t) —-=

n-*x>E^ t(nt + n:) 2

в котором область интегрирования имеет вид (3).

ЛЕММА 4 [4]. Пусть функция / суммируема на отрезке [х-ст;х+сг], где а- фиксированное положительное число. Если существует значение f(x + o) (/(х - о)), то справедливо равенство

, . sin«i , f(x±ö)

lim J f(x±t)—--dt = \

E„ + K> 2

в котором область интегрирования имеет вид (4). Сформулируем основной результат.

2

ТЕОРЕМА 1. Пусть функция / е L[-°o,+oo; е ] удовлетворяет условию S0. Если хе (-оо;+со) - точка Лебега функции /, то для того, чтобы ряд Фурье-Эрмита этой функции сходился в точке х, необходимо и достаточно выполнения равенства 1

lim £

и—ЮС

где т„ =

-J

п~*°°к=о 2{к +1) q

in а 2 "я

<p(x,t) = f(x + t) + f(x-t) При этом

, t + 2k . , t + 2к + 1 . Ф^'-^Г^71) - ф(*> • ПГ- тс)

sinnt dt = 0,

(4)

4ln ' 42n

1 дм фиксированного положительного о и

lim £„(/,*) = /(*).

Доказательство теоремы 1 опирается на леммы 1-3.

Следствие 1. Пусть функция / непрерывна на (-со;+оо) и удовле-

творяет условию (1). Положим h =

рованное положительное число.

л

л/2 п

> тп =

n а 2 к

-1, где а- фикси-

Если выражение

т = ^f(x + 2kh)-nx + (2k + l)h)^

к=о 2к + \

а также выражение Q„(f,x), получающееся из Тп(/,х) заменой h на - h, стремится к нулю равномерно на (-да;+да) при п --» да, то ряд Фурье-Эрмита сходится в каждой точке промежутка (-да;+да), равномерно на любом отрезке [а,Ь],~да <а<Ъ <да.

Последнее утверждение является аналогом признака равномерной

сходимости тригонометрического ряда Фурье Р. Салема [6].

_ 2

ТЕОРЕМА 2. Пусть функция / €Ц-да,+°о;е * ] удовлетворяет условию S0. Если в точке хе (-да;+оо) существуют значения f(x + o) и f(x-o), то для того чтобы ряд Фурье-Эрмита функции / сходился в этой точке, необходимо и достаточно выполнения равенства (4).

При этом lim Sn(f,x) = + +

/7—>Х 2

Доказательство теоремы 2 опирается на леммы 1, 2 и 4.

СПИСОК ЛИТЕР АТУРЫ

1. Romanovski M. P. Quelques considérations sur la theorie des intégrales singulières// Math. Z 1931. Bd. 34., H. 1. S. 35 - 49.

2. Фадеев Д. К. О представлении суммируемых функций сингулярными интегралами в точках Lebesque'a // Матем. сб. 1936. Т. 1(43), № 3. С. 351 - 367.

3. Коровкин П. П. Критерий сходимости ряда Фурье в точке Лебега функции. Прикладные вопросы математического анализа. Тула: Изд-во Тульск гос. пед. ин-та, 1972. С. 69 - 72.

4. Борисова Л. В. Критерий сходимости рядов Фурье-Лагерра в точке Лебега. Саратов, 1988. 16 с. Деп. в ВИНИТИ 25.07.1988 г. № 5892-В88.

5. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962.

6. Salem R. Essais sur les sériés trigonometriques // Actual. Sci. et Industr. Paris, 1940. N862.

УДК 517.984

С. А. Бутерин

О ВОССТАНОВЛЕНИИ НЕСАМОСОПРЯЖЁННОГО ОПЕРАТОРА ШТУРМА- ЛИУВИЛЛЯ

Введение. Рассмотрим краевую задачу I = Цд(х),к,Н):

-у" + ч(х)у = ху, 0<х<п, д(х)еЬ2(0,к), (1)

и(у):=/(0)-Иу(0)~0, У(у):= у'(п)+ Ну(п)= 0. (2)

ю