О сходимости рядов Фурье-Якоби в точке Лебега Текст научной статьи по специальности «Математика»

4. Blinkov Yu.A., Cid С. F., Gerdt V. P., Plesken PK, Roberls D. The MAPLE Package "Janet": 2. l.inear Partial Differential Equations. Computer algebra in scientific computating. CASC 2003. Passau, 20 - 26 Sept. 2003. Passau, 2003. P. 41 - 54.

5. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2 т. М.: Мир. 1991. Т. 1.504 е., т. 2. 552 с.

6. Шокин Ю. И., Яненко Н. Н. Метод дифференциального приближения. Приложения к газовой динамике. Новосибирск: Наука, 1985. 364 с,

УДК 517.51

JI. В. Борисова

О СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ - ЯКОБИ В ТОЧКЕ ЛЕБЕГА

Пусть a>-l,ß>-l и {pj-'^Hx)} — последовательность многочленов Якоби, образующих на отрезке [-1,1] ортонормальную систему веса w(x) = (1 - х)а(1 + Для любой суммируемой с весом w(x) на отрезке [-1,1] функции / e¿{-l,l;(l-*)a(l + *)I!] положим

к=0

где

ск= í(l-t)a(l + t)*f(t)PKía-n(t)dt -1

и S^a'^\f,x)-n-H частная сумма ряда Фурье - Якоби.

Будем говорить, что функция / е L[-l,l;w(x)] удовлетворяет условию , если существует интеграл

i 5L_i Ё_1 ¡(1-х)2 4(l + x)2 4|f(x)\dx. -1

Ряд асимптотических формул для ортогональных многочленов позволяет установить связь между сходимостью некоторых связанных с ними рядов Фурье, что является предметом так называемых теорем о равносходимости, которые в сочетании с условиями сходимости рядов Фурье позволяют исследовать сходимости ортогональных разложений. Цель данной статьи - получить необходимые и достаточные условия сходимости ряда Фурье - Якоби в точке Лебега функции / е £{-1,1;(1 - х)а(1 + удовлетворяющей условию Sl. Ряды Фурье - Якоби внутри интервала ортогональности аналогичны рядам Фурье - Лежандра, то есть имеет место

ЛЕММА 1 [1, с. 254]. Пусть /(х) - измеримая в смысле Лебега функция на [-1,1] и удовлетворяет условию 5]. Если ¿,„(/,cos6) означает п-ю частную сумму ряда Фурье (по косинусам) функции

a/4

(1 - cosG) 4 (1 +eos9)2 4 /(eos9),

то в промежутке -1 < х < 1

_а _I _р_1

I ¡ш {5„а'Р (/, х) - (1 - х)~~2 ~ 4 (1 + х)~ 2 ~4 (/, *)) = О

«—>00

равномерно на -1 + е<х<1-е, е - фиксированное положительное число, е<1,

Замечание. Важность леммы 1 состоит в том, что она позволяет применять к задачам сходимости и суммируемости рядов по многочленам Якоби результаты, полученные для аналогичных задач в классической теории тригонометрических рядов Фурье. Таким образом, на основании леммы 1, используя полученный автором [2] критерий сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке Лебега суммируемой периодической функции, методами работ [2,3] получаем следующие теоремы.

ТЕОРЕМА 1. Пусть а>-1, р>-1 и функция /е /,[-1,1;и>(х)] удовлетворяет условию . Если хе(-1,1) - точка Лебега функции / то для того, чтобы ряд Фурье - Якоби этой функции сходился в точке х к значению /(х), необходимо и достаточно выполнение равенства

Hm X —-Цг я) ~ У(Э,t + 2k + l „)]sin7itdt = 0, (1)

*=0 2(* + 0 о п п

где

ф(9,0 = Ф(9 + t) + Ф(9 -1),

о I Р

Ф(9) = (1 - cos9)2 +4 (1 + cos9)2 +4 /(eos 9), 9 = arceos х

ТЕОРЕМА 2. Пусть а>-1, р>-1 и функция /е L[-l,l; w(x)] удовлетворяет условию S,. Если в точке х е (-1,1) существуют предельные значения /(х + 0) и /(х - 0), то для того, чтобы ряд Фурье - Якоби функции / сходился в точке х, необходимо и достаточно выполнение равенства (1). При этом

lim ^ÍV.x)--/(X + 0) + /(X-Q).

n-f-OO 2

СЛЕДСТВИЕ. Пусть а>-1,Р>—1 и функция/ непрерывна па отрезке [-1,1] Тогда для равномерной сходимости ряда Фурье - Якоби функции / на каждом отрезке [а,Ь\ с (-1;1) необходимо и достаточно, чтобы условие (1) выполнялось равномерно на [-1,1].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962.

2. Борисова Л. В. Критерий сходимости рядов Фурье - Лагерра в точке Лебега. Саратов, 1988. 16 с. Деп. в ВИНИТИ 25.07.1988, №5892-В88.

3. Борисова Л. В. К вопросу о сходимости рядов Фурье - Эрмита // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. Вып. 2.

УДК 519.4

Д. А. Бредихин

О МНОГООБРАЗИЯХ ПОЛУГРУПП ОТНОШЕНИЙ С УНАРНЫМИ ДИОФАКТОВЫМИ ОПЕРАЦИЯМИ

В статье находятся базисы тождеств мног ообразий, порождённых алгебрами отношений с операциями умножения отношений и унарными диофантовыми операциями, задаваемыми с помощью логических формул специального вида.

Множество бинарных отношений, замкнутое относительно некоторой совокупности О операций над ними, образует алгебру отношений. Основы абстактно-алгебраического подхода к изучению алгебр отношений были заложены в работах А. Тарского [1, 2]. Одной из основных проблем в теории алгебр отношений традиционно является изучение их свойств, выраженных на языке тождеств, т.е. рассмотрение соответствующих многообразий, порождённых различными их классами.

Мы будем использовать следующие обозначения: — много-

образие, порожденное классом алгебр, отношений с операциями из С/{П} - клон операций, порожденный П (множество всех операций, выразимых через операции из О).

В теории алгебр отношений обычно рассматриваются операции, задаваемые с помощью логических формул и, в частности, формул различного специального вида. Операция называется диофантовой [3, 4] (в другой терминологии - примитивно-позитивной [5]), если она может быть задана формулой <р(х,у) с двумя свободными переменными хи у, содержащей лишь операцию конъюнкции и кванторы существования. К числу таких операций, например, относятся операции умножения о, обращения 1 отношений и операции цилиндрофикации [6]. Всякой диофантовой операции со, задаваемой формулой ф(х,_>'), может быть сопоставлен двухполюсник [3, 4, 5] (фаф с двумя выделенными вершинами). Вершины этого графа соответствуют переменным формулы ф(х,>'), две вершины и и V соединены ребром, если атомарная формула вида («,у)е р входит в запись формулы ф(х, у), выделенными вершинами являются вершины хну.