О новом подходе к генерации разностных схем типа Лакса и Лакса-Вендроффа Текст научной статьи по специальности «Математика»

т. е. получаем решение задачи (4) в виде точки х'. С другой стороны, если известно решение задачи (4) - точка то, вычисляя

L= min { (Aj,x') + bj }, получаем, что точка (x\L) удовлетворяет ог-

/=1,2,...,/

раничениям (6) и в силу (9) L - максимальное значение для т.е. по

решению задачи (4) можно построить решение задачи (5) - (7) - точку (x',L). Теорема доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Белгородский А. В., Дудов С.И. Об оптимизации гарантированного запаса качества структуры портфеля ценных рисковых бумаг // Математика. Механика: Сб. науч тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып. 5. С. 5 - 8.

2. Зуховицкий С. И., Авдеева Л. И. Линейное и выпуклое программирование. М.: Наука, 1964. 354 с.

__________ УДК532+681.3

Ю. А. Блинков, [ В. В. Мозжилкин]

О НОВОМ ПОДХОДЕ К ГЕНЕРАЦИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ ТИПА ЛАКСА И ЛАКСА - ВЕНДРОФФА*

В работах [1,2] был разработан новый подход к генерации разностных схем, основанный на построении переопределённой системы разностных уравнений, получаемой из аппроксимации интегральных законов сохранения и интегральных соотношений, связывающих искомые функции и их производные. Разностная схема определяется как условие совместности для данной системы.

В статье развивается интегро-интерполяционный метод генерации разностных схем для линейных дифференциальных уравнений с использованием инволютивных алгоритмов анализа полиномиальных систем и систем дифференциальных уравнений [3,4], включающий следующие шаги:

1. Исходное дифференциальное уравнение Ь(и) = 0 дополняется интегральными соотношениями

)—<Ь^и\Ь. (1)

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 04-01-00784), гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-2339.2003.2).

Если рассматривается дифференциальное уравнение второго порядка, то оно представляется в виде интегрального закона сохранения для заданного контура интегрирования.

2. Интегралы в соотношениях (1) аппроксимируются квадратурными формулами прямоугольника по средней точке, трапеции или Симпсона. В результате, получается система уравнений относительно сеточных функций и их производных. Для уравнений первого порядка в систему включается само уравнение в дифференциальной форме

3. Строится инволютивный базис для данной системы с помощью пакета [3, 4]. Условие совместности данной системы и есть искомая разностная схема.

Такой подход к построению разностных схем позволяет установить взаимосвязь между уравнением, контуром шаблона, способом интегрирования и типом разностной схемы.

Рассмотрим возможности данного метода построения разностных схем на примере линейного уравнения конвекции [5]:

ди ди

--1-v— = 0, v = const. (2)

dt дх

Система полиномиальных соотношений относительно функций и, и,, их при выборе квадратурной формулы прямоугольников со средней точкой имеет вид

[2rAA = (rM)MJ Тхи,х = {ТхТ,-~)и , [и, + vwx =0]|

Здесь A, х - шаги по переменным л:, t соответственно, а Тх,'!) — операторы сдвига под:, t. Условие совместности имеет вид

(2ГХ Tth - T2h - А + Т2vt - vx)u =0. (3)

Это - классическая схема Лакса [5]. Её свойства определяются третьим дифференциальным приближением [6]:

ди ди 1 ., 2 2 2чд2и I . ,2 з Зчд3г< 1 г ,2 дАи ...

— + v— = —(А - v т )—- + — (viA - vV)—- + - v тА —7. (4)

dt дх 2т дх2 Зт 'от3 3 йг4

Использование квадратурной формулы трапеций позволяет построить разностную схему

(2T,T2T,h -T?h - hTx + 2TxTth - T2h - A - 4vx7; + 4vtTx2)u = 0. (5) Третье дифференциальное приближение этой разностной схемы имеет вид

ди ди 1 .,2 2 2n32w 1 ,2 .3 з7 2 — + v— = —(А -v х )—- +-(Ivxh — 4v 1 )—- + —v тh —(6)

dt дх 2т дх 12т дх3 12 дх4

Из сравнения дифференциальных приближений разностных схем (4) и (6) можно сделать следующие выводы:

порядок аппроксимации разностных схем Лакса и (5) одинаков;

диссипативные их свойства совпадают;

данные разностные схемы удовлетворяют критерию устойчивости Куранта - Фридрихса - Леви;

эти схемы имеют близкие дисперсионные свойства.

Разностная схема Leapfrog [5] получается при интегрировании по t на промежутке [t,t + 2h], Система полиномиальных соотношений относительно функний и, и,, их при выборе квадратурной формулы прямоугольников со средней точкой в этом случае имеет вид

{[2Txuxh = (T2 -\)и], [27>,т = (Г2,-1)м], [и, +vmx=0]}. а четвертое дифференциальное приближение определяется выражением

ди ди V, 2 2 ,2 1 з 2, 2 О5 U

— + v—= -(vV-/r)—т + —vV/Г—--. (7) dt дх 6К ' дхъ 12 дх5

Использование квадратурной формулы трапеций позволяет построить разностную схему

(4TxT,vt - АТ,х + T2h -h + T2h -hTx)u = 0. (8)

Четвёртое дифференциальное приближение этой схемы имеет вид

ди ди v. 2 2 h2 ,д*и 1 3 2,2д5и

— + v— = -(vt/+—)—----vV/T—г, (9)

dt дх 6 2 дх3 24 дх

Из сравнения четвёртых дифференциальных представлений разностных схем Leapfrog и (8) следует, что эти схемы весьма близки по своим свойствам.

Было показано, что одновременное использование интервалов интегрирования при выводе схем Лакса и Leapfrog после применения квадратурной формулы прямоугольников со средней точкой позволяет построить схему Лакса - Вендроффа.

Использование квадратурной формулы трапеций позволяет построить следующую разностную схему класса Лакса - Вендроффа: {-2Txh2 - 16т2v2Tx + 32т2v27;3 -16z2v2Tx + 4TxT2h2 + &vxTx5h - 3T2h2 -

- h2T* - 4T?h2 - 2 Txh2 - 3Txh2 + 8 Т2Тъхк2 - %TX vt - h1 + 4T2T2h2)u = 0.

Таким образом, применяя различные квадратурные формулы для интегральных соотношений, определяющих вид разностных аппроксимаций, можно построить семейства разностных схем, обладающих одинаковыми характеристиками аппроксимации, устойчивости, диссипации и дисперсии.

БИБЛИОГ РАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Мозжшкин В. В., Блинков Ю. А. Методы построения разностных схем газовой динамики // Изв. Сараг. ун-та. 2001. Т.1, вып. 2. С. 145 - 156.

2. Blinkov Уи. A., Mozzhilkin V. V. An algorithmic approach to generation of difference schemes in computation hydro- and aerodynamics // V International congress on mathematical modeling. Book of abstract. Dubna, 2002. P. 61.

3. Blinkov Yu. A., Cid C. F., Gerdt V. PPlesken W., Roberts D. The MAPLE Package "Janet": 1. Polynomial systems. Computer algebra in scientific computating. CASC 2003. Passau, 20-26 Sept. 2003. Passau, 2003. P. 31 - 40.

4. Blinkov Yu.A., Cid С. F., Gerdt V. P., Plesken PK, Roberts D. The MAPLE Package "Janet": 2. l.inear Partial Differential Equations. Computer algebra in scientific computating. CASC 2003. Passau, 20 - 26 Sept. 2003. Passau, 2003. P. 41 - 54.

5. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2 т. М.: Мир. 1991. Т. 1.504 е., т. 2. 552 с.

6. Шокин Ю. И., Яненко Н. Н. Метод дифференциального приближения. Приложения к газовой динамике. Новосибирск: Наука, 1985. 364 с,

УДК 517.51

JI. В. Борисова

О СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ - ЯКОБИ В ТОЧКЕ ЛЕБЕГА

Пусть а>-1, р>-1 и {pj- '^Hx)} — последовательность многочленов Якоби, образующих на отрезке [-1,1] ортонормальную систему веса w(x) = (1 - х)а(1 + х)р. Для любой суммируемой с весом w(x) на отрезке [-1,1] функции / е1{-1,1;(1-х)а(1 + х)1(] положим

к=0

где

ск= í(l-t)a(l + t)*f(t)PKía-n(t)dt -1

и S^a'^\f,x)-n-H частная сумма ряда Фурье - Якоби.

Будем говорить, что функция / е L[-l,l;w(x)] удовлетворяет условию , если существует интеграл

i 5L_i Ё_1 ¡(1-х)2 4(l + x)2 4|f(x)\dx. -1

Ряд асимптотических формул для ортогональных многочленов позволяет установить связь между сходимостью некоторых связанных с ними рядов Фурье, что является предметом так называемых теорем о равносходимости, которые в сочетании с условиями сходимости рядов Фурье позволяют исследовать сходимости ортогональных разложений. Цель данной статьи - получить необходимые и достаточные условия сходимости ряда Фурье - Якоби в точке Лебега функции / е £{-1,1;(1 - х)а(1 + удовлетворяющей условию Sl. Ряды Фурье - Якоби внутри интервала ортогональности аналогичны рядам Фурье - Лежандра, то есть имеет место

ЛЕММА 1 [1, с. 254]. Пусть /(х) - измеримая в смысле Лебега функция на [-1,1] и удовлетворяет условию 5]. Если ¿'„(/,cos6) означает п-ю частную сумму ряда Фурье (по косинусам) функции