О необходимых и достаточных условиях сходимости в точке Лебега рядов Фурье-Лежандра Текст научной статьи по специальности «Математика»

спектральных данных которой верны асимптотические формулы лемм 1 и 2 с теми же константами, что и для данных Л. Такую задачу можно подобрать в виде Q(x) = Cx7 h = H = 0m, где C - некоторая константная m x m матрица.

Работа выполнена при поддержке Минобрнауки РФ (проект № 1.Ц36.20ЦК) и РФФИ (проекты № 13-01-00134 и № Ц-01-31042).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Bondarenko N. Spectral analysis for the matrix Sturm—Liouville operator on a finite interval // Tamkang J. Math. 2011. Vol. 42, № 3. P. 305-327.

2, Bondarenko N. An inverse problem for the non-self-adjoint matrix Sturm—Liouville operator. URL: http://arxiv.org/abs/1407.3581 (дата обращения: 15.07.2014).

3, Mykytyuk Ya. V., Trush N.S. Inverse spectral problems for Sturm—Liouville operators with matrix-valued potentials // Inverse Problems, 2010, Vol, 26, P. 015009,

УДК 517.51

Jl. В. Борисова

О НЕОБХОДИМЫХ И ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЯХ СХОДИМОСТИ В ТОЧКЕ ЛЕБЕГА РЯДОВ ФУРЬЕ—ЛЕЖАНДРА

Пусть {Ln(x)},n = 1, 2,3,... - последовательность многочленов Лежандра, ортонормированных на отрезке [-1;1] с единичным весом.

n

Для любой функции f Е L[-1; 1] через Wn(f,x) = ^ akLn(x), где

k=о

1

ak = J f (t)Lk(t)dt, обозначим n-ю частную сумму ряда фурье^ -1

Лежандра.

Цель статьи - найти необходимые и достаточные условия сходимости ряда Фурье Лежиндри суммируемой с весом функции в точке Лебега этой функции. Отметим, что вопрос о сходимости в точке Лебега сингулярных интегралов и рядов Фурье суммируемых функций исследован в работах [1-4]. Аналогичный вопрос для рядов Фурье Лежиндри не решался.

Для рядов Фурье Лежиндри имеет место следующая лемма. Лемма 1 [5, с. 154]. Для всякого x из интервала (-1; 1) выполняется условие

lim [Wn(f,x) - (1 - x2)(-1/4)Sn(F, arccos x)] = 0, (1)

причем, сходимость равномерная на всяком сегменте [-1 + е; 1 - е], где £> 0.

Замечание. Как обычно, здесь считаем x = cos 0 щи 0 < 0 < пи F(0) = л/sin 0f (cos 0), 0 < 0 < п, причем функцию F(0) на весь сегмент, [—п, п] распространяем по закону четности. Через Sn(F,0) обозначим, n-ю частную сумму ряда Фурье функции, F по тригонометрической системе.

Эта лемма о равносходимости решает вопрос об условиях сходимости ряда Фурье Лежиндри внутри интервала ортогональности |-1:11 так, что из этой леммы следует, что ряд Фурье^Лежандра функции f (t) в x

0 = arccos x сходится ряд Фурье по косинусам вспомогательной функции F(т) = л/sin тf (cos т), причем ряд Фурье^Лежандра сходится равномерно на сегменте [a, b], где —1 < а < b < 1, если и вышеупомянутый ряд Фурье по косинусам сходится равномерно на соответсвуюгцем сегменте [A; B], где A = arccos b и B = arccos a.

Лемма 2. Пусть функция f £ L[—1;1]. Тогда, справедливо равенство

lim i [ФШ) — Ф (0,t + -J L V n

En

sin nt

t + n

n

dt =

[ n ]—1

lim

n

1

n^ ^ 2(k + 1) k—0

ф r 0, t+^M _ ^ 0, *+2k+1;

n

n

sin ^dt,

где

En =

[ n ]—i

и

k—1

2кп"

cos п

; cos п

(2k + 1)п

n

n

(2)

npw Ф(в,t) = F(0 + t) — F(0 — t), F(0) = Vsi^f (cos0). Методами работ [3-5] получаем:

Теорема 1. Пусть функция f £ L[—1; 1] w x £ (—1; 1) - точка Ле-f.

x

[ n ]—1

lim

n

^ 2(k + 1)

k—0

Ф Г0, _ ф (0,t + 2k + 1 пЧ

n

n

sin ^dt = 0,

(3)

где Ф(0^) = F(0 + t) — F(0 — t), F(0) = Vsi^f(cos0). Яри згшш lim Wn(f,x) = f(x).

n

1

1

1

Доказательство теоремы 1 опирается на леммы 1-2. Теорема 2. Пусть функция f £ L[—1; 1]. Если, в точкс x £ (-1; 1) существуют пределы функции, f (x + 0) w f (x — 0)7 то для того чтобы

x

достаточно выполнение равенства (3). При, этом

lim W(f,x) = f(Х + 0) + f(X — 0)

f

рывна на [—1; 1]. Если выражение

/ Ч 1 1 1 r in-2 2nk . 2nk \1/2

tn(x) = > —-{ yl — x2 cos--h x Sin- x

2k + 1 V n n /

7--П \ /

k—0

, / 2nk r-- 2nk\

x f x cos--V 1 — x2 sin- —

nn

' r-2 n(2k + 1) . n(2k + 1) \1/2

у 1 — x2 cos--h x sin- x

nn

П (2k + 1) Г-- П (2k +l)\,

x f x cos —--- — у 1 — x2 sin —--- I

nn

равномерно стремится к нулю при, n ^ œ для —1 < x < 17 то ряд

f(x)

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Romanovski M. P. Quelques considerations sur la theorie des integrales singulières // Mal Ii./. 1931. Bd. 34. H. 1. P.35-49.

2. Фадеев Д. Л. О представлении суммируемых функций сингулярными интегралами в точках Lebesque'a // Мат. сб. 1936. Т. 1(43), № 3. С 351-367.

3. Коровкин П. П. Критерий сходимости ряда Фурье в точке Лебега функции / / Прикладные вопросы математического анализа : сб. науч. тр. Тула : Изд-во Тульского пед. ин-та. 1972. С 69-72.

4. Борисова Л. В. Критерий сходимости рядов Фурье—Лаггера в точке Лебега // Саратов, 1988. 16 с. Деп. в ВИНИТИ 25.07.1988. № 5892-В88.

5. Борисова Л. В. О необходимых и достаточных условиях сходимости в точке рядов Фурье—Лаггера // Теория функций и приближений : тр. 3-й Сарат. зимней школы. 27 янв. - 7 февр. 1986 : Ч 2. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1988. С. 52-56.

6. Сеге Г. Ортогональные многочлены. // М.ЖФизматгиз. 1962. 500 с.

7. Salem R. Essais sur les series trigonometriques? actual/ sei et Indutr. № 862. Paris, 1940.