Разложение по собственным функциям для некоторых функционально-дифференциальных операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 11, 2004

УДК 517.5

РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

С. С. Платонов

Доказана теорема о полноте системы собственных функций для некоторых функционально-дифференциальных краевых задач.

§ 1. Функционально-дифференциальные операторы с отражениями

Будем рассматривать Мп как евклидово пространство со скалярным произведением

п

(Х,У) = "^ХгУг, X = (Х1}...,ХП), у = (у1}...,уп) € М”.

г=1

Каждый ненулевой вектор а £ Мп определяет отражение ста относительно гиперплоскости ортогональной а. Это отражение задается формулой

/ ч ^(х.а)

&а(%) — х — 2---а, х £ М .

(а, а)

Для любой функции /(х) на Мп полагаем

(Са/Хж) := /(а„(ж)), х € Ж".

Оператор сга называется оператором отражения относительно вектора а. При п = 1 оператор отражения а — сга имеет наиболее простой вид: (<т/)(ж) = /(-ж), х £ М.

© С. С. Платонов, 2004

В современной математической физике возникают задачи, в которых используются функционально-дифференциальные операторы, которые получаются комбинацией дифференциальных операторов и операторов отражений. Наиболее известными операторами такого типа являются операторы Данкля (см. [1] - [3]) в пространстве Мп. При п = 1 оператор Данкля имеет вид

где к — произвольное комплексное число. Разложение по собственным функциям оператора Данкля приводит к некоторым интегральным преобразованиям (несимметричные преобразования Ган-келя, см. [3]), и при этом возникает множество интересных задач неклассического гармонического анализа.

В настоящей работе мы рассматриваем функционально-диффе-ренциальные операторы вида

+Р{х)<7, (1-1)

где сг — оператор отражения, р(х) — произвольная непрерывная

функция на 1, ? = л/^1 (всюду в дальнейшем i = л/^1 и все функции предполагаются комплекснозначными). Основной целью (не реализованной пока до конца) является изучение разложения функций по собственным и присоединенным функциям следующей краевой задачи на конечном отрезке [—а, а]:

-гу'(х) +р(х)у(-х) = Ху(х), (1.2)

с-1 У (~а) + с2 у (а) = 0, (1.3)

где р{х) Е С[—а, а], С\ и С2 — произвольные комплексные числа, удовлетворяющие условию | С11 + |С2 | / 0.

Основным результатом статьи является доказательство теоремы

о полноте системы собственных функций краевой задачи (1.2) - (1.3) для случая, когда р(х) Е С^[—а,а\ и краевая задача (1.2) - (1.3) самосопряженная. Условие самосопряженности краевой задачи эквивалентно следующему: р{—х) = р{х) и \с\ \ = |с21- В качестве вспомогательных результатов, представляющих и самостоятельный интерес, доказана теорема о существовании, единственности и аналитической

зависимости от параметра Л решения задачи Коши для уравнения (1.2) и построен оператор преобразования, преобразующий оператор й в дифференциальный оператор йо — — Полученные результаты во многом аналогичны классическим результатам о разложении по собственным функциям дифференциальных операторов Штурма

— Лиувилля (см. работы [4] - [6]), и основные идеи доказательств возникли при изучении теории операторов Штурма — Лиувилля.

§ 2. Задача Коши для функционально-дифференциального уравнения

Всюду в дальнейшем функционально-дифференциальный оператор имеет вид

<5 = +р(х)(т, (2.1)

где р(х) — непрерывная комплекснозначная функция на отрезке [—а, а], о — оператор отражения (т. е. (сг/)(ж) = /(—ж)). Рассмотрим следующую задачу Коши: требуется найти функцию у = у(х),

удовлетворяющую уравнению

8у = Ху (2.2)

с начальным условием

1/(0) = (2.3)

Теорема 2.1. Для любых чисел Х,а е С существует единственное решение у = у (х) Е [—а, а] уравнения (2.2), удовлетворяющее условию (2.3). Для каждого х функция у(х) является целой функцией параметра X.

Доказательство. Уравнение (2.2) с начальным условием (2.3) эквивалентно интегральному уравнению

х

у(х) =а + J(«Ау(£) - р(£)у(-г)) М. (2.4)

О

Уравнение (2.4) похоже на классическое уравнение Абеля (см., например, [7]), поэтому доказательство существования и единственности решения будем проводить по схеме соответствующих доказательств для уравнения Абеля.

А) Существование решения.

Определим последовательность функций: уо(х) = а и для п = = 1,2,...

Уп(х) = J\i\yn-i{t) - p{t)yn-i{-t))

-i(—t))dt, х G [—а,а].

Пусть \p{x)\ < M при х G [—а, а], и пусть |А| < N. Индукцией по п проверим, что

(М + N)n\x\n

\уп(х)\ < |а|

(2.5)

При п = 0 неравенство (2.5) выполняется. Если (2.5) справедливо для n — к — 1, то

х

\ук(х)\ < | j(М + N)\yk~i(t)\ dt

<

(M + N)k\a\

(к- 1)!

X

I Itf-1

dt

_ \a\{M + N)k\x\k ~ k\ 5

т. e. неравенство (2.5) справедливо и при n = к. Из неравенства (2.5) следует, что

\Уп{х)I < \а\

(М + N)nan

поэтому ряд

у(х) = Е»«(*)

а=0

(2.6)

сходится равномерно по Л для |Л| < N и равномерно по х для \х\ < а. Так как yn(x) G (7[—а, а], то у(х) G (7[—а, а]. Из равномерной сходимости ряда (2.6) следует, что ряд можно почленно интегрировать, откуда легко видеть, что у(х) удовлетворяет интегральному уравнению (2.4) и, следовательно, у(х) Е С^[—а,а\. Так как каждая функция уп(х) является, при фиксированном ж, многочленом относительно Л и для любого N ряд (2.6) равномерно сходится при |А| < N, то его сумма у(х) будет целой функцией относительно Л.

Б) Единственность решения.

Пусть (fi (х) и tp2{x) — два решения интегрального уравнения (2.4) и пусть ф(х) = y>i(x) — у>2(х). Тогда функция ip(x) удовлетворяет однородному интегральному уравнению

х

<р(х) = J- p(t)ip(-t)) dt. (2.7)

О

Пусть \р(х)\ < М при х Е [—а, а] и пусть |А| < N. Обозначим

С := sup \<р(х)\.

— а < ж < а

Из равенства (2.7) следует, что \<р(х)\ < С(М + N)\х\. Подставляя эту оценку в правую часть равенства (2.7), получим новую оценку

. , .. ^ (M + N)2. |2 Ых) | < С---------\х\

и так далее. После к-то шага имеем оценку

М,)|<С|М + ;>‘М‘<С(М+5“‘ (2.8)

к\ к\

Так как правая часть в неравенстве (2.8) стремится к нулю при к —> оо, то, переходя к пределу, получим, что ip(x) =0.

□

§ 3. Операторы преобразования

Как и в §2, мы будем рассматривать функционально-дифференциальные операторы вида

S = -г-7- +р(^)сг, (3.1)

ах

но с дополнительным ограничением р{х) Е С^[—а,а\. Напомним общее определение оператора преобразования (см., например, книгу [9]). Пусть Е — линейное топологическое пространство, А и В линейные (не обязательно непрерывные) операторы из пространства Е в Е. Линейный оператор X : Е i—>- Е называется оператором преобразования для пары операторов А и В, если имеет место равенство

ХА = ВХ.

В настоящем параграфе будет построен оператор преобразования для случая, когда А и В — операторы вида (3.1) с различными функциями р(х). Более точно: даны операторы

(6iy)(x) = +Pi(x)y(-x), (3.2)

(62у)(х) = ~^(х) +Р2(х)у(~х), (3.3)

где pi(x) и Р2(х) — произвольные комплекснозначные функции из класса

Теорема 3.1. Существует единственный оператор преобразования для пары операторов 8\ и 82, имеющий вид

х

(Xf)(x) = f(x) + I К(х, dt, (3.4)

— x

где K(x,t) — некоторая функция из класса ([—а, а] х [—а, а]), которая называется ядром оператора X.

Доказательство. А) Пусть X — оператор вида (3.4). Чтобы X был оператором преобразования для пары операторов Ji и 82 должно выполняться соотношение

X(S1f)=S2(Xf), f(x)ec^[-a,a]. (3.5)

Выписываем явный вид X(8if):

х

X(8if)(x) = +pi(x)f(-x) - i j K(x,t)f'(t)dt+

— x

X

+ J К(x, t)pi dt. (3.6)

Проинтегрировав в правой части формулы (3.6) по частям и сделав замену переменных в последнем слагаемом, получим, что

Х{61/){х) = -г/'(ж) +Р1(х)/{-х) - 1К{х,х)/(х) +

X

X

+iK(x,—x)f(—x)+i J (ж, £)/(£) + J К(х,—1)р1(—1)$(1)(И.(?>.7)

— х

— х

Выписываем явный вид 82{Х/):

62(Х/)(х) = -г/'(ж) -1К{х,х)/(х) -1К(х,-х)/(-х)

X

X

—г

! к'х(х,ь)/(г)(И + р2(х)/(-х)-р2(х)! 1<г(-м)/(г)(й. (3.8)

— х

— х

Приравнивая правые части в равенствах (3.7) и (3.8) и учитывая, что /(х) — произвольная функция из С^[—а, а], получаем, что функция К(х^) должна удовлетворять следующей системе уравнений:

( к[(х^) + к'х(х^) = {(р1(-г)к(х,-г)+р2(х)к(-х,г))

{ г (3.9)

| К(х,-х) = -{рг{х) -р2{х)).

Сделаем замену переменных х = и + у, £ = и — и, и пусть

Я(и,у) := К (и + и, и — у) = К(х^). Тогда Я'и = К'х + К[ и систе-

ма (3.9) принимает вид

{11'и{и,у) = ъ(р1{у - и)11{у,и) +р2(и + у)1{(-у, -и)),

г (З.Ю)

Д(о,г>) = ^(Р1(у) ~Р2(у))-

Система (3.10) эквивалентна интегральному уравнению

и

= ^(р1{у)-р2(у))+{ / (р1{у-8)11(у,8)+р2{у + 8)11(-У,-з)) (1з,

О

Так как уравнение (3.11) похоже на интегральное уравнение Абеля, то будем доказывать существование и единственность решения этого уравнения по схеме соответствующих доказательств для уравнения Абеля.

Б) Существование решения.

Пусть Яо(и,у) = ^{р\{у) — Р2(и)), а для п > 1 полагаем

и

И„(и,ь)=1 ! (р1(ь-8)Кп-1(ь,8)+Р2(ь + 8)Кп-1(-Ь,-8))б8, (3.12)

О

где (и, у) Е иа. Пусть М > О — произвольное число, такое, что

\р1(х)\ < М, \р2(х)\ < М при х Е [—а, а]. (3.13)

Индукцией по п проверим, что при (и, у) Е Т>а справедливы следующие неравенства

^2пМ2п+1\ \п\ \п

|Д2„(«,«)| <-------(п!)1 1 11 , (3.14)

^п+1 М2п+2\ \п+1\ \п

\И2П+1М\ <----------п,(п+^, ' ' - (3-15)

При п = О неравенство (3.14) принимает вид

\Яо(и,у)\ < М,

что верно в силу услови (3.13). Из равенства (3.12) следует, что

М

\Я1(щу)\< ( 2М|Д0(г;, ^)| ^ < 4М2

-М

т2\и\

что доказывает неравенство (3.15) при п = 0.

Предположим, что неравенства (3.14) и (3.15) справедливы при п = к, тогда

\и\

\112к+2(и,у)\ < / М(|Л2;ь+1(^,в)| + |Й2М-1(-'V’ —в)1) <

-\и\

<2м^2к+1М2к+2 |й+1| |А,Л _ 42*+2М2*+3|и|*:+1|г>|*:+1

I Н*+1|в|*Ж» =

к\(к +1)! у 11 ((Л + 1)!)2

-М

Аналогично проверяется, что

^_2&+3 д^"2&+4 |(^|&+2|(^|&+1

|-К2/ы-з(г*, г»)| <

(* + !)!(&+ 2)!

что доказывает неравенства (3.14) и (3.15) при п = к + 1.

Из неравенств (3.14) и (3.15) следует, что

. .. 42пМ2п+1а2п ^2п+1 М2п+2 а2п+1

\П2п(и,У)\< ------^-------, |Д2„+1(«,«)|< -----п,(п + 1),---

при (и, у) Е Ра, поэтому ряд

оо

Щи, у) := 5> (гл,и) (3.16)

71 = 0

равномерно сходится на множестве Т>а. Так как все функции 11п(и, г?) непрерывны на множестве Т>а, то функция Щи, у) тоже непрерывна на множестве Т>а. Из равномерной сходимости ряда (3.16) следует, что его можно почленно интегрировать, откуда легко видеть, что функция Щи,у) удовлетворяет интегральному уравнению (3.11). Из уравнения (3.11) следует, что функция Щи,у) имеет непрерывную частную производную Я'и(и,у) и эта производная равна

И'и(и,у) = 1{р\{у - и)Щу,и) +Р2(у + и)Щ—У, -и)).

А так как функции р\{х) и р2{х) непрерывно дифференцируемы, то существует и непрерывная производная Щ{и,у). Следовательно

Д(и,«) е С^(ра).

В) Единственность решения. Пусть Тх(и,у) и Т2(и,у) — два

решения уравнения (3.11), и пусть Т(и,у) = Т\{и,у) — Т2(и,у). Тогда функция Т(и,у) удовлетворяет однородному интегральному уравнению

и

T(u,v)=i !(рг(у - в)Т(г;,в) + р2(у + $)Т(-г;,-$)) (}з. (3.17)

о

Пусть

С = тах \Т(и,у)\,

(щу)еЭа

тогда из уравнения (3.17) следует, что

\Т(щу)\ <4СМ\и\.

Подставляя эту оценку в правую часть уравнения (3.17), мы получим новую оценку

\Т(и,у)\ < С(Ш)2\и\\у\ и так далее. После 2п шагов получим оценку

.Л, . С(Ш)^\иПу\- ^ С(4:М)2пап \ТМ\ < ----------Щ2-------- < (п!)2 ' (ЗЛ8)

Так как правая часть в (3.18) стремится к нулю при п —у оо, то, переходя к пределу, получим, что Т(и,у) = 0, следовательно, Т^щу) = Т2(и,у). □

Пусть 6 — функционально-дифференциальный оператор (3.1), р(х) Е С^[—а,а\. По теореме 2.1 для любого Л Е С существует единственная функция у(х) = (р(х,\) класса С^[—а,а\ по переменной ж, удовлетворяющая условиям:

(6у)(х) = А у(х), (3.19)

2/(0) = 1. (3.20)

Следствие 3.1. Функцию у?(ж, А) можно представить в виде

X

(р(х, А) = егХх + J К(х^)егХг сИ, (3.21)

где К (х, £) — некоторая функция, принадлежащая классу

С([—а, а] х [—а, а]).

Доказательство. Пусть к{х,і) — ядро оператора преобразования X, построенного для операторов 6і = и 62 = 6. Если

х

у(х) =еІХх + ! К(х,і)еш<И,

— х

то очевидно, что функция у(х) удовлетворяет уравнению (3.19) и начальному условию (3.20), поэтому у(х) = ср(х,Х). □

§ 4. Полнота системы собственных функций оператора ^(самосопряженный случай)

Для оператора

6 = —і——\-р(х)сг ах

определим оператор

6* = -і-г +р(—х)(т, ах

где черта обозначает комплексное сопряжение. Обычным образом определяется скалярное произведение функций уі (х), у2 (х) Є 1^2 [—ач о]:

а

(г/1, г/2) := J уі{х)уї(х)<1х.

— а

Для любых функций уі (х), у2 (х) Є С^[—а,а\ с помощью интегрирования по частям проверяется соотношение

(<*2/1 >2/г) = (2/ь £*2/2) -і(уі(а)уї(а) - уі(-а)у^(-а)). (4.1)

В этом параграфе мы рассматриваем случай, когда функция р(х) Є С^[-а , а] удовлетворяет соотношению

р(-х) =р(х), х Є [-а, а], (4.2)

а числа с і и С2 из краевого условия (1.3) такие, что

Без ограничения общности можно считать, что с\ — 1, а с2 = —ы, \а\ = 1. Тогда краевое условие принимает вид

у(-а)=ау(а), \а\ = 1. (4.3)

Если функции у1 (х) и у2(х) удовлетворяют краевому условию (4.3),

а функция р(х) условию (4.2), то из соотношения (4.1) следует, что

(8У1,У2) = (У1,8у2), (4.4)

поэтому этот случай будем называть самосопряженным.

Рассмотрим следующую краевую задачу:

( , 1 = А";, («)

I У {-а) = ау{а),

где функция р{х) удовлетворяет условию (4.2) и \а\ = 1. Если существует ненулевая функция у(х), удовлетворяющая системе (4.5), то естественно число Л назвать собственным значением задачи (4.5), а функцию у(х) собственной функцией, соответствующей собственному значению Л. Обычным образом (рассуждая, как в общей теории самосопряженных операторов; см., например, [8]) доказывается следующее предложение.

Предложение 4.1.

1) Все собственные значения X задачи (4.5) действительные.

2) Собственные функции у\{х) и у2(х), соответствующие различным собственным значениям, ортогональны, т. е. (у\, у2) = 0.

Из теоремы 2.1 вытекает, что существует единственная функция у = (р(х, Л), х Е [—а, а], А е С, такая, что (р(х,\) Е С^[—а,а\ по переменной х и удовлетворяет задаче Коши:

Г 6ср(х,Х) = Хср(х,Х),

{ ¥>(0, А) = 1.

При каждом значении х функция ср(х,Х) является целой функцией параметра Л.

Пусть

с*;(Л) = (р(—а, Л) — а(р(а, Л).

Тогда с*;(Л) — целая функция переменной Л. Очевидно, что с<;(Ао) = О (т. е. Ао являтся нулем функции о;(А) ) тогда и только тогда, когда число Ао является собственным значением задачи (4.5). Следовательно, все нули функции Cl?(А) действительные.

Предложение 4.2. Все нули функции cl?(A) простые.

Доказательство. Предположим, что Ао — кратный нуль функции cl?(А). Тогда с<;(Ао + it) = 0(t2) при t 0. Пусть А = Ао = it,

у(х) = (f(x, Ао + it). Так как 6у = (Ао + it)у, то

(8у, У) ~ {У, 8у) = 2it{y, у). (4.6)

С другой стороны, из соотношения (4.1) следует, что

(6у,у) - (у,6у) = г(\у(-а)\2 - \у(а)\2).

Легко видеть, что

|у(-а)|2 - \у(а)\2 = u)(X)ip(—a, А) + а(р(а, A)w(A) = 0(t2).

Поэтому

(6у,у) - (у,ду) = 0(t2). (4.7)

Соотношения (4.6) и (4.7) противоречат друг другу, следовательно число Ао не может быть кратным корнем. □

Так как число нулей целой функции не более чем счетно, то и множество собственных значений задачи (4.5) не более чем счетно. Пусть Ai, А2,... — все собственные значения задачи (4.5), а уп(х) — собственная функция, соответствующая собственному значению Ап. Основным результатом статьи является следующая теорема.

Теорема 4.1. Множество собственных функций у\ (х), у2 (х),... самосопряженной краевой задачи (4.5) образует полную ортогональную систему в гильбертовом пространстве L2[—ft, ft].

Предварительно докажем несколько вспомогательных утверждений.

Лемма 4.1. Для любой функции f(x) Е L\ [—ft, ft] справедливо равенство

a

lim e-“lImAl f f(x)eiXxdx = 0. (4.8)

I A|—>-00 J

Доказательство. Доказательство проводится по схеме доказательства классической теоремы Римана - Лебега (см., например, [8]).

А) Пусть f(x) Е С^[—а, а]. Интегрируя по частям, получим, что

а а

j f(x)eiXx dx = - f(a)e~iXa + f(-a)eiXa + j f(x)eiXxdx). (4.9)

— a —a

Так как |егАж| < eal ImAl при x E [—a, a], то из равенства (4.9) вытекает,

что

a

J f(x)eiX

’dx

< J_p°lImAl

- |A|6

a

|/(a)| + |/(-a)| + J \f(x)\dx),

откуда следует равенство (4.8).

Б) Пусть f(x) Е Ьх[—а, а]. Так как множество С^[—а, а] всюду плотно в пространстве Ь\[—а, а], то для любого г > о найдется функция д(х) Е С^[—а, а], такая, что

У I f(x) - g(x)\dx < е.

— а

Тогда из пункта А) следует, что

а

J g{x)eiXxdx = е-°11тЛЦА),

— а

где функция (f(X) —>• 0 при |Л| —>• оо. Далее

а а

I f(x)eiXx dx < j(f(x) - g(x))eiXx dx

+

+

a

J g(x)eiXx

dx

(4.10)

Так как число £ сколь угодно мало, а |</?(А)| —> 0, то из неравенства (4.10) вытекает равенство (4.8) □

Лемма 4.2. Для любой функции /(ж) Е Ь\ [—а, а] справедливо равенство

а

Нт е_а|1тА| ( !(х)у{х,Х)<1х = 0. (4.11)

|А|—>оо У

— а

Доказательство. По следствию 3.1 функцию </?(ж, А) можно представить в виде

ж

ф, А) = е*Аж + J ЯХ®, *)еш Л, (4.12)

— х

где К(х,£) — некоторая функция, принадлежащая классу ([—а, а] х

х [—а, а]).

Используя равенство (4.12) мы можем написать, что

а

I $(х)ф,Х)<1х = 11(Х)+12(Х),

где

а

А\х

(д) = у /(ж)«

— а

а ж

(А) = у (У /(ж)*Г(М)еш (й) <*с.

12УЛ) -

— а —ж

Из леммы 4.1 следует, что

е—'а\1тХ\11(\) -> 0 (4.13)

при |А| —>■ оо. В формуле для /2(А), изменяя порядок интегрирования, получим

^2 (А) = [ ( ( /(х)К(х^)егМ (И \ йх.

-а |ж|>|*|

Легко видеть, что функция

^(*) = I /(х)К(х,г)еш<и

\x\y\t\

принадлежит классу Ь\[—а, а], поэтому из леммы 4.1 следует, что

е—'“|1тА|/2(Л) о (4.14)

при |А| —> оо. Окончательно, из соотношений (4.13) и (4.14) вытекает равенство (4.11). □

Пусть 5(г) = {А е С : |А| = г} — окружность радиуса г с центром в точке 0. В дальнейших выкладках (7, С\, (?2,... — положительные постоянные, которые не зависят от переменной А.

Лемма 4.3. Существует постоянная С > 0 и такая последовательность окружностей 5(гп), радиусы гп которых неограниченно возрастают, на которых выполняется неравенство

МА)| > Сеа 11тА1.

Доказательство. По определению

оо(Х) = </?(—а, А) — аср(а, А), \а\ = 1.

Из формулы (4.12) вытекает, что

а

ш(\) = (е_*Аа - ае*Ао) - J [«"(-о, *) + аЛГ(о, *)] еш Л. (4.15)

— а

Обозначим

^(а, £) = К (—а, £) + аК(а, £).

Тогда равенство (4.15) можно переписать в виде

сс?(А) = (А) + с^2 (А), (4.16)

где

о;1(А) = е“*Аа - ае*Аа,

(4.17)

а

ш2(Л) = - J Р(а, £)еш <й. (4.18)

— а

Пусть а = егв, О Е [0, 27г]. Все нули функции ^(А) задаются формулой

\ - 0 71-71 ^

Ап — — ---------, п Е Ъ.

2а а

Пусть Вр(и>) = {А : |А — и>\ < р} — открытый круг радиуса р с центром в точке т. Через Кр обозначим следующее множество

^:=С\(иВДА„)),

п<ЕЪ

где р — любое положительное число, заключеное в пределах

О < р < (тогда замыкания кругов Вр{Ап) не пересекаются).

Докажем, что существует постоянная С\ > О такая, что на множестве Кр выполняется неравенство

МА)| >С,1ев11тА1. (4.19)

Пусть

к+ = Кр П {1тХ > 0}, К~ = КрП {1т\ < 0}.

При 1т А > 0 функцию (А) можно представить в виде

(А) = е~гХаН(Х), где /г(А) = 1 — ае2гХа,

тогда

|^ — гАа | 1т Л ^а|1тЛ|

Функция /г(А) периодическая с периодом Очевидно, что /г(А) —у 1 при 1т А —у +оо и Ь(Х) ф 0 на множестве К~£. Из принципа максимума для регулярной функции на множестве

к+ п {А : 0 < 11еА <

следует, что \Н(Х)\ > С2 на этом множестве, а из периодичности вытекает, что |/г(А) | > С2 для всех А Е К+. Поэтому

ЫА)| > С,2е°11тА1 при А еК+. (4.20)

При 1т Л < 0 функцию ^(А) можно представить в виде сл(Х) = егЛа/г(А), где /г(А) = е~2гХа — а.

Тогда

|^гЛа| ^ — а 1т Л ^а|1тЛ|

Функция /г(А) периодическая с периодом ^ и /г(А) —у —а при 1т А —у

— оо. Из этого, рассуждая как выше, получаем, что \Н(Х)\ > Сз для

Хек- и

|сь»1 (А)| > С3еа11ш А1 при Хек;. (4.21)

Из неравенств (4.20) и (4.21) неравенство вытекает (4.19). Интегрируя по частям в формуле (4.18) получим, что

а

Ш2(Х) = ± (Р(а, а) - Р(а, -а)) РЦа, *)еш <Й. (4.22)

— а

Так как функция ^/(а,£) непрерывна по £, то из леммы 4.1 и из равенства (4.22) следует, что

1^2(А) | < щ + С'5е(Л)е°11тЛ1, (4.23)

где г(А) —У 0 при |А| —у оо.

Из формулы (4.16) и оценок (4.20) и (4.23) вытекает, что

|о;(Л)| > С'е°11тЛ1 (4.24)

при А Е Кр для достаточно больших |А|. В качестве окружностей 5(гп) можно взять любые окружности с центром в точке 0, радиусы которых стремятся к бесконечности и которые целиком содержатся ВО множестве К р. □

Доказательство торемы 4.1.

Ортогональность системы собственных функций {уп(х)} вытекает из предложения 4.1. Для доказательства полноты системы функций {уп(х)} достаточно доказать, что если /(ж) Е ^2[—а, а] и (/,уп) = О для всех п, то /(ж) = 0 почти всюду.

Рассмотрим функцию

а

-Р(А) := J J(x)^p(x,X)dx.

— а

Функция ^(А) является целой функцией и

-Р(А„) = (/,у„) = о,

т. е. точки Ап являются нулями функции ^(А). Так как точки Ап — это нули функции с*;(А) и все эти нули простые, то функция тоже является целой функцией. Покажем, что эта функция тождественно равна нулю. По лемме 4.3 на окружности Б(гп) выполняется неравенство

"(А)

Из леммы 4.2 и принципа максимума для регулярных функций следует, что

ПА)

тах

|А|<гп

ш{Х)

< С76е_а|1тА||*,(А)| ->• О

при п —У оо. По теореме Лиувилля отсюда вытекает, что целая функ-идя равна тождествено нулю.

Используя формулу (4.12) представим функцию ^(А) в виде

где

а х

*л)-/7(*) [«“■ + /*(,.

— а —х

а а

У 7(х)е,л'<гх + / / /(х)К(х, £) с1х

-а -а |£|>|ж|

а

= J д(х)егХх (1х,

— а

д{х)= 7(х)+ ! J(t)K(t,x)dt.

с!х =

еш <и =

N>1*1

Очевидно, что функция д{х) принадлежит классу L\[—а, а]. Так как F(А) = 0, то

Левая часть в формуле (4.25) — это преобразование Фурье функции, совпадающей с функцией д{х) при \х\ < а и равной нулю при \х\ > а. Так как преобразование Фурье тождественно равно нулю, то, в силу теоремы единственности для преобразования Фурье, д(х) = 0 почти всюду

на отрезке [—а, а].

Таким образом, получено, что

Равенство (4.26) представляет собой интегральное уравнение Абеля. Из единственности решения интегрального уравнения Абеля следует, что f(x) = 0 почти всюду на отрезке [—а, а], что и требовалось доказать.

Resume

We prove the completness of the eigenfunctions of some boundary function-differental problems.

Библиографический список

[1] Dunkl Ch. F. Differential-difference operators associated to reflection groups / Ch. F. Duncl // Trans. Amer. Math. Soc. 1989. V. 311, No 1. P. 167-183.

[2] Rosier M. Dunkl operators: theory and applications / M. Rsler // Lect. Notes. Math. 2003. V. 1817. P. 93-135.

[3] Cherednik I. Hankel transform via double Hecke algebra / I.

Cherednik, Y. Markov Y. // Электронный архив математических статей: [Электронный ресурс]: Режим доступа:

http://fromt.math.ucdavis.edu/math.QA/004116.

[4] Титчмарш Э. Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Часть

I / Э. Ч. Титчмарш. М.: Изд-во иностранной литературы, 1960.

а

(4.25)

— а

(4.26)

[5] Левитан Б. М. Операторы Штурма — Лиувилля и Дирака / Б. М. Левитан, И. С. Саргсян. М.: Наука, 1988.

[6] Марченко В. А. Операторы Штурма - Лиувилля и их приложения / В. А. Марченко. Киев, Изд-во Наукова думка, 1977.

[7] Трикоми Ф. Интегральные уравнения / Ф. Трикоми. М.: Изд-во иностранной литературы, 1960.

[8] Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. М.: Наука, 1976.

[9] Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма - Лиувилля / Б. М. Левитан. М.: Наука, 1984.

Петрозаводский государственный университет, математический факультет,

185910, Петрозаводск, пр. Ленина, 33