О влиянии уровня надежности технологической линии на эффективность производственного процесса Текст научной статьи по специальности «Математика»

Посилання на статтю_

Ширяева Л.В. О влиянии уровня надежности технологической линии на эффективность производственного процесса / Л.В. Ширяева // Управлшня проектами та розвиток виробництва: Зб.наук.пр. - Луганськ: вид-во СНУ iм. В.Даля, 2006. - № 3(19). - С.138-147.___

УДК 519.159:621.3

Л.В. Ширяева

О ВЛИЯНИИ УРОВНЯ НАДЕЖНОСТИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ЛИНИИ НА ЭФФЕКТИВНОСТЬ ПРОИЗВОДСТВЕННОГО ПРОЦЕССА

Приведена стохастическая модель системы «технологическая линия - склад готовой продукции», в которой учитывается ограниченная надежность звеньев технологической линии. Учитывается процесс износа оборудования, составляющего звенья линии. Анализируется влияние простоя линии на рыночные потери предприятия. В ходе исследования использован аппарат марковских процессов со сносом. Ист. 16.

Ключевые слова: стохастическая модель, технологическая линия, надежность производственного оборудования, износ, рыночные потери.

Л.В. Ширяева

О ВПЛИВ1 Р1ВНЯ НАД1ЙНОСТ1 ТЕХНОЛОПЧНО1 Л1Н11 НА ЕФЕКТИВН1СТЬ ВИРОБНИЧОГО ПРОЦЕСУ

Надано стохастичну модель системи „технолопчна лУя - склад готово!' продукцп", в ягай облiчуeться обмежена надмнють ланок технолопчно''' лшп. В ходi дослщження використано апарат Марковських процеав 3i зносом. Дж. 16.

L.V. Shiryaeva

ABOUT INFLUENCE OF THE TECHNOLOGICAL LINE RELIABILITY LEVEL ON THE PRODUCTION PROCESS EFFICIENCY

The stochastic model of system «a technological line - warehouse of ready production» accounting limited reliability of technological line is given. The Markov's device of processes is used.

Рассмотрение проблемы и анализ последних исследований. Как

известно, в современной теории управления предприятием проблемы организации и контроля надежности производственного оборудования, нахождения оптимальной стратегии его замены имеют первостепенное значение. Методы решения этой проблемы разрабатываются в соответствующем разделе исследования операций.

Однако большинство исследований в этой области рассматривают парки оборудования вне прямой связи их с производственным процессом, поведением рынка, маркетинговой стратегией предприятия.

"Управлшня проектами та розвиток виробництва", 2006, № 3(19)

1

Поскольку характерной чертой современной теории производства является системный подход, то проблему оптимального управления воспроизводством оборудования следует решать с учетом указанных факторов. Для этого следует использовать методологию моделирования производственных процессов, созданную в трудах Г.П. Башарина [1], Н.П. Бусленко [2, 3], В.В. Калашникова [2], Н.И. Коваленко [2, 4], Л. Костена [5], Ю.И. Рыжикова [б], Д. Митры [7], А.А. Первозванского [8], М.Я. Постана [9, 10], Н. Праху [11], Н.В Румянцева [12], Б.А. Севастьянова [13] и др. ученых.

В ранних исследованиях автора [14, 15] изучался процесс воспроизводства парка производственного оборудования вне зависимости от результата деятельности предприятия на рынке. С этой целью применялся традиционный аппарат математической теории надежности - цепи Маркова и случайные блуждания на неотрицательной полуоси. Однако для более полного описания производственных и логистических операций целесообразно использовать более широкий класс процессов - так называемых марковских и полумарковских процессов со сносом [10]. Этот класс марковских процессов обладает большой гибкостью, позволяющей моделировать широкий диапазон социально-экономических и технических систем.

Цель работы. Данная работа посвящена разработке и анализу стохастической модели технологической линии без промежуточных накопителей между звеньями, производящей однородную продукцию, в которой звенья подвергаются внезапным отказам и восстановлению, с целью исследования влияния ограниченной надежности оборудования на эффективность производственного процесса.

Изложение основных результатов исследования. Построение общей математической модели. Рассмотрим технологическую линию, состоящую из N последовательно соединенных единиц разнотипного оборудования (станков, конвейеров и т. п.), которые будем условно называть звеньями линии, причем между звеньями отсутствуют промежуточные накопители для хранения полуфабрикатов. Звенья могут отказывать и восстанавливаться ограниченное число раз. Будем считать, что звено с номером к принимается к восстановлению единственным ремонтным органом, если оно отказало не более Як раз. В момент наступления (Як +1)-го отказа к -ое звено немедленно

заменяется идентичным новым и не подлежит восстановлению. Времена безотказной работы всех звеньев предполагаются взаимно независимыми случайными величинами, распределенными по показательному закону, причем

среднее время безотказной работы к -го звена при условии, что оно уже

отказало Гк раз, равно 1/Л(к;Гк).

Время восстановления к -го звена - показательно распределенная случайная величина со средним 1/ /л(к; Гк) (при условии, что оно отказало уже

Гк раз), Гк = 0,1,...,Як ; к = 1,2,...,N.

Все звенья технологической линии будем считать стареющими, т. е. примем, что выполняются условия:

Л(к;0) < Л(к;1) < — <Я(к; Як ), и(к;1)<и(к;2)< - <и(к;Як), к = 1,2,...,N.

2

"Управлшня проектами та розвиток виробництва", 2006, № 3(19)

Производительность любого звена и, следовательно, всей линии равна W(rj,r^,...,) при условии, что первое звено отказало rj раз, второе - Г2 раз,

...,N-е - rN раз. С интенсивностью W(rj,r^,...,rN) продукция из последнего звена линии поступает на склад готовой продукции, откуда она вывозится (потребляется, реализуется) с интенсивностью U, причем естественно считать, что

и < W(rl, r2,..., rN )

для всех r1,r2,...,rN.

Таким образом, предполагается, что спрос на продукцию постоянен. Для построения математической модели системы «технологическая линия -склад готовой продукции» воспользуемся аппаратом марковских процессов со сносом [7, 9, 10]. Состояние данной системы в любой момент времени описывается случайным вектором

a(t) = У( ); а1(t \..,aN (t Ш)).

где

y(t) = 0 , если линия работоспособна в момент t;

y(t) = к, если в момент t вышло из строя и восстанавливается к -ое звено; аk (t) - число отказов к -го звена, наступивших к моменту t;

) - содержимое склада в момент t. Ясно, что, если у() = к Ф 0, то

ак (t )> 0.

Введем следующие условные обозначения:

q(k; ij,..., in ;x d =

= lim P{у(t) = к;а1 (t) = i1,...,aN(t) = iN;x <%(t)< x + dx}, t

i к = 0,1,..., N;

p (к;iN) =

= lim P{y(t) = к,aj(t) = ij,...,aN(t) = iNШ) = 0},

1к * 0, к = 1,2,...,N. Для нахождения этого предельного (стационарного) распределения марковского процесса а() можно вывести следующую систему дифференциальных уравнений и граничных условий (см. [9, 10]):

V (0,...,0)-^?(0;0,...,0; х) = -А (0,...,0)д (0;0,...,0; х )+

ах

+ Л(1; )д(0; ^,0,...,0; х)+ - + Д(N; RN ^(0;0,0,...,0, RN; х), (1)

х > 0,

"Управлшня проектами та розвиток виробництва", 2006, № 3(19)

3

V ,.., iN )-^ч(0; ¿1,.., iN;х) = -л(/1,..., iN )?(0; /1,..., iN;х)+

ах

N

+ 2и('п Ми; ¿и Мп; А— ^;х)+

га=1 (2)

N

+ 2(1 - и(/п Мп; ^ М0; il,..., ¿и -ь ^, ¿и+l,..., iN;х),

и=1

¿п = 0Д,...,Яп; п = 1,2,...,N; х > 0;

- ¿1,..., iN; х) = -Мп;'п )я(п;1Ъ..., iN; х)+

ах

+ Л(п;/п -1М°il,...,/п-l,^ -1,/п+ъ...''#;x), (3)

'п = 1,2, ....Яп; п = 1,2, ..., N; х > 0,

N

V (il,..., iN iN ;0)=2 и('п Мп; /п Ф "(п; il,..., iN),

п =1

/п = 0,1,..., Я; п = 1,2,..., N;,

и^(п;iN;0)=Дп;'п^ (п;il,...,iN),

где

^ ;0У =^п; 'п

/п = 1,2,..., Яп, п = 1,2,..., N,

N

л^..^ iN )=2д(к; 'к);

к=1

V(1,...,iN) = Г(1,...,iN - и); и(к) = 1, если к > 0 ; и(0) = 0 .

Условие формировки будет иметь вид:

N Яг ЯN Яг ЯN да

22- 2и('п^"(п;'Ь..^)+2- 2 {^(0;'ь-^;х)ах

п =1 '1 =0 iN =0 '1 = 0 г^ = 0 0

N Я! ЯN да

+ 22 - 2 и('п )| Ф; /1,.../^;х)ах =1.

п=1г1 = 0 iN = 0 0

(4)

(5)

(6)

Решение граничной задачи (1)-(6) позволит рассчитать основные показатели эффективности работы системы «технологическая линия - склад» в установившемся режиме ее работы, в частности: 1) стационарный коэффициент готовности линии

Я1 ЯN да

кг = 2 .. 2 1'ь^;х)ах;

'1 =0 /ы =0 0

4

"Управлшня проектами та розвиток виробництва", 2006, № 3(19)

2) интенсивность потока замен оборудования в каждом звене

К ^ ю

¿Зам = л(п; Кп )Е... Е 1 ?(0; il,..., 'п -l, Кп, 'п+l,.., ь;х)ах,

¡! =0 iN =0 0

п = 1,2,..., N;

3) вероятность простоя линии вследствие восстановления одного из звеньев

п Кх Кп RN ( ю ^

рпр - Е— Е — Е р (п;'ь^iN)+|^(п;'ь^iN;х)ах ,

=0 /„ =0 г^ =0 v 0

п = 1,2,..., N;

4) вероятность опустошения склада из-за остановки линии

N Кх К

N

= Е Е— Ер (п;il,...,iN)и(/п).

п =1 /'х =0 iN =0

Если первые два показателя характеризуют уровень технической эксплуатации линии, то третий и четвертый могут быть отнесены к категории производственных, поскольку характеризуют рыночные потери предприятия из-за недостаточно высокого уровня надежности оборудования.

В общем случае решение уравнений (1)-(6) - весьма сложная математическая задача. В ряде частных случаев ее решение можно найти достаточно легко. Рассмотрим некоторые из них.

Технологическая линия состоит из одного звена. При N = 1 из (1)-(6) вытекает такая граничная задача:

V(0)ад(0;0; х)=-А(1;0)д(0;0; х)+Д(1; К), х > 0, (7)

ах

V(')"а#(0;г';х)=-Л(1;1^(0;/;х)+^(1;/)д(1;/';х), х > 0, (8)

ах

- и(0)ад(1; х; х)=-Д1; ')д(1; /'; х)+Л(1; /' -1^(0;/ -1; х),

ах (9)

г = 1,2,...,К; х > 0, д(0;0;0) = 0,

У(г^(0;';0) = М(1;г)р"(1;/), / = 1,2,...,К ; (10)

ид(1;/;0) = ^(1;/)р-(1;/'), / = 1,2,...,К ; (11)

К К ю

Е Р-(1; / )+Е|(^(0; /'; х)+и(/ )д(1; /'; х))0х = 1. (12)

г=1 г=00

"Управлшня проектами та розвиток виробництва", 2006, № 3(19)

5

Для решения этой задачи воспользуемся методом преобразования Лапласа. Применяя это преобразование к уравнениям (7)-(9), получим (с учетом (10)):

[V (0)^ + Я(1;0)]д* (0;0; з ) = Я(1; Я)д* (0; Я; з ), (13)

и> + Я(1;/)]?* (0;/; з) = Д1;'У (0;/; з) + V(i)q(0;i;0), (14)

/ = 1,2,...,Я ;

[- Ы + Д1; ')]?* (1;'; з) = Я(1;' -1 )д* (0;' -1; з) - Ыд(1; /;0), (15)

' = 1,2,...,Я ; Яез > 0,

где

да

ц (0;з) = |ц(0;х)е"зх0х , ' = 0,1,...,Я ;

0 да

ц (1;з) = |ц(1;х)е-зх0х , ' = 1,2,,...,Я.

0

Из системы (15) с учетом условий (11) следует, что

.( з) = Я(1;' -1У (° ' -1;_ ^(1.Ор-(1;'), ' = 1>2>> ..>Я.

Подстановка этого равенства в правую часть (14) с учетом (10) приводит к следующему рекуррентному соотношению для нахождения ц (0; '; з):

а* (Гг л=П_ЛА(1;-1 - ])_•

4 (1;( Г0> + 4;./)1-из + ^(1;;)]'

; =1

а* (0;0; '>22 (Л ^ 1* р "(1; 4

/ = 1,2,,..., Я.

В частности, при ' = Я из этого соотношения получим уравнение, связывающее ц (0; Я; з) с ц (0;0; з). Вместе с уравнением (13) оно позволит

выразить все функции ц (0;/'; з) через постоянные р (1;/), ' = 1,2,...,Я . Последние определяются путем нахождения нулей определителя полученной системы уравнений для нахождения ц*(0;0; з и ц*(0; Я; з , условия аналитичности этих функций, а также из условия формировки (12).

Звенья технологической линии не изнашиваются и служат неограниченно долго. В этом частном случае основная модель (1)-(6) может быть значительно упрощена. Формально в ней следует считать, что Яп = да, 6 "Управлшня проектами та розвиток виробництва", 2006, № 3(19)

можно вместо

К(п;'п) = Лп, м(п;'п) = Мп , ^('1,...,'п) = W , / = 1,2,...,N. Теперь марковского процесса ограничиться рассмотрением более простого

процесса Введем новые обозначения:

(х)Ох = Нш = к,х <£(*)<х + Ох}, к = 0,1,...,N, х >0, р- = Нш Р{]/(г) = п, = 0}, п = 1,2,...,N.

/ ^да

Для определения дк(х), рп справедлива следующая граничная задача:

О

N

Vdдo(х)=-лц0(х) + 2^к(х),

ах к=1

- иdдn(х)=-тп(х)+К ц0(х), ах

N

х > 0, п = 1,2,..., N,

^0(0) =2^пРп ,

п =1

Щп (0)=

N (

2 р-+| цп(х)Ох +| ц0(х)Ох=1,

п \0/ = ^пРп , п = 1,2,. . ., N,

N ( да Л да

г +J ^ (х Ох =

) 0

п =1^ 0

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

где

V = W - и;

N

л = 2К.

п=1

Решение задачи (16)-(20) находится в терминах преобразования Лапласа. В этих терминах уравнения (16), (17) с учетом условий (18), (19) примут вид:

N

N

(п+л)ц0(з)=2^1(з) + 2^пРп,

к=1 п =1

* / \ . *.

где

(-и + ^пЬп(О = 4^0(О-МпРп , п = 1,2,...,N,

Оп (з) =|е , Яе 5 > 0.

(21) (22)

Складывая уравнения (21)(22), получим равенство

да

0

"Управлшня проектами та розвиток виробництва", 2006, № 3(19)

7

N

VI * («)=и Е д* («),

п=1

с учетом которого перепишем уравнение (22):

— UN

(- ид (^-п- Е д** (^)-^пРп, п=1,2,..., N.

у к=1

(24)

Отсюда следует, что

N

Е д* )=

к=1

N ^Рк

к=1 ^к- и

и N Ак

N

Е

Vе л - и

N

- 1

дп )=

ИкРк

Аи к=1лк- и

Е

V (л - и«)

и N Ак

N

Е

V лк - и«

-1

ЛпРп Лп - и« :

п = 1,2,..., N.

(25)

Для нахождения неизвестных постоянных рп, п = 1,2,...,N следует

воспользоваться условием совпадения нулей числителя и знаменателя в дроби в правой части формулы (25). Можно показать, что уравнение

N

=1

vЕлk - и

и^ Ак

имеет ровно N-1 корней, лежащих в полуплоскости Яе«> 0, если выполняется следующее условие:

N ^

V < иЕ— . (26)

п =1 Лп

Неравенство (26) является условием эргодичности марковского процесса ),<^)). Его выполнение гарантирует, что с течением времени количество продукции на складе не будет неограниченно возрастать.

Обозначим указанные корни через Sj , j = 1,2,...,N-1. Тогда в силу

аналитичности функций дп ) из (25) получим следующую систему уравнений:

8

"Управлшня проектами та розвиток виробництва", 2006, № 3(19)

N

л M"p" = 0, j = 1,2,...,N-1.

z

(27)

n=

Еще одно уравнение получаем из условия формировки с учетом соотношений (23), (25) при 5 ^ 0:

Решая систему N линейных уравнений (27), (28) найдем выражения для

Отметим, что формула (28) дает выражение для стационарной вероятности опустошения склада вследствие неисправности линии, т. е. вероятности того, что предприятие несет рыночные потери.

В результате исследования моделей вида (10-(6) можно сформировать ряд оптимизационных задач, касающихся определения оптимальных сроков службы оборудования (т. е. значений Ri, R2,.., Rn ) или стратегий его замены. Решение

такого рода задач будет возможно не только по обычному критерию минимум средних текущих затрат, связанных с приобретением нового оборудования и его обслуживанием (ремонтом) [16], но также и по критерию максимум средней текущей прибыли от реализации готовой продукции.

Направление дальнейших исследований. Полученные выше результаты могут быть обобщены в следующих направлениях, связанных с:

1) рассмотрением возможности хранения полуфабрикатов в промежуточных накопителях между звеньями технологической линии;

2) отказом от показательных законов распределения времени безотказной работы звеньев линии и времени их восстановления;

3) предположением о случайном характере рыночного спроса на готовую продукцию.

ЛИТЕРАТУРА

1. Башарин Г. П. К теории производительности ненадежных двух участковых автоматических линий с гибкой связью // В кн.: Теория массового обслуживания. Тр. Третьей Всесоюзной школы-совещания по теории массового обслуживания. - Т. 2. -М.: Изд. МГУ, 1976. - С. 8-20.

2. Бусленко Н. П., Калашников В. В., Коваленко И. Н. Лекции по теории сложных систем.

- М.: Сов. радио, 1973. - 438 с.

3. Бусленко Н. П. Моделирование сложных систем. 2-е изд. переработ. - М.: Наука, 1978. - 400 с.

4. Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н. Введение в теорию массового обслуживания. - М.: Наука, 1987. - 336 с.

5. Kosten L. Stochastic Theory of Multi-Entry Buffer (1) // Delft Progress Report. - 1974. V. 1.

- P. 10-18.

6. Рыжиков Теория очередей и управление запасами. - СПб.: Питер, 2001. - 384 с.

7. Mitra D. Stochastic Theory of a Fluid Model of Producers and Customers Coupled by a Buffer // Adv. Appl. Prob. - 1988. - V. 20, № 30. - P. 646-676.

(28)

p- , n = 1,2,...,N.

"Управлшня проектами та розвиток виробництва", 2006, № 3(19)

9

8. Первозванский А. А. Математические модели в управлении производством. - М.: Наука, 1975. - 520 с.

9. Постан М. Я. Об одном классе смешанных марковских процессов и их применение в теории телетрафика // Пробл. перед. информации. - 1992. - Т. 28. Вып. 3. - С. 40-53.

10. Постан М. Я. Экономико-математические модели смешанных перевозок. - Одесса: Астропринт, 2006. - 376 с.

11. Prabhu N. U. Stochastic Storage Processes. Queues, Insurance Risk, Dams, and Data Communication. 2nd Ed. Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin, 1998. - 206 р.

12. Румянцев Н. В. Моделирование гибких производственно-логистических систем. -Донецк: Изд-во «Юго-Восток», 2004. - 235 с.

13. Севастьянов Б. А. Задача о влиянии емкости бункеров на среднее время простоя автоматических линий станков // Теория вероятностей и ее применения. - 1962. - Т. 7, № 4. - С. 438-446.

14. Ширяева Л. В. Моделирование воспроизводства парка технологически связанного оборудования // Управлшня проектами та розвиток виробництва. - 2003. - Вип. 2(7). -С. 102-112.

15. Ширяева Л. В. Об одном классе стохастических моделей воспроизводства парка разнородного оборудования // Економiчна габернетика: Зб. наук. праць. - Донецьк: ДНУ, 2003. - № 3-4 (21-22). - С. 59-65.

16. Акоф Р., Сасиени М. Основы исследования операций. - М.: Мир, 1971. - 533 с

Стаття надмшла до редакцп 07.08.2006 р.

10

"Управлшня проектами та розвиток виробництва", 2006, № 3(19)