Моделирование воспроизводства парка технологического оборудования Текст научной статьи по специальности «Математика»

Посилання на статтю_

Ширяева Л.В. Моделирование воспроизводства парка технологического оборудования / Л.В. Ширяева // Управлшня проектами та розвиток виробництва: Зб.наук.пр. - Луганськ: вид-во СНУ iM. В.Даля, 2003. - № 3(7).- C.102-112._

УДК 519.159:621.3

Л.В. Ширяева

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОСПРОИЗВОДСТВА ПАРКА ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ОБОРУДОВАНИЯ

Рассматривается обобщение классического подхода к расчету показателей надежности структурно связанных ненадежных элементов на случай учета старения восстанавливаемых элементов. При этом возраст элемента определяется числом его прошлых восстановлений. Анализируются две основные схемы: системы с обновляемым элементом (когда после некоторого числа отказов или восстановлений элемент заменяется новым) и системы без обновления. В основе исследования лежит аппарат процессов Маркова с конечным множеством состояний. Рис. 2, ист. 7.

Л.В. Ширяева

МОДЕЛЮВАННЯ В1ДТВОРЕННЯ ПАРКУ ТЕХНОЛОГ1ЧНО ЗВ'ЯЗАНОГО ОБЛАДНЕННЯ

Розглядаеться узагальнення класичного пщходу до розрахунку показниюв надмност структурно зв'язаних ненадмних елеменпв до випадку урахування старЫня вщновлюваних елеменпв. При цьому вк елемента визначаеться числом його минулих вщмовлень. Аналiзуються двi основы схеми: система з обновлюваним елементом (коли пюля деякого числа вщмов або вщновлювань елемент замЫюеться новим) та система без обновлення. У основi дослщження лежить апарат процеав Маркова з юнцевою множиною стаыв. Рис. 2, дж. 7.

L.V. Shiryaeva

MODELLING THE REPRODUCTION OF PROCESSING EQUIPMENT BASE

The generalized classical approach to calculate the reliability indices of technologically coupled unreliable elements (e.g. equipment base) is studied with account of renewable units deterioration. The age of an element is accounted by number of its repairs. Two basic schemes are being analyzed: systems with elements subjected to repair and without renewal of elements after system's failure. The analysis is based on the theory of Markov processes with finite set of states.

Рассмотрение проблемы и анализ последних исследований. Многие производства представляют собой систему взаимодействующих между собой машин и станков разных типов, выполняющих различные технологические операции. Эффективность производственного процесса во многом определяется уровнем использования оборудования, его загруженностью во времени, а также эксплуатационной надежностью. Существующие в современной математической теории надежности методы оценки надежности технических систем с учетом различного вида резервирования в достаточной мере не учитывают процессы старения и износа элементов. Так, формальное использование функций распределения длительностей безотказной работы с монотонно возрастающей со временем опасностью отказа [1], не достаточно полно учитывает "Управлшня проектами та розвиток виробництва", 2003, № 3(7) 1

предысторию жизненного цикла работающего устройства. В реальной эксплуатационной практике вероятность отказа устройства зависит от числа предыдущих отказов, длительностей их устранения, режимов эксплуатации в прошлом и т.д.

Классические схемы расчета показателей надежности основаны на допущении, что восстанавливаемый элемент обладает точно такими же статистическими характеристиками (наработка на отказ, вероятность отказа, интенсивности потока отказов и восстановлений), какими он обладал до момента отказа [2], т.е. не учитывается эффект старения элемента. Однако в производственной практике происходит старение эксплуатируемого оборудования, причем темпы старения зависят от степени его использования и от числа и причин предыдущих отказов. Процессы старения и износа оборудования необходимо учитывать не только для разработки более точных методов оценки надежности, но и для повышения эффективности управления процессом воспроизводства парков оборудования.

Цель работы. В данной работе рассматривается один подход, позволяющий естественным образом обобщить и развить классические методы исследования структурных схем надежности на случай процессов износа элементов. Этот подход ранее нами широко применялся для анализа процессов пополнения и выбытия в парке машин без учета их технологического взаимодействия друг с другом [3-5].

Изложение основных результатов исследования. Представим парк оборудования, подверженного внезапным отказам, в виде некоторой структурной схемы с ненадежными восстанавливаемыми элементами. Будем считать, что процесс последовательных отказов и восстановлений каждого элемента структурной схемы, независимо от других элементов, описывается некоторым марковским альтернирующим процессом восстановления [6] с параметрами, зависящими от числа наступивших ранее внезапных отказов (или завершенных восстановлений). При этом предполагается, что каждый элемент может восстанавливаться только ограниченное число раз.

Состояние произвольного элемента в любой момент времени будем

описывать случайным вектором (у(? \п(?)), где ) - состояние работоспособности элемента в момент времени t (0, если он исправен; 1, если он восстанавливается); п(?) - число восстановлений, происходящих в

интервале (0,?). Обозначим через ^Х среднее время безотказной работы

элемента при условии, что он прошел уже г восстановлений (ремонтов), а через - среднее время его восстановления после (г + 1)-го отказа. Будем

Ц г

считать, что выполняются неравенства:

X о < <... < X < X к ,

(1)

Ц о ^Ц1 ^ . ^Ц К-2 ^Ц К-1 , где К - максимально возможное число восстановлений. Условия (1) выражают естественное требование ухудшения статистических характеристик безотказности и ремонтопригодности элемента с ростом его «возраста», измеряемого числом прошедших восстановлений.

2

"Управлшня проектами та розвиток виробництва", 2003, № 3(7)

Далее мы рассмотрим два варианта описаний системы с ненадежным восстанавливаемым элементом. Первый вариант описывает ситуацию, в

которой после {r + 1)-го отказа элемент с вероятностью Юг, 0 < Юг < 1 начинает немедленно восстанавливаться с интенсивностью цr, а с дополнительной вероятностью 1 — Wr он заменяется на новый с идентичными

параметрами средней наработки на отказ {а^1 , А1 , ...,A_R) и среднего

времени восстановления {ц—1 ,ц— 1 , ...,ц R—1 ). Такую систему будем называть

системой с обновляемым элементом.

Второй вариант относится к случаю, когда элемент после отказа, не подлежащего ремонту, не заменяется новым и функционирование системы

прерывается. Более точно, вся система отказывает с вероятностью 1 — Юг после наступления {r +1 j-го отказа и отказывает достоверно в момент сразу

после наступления R -го отказа. В такой системе обновление элемента не происходит.

Система с обновляемым элементом. Будем считать, что времена

безотказной работы элемента и времена его восстановления при условии

n{t) = r - независимые между собой случайные величины, распределенные по

показательным законам распределения с параметрами А r и цr,

соответственно. Поэтому случайный процесс (v{t), n{t)) будет однородным марковским с фазовым пространством состояний

Q = {{i,r): i = 0,1; r = 0,1,.,R; 0 < i + r < R}.

Обозна чим

Pir {t) = P{v{t)= i, n{t) = r} {i,r)e Q.

В этом случае введенные вероятности состояний марковского процесса удовлетворяют следующей системе прямых дифференциальных уравнений Колмогорова:

R—1

P00 {t) = — А0P00 {t) + АRP0R {t) + S{1 — ®r )Аr P0r {t) ,

r=0

P0 r {t )=— А rP0r {t ) + Ц r —1P1,r—1{t) , r = 1»2».,R, (2) pir {t) = —цrP1r {t) + Аr®rP0r {t) , r = 0,1,2,.,R — 1.

На рис.1 приведен граф состояний и переходов для данной системы уравнений.

Систему (2) можно решать при таких начальных условиях

P00{0)= 1, Pir {0) = 0, {i,r)еО\ {0,0). (3)

"Управлшня проектами та розвиток виробництва", 2003, № 3(7)

3

Решение задачи Коши (2), (3) может быть осуществлено, например, методом преобразования Лапласа.

Поскольку анализируемый марковский процесс может находиться в одном из состояний конечного множества О и все состояния его - сообщающиеся (см. рис. 1), то существует предельное распределение вероятностей состояний, не зависящее от начального распределения [7]:

Из (2) при ? —вытекает система линейных алгебраических уравнений

?—да

Xг р0г + цг-1 р1г-1 = 0 , г = 1,2,... ,Я, (4)

-цгр1г + Xгюгр0г = 0 , г = 0,1,2,.,Я -1,

к которой должно быть присоединено условие нормировки

я я-1

(5)

г=0

г=0

4

"Управлшня проектами та розвиток виробництва", 2003, № 3(7)

Xo(l-coo)

Решение системы (4), (5) легко находится и имеет вид:

X г-1

Р0г =7°ПюкР00 - г =я> X г к=0

X

Р1г = —-®гР0г , г = 0,1,.,Я -1, Ц г

Р00

я

г-1

1+ X 0 Е

11

+

г=14 X г Ц г-1 У к=0

П®к

-1

Располагая решением (6), можно вычислить ряд показателей надежности и эффективности работы системы, а именно: 1. Стационарный коэффициент готовности

я

К Г = Е Р0г

г =0

Я 1 г -1

1+X 0 Ет- П®к

г=1X г к=0

Р00;

2. Интенсивности потока отказов (Xoтк ) и восстановлений элемента (ц в )

Я

X ОТК = ЕX гР0г = X 0 г=0

Я г-1

1 + ЕП®к

г=1к =0

Р00;

Я-1 Я-1 г

цв = ЕЦгР1г = X0 Е ПюкР00;

г=0 г=0к=0

3. Интенсивность потока отказов системы, т.е. интенсивность потока замен старых элементов новыми

Я-1

XОТК = Е(1 -юг )xгР0г +XЯР0Я =

г=0

= Xr

Я-1 г-1 Я-1

1 -®0 + Е(1 -®г )П®к + П®к

г=1 к=0 к=0

Р00 ;

4. Средняя производительность элемента

6

"Управлiння проектами та розвиток виробництва", 2003, № 3(7)

_ R

П = ^П rPOr r=0

R n r -1

iо Пщ

r=1 k r к=0

P00 ■

где ПГ - производительность элемента при условии, что он восстанавливался

Г раз, причем По ^ П > • • • > П^ .

Представляет также интерес распределение длительности срока службы элемента (в). По формуле полной вероятности находим

Р{в< г}=(1 -ш0 )( - е)+

+1-1(1 - ®Г )1>к (1 - е )* (1 - е )* • -

Г=1 к=0

*(l - е r )*(l - е r-lt)+

+ П®Г (1 - е0' )* (1 - е0' )* • * (1 - е^ Ц - е*) ,

г=0

где * - символ свертки функций распределения.

Переходя в последней формуле к преобразованию Лапласа-Стилтьеса, полу чим

да

Jе~stdP{e< t} =

= А 0 (l-щ0 ) , ^ r (l -щг ) J-J1 А к Ц к щк + (7)

А 0 + s r=1 А r + s к=0 к + s Х^ к + s)

+ ^ А r щ f Res > 0

А R + s к=0 r + s X^ r + s )

Система без обновления отказавшего элемента. Для изучения поведения процесса (v(t),n(t)) в этом случае необходимо к пространству состоянии Q добавить еще одно состояние, которое будет поглощающим. Обозначим его (R +l). Граф состоянии и переходов для такоИ системы, приведен на рис. 2. С помощью этого графа выводится система

0

"Управлшня проектами та розвиток виробництва", 2003, № 3(7)

7

дифференциальных уравнений относительно вероятностей p¿r {t), {i, r)g Q,

PR+1{t):

Poo{t )=-x 0 POO {t) ,

P0r {t) = -XrPOr {t) + Цr-1 Pl,r-1{t) , r = 1,2 • • • ,R,

p'ir {t)=-ЦrP1r {t) + Xr®rP0r {t) , r = 0,1,2,... ,R - 1, (8)

R-1

Pr+1 {t) = Z Xr {1 - ® r )POr {t) + XRPoR {t) •

r=0

В качестве начального распределения вероятностей возьмем:

Poo {0)= 1 Pir {0)= 0, {i, r) G Q, Pr+1 {o)= 0. (9)

Наибольший интерес здесь представляет нахождение вероятности отказа системы, т.е. Pr+1 {t). Как видно из системы уравнений (8), для этого

необходимо вначале найти вероятности Pir {t) путем интегрирования всех

уравнений, кроме последнего, при начальных условиях (9). Применение преобразова ния Лапласа к (8) с учетом (9) приводит к следующей системе алгебраических уравнений относительно изображений:

{х o + s )Poo {s )= 1

{X r + s Kr {s )=^ r-1 P\,r-1{s) r = 1,2,~-,R

í \ * í \ * i \ (10) {цr + s)P*r {s)= Xr®rPor {s), r = 0,1,. ,R -1,

* R-1 * *

sPR+1{s) = Z Xr {1 - ®r )P0r {s) + XRPor {s) ,

где

r=0

да да

pi fa) = j e ~StPir (t pR+1 (s) = j e ~StPR+l (t )dt ■ 0 0 (i,r)eQ, Res > 0.

Решение системы (10) имеет вид

8

"Управлшня проектами та розвиток виробництва", 2003, № 3(7)

CD

Р*0 (5

А 0 + 5

Р0г (^)= Пл ^ ^ ^ ^ , Р00 {*) Г = 1,2,..., Л, к=0 (А к+1 + 5 )(Д к + 5)

А г ш г

Д г + 5'

Р*^-^)^), г = 0,1,...,Л —1, (11)

5РЯ+1 (5) = г (1 - ШГ ) П^ЩЩ* +

А 0 + 5 г = 0 к=0 (А к+1 + 5)(Д к + 5)

| А Л А кД к шк

А 0 + 5к=0 (А к+1 + 5 )(Д к + 5)

Отметим, вероятность того, что элемент (т.е. система) безотказно проработает в интервале (0Д) равна 1 — Рл+1 (^). Преобразование Лапласа-

Стилтьеса этого выражения есть 1 — 5рл+1 (5). Используя формулу (11), мы

можем определять моменты распределения времени безотказной работы системы. Например, средняя длительность этого времени равна

Л—1 г—1

— Т(1 — 5Р*л+1(5))= X'(1 — шг )П'шк +

Л—1 г—1 Г 1 1 V—1 Л—1

+ Х(1— шт—+—Пш + Пшк

г=0 к=0 к+1 Д к )=0 к=0

1 Л—1Т 1 11

— + X -+ —

А 0 г=04 А г+1 Д г )

Обратимся теперь вновь к системе технологически связанных N подсистем, т.е. элементов, каждый из которых характеризуется своим набором

параметров надежности , ^г ), ®гП), Л(п), п = 1,2,...,N. Одним из

основных показателей надежности такой системы является вероятность ее безотказной работы в заданном интервале времени. Эта вероятность существенно зависит от структурной схемы соединения элементов. Рассмотрим две наиболее простые структуры: параллельное и последовательное соединения.

Параллельное соединение. При такой структуре каждый элемент работает независимо от других элементов и система сохраняет работоспособное состояние до тех пор, пока работает хотя бы одна подсистема. В этом случае, например, стационарная вероятность работоспособности подсистемы с обновляемыми элементами определяется выражением

1 — (1 — К(1)). (1 — Кг

где _

10 "Управлшня проектами та розвиток виробництва", 2003, № 3(7)

к(п) =

А г =

1+ТП 'Ет^гП^к

,(п)

( \Яп 1 \(п)

г ' к=0

Ро0,

а вероятность Р^ определена равенством (6).

(п)

Для подсистемы без обновления элементов обозначим через тч ' время безотказной работы п -й подсистемы. Тогда время безотказной работы системы

есть х = тах(т(1),... ,Т(^)) и его распределение равно

Р{х< ^ = р{х(1)< 4„р{с(^)< t},

где р{х(п) < ^ определяется своим преобразованием Лапласа (11).

Последовательное соединение. Для подсистемы с обновляемыми элементами стационарная вероятность безотказной работы есть произведение

К (1)х... X К р),

поскольку система работоспособна тогда и только тогда, когда исправны все ее подсистемы.

Если каждая подсистема представляет собой систему без обновления элемента, то время безотказной работы системы

!/п(х(1),...,'

х = тт\хх причем

Р{х< t}= 1 -(1 -Р{х(1)< t})...(1 -р{х(*)< t}).

Вычисление показателей надежности для более сложных структурных схем со стареющими элементами может быть также выполнено при помощи полученных выше результатов.

Направление дальнейших исследований. Дальнейшее обобщение результатов данной работы может лежать в направлении учета возможного резервирования элементов подсистем и оптимизации числа резервных элементов по различным экономическим критериям. Подобного рода теоретические исследования позволят создать методическую базу для оптимального управления процессом воспроизводства парков оборудования в промышленности, сельском хозяйстве и на транспорте.

ЛИТЕРАТУРА

1. Байхельт Ф., Франкен П. Надежность и техническое обслуживание. Математический подход /Пер. с нем. под ред. И.А. Ушакова. - М.: Радио и связь, 1988. - 392 с.

2. Надежность технических систем: Справочник /Под ред. И.А. Ушакова. - М.: Радио и связь, 1985. - 606 с.

"Управлшня проектами та розвиток виробництва", 2003, № 3(7)

11

3. Postan M.Ya., Voyevudskiy E.N., Shiryaeva L.V. Stochastic Model of the Same Type Equipment's Park Reproduction // In: Abstacts of Intl. Conf. "Optimization: Techniques and Application", ICOTA'95. - World Scientific Publ. Vol. 2, 1995. - P. 941-945.

4. Ширяева Л.В. Модель воспроизводства парка оборудования с групповым списанием и обновлением в переходном режиме//Розвиток мет^фв управлЫня та господарювання на транспорт. - Одеса: ОДМУ. - 2000. - Вип. 6. - С. 162-168.

5. Ширяева Л.В. Об одной общей схеме моделирования воспроизводства парка оборудования // Економка: проблеми теорп та практики. - Днтропетровськ: ДНУ. -2001. - Вип. 66. - С. 66-71.

6. Кокс Д., Смит В. Теория восстановления / Пер. с англ. - М.: Сов. радио, 1967. - 300 с.

7. Хинчин А.Я. Работы по математической теории массового обслуживания / Под ред. Б.В. Гнеденко. - М.: Наука, 1963. - 235 с.

Стаття надмшла до редакцп 12.06.2003 р.

12

"Управлшня проектами та розвиток виробництва", 2003, № 3(7)