CC BY
0О ВЛИЯНИИ ГЕОМЕТРИИ ПОЛОСТИ НА РЕЖИМЫ ФОКУСИРОВКИ ИНЕРЦИОННЫХ ВОЛН
Субботин С.В., Ширяева М.А.
Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет, 614990, Пермь, Сибирская, 24
Работа посвящена нахождению режимов фокусировки инерционных волн на аттрактор (и,1) во вращающемся цилиндре. Описан алгоритм численного расчета траектории волн в рамках лучевой теории. Показано, что фокусировка наблюдается только в определенном диапазоне частот, причем осевое волновое число аттрактора n зависит от геометрии диаметрального сечения цилиндра (прямоугольная трапеция, равнобедренная трапеция или параллелограмм). Результаты расчетов сравниваются с известными теоретическими работами и экспериментальными наблюдениями, обнаружено качественное согласие. Исследована временная динамика фазы волны в аттракторе. Обнаружено, что в сечении равнобедренной трапеции структура течения представляет собой комбинацию стоячих и бегущих волн. В остальных случаях структура течения имеет вид только бегущих волн.
Ключевые слова: вращение, инерционные волны, аттракторы, лучевая модель.
ВВЕДЕНИЕ
Во вращающейся однородной жидкости может поддерживаться внутренне волновое движение, известное как инерционные волны [1]. Эти волны широко распространены в природе (движение жидкости в океанах, атмосфере, жидких ядрах планет, вращающихся звездах), и очень часто сочетаются с эффектами стратификации плотности. С другой стороны, инерционные волны могут возникать в промышленных системах, например, в топливных баках космиче-
© Субботин С .В., Ширяева М.А., 2023 DOI: 10.24412/2658-5421-2023-11-59-76
ских аппаратов или баллистических систем, заполненных жидкостью. Эти волны всегда сопутствуют системам, которые совершают вращение. Возникновение этих волн связано с квазиупругими свойствами силы Кориолиса. В равномерно вращающейся жидкости центробежная сила, действующая на частицы, уравновешивается радиальным градиентом давления. Если частица жидкости смещается наружу в радиальном направлении, то в силу закона сохранения момента импульса ее азимутальная скорость должна уменьшиться. В новом положении центробежная сила уже не уравновешивается градиентом давления, поэтому частица стремится вернуться в свое прежнее положение. В отсутствие вязкости такое движение эквивалентно поляризованным по кругу колебаниям под действием силы Кориолиса. Если частота колебаний s меньше удвоенной скорости вращения системы 2W , то частицы жидкости описывают круги в наклонных по отношению к вектору П плоскостях. Угол между нормалью к плоскости и осью вращения определяется как arccos(s/2) [1]. Данная плоскость является поверхностью постоянной фазы, поскольку в ее пределах частицы жидкости движутся с одинаковой по знаку и направлению скоростью. Действие градиента давления на частицы приводит к параллельному перемещению поверхности постоянной фазы под углом arccos(s/2), поэтому движение жидкости воспринимается как
поперечная бегущая волна [2, 3]. Наиболее интересные свойства этих волн проявляются во вращающихся замкнутых полостях, которые содержат наклонные границы (непараллельные и неперпендикулярные оси вращения). Поскольку направление групповой скорости определяется только
в= arcsin (s/2), (1)
при отражении от наклонных границ будет сохраняться угол относительно оси вращения, а не нормали к границе. Благодаря этому ширина волнового пучка после отражения сужается, при этом волны «притягиваются» на одну замкнутую траекторию, которая называется волновым аттрактором [4-6]. Последний представляет собой предельный цикл и может быть легко получен в рамках лучевой теории, через последовательные отражения лучей [4]. Здесь стоит отметить, что волновые аттракторы существуют не только в рамках невязких моделей, но и успешно идентифицируются в реальных экспериментах [7]. По сути это физический объект внутри полости, вдоль границы которого существует волновое движение.
Конечно, наибольший интерес представляет геометрия сферического слоя в связи с геофизическими приложениями [8]. Тем не менее, основные свойства аттракторов могут быть исследованы в более простых с геометрической точки зрения полостях. Так, в [4, 5, 9] форма полости представляла собой вращающуюся призму с прямоугольным трапециевидным сечением; в [10] рассматривался вращающийся цилиндр, осевое сечение которого имело вид параллелограмма; в [11] рассматривались аттракторы во вращающемся кубе, причем ось вращения проходила через две противоположные вершины куба. Таким образом, можно заключить, что хотя основные свойства волн достаточно хорошо известны, геометрия полости играет существенную роль для условий существования различных волновых режимов. С одной стороны, геометрия позволяет смоделировать определенные режимы, с другой стороны, простота постановки задач позволяет обнаружить новые, ранее неизвестные особенности. В данной работе исследуется влияние геометрии торцевых стенок вращающего цилиндра на структуру волновых аттракторов. Параграф 1 посвящен описанию лучевой модели распространения волн в 2D постановке. Это достаточно полезный метод для прогнозирования структуры течения, когда спектр собственных значений не известен [12]. Параграф 2 посвящен экспериментальной верификации результатов.
1. ЛУЧЕВАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ ИНЕРЦИОННЫХ ВОЛН В ЗАМКНУТОЙ ПОЛОСТИ
Рассмотрим особенности математического описания распространения инерционных волн во вращающейся полости. По аналогии с [13] в качестве объекта исследования выбран цилиндр кругового сечения с одной или двумя наклонными торцевыми стенками. Для поддержания волнового движения используются либрации -периодические вариации скорости вращения полости. Механизм возбуждения волн в либрирующей полости подробно описан в [14]. При ускорении и замедлении на торцевых стенках возникают осциллирующие пограничные слои Экмана. На создаваемый радиальный поток действует сила Кориолиса, которая сносит частицы жидкости на круговую траекторию. В результате вблизи углов полости генерируется мгновенная завихренность, которая является источником инерционных волн. Поскольку в модели мы будем интересоваться только геометрическими свойствами распространения волн, последние будут аппроксимироваться лучами, исходящими из углов полости; жидкость считается идеальной. Направление лу-
чей определяется из соотношения (1). При отражении лучей от границ полости сохраняется угол в относительно оси вращения. Трассировка лучей осуществляется в двумерной постановке в плоскости осевого сечения Х,У (рис. 1). Такой подход можно считать оправданным, поскольку эффекты фокусировки проявляются в плоскости, повернутой в азимутальном направлении на угол р ~ 20° относительно направления градиента наклона торцов [10, 13].
ч-►
н
Рис. 1. Схема распространения инерционных волн в контейнере
Реализация алгоритма трассировки осуществляется в среде МАТ1аЬ. Расчетная область представляет собой прямоугольник длиной Н и высотой Б, одна (или несколько) граница которого скошена под углом а к вертикали (см. рис. 1); е - единичный вектор в направлении оси вращения; начало координат расположено в левом верхнем углу. Для каждой границы контейнера задается направляющий вектор в виде:
Рс=Ьсу1 + Кк ,
где },к - единичные базисные векторы, с = 1,4 указывает на номер границы. Отметим, что в общем случае число границ может быть произвольным. Коэффициенты Ьг и Ьсу задаются следующим образом:
= Ус+1 - Ус
\Ьсг = — ^с
Луч на плоскости обозначается вектором гп, где п - количество отражений луча от границы. Первоначальный вектор г0 определяется как поворот вектора е на угол в * методом углов Эйлера:
г = йоу] + й0гк , где й0г и й0 находятся из соотношения:
\й0у = ег в — еу со8 в К = е1 со8 в* + еу 8Ш в'
| йоу = ег в
{ё0г = ег со8 в*
Поскольку вектор г0 может исходить из любого угла полости, значение в* задается таким образом, чтобы вектор г0 был всегда
направлен внутрь контейнера. Правило для определения в* основано на пересечении луча с границами контейнера. Проверяются следующие значения в* до тех пор, пока не будет найдено пересечение с одной из стенок: в* = в , в* =— в, в* =я+ в и в* =р — в . Две прямые имеют точку пересечения тогда, когда они не являются коллинеарными. Проверка коллинеарности осуществляется с помощью векторного произведения:
V = [ Л х гп ] =
1 } к
0 Ь Ь
су сг
0 й пу й пг
Рассматривается такое решение, где длина вектора V > 0 и выполняется условие Ьсгйпу Ф йпгЬсу .
Точка пересечения п-луча и с-границы вычисляется через решение системы уравнений, составленной из уравнений прямых в параметрическом виде:
>
у = у + й 1,
У У п пу 1 1= 1п + й 11
П , (1.1) У= Ус + Ъсу 12
+ К Ч
Решение системы уравнений (1.1) существует всегда, так как выполняется условие неколлинеарности прямых. В зависимости от направляющего вектора гп (йП1, йпу) решение находится двумя способами:
1) В случае Ф 0:
. -АУйк
"
2 й ЬсУ - йЪс Az _ zc - 1п
к с п, а , где с п (1 2)
. _Аг + ЬсЛ АУ _ Ус - Уп
1 _ й
т
2) В случае Ф 0 :
. _АУйк -А^йпу 1 йпуЪа - йкЪ„ (13)
. Ау + Ъу • ( "3)
.2 л
йпу
Из уравнений (1.2) или (1.3) находится точка пересечения двух прямых. Это решение должно быть направлено вдоль гп луча и принадлежать отрезку границы. Для этого рассматриваются только те решения, при которых параметр ^ > 0 . Например, луч с направлением г0 пересекает с-границу в точке Е (у1). В этом случае
*
для отрезка с-границы вычисляется параметр 12 из системы уравнений:
| У=Ус + Ъу 1*2
[ г = 2с + Ъсг 1*2
В начальной точке (zc, ус) получаем t*2 = 0, в конечной точке (zc+1, ус+1) параметр t2 вычисляется через выражения:
t*2 = ^, by Ф 0 или t*2 = , Ъа Ф 0.
Ъсу
В итоге диапазон значений для параметра t*2 имеет вид:
( \
*
12 е
0. Ус+1 ~ У,
V К У
или
Г z - z Л
0« c+1 S
. к ,
Точка пересечения лежит на отрезке в том случае, когда параметр 12, полученный из формулы (1.2) или (1.3), принадлежит множеству значений Ц. В точке Е : ^ е Ц.
При описании отражения луча от границы угол в* , отсчитываемый от оси вращения е , должен сохраняться. Вектор отраженного луча гп (йпг,йпу) вычисляется как:
и = ег ЯП р— еу со8 р
\йпг = ег сов р + еу ЯП р .
Поворот вектора гп в точке происходит по часовой стрелке. Угол р определяется следующим образом:
Р = 2в* при рс П е , Р = я — 2в* при рс ТТ е .
Результатом работы алгоритма является построение траектории волны в контейнере заданной геометрии, а, следовательно, и прогнозирование диапазона частот а, в котором будут наблюдаться эффекты фокусировки. Для этой цели было разработано приложение, позволяющее произвольно задавать геометрические параметры контейнера (Н, Б, а), первоначальную точку излучения волн и количество последующих отражений [15]. Программа позволяет не только визуально пронаблюдать траекторию волновых лучей, но и получить полную информацию о положении точек фокусировочно-го отражения аттрактора от любой границы.
Рис. 2. Фокусировка инерционных волн в зависимости от расположения наклонных стенок контейнера и координаты точки излучения при s = 1.08 (a, в), 1.46 (д). Угол наклона в каждом случае составляет a = 23° . На фрагментах б, г и е представлены соответствующие данной геометрии полости диаграммы Пуанкаре для диапазона частот а = 0.2 -2.0. Точками показаны положения последних 50 отражений инерционных волн от боковой границы. Координата zJL отсчитывается от тупого угла; разрешение по частоте составляет Да = 0.002. Красными вертикальными линиями обозначены частоты, для которых приведены рисунки в левом столбце
На рис. 2 показаны результаты расчета траектории волновых лучей в полостях различной конфигурации: с одной наклонной стенкой (one slope (OS)), с параллельным наклоном противоположных стенок (parallel slope (PS)), с «антипараллельным» наклоном противоположных стенок (antiparallel slope (APS)). Пространственная структура аттрактора может быть охарактеризована двумя целыми числами (n, m), которые отвечают за количество симметричных пар отражений ветвей аттрактора от горизонтальных и вертикальных
или наклонных стенок, или осевое и радиальное волновые числа, соответственно. Хорошо видно, что лучи, испущенные из различных углов полости, после серии последовательных отражений фокусируются на одну замкнутую траекторию (рис. 2а, в, д). Так, в геометриях OS и PS при частоте а = 1.08 возникает аттрактор (1,1), а в APS при а = 1.46 - аттрактор (2,1). Причем в контейнере с двумя наклонными торцами необходимое число итераций для достижения эффекта фокусировки (при данном а) меньше в два раза. На рис. 2 б, г, е показано распределение точек отражения инерционных волн от нижней границы полости, так называемая диаграмма Пуанкаре. Для обнаружения эффектов фокусировки для построения диаграммы выбраны последние 50 последовательных отражений из 500. Практически равномерное распределение с высокой концентрацией точек вдоль координаты z/L соответствует сложным волновым режимам, в то время как локализация точек в узких областях пространства, разделенных пустотой, указывает на фокусировку. Можно отметить, что в геометрии OS осевое волновое число аттрактора принимает значения n = 1, 2, 3,... Для PS симметрия полости навязывает аттракторы только с нечетными n = 1, 3, 5,..., а для APS - только с четными n = 2,4, 6,...
Можно сравнить полученные данные с результатами недавней работы, где координаты точек отражения аттрактора (n,1) вычисляются методом отображений [16]. В качестве геометрии рассматривается прямоугольная трапеция, эквивалентная рис. 2 а. Задача решается в общем виде, причем координаты точек z и у рассчитываются через следующие параметры [4]:
Здесь й е [—1;1] - параметр формы полости, где значение -1 соответствует прямоугольному треугольнику, а значение +1 соответствует прямоугольнику. Второй параметр т отвечает за период инерционной волны.
Вычисление координат на горизонтальной и вертикальной стенках зависит от соотношения между номером последовательного отражения к и осевым волновым числом п:
если k = 1...n , то
если k = n + 2... 2n + 1, то
-nt+2t , ,
Zk=~Td--(k - n)t-1
(-1)k+1 +1 '
Ук =—--1
k 2
nt -2t , .
Zk= 1 , +(k - n -1 )t-l 1 - d
\k
( —1)к +1
ук = —--т
к 2
Причем на наклонной стенке к = 0, а начало перебора точек осуществляется против хода часовой стрелки.
В Табл. 1 представлены данные расчетов по алгоритму [16] для аттрактора (1,1) в прямоугольной трапеции, стенка которой наклонена под углом а = 23° . Отметим, что в данном случае начало отсчета находится в центре прямоугольника, описывающего трапецию, поэтому необходимо сделать переход к удобным для нас координатам по формулам Ь = 1 + й и г = й — гк. Полученное значение г/Ь = 0.143 хорошо согласуется с результатом авторской модели, где г/Ь = 0.140 (см. рис. 2 а).
_Таблица 1
а
d
г
Zk
yk
L = 1+d z = d-Zk
z/L
1.080 0.554 1.637
0.332 1.637
1.554
0.222
0.143
k
1
2. НАБЛЮДЕНИЕ ЭФФЕКТОВ ФОКУСИРОВКИ ВОЛН В ЭКСПЕРИМЕНТАХ
2.1 Экспериментальная установка и методика. Кювета представляет собой плексигласовый цилиндр кругового сечения длиной H и радиуса R (рис. 3). Для реализации наклона торцевых стенок используются плексигласовые вставки в виде усечённых цилиндров с углом между секущей плоскостью и круговым сечением a = 23°. Рассматриваются три случая расположения вставок: PS, APS и OS (рис. 3 а, б, и в) соответственно.
В качестве рабочей жидкости используется водоглицериновый раствор с кинематической вязкостью n = 3.8 - 5.1 сСт. Измерение вязкости осуществляется вискозиметром ВПЖ-2, с точностью 0.1 сСт. Для визуализации движения жидкости используются ча-
стицы полиамида диаметром ~ 60 мкм и средней плотностью ~ 1.04 г/см3. Для освещения используется непрерывный ЭРББ лазер (КЬМ-532/И-1000). Конструктивные особенности установки и методика наблюдений за структурой мгновенного течения подробно описана в [17].
Рис. 3. Расположение торцов внутри полости: a - параллельный наклон (PS), б - антипараллельный наклон (APS), в - наклон одного торца (OS)
Регистрация положения частиц внутри светового ножа осуществляется камерой Optronis CamRecord CL600x2. В данных экспериментах основное внимание уделяется мгновенному полю скорости в осевом сечении. Для этого съемка ведется со стороны боковой поверхности полости с частотой, кратной frot = Wrot / 2p, и составляющей не менее 20 кадров/с. Разрешение кадров 800 х 800 пикселей, время экспозиции 0.3 мс. Обработка результатов экспериментов происходит в программе PIVlab в среде MATlab [16].
Кювета приводится во вращение шаговым двигателем FL86STH118-6004A, питающимся от источника постоянного тока Mastech HY5005E. Управление величиной шага вращения двигателя осуществляется драйвером SMD-9.0. Для регулирования частоты и амплитуды сигнала используется генератор модуля Zet 210 Sigma USB. В лабораторной системе отсчета вращение кюветы происходит по закону:
w(t) = Wrof [1 + в cos(Wlibt)],
где Wo - средняя угловая скорость вращения полости, Wlib - угловая частота либраций, в = A©W,.b / Wmt - амплитуда.
В качестве единицы измерения угловой частоты либраций выбрана средняя скорость вращения полости: s = WUh / Wо. Диапазон изменения основных параметров представлен в Табл. 2.
Таблица 2
W , с-1
"rot ' ^
Wiih , с
62.8
56.65 - 100.5
0.01 - 0.08
0.90 - 1.60
2.2 Результаты экспериментов. Мгновенные поля скорости в фазе колебаний Wliht = 0 представлены на рис. 4. В случае PS и APS, как и ожидалось, наблюдаются аттракторы (1,1) и (2,1). Сравнение с предсказаниями лучевой теории показывает, что форма аттрактора в экспериментах немного отличается (см. рис. 2в, д). Возможно, это связано с нелинейными эффектами на твердых границах и конечной толщиной волнового пучка, из-за чего геометрия полости становится более «узкой». В любом случае реально наблюдаемые волновые картины смещены в область более высоких частот на D® » 0.05 (см. рис. 2г, е).
Рис. 4. Мгновенные поля скорости в фазе Wliht = 0 в геометриях различной конфигурации: OS (a), PS (б) и APS (в). Цветом показана величина скорости (ы2г + м^)1/2
В случае наклона только одного торца (ОБ) структура течения оказывается более сложной (рис. 4 а): картина напоминает два
s
£
несфокусированных волновых аттрактора (1,1), которые вложены друг в друга. К сожалению, измерение полей скорости в одной плоскости не позволяет судить о структуре течения в целом. Отметим, что на самом деле при отражении от наклонной стенки у волновых лучей появляется азимутальная составляющая [6, 19]. Это может привести к тому, что фокусировочное отражение аттрактора может лежать не в плоскости градиента наклона торцов [13]. На это косвенно указывает то, что интенсивность пульсационного движения жидкости неоднородна вдоль ветвей аттрактора; можно предположить, что по ходу движения луч отклоняется в азимутальном направлении и покидает плоскость светового ножа.
Рис. 5. Пространственно-временные диаграммы завихренности вдоль горизонтального среза на расстоянии г / Я = 0.5 от оси вращения (белые штриховые линии на рис. 4): 08 (а), Р8 (б) и ЛР8 (в). Координата г / Ь отсчитывается от тупого угла
На рис. 5 приведена серия временных диаграмм завихренности вдоль среза на расстоянии г/Я = 0.5. Можно заметить, что с течением времени фаза колебаний жидкости в волновых лучах равномерно смещается от тупых торцов. При 08 и Р8 ((а, б) в двух соседних ветвях аттрактора жидкость совершает колебания в разных фазах, но направление движения фазы совпадает. Визуально такое движение воспринимается как параллельное смещение ветвей поперек направления групповой скорости. Это вполне ожидаемый эффект, поскольку инерционные волны являются поперечными [2]. Через полпериода либраций направление колебаний жидкости в аттрак-
торе меняется на противоположное. Это указывает на то, что эффекты фокусировки наблюдаются как при ускорении, так и при замедлении полости.
В случае APS динамика жидкости более сложная (Рис.5в). Волны от обоих тупых углов бегут по направлению к центру полости, где завихренность максимальна. Это - место перекрестного взаимодействия двух ветвей аттрактора (2,1). Также стоит отметить, что из-за различия в направлении движения жидкости в левой и правой частях аттрактора, знаки завихренностей в них отличаются. В целом, временная динамика завихренности в геометрии APS напоминает комбинацию стоящих и бегущих волн. В диапазоне 0.3 < z/L < 0.7 наблюдается периодическое чередование знака завихренности, причем положение максимумов завихренностей не меняется. Вблизи наклонных торцов ситуация принципиально другая: здесь области постоянной завихренности смещаются со временем во встречных направлениях.
1.5 ~ <т 1.6
Рис. 6. Зависимость скорости пульсационного течения в осевом сечении полости от частоты либраций а
Наконец, на рис. 6 сравнивается между собой полный динамический отклик жидкости в полостях разной геометрии. Диапазон частот о выбран в соответствии с инерционно-волновым режимом. Скорость < и > рассчитывается как средняя скорость пульсационного течения в осевом сечении полости; единицей ее измерения служит амплитудное значение скорости колебаний боковой границы цилиндра . Это позволяет сравнивать между собой результаты, полученные при различных параметрах либраций.
Наиболее сильный отклик наблюдается в геометрии с одной наклонной стенкой. В то же время самый слабый отклик соответствует геометрии с двумя антипараллельными торцами.
Заключение. Изучено влияние геометрии торцов цилиндра на структуру волновых аттракторов. Построена численная двумерная лучевая модель распространения волн в осевом сечении полости, которая позволяет задавать форму торцов полости, направление исходного луча (то есть безразмерную частоту воздействия), количество отражений волн от торцов, визуализировать траекторию, а также сохранять данные о положении точек отражения в файл. Показано, что фокусировка наблюдается только для определенного диапазона частот, причем осевое волновое число аттрактора n зависит от геометрии осевого сечения. Так, в сечении в форме прямоугольной трапеции (OS) n = 1, 2, 3, ... В равнобедренной трапеции (APS) возбуждаются режимы только с четным значением n = 2, 4, ..., в то же время в параллелограмме (PS) возбуждаются режимы с нечетными n = 1, 3, .
Результаты расчетов координат точек фокусировочного отражения сравниваются с теоретическими предсказаниями координат аттрактора (n,1) [16], обнаружено хорошее согласие данных. Можно сделать вывод, что алгоритм, предложенный авторами данной работы, работает корректно.
Результаты предсказаний численной модели сравниваются с экспериментальными наблюдениями. В экспериментах для возбуждения и поддержания инерционных волн используется неравномерное вращение (либрации). Обнаружено, что в геометриях PS и APS структура волнового аттрактора в эксперименте соответствует более высоким частотам либраций. Сделано предположение, что это связано с нелинейными эффектами на границах полости. В геометрии OS наблюдения указывают на сложную 3D структуру волнового аттрактора, которая не может быть полностью идентифицирована в рамках данной работы. Наконец, при исследовании временной динамики волн обнаружено, что в сечении равнобедренной трапеции структура течения представляет собой комбинацию стоячих и бегущих инерционных волн. В остальных случаях структура течения имеет вид только бегущих волн, что согласуется с теоретическими представлениями об инерционных волнах.
Работа выполнена в рамках государственного задания Министерства просвещения РФ (проект KPZU-2023-0002).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ
1. Гринспен X. Теория вращающихся жидкостей. Л: Гидрометео-издат, 1975. 304 с.
2. Messio L., Morize C., Rabaud M, Moisy F. Experimental observation using particle image velocimetry of inertial waves in a rotating fluid. // Exp. Fluids. 2008. Vol. 44. P. 519-528.
3. Cortet P.P., Lamriben C, Moisy F. Viscous spreading of an inertial wave beam in a rotating fluid // Phys. Fluids. 2010. Vol. 22. P. 086603.
4. Maas L.R.M., Benielli D., Sommeria J., Lam F.P.A. Observation of an internal wave attractor in a confined, stably stratified fluid // Nature. 1997. Vol. 388. P. 557-561.
5. Maas L.R.M. Wave focusing and ensuing mean flow due to symmetry breaking in rotating fluids // J. Fluid Mech. 2001. Vol. 437. P. 13-28.
6. Pillet G., Maas L.R.M., Dauxois T. Internal wave attractors in 3D geometries: A dynamical systems approach // Eur. J. Mech. B-Fluid. 2019. Vol. 77. P. 1-16.
7. Сибгатуллин И.Н., Ерманюк Е.В. Аттракторы внутренних и инерционных волн (обзор) // ПМТФ. 2019. Т. 60 (2). С. 113136.
8. RieutordM, Georgeot B., Valdettaro L. Inertial waves in a rotating spherical shell: attractors and asymptotic spectrum // J. Fluid Mech. 2001. Vol. 435. P. 103-144.
9. Brouzet C., Ermanyuk E.V., Joubaud S., et al. Internal wave attractors: different scenarios of instability // J. Fluid Mech. 2017. Vol. 811. P. 544-568.
10. Субботин С.В., Ширяева МА. Экспериментальное исследование линейного и нелинейного режимов аттракторов инерционных волн во вращающемся цилиндре с неосесимметричными торцами // Прикладная механика и техническая физика. 2023. Т. 64. № 2. C. 85-94.
11. Wu K., Welfert B.D., Lopez J.M. Reflections and focusing of inertial waves in a librating cube with the rotation axis oblique to its faces // J. Fluid Mech. 2020. Vol. 896. P. A5.
12. Maas L.R.M. Wave attractors: linear yet nonlinear // Intl J. Bifurcation Chaos. 2005. Vol. 15(9). P. 2757-2782.
13. Subbotin S., Shiryaeva M. Inertial wave beam path in a non-uniformly rotating cylinder with sloping ends // Microgravity Sci. Technol. 2023 Vol. 35 (3). P. 32.
14. Klein M., Seelig T, Kurgansky M.V., et al. Inertial wave excitation and focusing in a liquid bounded by a frustum and a cylinder // J. Fluid Mech. 2014. Vol. 751. P. 255-297.
15. Ширяева МА., Субботин С.В. Лучевая модель визуализации инерционных волн в неравномерно вращающемся цилиндре // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2022611161; заявл. 24.12.2021, опубл. 20.01.2022.
16. Sibgatullin I., Petrov A., Xu X., Maas L. On (n,1) Wave Attractors: Coordinates and Saturation Time // Symmetry. 2022. Vol. 14 (2). P. 319.
17. Subbotin S., Shiryaeva M. Steady vortex flow induced by inertial wave attractor in a librating cylinder with sloping ends // Micro-gravity Sci. Technol. 2022. Vol. 34 (5). P. 89.
18. Thielicke W., Stamhuis E.J. PIVlab - Time-Resolved Digital Particle Image Velocimetry Tool for MATLAB (version: 2.50).
19. Rabitti A., Maas L.R.M. Meridional trapping and zonal propagation of inertial waves in a rotating fluid shell // J. Fluid Mech. 2013. Vol. 729. P. 445-470.
ON THE INFLUENCE OF CAVITY GEOMETRY ON THE FOCUSING REGIMES OF INERTIAL WAVES
S.V. Subbotin, M.A. Shiryaeva
Abstract. The work is devoted to finding the regimes of inertial waves focusing on an attractor (n,1) in a rotating cylinder. An algorithm for numerical calculation of the wave trajectory within the framework of the ray theory is described. It is shown that focusing is observed only in a certain frequency range, and the axial wave number of the attractor n depends on the geometry of the diameter section of the cylinder (rectangular trapezoid, isosceles trapezoid or parallelogram). The calculation results are compared with known theoretical works and experimental observations, and qualitative agreement is found. The temporal dynamics of the wave phase in the attractor is investigated. it is found that in the section of an isosceles trapezoid, the flow structure is a combination of standing and traveling waves. In other cases, the flow structure looks like only traveling waves.
Key words: rotation, inertial waves, attractor, ray-tracing
