АТТРАКТОРЫ ИНЕРЦИОННЫХ ВОЛН В НЕРАВНОМЕРНО ВРАЩАЮЩЕМСЯ ЦИЛИНДРЕ С НАКЛОННЫМИ ТОРЦАМИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Конвективные течения..., 2021

АТТРАКТОРЫ ИНЕРЦИОННЫХ ВОЛН В НЕРАВНОМЕРНО ВРАЩАЮЩЕМСЯ ЦИЛИНДРЕ С НАКЛОННЫМИ ТОРЦАМИ

С.В. Субботин, М.А. Ширяева

Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет, 614990, Пермь, Сибирская, 24

Экспериментально исследуется движение жидкости в неравномерно вращающемся (либрирующем) цилиндре, торцы которого наклонены параллельно друг другу. Благодаря либрациям в полости поддерживается осциллирующее движение в виде инерционных волн. Обнаружено, что при определенных частотах волны фокусируются в волновые аттракторы, которые представляют собой замкнутые траектории в виде одного или нескольких параллелограммов. Результаты экспериментов хорошо согласуются с двумерной лучевой моделью распространения волн в осевом сечении полости, которая подтверждает возможность фокусировки волн на предельный цикл после серии отражений. Обсуждается взаимосвязь связь между аттракторами инерционных волн и осредненным азимутальным течением. Показано, что вблизи точек отражения волн от наклонных стенок возникают интенсивные вытянутые вдоль оси вращения вихревые структуры.

Ключевые слова: вращение, либрации, инерционные волны, аттрактор, осредненные течения.

ВВЕДЕНИЕ

Известно, что осциллирующее движение во вращающейся жидкости является источником для поддержания инерционных волн [1]. Этот особый класс волн существует благодаря действию силы Кориолиса, которая действует на частицы жидкости как квазиупругая сила. Если частота колебаний меньше удвоенной частоты вращения системы, волны распространяются от источника колебаний

© Субботин С.В., Ширяева М.А., 2021 DOI: 10.24412/2658-5421-2021-10-101-117

вдоль характеристических поверхностей, образованных свободными сдвиговыми слоями. В связи с гео- и астрофизическими приложения в качестве возмущающего фактора традиционно рассматривают прецессию оси вращения [2], упругие приливные деформации полости [3], а также периодические изменения скорости вращения - либрации [4-6]. Большой обзор литературы, посвященный влиянию гармонического воздействия на вращающиеся системы можно найти в [7].

Инерционные волны имеют много общего с внутренними волнами в стратифицированной жидкости, где роль восстанавливающей силы играет разность сил тяжести и плавучести. В обоих случаях волны подчиняются одинаковому специфическому дисперсионному соотношению, согласно которому при отражении сохраняется угол по отношению к оси вращения, а не к нормали поверхности. Благодаря этому в бассейнах со сложной топографией дна возможна концентрация энергии волн в волновые аттракторы [8, 9]. Предполагается, что аттракторы инерционных волн могут возникать в жидких ядрах или подповерхностных океанах планет и спутников Солнечной системы [10, 11]. Благодаря тому, что в планетарных масштабах числа Экмана достаточно малы, вся энергия волнового аттрактора фокусируется в тонких сдвиговых слоях. Отметим, что помимо волновых аттракторов для вращающейся жидкости характерным является другой тип резонанса, связанный с возбуждением собственных инерционных колебаний - инерционных мод [1]. Такие волновые режимы возникают в замкнутых полостях, причем значения собственных частот и волновые числа очень сильно зависят от геометрии полости [12].

Осесимметричные инерционные волны в либрирующей цилиндрической полости с прямыми торцами были исследованы в [13]. В свою очередь, даже небольшое нарушение азимутальной симметрии геометрии торцов качественно меняет характер колебаний жидкости в полости. Например, наличие только одной наклонной стенки может обеспечивать фокусировку инерционных волн в волновой аттрактор [14-16]. В настоящей работе исследуются режимы течения в неравномерно вращающемся цилиндре, оба торца которого параллельно наклонены. Такая конфигурация полости обеспечивает существование неосесимметричных волн с азимутальным волновым числом т = 1. В работе обсуждается инерционный отклик жидкости на либрационное воздействие в широком диапазоне частот; обсуждается связь между режимами пульсационного течения и осредненным азимутальным потоком.

1. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА

Кювета, в которой проводятся эксперименты, имеет форму кругового цилиндра радиусом R и длиной L . Торцевые стенки цилиндра параллельно наклонены друг другу на угол а относительно плоскости поперечного сечения (рис. 1). Наклон достигается путем вклеивания в рабочую часть кюветы прозрачных плексигласовых сменных вставок, диаметр которых соответствует диаметру полости. Размер последнего не меняется, в то время как расстояние между торцами L зависит от величины наклона а (см. Табл. 1).

_Таблица 1

R , мм_L , мм_а_

90.0 8.5

26.0 84.0 15.0

77.0 23.0

В качестве рабочей жидкости используется водоглицериновый раствор с кинематической вязкостью v = 5 сСт. Для устранения оптических искажений при наблюдении со стороны боковой поверхности, цилиндрическая полость дополнительно помещена в прямоугольный параллелепипед. Пространство между параллелепипедом и цилиндром заполнено водой.

Кювета вращается вокруг оси симметрии в лабораторной системе отсчета по гармоническому закону (либрации):

O(t) = 0„, [1 + scos(0№i)],

где Orot - средняя угловая скорость вращения полости, 0ib - угловая частота, а s = à.ç0ljb /Оrot - амплитуда либраций. В качестве безразмерной характеристики частоты либраций используется параметр а = 0ib / Orot. Средняя скорость вращения во всех экспериментах поддерживается постоянной Ого1 = 62.8 с-1, в то время как частота меняется в диапазоне Ош = 12.56 -125.6 с-1, что соответствует безразмерным частотам а = 0.20 - 2.00 . Амплитуда либраций принимает значения s = 0 - 0.16.

Вращение задается шаговым двигателем FL86STH118-6004A и передается кювете при помощи упругой муфты. Со стороны свободного конца в качестве опоры используется подшипник, внут-

ренний диаметр которого превосходит диаметр полости. Это позволяет наблюдать за структурой течения вдоль оси вращения. Двигатель работает от источника постоянного тока Mastech HY5005E и управляется драйвером SMD-9.0. Сигнал для управления вращением задается генератором модуля Zet 210 Sigma USB.

L

Рис. 1. Схема экспериментальной установки

Рассматривается случай относительно малых модуляций скорости вращения полости, когда центробежная неустойчивость вблизи боковой границы полости не возникает, а числа Рейнольдса не превышают Re = бЕ~3 4 < 250 [17]. Здесь Е = V / ^2 - число Экма-на, которое во всех экспериментах принимает значение Е = 1.18-10"4.

2. МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ ПОЛЯ СКОРОСТИ

Первоначально кювета приводится в равномерное вращение вокруг горизонтальной оси со скоростью ^ш. После установления твердотельного режима вращения жидкости задаются либрации с частотой Онь и амплитудой 8 . Для визуализации движения жидкости используются пластиковые частицы-трассеры размером й ~ 60мкм и средней плотности р ~ 1.04 г/см3. Для создания светового ножа используется непрерывный лазер ^М-532/И-1000 толщиной 2 мм. Видеорегистрация положения частиц-трассеров осуществляется на неподвижную в лабораторной системе отсчета камеру СашЯесоМ ^600x2. Разрешение кадров составляет 1000 х 600 пикселей, частота - 20 кад/сек.

Для получения пульсационного поля скорости в осевом сечении полости выбираются пары кадров, временной интервал между которыми кратен периоду вращения Т = 2п / О.го,. При этом структура течения будет представлять собой суперпозицию осредненного (по периоду либраций) и пульсационного течения. Принимая во внимание, что осредненная компонента заведомо мала по сравнению с пульсационной, в качестве мгновенной скорости будем принимать величину и = дз/Дгс, где Дгс = 2п|1/О.го,-1/- промежуток

времени между одним полным оборотом полости и периодом либ-раций. Отметим, что при последовательном переборе кадров с периодом Т наблюдаемая фаза либраций постоянно меняется. Если отношение времен за один оборот полости превышает величину ДгС / Тиь > 0.2, время между двумя кадрами увеличивается на величину пТ . Более подробное описание методики изучения пульсационного поля скорости можно найти в [18], где исследовалось движение жидкости во вращающейся сферической полости с осциллирующим ядром.

Для расчета осредненного азимутального поля скорости также выбираются пары кадров с промежутком времени кратным среднему периоду вращения. Осреднению подвергается вся последовательность изображений, полученных в различные фазы колебаний, при этом для вычисления средней азимутальной скорости жидкости используется время Т. Отметим, что осреднение происходит не менее чем по 10 периодам либраций Тиь. Кросскорреляционный анализ мгновенного и осредненного полей скорости осуществляется в РШаЬ [19].

3. РЕЖИМЫ ПУЛЬСАЦИОННОГО ТЕЧЕНИЯ

В диапазоне частот либраций 0 <ст < 2 в полости существуют различные пульсационные режимы течения, связанные с распространением инерционных волн. Волны рождаются в местах соединения торцевых и боковой стенки полости и представляют собой совокупность конусообразных характеристических поверхностей, образованными свободными осциллирующими сдвиговыми слоями [20]. В соответствии с [1] направление групповой скорости волны определяется отношением частоты колебаний к удвоенной скорости вращения системы, в = arcsin(ст /2) . При этом важно отметить,

что отражение инерционных волн от твердых границ осуществляется при условии сохранения угла в относительно оси вращения.

В качестве интегральной характеристики интенсивности пульса-ционного движения жидкости в полости используется параметр

и = — Г л/и2 + ,

где иг и и2 - радиальная и осевая компоненты скорости, а X -площадь сечения, проходящего через ось вращения. Пример типичной зависимости полной скорости и от времени для частоты либраций а = 1.04 представлен на рис.2. Видно, что за один период либраций скорость жидкости дважды достигает максимального и минимального значений, что связано с периодическим изменением направления групповой скорости инерционных волн. Важно отметить, что подобная временная динамика жидкости является типичной и характерна для всего диапазона частот либраций.

Рис.2. Временная зависимость осредненной по пространству пульсационной компоненты скорости в осевом сечении полости при а = 1.04, е = 0.03 и а= 23° (черные точки). Сплошной кривой обозначена либрационная компонента угловой координаты полости

Для характеристики полного динамического отклика жидкости на вносимые возмущения средняя по пространству скорость дополнительно осредняется по периоду либраций:

< и > = -1 Г и & .

Тць ^

Для вычисления скорости < и > осреднение проводится не менее чем по десяти периодам либраций.

С увеличением амплитуды либраций е интенсивность движения жидкости в свободных сдвиговых слоях возрастает. При фиксированной частоте а средняя пульсационная скорость < u > ~ е (рис.3). Изменение частоты либраций приводит к смене инерционного режима колебаний жидкости, при этом в области малых амплитуд s линейная зависимость сохраняется.

О 0.04 0.08 0.12 0.16 8 0.2

Рис.3. Зависимость осредненной по времени пульсационной

компоненты скорости от амплитуды либраций е при а = 15°

Для сравнения результатов экспериментов в линейном режиме, полученных при различных параметрах либраций, средняя скорость пульсаций < и > нормируется на амплитуду пульсационной скорости боковой границы полости ДфОи. . Таким образом, полная величина динамического отклика жидкости выражается в количестве энергии, которая закачивается в систему. Безразмерная скорость жидкости < V > = < и > /ДфО.№Я для всего исследуемого диапазона частот либраций представлена на рис.4. Видно, что зависимость имеет немонотонный вид с серией ярко выраженных экстремумов, соответствующих резонансному возбуждению различных инерционных режимов.

Для выяснения природы возникновения тех или иных режимов дополнительно результаты экспериментов сравниваются с 2D лучевой моделью распространения инерционных волн в осевом сечении

полости, проходящем через большую и меньшую диагонали образованного параллелепипеда. Модель строится в форме MATlab application и обладает следующими свойствами. Лучи, вдоль которых распространяется энергия волны, аппроксимируются прямыми линиями. В точках пересечения лучей с границами полости строится отраженный луч с сохранением угла наклона в относительно оси вращения. Рассматривается невязкая модель, при этом пограничные слои на твердых стенках не учитываются. Подобные лучевые модели хорошо зарекомендовали себя для анализа пространственно-волновых картин, даваемых как инерционными, так и внутренними волнами в стратифицированной жидкости [21, 22].

Рис.4. Интенсивность пульсационного течения в осевом сечении полости в зависимости от безразмерной частоты либраций о при а = 23° . Сплошная вертикальная линия соответствует теоретическому предсказанию положения глобального резонанса в трапецеидальной области [8]

Для удобства представления совокупности инерционных режимов в лучевой модели строится так называемая диаграмма Пуанкаре (рис.5). Вдоль оси абсцисс откладывается безразмерная частота с интервалом между соседними значениями А а = 0.002, а вдоль оси ординат - координата вдоль оси вращения на расстоянии г = Я;

точка z / L = 0 соответствует положению тупого угла. Точки отражения лучей от боковой границы полости образуют совокупность темных пятен. Случаи, когда темные пятна плотно распределены вдоль вертикальной оси, соответствуют сложным режимам течения. Наоборот, частоты, при которых темные пятна не многочисленны, соответствуют волновым аттракторам или замкнутым периодическим орбитам [23].

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 О 2

Рис.5. Диаграмма Пуанкаре для волновых режимов в плоскости, проходящей через наклонное сечение полости после 500 последовательных отражений инерционных волн (показаны только последние 50) для а = 23° . Координата 2 / Ь отсчитывается от тупого угла; разрешение по частоте составляет А а = 0.002. Черные пятна соответствуют точкам отражения инерционных волн от боковой границы полости. Вертикальными линиями обозначены режимы, представленные в правом столбце рис.6

Наиболее интенсивное течение наблюдается при частоте а = 0.65 (рис.4). Как показывают наблюдения, в этом случае в полости возникает одновихревое течение, преимущественно ориентированное вдоль большей диагонали осевого сечения. Как было отмечено в [24] подобная структура совершает вращательные колебания относительно полости с амплитудой ~ п / 2 , на что указывают наблюдения в двух взаимно перпендикулярных сечениях, проходящих через ось вращения. Незначительное изменение частоты а приводит к выходу системы из резонансной области, что сопровождается резким уменьшением значения параметра < V >. Обнаруженная структура имеет много общего с так называемым глобальным резонансом (2,1) в не вращающейся, но стратифицированной по плотности жидкости в полости с трапецеидальным сечением [8].

С физической точки зрения этот режим напоминает стоячую волну, а его положение на рис.4 находится в непосредственной близости к основному экстремуму, а* = 0.73 .

Следующий экстремум наблюдается при частоте а = 0.98. Детальные исследования структуры течения вблизи резонанса показывают, что в определенные доли периода либраций траектория инерционных волн представляет собой замкнутую траекторию в виде параллелограмма, углы которого упираются в стенки полости (рис.6а-г). При этом кинетическая энергия пульсационного движения локализуется в относительно тонких сдвиговых слоях. Анализ результатов с использованием лучевой модели показывает, что подобная траектория представляет собой волновой аттрактор (1,1). Так, из (рис.66) видно, что независимо от начальной точки выхода луча, после серии отражений инерционная волна фокусируется на предельный цикл. Изменение частоты либраций приводит к изменению соотношения сторон аттрактора. Так, при увеличении а аттрактор сужается в поперечном размере и ориентируется вдоль меньшей диагонали сечения (рис.бв). Следует отметить, что значение угла в, под которым наблюдаются волновые лучи в эксперименте, отличается от теоретического предсказания [1]. Например, при частоте а = 1.06 волны должны распространяться под углом в = 32°, в то время как в эксперименте наблюдается в и 34°, что соответствует более высокой частоте а (рис.6а,б). На первый взгляд расхождение является незначительным, однако сильно влияет на форму самого аттрактора.

Другой аттрактор (3,1), с меньшей кинетической энергией, реализуется вблизи частоты а = 1.8 (рис.6и,к). В отличие от аттрактора (1,1) траектория распространения инерционной волны представляет собой три относительно узких параллелепипеда, два из которых локализованы в непосредственной близости от торцевых стенок и ориентированы практически параллельно им.

Ещё два экстремума наблюдаются при частотах а = 1.42 и а = 1.6 (см. рис.4). Анализ возможных волновых режимов в окрестности данных частот при помощи лучевой модели не предсказывает появление аттракторов. Тем не менее, в экспериментах инерционные волны аналогичным образом в определенные доли периода либраций образуют замкнутые траектории (рис.6 <3,ж).

Рис.6. Мгновенные поля скорости при различных частотах либраций (левый столбец) в фазах = 0 (а, д) и Ойг/ = п (в, ж, и). В правом

столбце показаны соответствующие траектории распространения инерционных волн, предсказанные в рамках лучевой теории

Интересно, что в отличие от случая аттрактора одной точкой отражения волны является боковая граница цилиндра, в то время как другой точкой выступает вихрь, расположенный вблизи наклонной

плоскости. Детальное исследование структуры течения показывает, что возникновение замкнутых траекторий связано с быстрой диссипацией энергии инерционных волн после первых двух отражений. Действительно, замкнутая траектория, представленная на рис.63,ж, является суперпозицией двух волн, распространяющихся из острых углов полости (рис.6е,з).

Можно отметить, что обнаруженные волновые режимы сильно напоминают так называемые режимы периодических орбит во вращающихся сферических слоях [23]. Последние не являются аттракторами в прямом смысле этого слова, поскольку произвольно пущенный луч не фокусируется на замкнутый цикл. В то же время благодаря особенностям геометрии полости и начальной точки излучения волн траектория образует замкнутую фигуру, как это проиллюстрировано на рис.6е.

4. ОСРЕДНЕННОЕ ЗОНАЛЬНОЕ ТЕЧЕНИЕ

Известно, что в отсутствие волн при частотах а > 2 либрации приводят к возникновению отстающего дифференциального вращения жидкости [6, 13]. В диапазоне частот 0 < а < 2 инерционные волны модифицируют пульсационное поле скорости не только в объеме полости, но и вблизи твердых границ, в результате чего структура осредненного течения существенно меняется. На рис.7 представлена серия полей скорости соответствующих различным конфигурациям аттрактора (1,1). Видно, что фокусировка волн сопровождается возникновением осредненных вихревых структур, радиальное и азимутальное положение которых не меняется со временем и зависит только от частоты а . Эксперименты, выполненные в различных поперечных сечениях г / Ь показывают, что вихревые структуры практически двумерные.

Наиболее сильно эффект проявляется при угле наклона а = 23° и, по всей видимости, связан с нелинейными эффектами в пограничных слоях на наклонных границах. При частоте а = 0.90 (рис.7а,б) вблизи мест отражения аттрактора от торцевых стенок формируется пара вихревых потоков антициклонической закрутки. С увеличением частоты либраций до а = 0.95 (рис.7в,г) продольный размер ветвей аттрактора уменьшается, при этом радиальное положение точек отражения от наклонных границ перемещается к оси вращения. В свою очередь осредненные антициклонические вихри сплющиваются вдоль линии наклона торцов и прижимаются к оси вращения.

Рис.7. Серия осредненных азимутальных полей скорости на расстоянии т / Ь = 0.5 (левый столбец) в частотном диапазоне аттрактора (1,1); цветом показана г-компонента завихренности; направление вращения полости - по часовой стрелке. В правом столбце показаны соответствующие пульсационные поля скорости в осевом сечении полости в фазах = 0 (б, г, е, з) и = п (к)

Одновременно происходит формирование второй пары вихрей, в которых жидкость вращается в циклоническом направлении. При частоте а = 1.06 (рис.7д,е) отражение ветвей аттрактора происходит практически на оси вращения, при этом в полости формируется цилиндрическое ядро, совершающее интенсивное опережающее вращение. Далее по мере увеличение частоты либраций точки отражения инерционных волн от наклонных границ смещаются от оси вращения (рис.7з,к), в результате чего снова формируется пара антициклонических вихрей (рис.7ж,и).

Ранее нелинейный отклик в виде осредненной циркуляции изучался в неравномерно вращающемся цилиндре с прямыми торцами [13, 25]. В отличие от рассматриваемого случая возмущения распространялись от торцов симметричным образом, благодаря чему возбуждались исключительно осесимметричные инерционные режимы. Последнее обеспечивало формирование системы тороидальных вихрей в пограничном слое Стокса на боковой стенке цилиндра. В то же время пограничные слои Экмана на торцевых стенках выступали генератором осесимметричного осредненного азимутального течения. Настоящие эксперименты показывают, что наклон торцевых стенок приводит к нарушению азимутальной симметрии колебаний жидкости вблизи твердых границ, в результате чего вдоль оси вращения могут формироваться двумерные вихревые структуры.

Заключение. Экспериментально исследовано движение жидкости в неравномерно вращающейся (либрирующей) цилиндрической полости. Торцы цилиндра наклонены параллельно друг другу, благодаря чему в полости возникают неосесимметричные инерционные волны. Обнаружено, что кинетическая энергия пульсационного течения немонотонно изменяется с безразмерной частотой либра-ций. Наиболее интенсивное течение возникает при резонансном возбуждении инерционной моды, либо образовании волнами замкнутой траектории. В последнем случае возможна ситуация, когда траектория представляет собой предельный цикл, на который фокусируется волна после серии отражений от стенок. Обнаруженные результаты верифицируются двумерной лучевой моделью распространения волновых лучей в осевом сечении полости, которая подтверждает возможность формирования аттракторов.

Обнаружено, что возникновение волновых аттракторов качественно изменяет структуру осредненного азимутального течения. В точках отражения волн от наклонных границ полости генерируется дополнительная циркуляция жидкости в виде вытянутых вдоль оси

вращения вихревых структур. С изменением формы аттрактора интенсивность осредненного движения жидкости в вихрях, а также их радиальное положение меняется.

Работа выполнена при поддержке Гранта Президента Российской Федерации (проект МК-1779.2021.1.1) и Правительства Пермского края (грант для ведущей научной школы С-26/1191).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ

1. Гринспен Х. Теория вращающихся жидкостей. Л: Гидрометео-издат, 1975. 304 с.

2. Noir J., Jault D., Cardin P. Numerical study of the motions within a slowly precessing sphere at low Ekman number // J. Fluid Mech. 2001. Vol. 437. P. 283-299.

3. Morize C., Le Bars M., Le Gal P., Tilgner A. Experimental determination of zonal winds driven by tides // Phys. Rev. Lett. 2010. Vol. 104. P. 214501.

4. ComstockR.L., Bills B.G. A solar system survey of forced librations in longitude // J. Geophys. Res. 2009. Vol. 108 (E9). P. 5100.

5. Margot J.L., Peale S.J., Jurgens R.F., Slade M.A., Holin I.V. Large longitude libration of Mercury reveals a molten core // Science. 2007. Vol. 316. P. 710-714.

6. Busse F.H. Mean zonal flows generated by librations of a rotating spherical cavity // J. Fluid Mech. 2010. Vol. 650. P. 505-512.

7. Le Bars M., Cebron D., Le Gal P. Flows driven by libration, precession, and tides // Annu. Rev. Fluid Mech. 2016. Vol. 47. P. 163193.

8. Maas L.R.M., Benielli D., Sommeria J., Lam F.P.A. Observation of an internal wave attractor in a confined, stably stratified fluid // Nature. 1997. Vol. 388. P. 557-561.

9. Maas L.R.M. Wave attractors: linear yet nonlinear // Intl J. Bifurcation Chaos. 2005. Vol. 15(9). P. 2757-2782.

10. Rieutord M., Valdettaro L. Inertial waves in a rotating spherical shell // J. Fluid Mech. 1997. Vol. 341. P. 77-99.

11. RieutordM., Valdettaro L. Axisymmetric inertial modes in a spherical shell at low Ekman numbers // J. Fluid Mech. 2018. Vol. 844. P. 597-634.

12. Rekier J., Trinh A., Triana S.A., Dehant V. Inertial modes in near-spherical geometries // Geophys. J. Int. 2018. Vol. 216(2). P. 777793.

13. Subbotin S.V., Dyakova V.V. Inertial waves and steady flows in a liquid filled librating cylinder // Microgravity Sci. Technol. 2018. Vol. 30(4). P. 383-392.

14. Maas L.R.M. Wave focusing and ensuing mean flow due to symmetry breaking in rotating fluids // J. Fluid Mech. 2001. Vol. 437. P. 13-28.

15. Manders A.M.M., Maas L.R.M. Observations of inertial waves in a rectangular basin with one sloping boundary // J. Fluid Mech. 2003. Vol. 493. P. 59-88.

16. Сибгатуллин И.Н., Ерманюк Е.В. Аттракторы внутренних и инерционных волн (обзор) // ПМТФ. 2019. Т. 60 (2). С. 113136.

17. Noir J., Calkins M.A., Lasbleis M., Cantwell J., Aurnou J.M. Experimental study of libration-driven zonal flows in a straight cylinder // Phys. Earth Planet. Inter. 2010. Vol. 182. P. 98.

18. Subbotin S., Shiryaeva M. On the linear and non-linear fluid response to the circular forcing in a rotating spherical shell // Phys. Fluids. 2021. Vol. 33 (6). 066603.

19. Thielicke W., Stamhuis E.J. PIVlab - Time-Resolved Digital Particle Image Velocimetry Tool for MATLAB (version: 2.50).

20. Messio L., Morize C., Rabaud M., Moisy F. Experimental observation using particle image velocimetry of inertial waves in a rotating fluid. // Exp. Fluids. 2008. Vol. 44. P. 519-528.

21. Tilgner A. Driven inertial oscillations in spherical shells // Phys. Rev. E. 1999. Vol. 59(2). P. 1789-1794.

22. Rabitti A., Maas L.R.M. Meridional trapping and zonal propagation of inertial waves in a rotating fluid shell // J. Fluid Mech. 2013. Vol. 729. P. 445-470.

23. RieutordM., Georgeot B., Valdettaro L. Inertial waves in a rotating spherical shell: attractors and asymptotic spectrum // J. Fluid Mech. 2001. Vol. 435. P. 103-144.

24. Subbotin S. Non-axisymmetric flow excited by fluid oscillations in a rotating cylinder with sloping ends // J. Phys.: Conf. Ser. 2021. Vol. 1809. P. 012015.

25. Subbotin S. Steady circulation induced by inertial modes in a librat-ing cylinder // Phys. Rev. Fluids. 2020. Vol. 5. P. 014804.

INERTIAL WAVE ATTRACTORS IN NONUNIFORM ROTATING CYLINDER WITH SLOPING ENDS

S.V. Subbotin, M.A. Shiryaeva

Abstract. Fluid flow in a non-uniformly rotating (librating) cylinder with parallel sloping ends is experimentally investigated. Due to librations in the cavity, the oscillating motion in the form of inertial waves is supported. It is found that under certain frequencies, inertial waves are focused on the wave attractor, which is a closed path in the form of one or more parallelograms. The experimental results are in good agreement with the two-dimensional ray-tracing model of wave propagation in the axial section of the cavity, which confirms the possibility of wave focusing on a closed cycle after a series of reflections. The relationship between the attractors of inertial waves and steady zonal flow is discussed. It is shown that intense steady vortex structures elongated along the rotation axis appear near the points of wave reflection from inclined walls.

Key words: rotation, libration, inertial waves, attractor, steady flows.