Неосесимметричное течение, возбуждаемое колебаниями жидкости во вращающемся цилиндре с наклонными торцами Текст научной статьи по специальности «Физика»

НЕОСЕСИММЕТРИЧНОЕ ТЕЧЕНИЕ, ВОЗБУЖДАЕМОЕ КОЛЕБАНИЯМИ ЖИДКОСТИ ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ ЦИЛИНДРЕ С НАКЛОННЫМИ ТОРЦАМИ

С.В. Субботин, М.А. Ширяева

Лаборатория вибрационной гидромеханики, Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет, 614990, Пермь, Сибирская, 24

Экспериментально исследуется течение в неравномерно вращающейся (либрирующей) цилиндрической полости, торцы которой наклонены относительно оси вращения. Периодические изменения скорости вращения приводят к возникновению интенсивных инерционных колебаний жидкости. Благодаря азимутальной неоднородности геометрии торцов инерционные колебания происходят неосесиммет-ричным образом. В результате нелинейного отклика вдоль боковой границы полости возникает неосесимметричное осредненное течение. Обнаружено, что изменение режима пульсационного движения жидкости приводит к трансформации структуры осредненного течения.

Ключевые слова: вращение, либрации, неосесимметричные инерционные колебания жидкости, осредненное течение.

ВВЕДЕНИЕ

Во вращающейся жидкости сила Кориолиса способна поддерживать внутреннее осциллирующее движение, известное как инерционные волны. Если жидкость ограничена снаружи полостью, как это имеет место, например, в жидких ядрах планет или подповерхностных океанах, инерционные волны могут возбуждать резонансные инерционные колебания жидкости. Последние известны как инерционные моды и являются собственными модами колебаний вращающейся жидкости в

© Субботин С.В., Ширяева М.А., 2019 DOI: 10.24411/2658-5421-2019-10912

замкнутой полости данной геометрии. В экспериментах инерционные моды могут возбуждаться различными способами: посредством либраций полости (периодические изменения скорости вращения) [1-3], прецессии оси вращения [4, 5], периодическими деформациями границы полости [6, 7], а также дифференциальным вращением внутреннего ядра [8-10]. Несмотря на то, что задача об исследовании инерционных мод имеет богатую историю, основное внимание уделялось осесимметричным модам. Например, в [11, 12] исследовались течения в либрирующем цилиндре с прямыми торцами. Поскольку либрационное воздействие являлось симметричным, от торцов распространялись осесимметричные возмущения, суперпозиция которых при определенных частотах либраций, генерировала осесимметричные моды с азимутальным волновым числом к = 0. В [13] в пределе малых чисел Экмана (Е = 10-8 -10-10) численно исследованы осесимметричные моды во вращающемся сферическом слое. В то же время известно, что реальные планетарные тела в большинстве своем имеют не сферическую форму, а больше походят на трехосные эллипсоиды. В связи с этим большой интерес представляют неосесимметричные моды с к Ф 0 и соответствующий нелинейный отклик системы в виде осредненной циркуляции. В настоящей работе для генерации неосесимметричных колебаний используется наклон торцевых стенок цилиндра. При этом пульсационное поле скорости имеет пространственную азимутальную неоднородность с к = 1 . Основное внимание уделяется исследованию структуры пульсационного поля скорости в осевом сечении полости в зависимости от фазы либраций, а также структуры и интенсивности возникающего осредненного течения.

1. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА И МЕТОДИКА

Экспериментальная кювета представляет собой цилиндр кругового сечения, торцы которого закреплены в шарикоподшипниках опор установки (рис. 1). Торцы полости образуют угол а = 8.5° с осью вращения, друг относительно друга расположены параллельно. Расстояние между торцами вдоль оси составляет Ь = 90.0 мм; диаметр полости - Б = 52.0 мм. Для описания движения жидкости используется цилиндрическая систем координат ( г, ф, г ) с началом координат в центре полости. Кювета заполняется водоглицерино-вым раствором кинематической вязкости V = 34 сСт и вращается

вокруг оси симметрии в лабораторной системе отсчета по закону t) = W + AjWlb sin (Wlbt), где W - средняя угловая скорость вращения полости, Wlib - угловая частота вращательных колебаний полости (либраций), A j - амплитуда вращательных колебаний полости. Безразмерная частота либраций определяется отношением s ° Wlb / W . Параметры, при которых проводятся эксперименты, приведены в Таблице.

Источник питания Mastech HY5005E

1.5

50

dc

Лазер ^

Шаговый Мфта

ригательп J

©е»

У 'tí

D 1

w(t)

Скоростная камера

PC

i

Microstep Zet 210

Driver SMD-8.0 Генератор

L

Рис. 1. Схема экспериментальной установки

Вращение полости задается при помощи шагового двигателя FL86STH118-6004A, управляемого драйвером SMD-8.0 и питающегося от источника постоянного тока Mastech HY5005E. Регулировка скорости вращения вала двигателя осуществляется с помощью генератора модуля Zet 210 Sigma USB.

С целью минимизации оптических искажений (при наблюдении за структурой течения со стороны боковой поверхности цилиндра) кювета помещена в полый плексигласовый параллелепипед, заполненный рабочей жидкостью.

Методика проведения экспериментов следующая. Кювета приводится во вращение вокруг оси симметрии со скоростью W. После установления твердотельного вращения жидкости задаются либрации с частотой í!lib и амплитудой e = D»s. Поле скоростей исследуется в осевом сечении полости PIV-методом. Для этой цели в жидкость добавляются частицы визуализатора Resin Amberlite размером d ~ 60 мкм, плотностью р» 1.04 г/см3; объемная доля ча-

стиц в жидкости не превышает 10-4. Жидкость освещается вдоль оси вращения лазером непрерывного действия 7-Ьа8ег 7500Р, а положение светорассеивающих частиц записывается на видеокамеру Ор1хош8 СашЯесой СЬ600х2.

Таблица

Параметр Определение Значение

L Длина полости 90.0 мм

D = 2R Диаметр полости 52.0 мм

L / R Аспектное соотношение 3.46

a Угол наклона торцов 8.5°

V Кинематическая вязкость жидкости 34 сСт

W Средняя скорость вращения полости 31.4 с-1

W№ Циклическая частота либраций 11.3 - 41.4 с-1

s = Wm / W Безразмерная частота либраций 0.36 - 1.32

e = Dps Безразмерная амплитуда либраций 0.08 - 0.10

E = V/(WR2) Число Экмана 1.610-3

Поскольку соотношение между частотой либраций и частотой вращения полости может быть произвольным в интервале частот о, указанном в таблице, возникает вопрос о методике получения мгновенного и осредненного по периоду либраций поля скоростей. Либрации полости означают, что ее угловая координата в лабораторной системе отсчета изменяется со временем по закону:

p = p0 + dp = Wt + Dp cos (Wlibt),

где Wt - угол, на который поворачивается полость в результате равномерного вращения со средней скоростью W; а dp = Dpcos (Wlibt) - периодическое изменение угловой координаты с частотой Wlib и амплитудой Dp.

В качестве примера на рис. 2 представлены зависимости от времени угла поворота полости в результате равномерного вращения и

в результате угловых колебаний при частоте о = 0.52. Благодаря неравномерному вращению, через время, которое соответствует двум полным оборотам со средней скоростью О, полость будет отставать по фазе на величину ОтАт = 0.245. Для вычисления поля скорости выбирается пара кадров, интервал времени между которыми кратен среднему периоду вращения Т = 2р/ О . Тогда скорость перемещения частиц жидкости за это время определяется выражением 1> = Ая / пТ = Аs /1А г ± Тиь\, где Т1Ь - период либраций,

п - число полных оборотов полости. С другой стороны через время пТ результирующее поле скорости будет представлять собой суперпозицию осредненного и пульсационного полей. Учитывая, что средняя по периоду либраций скорость мала по сравнению с пульсационной скоростью, в качестве последней будем принимать величину и = Аs / Аг. На рис. 2 видно, что при последовательном переборе пар кадров через время пТ (в данном случае п = 2), фаза либраций постоянно меняется. Это позволяет исследовать мгновенное поле скоростей во всем диапазоне фаз либраций.

Рис. 2. Либрационная компонента угла поворота полости 8(р = А(собОшг (штриховая кривая) и угол поворота полости (р0, связанный с равномерным вращением (наклонные линии), при О = 31.4 с-1, Оиь = 16.33 с-1, а = 0.52 и е = 0.08. Заштрихованные области соответствуют разности фаз между двумя кадрами, обусловленной либрациями

Для вычисления осредненной по периоду либраций скорости жидкости и также выбираются пары с промежутком времени, кратным периоду среднего вращения полости. Осреднению подвергается последовательность пар кадров, полученных в различные

фазы либраций. Отметим, что осреднение происходит не менее чем по 10 периодам колебаний, при этом для расчетов скорости жидкости используется время пТ . Измерение осредненной скорости жидкости проводится в двух взаимно перпендикулярных осевых сечениях полости. Первая проходит через большую диагональ цилиндра. Непосредственный анализ последовательности изображений Р1У-методом, а также осреднение поля скорости, осуществляется в программе Р1У1аЬ [14].

2. ИНЕРЦИОННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЖИДКОСТИ

Изменение скорости вращения полости приводит к возникновению пульсационного движения жидкости. Возмущения рождаются в местах соединения боковой и торцевых стенок полости, и распространяется в жидкости в виде инерционных волн [15]. Характеристическая поверхность, вдоль которой распространяются волны, имеет форму конуса, образованного свободными осциллирующими сдвиговыми слоями [16]. Поскольку торцы полости не являются осесимметричными, конус смещен от оси вращения. Таким образом, возмущение, распространяющееся от каждого торца, имеет азимутальное волновое число к = 1.

Угол раствора конуса инерционных волн определяется дисперсионным соотношением в = агс8т (а/2), где в отсчитыва-

ется от оси вращения системы.

В зависимости от частоты либраций после многократного отражения инерционных волн от стенок полости может происходить сложение создаваемых ими завихренностей. Наблюдения показывают, что наиболее сильный отклик на внешнее воздействие происходит при частоте а= 0.52. Серия мгновенных полей скорости, полученных в осевом сечении, проходящем через большую диагональ цилиндра, представлена на рис. 3. В течение полупериода либраций происходит формирование и разрушение одновихревого течения, ориентированного преимущественно вдоль большей диагонали полости. В течение следующего полупериода либраций знак завихренности меняется на противоположный. Можно заметить, что наиболее интенсивное пульсационное движение возникает в фазах либраций О.шг = р / 4 и О.шг = 5р / 4.

Поля скорости в прямоугольном осевом сечении полости представлены на рис. 4. В этом сечении движение жидкости происходит в целом симметрично относительно торцов. Максимум пульсационного течения приходится на фазы Оиъг = 3р/4 и Оиъг = 7р/4.

Эти значения отличаются на к / 2 от фазы максимума пульсацион-ного течения, полученного в другом сечении полости (см. рис. 3). В то же время в течение периода вращательных колебаний наблюдается аналогичные пульсации завихренности го1^и (здесь и далее и

- г -компонента скорости жидкости). Разница во времени возникновения максимума пульсационной скорости в различных сечениях указывает на то, что в течение периода либраций вихревая структура поворачивается в азимутальном направлении.

-20 и, мм/с 20

Рис. 3. Мгновенное поле скорости в осевом сечении полости при а = 0.52 и е = 0.08 в различные фазы либраций: Оиъг = к/4, к/2,

3к/4, к (левый ряд, сверху - вниз); Оиъг = 5к/4, 3к/2, 7к/4,

2к (правый ряд, сверху - вниз). Цветом изображена г -компонента скорости жидкости

При изменении частоты либраций интенсивность пульсационно-го движения жидкости уменьшается, что свидетельствует о выходе системы из резонансной области. Следующий по интенсивности колебательный режим наблюдается при частоте s = 0.68 (рис. 5). Структура течения напоминает ту, что была при s = 0.52 . В то же время можно заметить, что на фоне основной циркуляции возникает пара локальных центов завихренности. При этом вихревая система ориентирована вдоль большей диагонали кюветы.

-20 и, мм/с 20

Рис. 4. Мгновенное поле скорости в осевом сечении полости при а = 0.52 и е = 0.08 в различные фазы либраций: Оиъг = р/4, р/2,

Зр/4, р (левый ряд, сверху - вниз); Оиъг = 5р/4, Зр/2, 7р/4,

2р (правый ряд, сверху - вниз). Цветом изображена г -компонента скорости жидкости

-1.0

-1.0

3

о

го1 ю и, 1/с

2?/Ь 1.0

3

Рис. 5. Мгновенное поле скорости в осевом сечении полости при а = 0.68 и е = 0.10 в различные фазы либраций: &иьг = 5р / 4

(сверху) и р/4 (снизу). Цветом показана интенсивность нормальной плоскости светового ножа завихренности

Возникновение интенсивных колебаний жидкости связано с возбуждением инерционных мод [17]. Собственные частоты невязких мод в цилиндрической полости могут быть рассчитаны следующим образом:

а2

4п V

п V+£2^2/ я

(2.1)

где п, т, к - осевое, радиальное и азимутальное волновые числа, соответственно; L/ Я - аспектное соотношение. Параметр ХП2тк является т -ым положительным решением трансцендентного уравнения

г

(х)+к

>2

\ 1/2

1 +

п V т2/ я2

4, (Х) = 0,

где (X) - функция Бесселя первого рода |к| -го порядка. Рассматривается неосесимметричное воздействие, поэтому к Ф 0, и для пространственной характеристики инерционной моды используются все три волновых числа { п, т, к }.

Режим, описанный при о = 0.52, соответствует инерционной моде с волновыми числами {1,1,1}. При этом значение собственной частоты, рассчитанное по формуле (2.1), составляет <г*п = 0.48, что хорошо согласуется с результатами экспериментов. При частоте либраций о = 0.68 пульсационное течение имеет более сложный вид. Предположение о том, что наблюдается следующая по интенсивности мода с п = 2 и к = 1 не проходит, поскольку расчет собственной частоты дает значение о*п = 0.86. В действительности, поскольку торцы полости симметрично наклонены по отношению к оси вращения, возможно возбуждение более сложных комбинационных режимов. От каждого торца друг навстречу другу распространяются возмущения с азимутальными волновыми числами к = 1 . В силу особенности конструкции полости эти возмущения антисимметричны, поэтому при определенных значениях о может наблюдаться их суперпозиция с азимутальным числом к = 2. Так, значение собственной частоты моды { 2, 1, 2 } составляет

о*12 = 0.67, и это близко к тому, что наблюдается в эксперименте.

3. ОСРЕДНЕННОЕ ТЕЧЕНИЕ

Колебания жидкости, возбуждаемые инерционной модой, приводят к возникновению осредненного по периоду либраций течения в вязких пограничных слоях Стокса вблизи боковой стенки полости. На рис. 6 показаны осредненные поля скорости, полученные в двух взаимно перпендикулярных плоскостях для случая колебаний жидкости с частотой о = 0.52 (мода {1,1,1}). Течение имеет вид струй, бьющих вдоль боковой стенки. При этом направление движения жидкости меняется на противоположное через азимутальный угол ~ к. Можно отметить, что ранее в экспериментах с осесим-метричными торцами возбуждались исключительно осесимметрич-ные тороидальные течения [3, 11].

Смена режима пульсационного движения приводит к изменению направления осредненного течения. Так, при частоте о = 0.68 (мода { 2,1,2 }, рис. 7) жидкость движется из «острых» углов полости

по направлению к «тупым», что отличается от направления течения, генерируемого модой {1,1,1} (см. рис. 6). В то же время поле скорости, полученное в перпендикулярном сечении, идентично тому, что наблюдается при частоте а = 0.52 . Это указывает на изменение направления движения жидкости, обусловленное поворотом осредненной структуры в азимутальном направлении. Последнее обстоятельство объясняется появлением дополнительного пульсационного движения с азимутальным числом к = 2 .

-0.3 и, мм/с 0.3

Рис. 6. Осредненное по периоду либраций поле скорости в различных осевых сечениях полости при параметрах, соответствующих рис. 2 и 3

В качестве характеристики интенсивности течения принимается максимальное абсолютное значение осредненной скорости вдоль боковой стенки |иот|, в качестве единицы измерения выбраны линейная скорость вращения боковой границы полости О.Я и квадрат

амплитуды либраций e2. Квадратичная зависимость от амплитуды определяется механизмом генерации среднего течения - нелинейными эффектами в пограничном слое, и подтверждается многими экспериментальными и теоретическими работами, выполненными ранее [6, 11, 12]. Таким образом, при фиксированных значениях частоты либраций s и числа Экмана E скорость осредненного течения определяется одним безразмерным комплексом V = |UJ / (WRe2 ).

-0.4 и, мм/с 0.4

Рис. 7. Осредненное по периоду либраций поле скорости в осевом сечении полости при параметрах, соответствующих рис. 5

Рис. 8. Скорость осредненного течения в осевом сечении полости в зависимости от безразмерной частоты либраций а при Е = 1.6 • 10-3. Вертикальными штриховыми линиями отмечены теоретические значения собственных частот, рассчитанных по формуле (2.1)

При изменении частоты либраций а скорость осредненного течения немонотонно меняется, испытывая серию экстремумов, соответствующих резонансному возбуждению инерционной моды с волновым числом { п, т, к } (рис. 8). При этом наиболее интенсивное течение возникает при двух частотах, соответствующих модам {1,1,1} и {2,1,2 }. Следует отметить, что поворот осредненной системы потоков в азимутальном направлении происходит при частоте а = 0.56, что сопровождается существенным уменьшением значения V. С увеличением номера моды скорость осредненного течения ослабевает. Так, колебания моды {2,1,1 } с частотой а = 0.88 возбуждают течение, интенсивность которого в два раза меньше, чем при частоте а = 0.56 . Несмотря на изменение пульса-ционного режима, структура течения остается подобной той, что приведена на рис. 7.

Заключение. Экспериментально исследована структура и интенсивность осредненного течения, возбуждаемого неосесиммет-ричными инерционными колебаниями жидкости (инерционные моды) в неравномерно вращающемся цилиндре. Неосесимметрич-ное течение возникает благодаря азимутально неоднородной геометрии торцов цилиндра. Обнаружено, что в зависимости от частоты колебаний в полости возникают моды с различными азимутальными волновыми числами. Так, либрации с частотой а= 0.52 возбуждают моду {1,1,1}, которая представляет собой одновихревое течение, периодически меняющее знак завихренности и поворачивающееся в азимутальном направлении на угол п / 2 в течение периода либраций. Осредненное течение имеет вид струй, бьющих вдоль всей боковой стенки полости. Направление движения жидкости в струях меняется на противоположное через азимутальный угол ~ п. В результате суперпозиции возмущений с азимутальным числом к = 1 , распространяющихся от торцов полости, при частоте либраций а = 0.68 возбуждается инерционная мода с азимутальным числом к = 2 . Смена режима пульсационного движения приводит к изменению направления осредненного течения. Р1У-исследования поля скорости, выполненные в различных осевых сечениях, показывают, что вся осредненная структура поворачивается вдоль азимута на угол п / 2 .

Работа выполнена при поддержке Гранта Президента Российской Федерации (проект МК-1994.2018.1).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ

1. Aldridge K.D., Toomre A. Axisymmetric inertial oscillations of a fluid in a rotating spherical container // J. Fluid Mech. 1969. Vol. 37(2). P. 307-323.

2. Boisson J., Lamriben C., Maas L.R.M., et al. Inertial waves and modes excited by the libration of a rotating cube // Phys. Fluids. 2012. Vol. 24. P. 076602.

3. Субботин С.В., Кропачева А. С. Осредненные течения, возбуждаемые инерционными модами в либрирующем цилиндре // Вестник Пермского университета. Физика. 2018. № 4 (42). С. 67-73.

4. Malkus W. Precession of the earth as the cause of geomagnetism: Experiments lend support to the proposal that precessional torques drive the earth's dynamo // Science. 1968. Vol. 160(3825). P. 259264.

5. Lin Y., Noir J. Jackson A. Experimental study of fluid flows in a precessing cylindrical annulus // Phys. Fluids. 2014. Vol. 26. P. 046604.

6. Morize C., Le Bars M., Le Gal P., Tilgner A. Experimental determination of zonal winds driven by tides // Phys. Rev. Lett. 2010. Vol. 104. P. 214501.

7. Favier B., Barker A., Baruteau C., Ogilvie G. Nonlinear evolution of tidally forced inertial waves in rotating fluid bodies // Mon. Not. R. Astron. Soc. 2014. Vol. 439. P. 845-860.

8. Kelley D.H., Triana S.A., Zimmerman D.S., Lathrop D.P. Selection of inertial modes in spherical Couette flow // Phys. Rev. E. 2010. Vol. 81(2). P. 026311.

9. Rieutord M, Triana S.A., Zimmerman D.S., Lathrop D.P. Excitation of inertial modes in an experimental spherical Couette flow // Phys. Rev. E. 2012. Vol. 86(2). P. 026304.

10. Hoff M, Harlander U., Triana S.A. Study of turbulence and interacting inertial modes in a differentially rotating spherical shell experiment // Phys. Rev. Fluids. 2016. Vol. 1. P. 043701.

11. Subbotin S., Dyakova V. Inertial waves and steady flows in a liquid filled librating cylinder // Microgravity Sci. Technol. 2018. Vol. 30. P. 383-392.

12. Sauret A., Cebron D., Le Bars M, Le Dizes S. Fluid flows in a librating cylinder // Phys. Fluids. 2012. Vol. 24. P. 026603.

13. Rieutord M, Valdettaro L. Axisymmetric inertial modes in a spherical shell at low Ekman numbers // J. Fluid Mech. 2018. Vol. 844. P. 597-634.

14. Thielicke W., Stamhuis E.J. PIVlab - towards user-friendly, affordable and accurate digital particle image velocimetry in MATLAB // J. Open Res. Softw. 2014. Vol. 2. e30.

15. Messio L, Morize C, Rabaud M., Moisy F. Experimental observation using particle image velocimetry of inertial waves in a rotating fluid // Exp. Fluids. 2008. Vol. 44. P. 519-528.

16. Kerswell R. On the internal shear layers spawned by the critical regions in oscillatory Ekman boundary layers // J. Fluid Mech. 1995. Vol. 298. P. 311-325.

17. Гринспен X. Теория вращающихся жидкостей // Л: Гидрометео-издат, 1975. 304 с.

NON-AXISYMMETRIC FLOW EXCITED BY FLUID OSCILLATIONS IN A ROTATING CYLINDER WITH TILTED ENDS

S.V. Subbotin, M.A. Shiryaeva

Abstract. Fluid flow in non-uniformly rotating (librating) cylinder with tilted ends is experimentally investigated. Periodical changes in the rotation rate lead to the appearance of intense inertial oscillations of the fluid. Due to the azimuthal inhomogene-ity of the geometry of the ends, inertial oscillations occur in non-axisymmetric manner. As a result of the nonlinear response a non-axisymmetric steady flow arises along the lateral boundary of the cavity. it is found that a change in the regime of pulsating fluid motion leads to a transformation of the steady flow structure.

Key words: rotation, librations, non-axisymmetric inertial modes, steady flow.