CC BY
23ВЛИЯНИЕ ИНЕРЦИОННЫХ КОЛЕБАНИЙ ЖИДКОСТИ НА АЗИМУТАЛЬНОЕ ТЕЧЕНИЕ В НЕРАВНОМЕРНО ВРАЩАЮЩЕМСЯ ЦИЛИНДРЕ
С.В. Субботин, А.С. Кропачева
Лаборатория вибрационной гидромеханики, Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет, 614990, Пермь, Сибирская, 24
Экспериментально исследуется движение жидкости в цилиндрической полости, скорость вращения которой периодически изменяется (либрации). Либрации приводят к возникновению осредненного азимутального течения. Обнаружено, что профиль угловой скорости жидкости сильно зависит от частоты изменения скорости кюветы. В области частот, где инерционные колебания отсутствуют, генерируется отстающее течение, двумерность которого нарушается в углах вблизи торцов полости. Наличие инерционных колебаний сильно модифицирует азимутальное течение. Обнаружено, что около боковой стенки цилиндра возникают чередующиеся области отстающего и опережающего дифференциального вращения жидкости. Положение последних зависит от конкретного режима инерционных колебаний.
Ключевые слова: вращение, либрации, инерционные моды, осред-ненное азимутальное течение.
ВВЕДЕНИЕ
Известно, что вибрационное воздействие на гидродинамические системы способно генерировать средние течения. Классическим примером являются акустические течения, возникающие вблизи твердых стенок полости [1]. Ситуация меняется, когда колебания жидкости происходят на фоне вращения всей системы. В этом случае на частицы жидкости действует сила Кориолиса, а на стенках
© Субботин С .В., Кропачева А.С., 2019 DOI: 10.24411/2658-5421-2019-10906
полости возникают осциллирующие пограничные слои Экмана [2]. Большое количество работ в этом направлении посвящено изучению осредненных течений, возникающих благодаря нелинейным эффектам в слоях Экмана [3]. Одним из примеров гармонического воздействия на вращающиеся системы являются синусоидальные изменения скорости вращения полости (либрации по долготе) [4, 5]. Интерес исследователей обусловлен тем, что либрации характерны для многих планетарных тел сферической формы [6, 7]. Однако с фундаментальной точки зрения не менее интересной является задача о движении жидкости в либрирующем цилиндре. Пионерские исследования были выполнены Вангом [8], который теоретически и экспериментально показал, что изменение скорости вращения полости приводит к возникновению отстающего азимутального течения. Позднее случай «короткого» цилиндра в пределе низкочастотных и малоамплитудных либраций был теоретически рассмотрен Буссе [9]. В обеих теориях механизм осредненного вращения связывался с нелинейными эффектами в слоях Экмана на торцевых стенках, при этом слои Стокса на боковой поверхности цилиндра исключались из рассмотрения. В работах [10, 11] было дано экспериментальное и численное подтверждение существования среднего течения в либрирующей цилиндрической полости.
Если частота либраций меньше удвоенной частоты вращения системы, помимо осредненного азимутального течения генерируются инерционные волны. Эти волны распространяются вдоль характеристических конических поверхностей, образованных свободными сдвиговыми слоями. При этом направление распространения волны относительно оси вращения определяется только частотой колебаний [2, 12]. В замкнутых полостях при определенных частотах либ-раций возбуждаются инерционные моды, которые являются собственными модами вращающейся невязкой жидкости [13-15]. Последние представляют собой крупномасштабные осциллирующие вихревые структуры. Как показано в [11, 16-18], резонансное возбуждение инерционной моды способно интенсифицировать азимутальное движение жидкости в полости в несколько раз. При этом за пределами резонансных частот скорость дифференциального вращения жидкости оказывается существенно меньше [17].
Несмотря на довольно богатую историю задачи, исследование структуры азимутального течения при различных режимах инерционных колебаний жидкости отсутствует. Целью данной работы является экспериментальное изучение осредненного течения, возбуждаемого периодическим изменением скорости вращения ци-
линдрической полости, с применением PIV-метода (Particle Image Velocimetry). Основное внимание уделяется изучению трансформации профиля угловой скорости жидкости вдоль оси вращения цилиндра.
1. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА И МЕТОДИКА
Эксперименты проводятся на установке, схематично представленной на рис. 1. Кювета представляет собой цилиндр кругового сечения длиной L = 102.0 мм и радиусом R = 26.0 мм, заполненный жидкостью. Торцы кюветы образованы плексигласовыми фланцами и закреплены в опорах шарикоподшипников установки. Один из фланцев кюветы установлен в подшипнике, внутренний диаметр которого превосходит диаметр полости, что позволяет вести наблюдения вдоль оси симметрии. Для компенсации оптических искажений на боковой цилиндрической поверхности кювета помещается в прозрачный плексигласовый параллелепипед. Пространство, образованное кюветой и стенками параллелепипеда, заполняется рабочей жидкостью. В качестве рабочей жидкости используется водный раствор глицерина.
Источник питания
Mastech HY5005E
Шаговый Муфта /
Лазер
Лазер|"^~
Microstep Zet210
Driver SMD-8.0 Генератор
Рис. 1. Схема экспериментальной установки
В случае неравномерного вращения полости скорость в лабораторной системе отсчета меняется по закону:
w(t) — W + AjWlib sin (Wlibt),
где W - средняя угловая скорость вращения полости, Wlib - угловая частота либраций, а A j - амплитуда модуляции скорости вращения.
1.5
D
L
В качестве безразмерной характеристики частоты либраций используется отношение скоростей а ° Оиь / О . Параметры, при которых проводятся эксперименты, приведены в Таблице 1.
Таблица 1
Параметр Определение Значение
L Длина полости 102.0 мм
D = 2R Диаметр полости 52.0 мм
L / R Аспектное соотношение 3.92
V Кинематическая вязкость жидкости 7 - 50 сСт
W Средняя скорость вращения полости 15.7 - 62.8 с-1
Wlib Циклическая частота либраций 0 -144.5 с-1
a = Wlib / W Безразмерная частота либраций 0 - 2.3
e = jo Безразмерная амплитуда либраций 0.05 - 0.15
E = v/ (OR2) Число Экмана 2.110-4 - 2.4 10-3
Вращение полости задается при помощи шагового двигателя FL86STH118-6004A, управляемого драйвером SMD-8.0 и питающегося от источника постоянного тока типа Mastech HY5005E. Регулировка скорости вращения вала двигателя осуществляется с помощью генератора модуля Zet 210 Sigma USB.
Эксперименты проводятся следующим образом. Первоначально кювета приводится в быстрое равномерное вращение вокруг горизонтальной оси со скоростью W . После установления режима твердотельного вращения жидкости задаются частота Wlib и амплитуда либраций e. После выхода системы на установившийся режим вращения исследуется поле скорости в осевом сечении полости. Для применения PIV-метода в жидкость добавляются пластиковые частицы размером d ~ 60 мкм, плотность которых близка к плотности жидкости. Для изучения азимутального течения жидкость освещается световым ножом в поперечном сечении. Световой нож генерируется непрерывным лазером Z-Laser Z500Q, а его положение в различных экспериментах изменяется в диапазоне 2z / L = 0 -1. При изучении осевого течения, полость освещается световым ножом вдоль оси вращения. Видеорегистрация положе-
ния светорассеивающих частиц осуществляется с помощью неподвижной в лабораторной системе отсчета скоростной видеокамеры СашЯесой СЬ600х2. Кросскорреляционный анализ последовательности изображений осуществляется с помощью программы Р1УЬаЬ [19]. Внимание уделяется не только мгновенному, но и осреднен-ному по периоду либраций полю скорости.
2. ОСРЕДНЕННОЕ АЗИМУТАЛЬНОЕ ТЕЧЕНИЕ ПРИ а > 2
В отсутствие либраций жидкость и полость совершают твердотельное вращение. Либрации приводят к возникновению пульсационного движения в вязких пограничных слоях Экмана на торцах полости, в результате чего в объеме полости генерируется осредненное отстающее азимутальное течение (рис. 2). При фиксированном значении частоты либраций а азимутальная скорость жидкости Аг>ф /Ог возрастает квадратичным образом с
амплитудой либраций е. Этот результат следует из теоретического анализа Ванга [8] и Буссе [9], сделанного в приближении отсутствия инерционных колебаний жидкости в пределе низких частот и малых амплитуд либраций. Квадратичная зависимость скорости жидкости от е неоднократно подтверждалась как численными [11], так и экспериментальными исследованиями [10, 20]. В связи с этим безразмерную азимутальную скорость жидкости будем нормировать следующим образом: Аиф / (Оге2).
Профили азимутальной и угловой скорости в сечении, проходящем через центр полости, приведены на рис. 3. Вблизи оси вращения жидкость совершает твердотельное вращение и, по мере приближения к боковой стенке полости, угловая скорость АО / (Ое2 ) монотонно уменьшается по абсолютной величине. Двумерность этого течения сильно нарушается около торцов полости, где отстающее дифференциальное вращение жидкости меняется на опережающее на расстоянии г / Я = 0.8 -1 (рис. 4). В этой части полости форма профиля скорости хорошо согласуется с результатами работ [10] и [11], где рассматривалось течение в относительно коротком цилиндре с аспектным соотношением, равным Ь / Я = 2.13 и 2.0 соответственно. Аналогичным образом вблизи боковой стенки скорость жидкости изменялась немонотонным образом в виде опережающего струйного течения. Как показано в [20], механизм этого течения связан с возникновением осредненных вихревых потоков в углах полости.
1.0 -1 у/Кл
' 0.8 -
0.6 -0.4 -0.2 ~\1 0
-0.2 41 -0.4-0.6-0.8-1.0-
' '
' ' /////'" ' ! Пи/''' I /'/'/'/у //---
Ш
\ \ \ \\Х.......*
\\4Vi
\
11
,1 I
' и и У I, I I I
илЛ Ь
г__/,
/,
х/К
-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 : : :
0 1 Ли , мм/с 3 4
Рис. 2. Поле осредненной азимутальной скорости жидкости Л и для а = 2 и е = 0.25 на расстоянии 2г / Ь = 0 при Е = 3.3 10-4
Рис. 3. Осредненная азимутальная (кружки) и угловая скорость жидкости (ромбики) в зависимости от расстояния от оси вращения г / Я при параметрах, соответствующих рис. 2
С увеличением частоты либраций а скорость ретроградного движения жидкости в центральной части полости монотонно уменьшается до нуля (рис. 5) и при а > 8 вся жидкость совершает опережающее вращение. Результаты измерения скорости твердотельного вращения на расстоянии г / Я = 0.25 в целом описываются теоретической зависимостью Ванга [8], полученной в пределе малых чисел Экмана для а > 2 :
АО = (а+1)У2а+4 + 2 (а-3)У2а-4 + 2 2а-V 2а+4у/2а-4 Ое2 8^2а+4 (а2 + 4а+5) 8л/2а- 4 (а2 - 4а+5) 2а>/2а+4^2а- 4
+ 2а(а2 -6) -V2а+4(а2 + 3а-12)-л/2а-4(а2 -3а-12) + 3а72а+4^2а-4
4а(а2 - 3)^12а+4^2а- 4
Рис. 5. Угловая скорость жидкости на расстоянии г / Я = 0.25 при различных значениях числа Экмана. Сплошная линия соответствует теории Ванга [8]
Следует отметить, что количественное согласование с теорией [8] наблюдается только при Е = 2.1 • 10-4 и Е = 3.3 • 10-4, что указывает на достижение асимптотического предела Е ^ 1. Ранее в экспериментах [10] и численном счете [11] также было обнаружено, что независимо от частоты либраций при Е < 10-4 скорость твердотельного вращения жидкости вдали от боковой стенки полости не зависит от Е. Настоящие эксперименты показывают, что уже при Е = 6.6 • 10-4 наблюдается выход системы из области низких чисел Экмана, в результате чего интенсивность осредненного азимутального течения заметно уменьшается.
3. ВЛИЯНИЕ ИНЕРЦИОННЫХ МОД НА ОСРЕДНЕННОЕ АЗИМУТАЛЬНОЕ ТЕЧЕНИЕ (а < 2 )
В диапазоне частот 0 < а < 2 азимутальное течение осложняется наличием широкого спектра инерционных колебаний жидкости [2]. В случае, когда частота либраций совпадает с одной из собственных частот, возбуждаются инерционные моды - собственные моды колебаний вращающейся жидкости в данной геометрии полости. Значения собственных частот невязких инерционных мод в цилиндрической геометрии определяются следующим выражением:
2 = 4пУ
а = 2_2 . £2 Т2 , г>2 , С3.1)
2 р +Х2ткЬ / Я
где п - осевое волновое число, а Ь / Я - аспектное соотношение.
Параметр Х2тк является т - ым положительным решением трансцендентного уравнения
■ф+к I1+2РП1ё Г 7'к'=
где /|к| (X) - функция Бесселя первого рода к -го порядка.
Рассматривается осесимметричное течение, поэтому к = 0 и для пространственной характеристики инерционной моды используются только осевое и радиальное волновые числа { п, т }. Поскольку торцы полости колеблются симметрично, возникают только симметричные моды по отношению к плоскости г / Ь = 0 с четными значениями п . Значения собственных частот инерционных мод
{ п,т } для цилиндра с аспектным соотношением 3.92 представлены в Таблице 2.
Таблица 2. Невязкие инерционные моды в цилиндре с Ь / Я = 3.92
т = 1 т = 2 т = 3
п = 2 0.772 0.445 0.311
п = 4 1.282 0.831 0.601
п = 6 1.564 1.130 0.855
п = 8 1.718 1.349 1.066
п = 10 1.804 1.505 1.238
а
1.0 у/Я 0.6 0.4 0.2 0
2УЬ
1.0
-2.5
, 1/в
2.5
б
1.0
у/Я 0.6 0.4
0.2 0
0 0.2 1 0.4 1 0.6 1 2УЬ 1.0
1.......1
-0.18
а а/аг2
0
0.06
Рис. 6. Мгновенное поле скоростей в осевом сечении полости в фазе либраций ашг = р (а) и распределение профиля осредненного
азимутального течения вдоль оси вращения (б) при а = 0.77, г = 0.10 и Е = 2.4 10-3
0
Мгновенное поле скоростей, соответствующее моде {2,1} представлено на рис. 6 а. Осциллирующее течение представлено двумя тороидальными вихревыми структурами, знак завихренности в которых определяется фазой либраций. В силу того, что поле скоростей симметрично относительно плоскостей г = 0 и г = 0, здесь и далее представлен только фрагмент, ограниченный размерами г / Я = 0 -1 и 2 г / Ь = 0 -1. Отметим, что результаты визуализации мгновенного поля скорости Р1У-методом хорошо согласуются с теорией (3.1).
Рис. 7. Мгновенное поле скоростей в осевом сечении полости в фазе либраций атг = р (а) и распределение профиля осредненного
азимутального течения вдоль оси вращения (б) при а = 1.28, г = 0.10 и Е = 2.4 10-3
Инерционные колебания жидкости сильно влияют на структуру осредненного азимутального течения. Так, в условиях колебаний моды {2,1 }, опережающее движение в углах полости подавляется возрастающим отстающим азимутальным потоком (рис. 6 б). В то же время вблизи боковой стенки полости на расстоянии 2г / Ь = 0 - 0.7 возникает опережающее течение. Интенсивность этого течения сравнима с тем, что генерируется в углах полости в отсутствие инерционных колебаний (см. рис. 4). Профиль скорости полости также принимает более сложную форму. Движение жидкости вблизи оси вращения перестает быть твердотельным, при этом форма профиля скорости меняется вдоль координаты г / Ь.
а
1.0 у/К 0.6 0.4 -0.2 0
б
1.0
у/К -
го^цц 1/в
1.0 ]
0 1 1 02 0.4 1 0.6 1 2г/Ь 1.0
1 1
-0.12
АП/ПЕ2 0
0.06
Рис. 8. Мгновенное поле скоростей в осевом сечении полости в фазе либраций Птг = ж (а) и распределение профиля осредненного азимутального течения вдоль оси вращения (б) при а = 1.56, е = 0.10 и Е = 2.4 10-3
0
3
С увеличением номера моды распределение азимутальной скорости жидкости наиболее сильно меняется на расстоянии г / Я = 0.7 -1 (рис. 7 и 8). Вдоль боковой стенки полости наблюдается чередование областей опережающего и отстающего дифференциального вращения. В то же время на расстоянии г / Я = 0 - 0.5 изменения, происходящие в профиле скорости вдоль оси вращения, выражены не сильно. Качественные изменения вблизи границы полости связаны с возбуждением осредненного вихревого движения в пограничном слое Стокса. В [21] показано, что осциллирующее движение жидкости, приводит к появлению интенсивных средних течений в виде тороидальных вихрей. Количество вихрей определяется осевым волновым числом п .
На рис. 9 приведена зависимость скорости азимутального течения от частоты либраций в области частот а < 2 . Сплошной линией обозначено теоретическое значение скорости вращения жидкости [8], вычисленное следующим образом:
АО = (а+1)^4 + 2а + 2 (а-1)^4 - 2а - 2 1
Ог2 8^4 + 2а(а2 + 4а + 5) 8^4 - 2а(а2 - 4а + 5) ^4 - 2а>/4 + 2а
у! 4 - 2а 4 + 2а + а(>/ 4 + 2а-V 4 - 2а)- 4 -ч/4- 2а4 + 2а (2 + >/4 + 2ал/4- 2а)(>/4 + 2а + >/4- 2а)
Можно отметить, что в пределе низкочастотных либраций теоретически рассчитанная величина отклонения угловой скорости жидкости от твердотельного вращения приближается к значению АО / (Ог2) = -3 / 20 . Это полностью согласуется с результатом асимптотической теории Буссе [9], полученным в предположении а« 1 и Ь/Я « 1.
Экспериментально полученные значения скорости азимутального течения для случая малых чисел Экмана Е = 1.2 10-4 отличаются от теории. Так, в диапазоне частот 0 < а < 1 благодаря инерционным колебаниям интенсивность отстающего течения оказывается меньше. При этом измерения, выполненные на различных расстояниях от оси вращения, показывают, что при некоторых частотах о движение жидкости в центральной части полости нетвердотельное. Профиль скорости принимает более сложную форму, вид которой меняется в
зависимости от частоты либраций. В диапазоне частот 1 < с < 2 разброс экспериментальных точек становится более существенным. Это связано с возбуждением инерционных мод с меньшим пространственным периодом (см. Табл. 2).
0
до ое
-0.1
-0.2
-0.3
0 0.4 0.8 1.2 1.6 с 2
Рис. 9. Распределение угловой скорости жидкости по частоте либраций в сечении, проходящем через центр полости ( 2г / Ь = 0), для случая с < 2 . Сплошная линия - теория Ванга [8], построенная в предположении отсутствия инерционных колебаний жидкости
Из всей последовательности результатов выбиваются экспериментальные точки, полученные для моды {8,1}. В этом случае дополнительное пульсационное движение жидкости приводит к существенной интенсификации отстающего дифференциального вращения жидкости (см. рис. 9). Тот факт, что в экспериментах с различными частотами либраций наблюдается либо увеличение, либо уменьшение величины ДО /(Ое2) по сравнению с теорией, говорит о том, что инерционные моды могут генерировать как опережающее, так и отстающее дифференциальное вращение жидкости. Таким образом, результирующее течение определяется комбинационным действием двух механизмов: нелинейными эффектами в пограничных слоях Экмана и нелинейными эффектами в объеме полости, связанными с крупномасштабными колебаниями жидкости.
Повышение числа Экмана до Е = 2.4 10-3 приводит к незначительному уменьшению интенсивности дифференциального вращения жидкости. Это определяется тем, что толщина свободных сдви-
говых слоев зависит от E. К сожалению, количество экспериментальных данных не позволяет точно определить показатель степени зависимости между АО / (We2) и числом Экмана. Сравнивая результаты экспериментов с другими работами, следует отметить, что показатель сильно зависит как от геометрии полости, так и от частоты гармонического воздействия. Например, в случае приливного воздействия на сферическую полость с резонансной частотой at¡de = 0.38 в диапазоне чисел Экмана E = 5 10-5 -10-3
экспериментально была получена зависимость ~E-3/10 [17]. Уже при небольшом отклонении от резонансной частоты до значения <7tide = 0.384 показатель степени сильно менялся (~ E-0'64), а при <7tide = 0.178 скорость азимутального течения менялась с числом
Экмана по закону ~E-21 [22]. Для вращающегося сферического слоя, также находящегося под влиянием приливного воздействия с частотой <Jtide = 0.88, численно была получена зависимость ~ E-3/2, а при частоте st¡de = 1 скорость дифференциального вращения жидкости убывала обратно пропорционально квадратному корню из числа Экмана, ~ E-1/2 [16, 18].
Заключение. Выполнено экспериментальное исследование азимутального течения в либрирующем цилиндре. Осциллирующее движение жидкости приводит к генерации осредненного по периоду либраций дифференциального вращения жидкости. В зависимости от частоты либраций s в полости возникают различные режимы пульсационного движения, благодаря чему происходит трансформация профиля осредненного течения. Если s > 2 пульсацион-ное движение локализовано в пределах вязких пограничных слоев Экмана на торцах полости. В этом случае вблизи оси вращения на расстоянии r / R = 0 - 0.5 возникает отстающее течение в виде твердотельно вращающегося столба жидкости. По мере приближения к боковой стенке полости интенсивность азимутального течения уменьшается. Двумерность этого течения нарушается вблизи углов полости, где генерируется опережающее движение жидкости. Результаты экспериментов в области малых чисел Экмана хорошо согласуются с ранними теоретическими исследованиями [8, 9].
В случае s < 2 при определенных частотах либраций возбуждаются инерционные моды - собственные моды колебаний жидкости в данной геометрии полости. Пульсационное движение жидкости, связанное с этими режимами колебаний, приводит к модифи-
кации формы осредненного профиля скорости. Твердотельное отстающее движение жидкости вблизи оси вращения нарушается, при этом профиль скорости меняется с расстоянием до торцов полости. Наиболее сильное влияние инерционные моды оказывают на азимутальное течение вблизи боковой стенки цилиндра. Здесь появляются чередующиеся области отстающего и опережающего дифференциального вращения жидкости. Положение этих областей сильно зависит от конкретного режима инерционных колебаний. Механизм генерации структур вблизи боковой стенки связан с возникновением осредненного вихревого течения в пограничном слое Стока [21].
Работа выполнена при поддержке Гранта Президента Российской Федерации (проект МК-1994.2018.1).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ
1. Riley N. Steady streaming // Annu. Rev. Fluid Mech. 2001. Vol. 33. P. 43-65.
2. Гринспен X. Теория вращающихся жидкостей. Л: Гидрометео-издат, 1975. 304 с.
3. Le Bars M., Cebron D., Le Gal P. Flows driven by libration, precession, and tides // Annu. Rev. Fluid Mech. 2015. Vol. 47. P. 163193.
4. Busse F.H. Mean zonal flows generated by librations of a rotating spherical cavity // J. Fluid Mech. 2010. Vol. 650. P. 505-512.
5. Calkins M.A., Noir J., Eldredge J.D., Aurnou J.M. Axisymmetric simulations of libration-driven fluid dynamics in a spherical shell geometry // Phys. Fluids. 2010. Vol. 22. P. 086602.
6. Margot J.L., Peale S.J., Jurgens R.F., et al. Large longitude libra-tion of Mercury reveals a molten core // Science. 2007. Vol. 316. P. 710-714.
7. Thomas P.C., Tajeddine R., Tiscareno M.S., et al. Enceladus's measured physical libration requires a global subsurface ocean // Icarus. 2016. Vol. 264. P. 37-47.
8. Wang C.Y. Cylindrical tank of fluid oscillating about a steady rotation // J. Fluid Mech. 1970. Vol. 41. P. 581-592.
9. Busse F.H. Zonal flow induced by longitudinal librations of a rotating cylindrical cavity // Physica D. 2011. Vol. 240. P. 208-211.
10. Noir J., Calkins M.A., Lasbleis M, et al. Experimental study of li-bration-driven zonal flows in a straight cylinder // Phys. Earth Planet. Inter. 2010. Vol. 182. P. 98-106.
11. Sauret A., Cebron D., Le Bars M, Le Dizes S. Fluid flows in a li-brating cylinder // Phys. Fluids. 2012. Vol. 24. P. 026603.
12. Messio L., Morize C., Rabaud M., Moisy F. Experimental observation using particle image velocimetry of inertial waves in a rotating fluid // Exp. Fluids. 2008. Vol. 44. P. 519-528.
13. Boisson J., Lamriben C, Maas L.R.M., et al. Inertial waves and modes excited by the libration of a rotating cube // Phys. Fluids. 2012. Vol. 24. P. 076602.
14. Borcia I.D., Abouzar G.V., Harlander U. Inertial wave mode excitation in a rotating annulus with partially librating boundaries // Fluid Dyn. Res. 2014. Vol. 46. P. 041423.
15. Wu K., Welfert B.D., Lopez J.M. Librational forcing of a rapidly rotating fluid-filled cube // J. Fluid Mech. 2018. Vol. 842. P. 469494.
16. Tilgner A. Zonal wind driven by inertial modes // Phys. Rev. Lett. 2007. Vol. 99. P. 194501.
17. Morize C, Le Bars M, Le Gal P., Tilgner A. Experimental determination of zonal winds driven by tides // Phys. Rev. Lett. 2010. Vol. 104. P. 214501.
18. Favier B., Barker A., Baruteau C., Ogilvie G. Nonlinear evolution of tidally forced inertial waves in rotating fluid bodies // Mon. Not. R. Astron. Soc. 2014. Vol. 439. P. 845-860.
19. Thielicke W., Stamhuis E.J. PIVlab - towards user-friendly, affordable and accurate digital particle image velocimetry in MATLAB // J. Open Res. Softw. 2014. Vol. 2. e30.
20. Subbotin S., Dyakova V. Inertial waves and steady flows in a liquid filled librating cylinder // Microgravity Sci. Technol. 2018. Vol. 30. P. 383-392.
21. Субботин С.В., Кропачева А. С. Осреднённые течения, возбуждаемые инерционными модами в либрирующем цилиндре // Вестник Пермского университета. Физика. 2018. № 4 (42). С. 67-73.
22. Sauret A., Le Bars M, Le Gal P. Tide-driven shear instability in planetary liquid cores // Geophys. Res. Lett. 2014. Vol. 41. P. 6078-6083.
EFFECT OF THE INERTIAL OSCILLATIONS OF THE FLUID ON ZONAL FLOW IN A NON-UNIFORM ROTATING CYLINDER
S.V. SUBBOTIN, A.S. KROPACHEVA
Abstract. Fluid flow in non-uniform rotating (librating) cylinder is experimentally investigated. Librations lead to the appearance of steady zonal flow. It is found that the angular velocity profile of the fluid strongly depends on the frequency of the cavity velocity variations. A retrograde differential rotation of the flow is generated in the frequency region where there are no inertial oscillations. The two-dimensionality of this flow is violated only near the cavity corners. The presence of inertial oscillations strongly modifies the azimuthal flow structure. It is found that close to the cylinder side wall the alternating regions with retrograde and prograde differential rotation of the fluid appear. The position of the latter depends on the specific regime of inertial oscillations.
Key words: rotation, librations, inertial modes, zonal flow.
