CC BY
29Конвективные течения..., 2015
ВЛИЯНИЕ ЛИБРАЦИЙ НА ДИНАМИКУ СВОБОДНОГО ЯДРА ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ С ЖИДКОСТЬЮ
С.В. Субботин, А.В. Уральцев
Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет, 614990, Пермь, Сибирская, 24
Экспериментально исследуется влияние либраций (периодического изменения скорости вращения полости) на динамику свободного сферического ядра во вращающейся вокруг горизонтальной оси сферической полости с жидкостью. Рассматривается случай, когда частота либраций мала по сравнению со скоростью вращения полости. Обнаружено, что либрации приводят к интенсификации отстающего дифференциального вращения ядра, обусловленного действием поля силы тяжести. Показано, что вклад либраций в дифференциальное вращение определяется амплитудой либраций и зависит от числа Экмана.
Ключевые слова: дифференциальное вращение, сферический слой, либрации, осредненные эффекты.
ВВЕДЕНИЕ
Известно, что у многих спутников и планет Солнечной системы наблюдаются периодические изменения осевой скорости вращения, получившие название «либрации» [1]. Природа либраций связана с гравитационным взаимодействием орбитальных партнеров. Вот неполный список спутников и планет, которые испытывают либрации по долготе: Меркурий, Луна - спутник Земли, Фобос и Деймос - спутники Марса, Галилеевы спутники Юпитера (Ио, Европа, Г а-нимед, Каллисто), а также многие луны Сатурна, например Титан [1, 2]. При этом известно, что многие из них имеют сложную внутреннюю структуру. Так, предполагается, что Меркурий [3, 4], Луна [5], Ио, Европа и Ганимед [6, 7] имеют частично расплавленное
© Субботин С.В., Уральцев А.В., 2015
Конвективные течения..., 2015
внешнее и центральное твердое ядро. А вот Европа, Каллисто, Га-нимед и луны Сатурна, Энцелад и Титан, имеют под ледяной оболочной водяные океаны [8, 9].
Множество экспериментальных, численных и теоретических исследований показывают, что либрации играют важную роль в динамике жидких недр планет. Знание точных характеристик течений важно для понимания процессов, участвующих в генерации магнитных полей. Кроме того, сочетание орбитальных измерений и моделирования движения потоков помогает построить точные модели внутреннего строения планет [10], а также модели взаимодействия между ядром и мантией [11-13].
Численные [14, 15] и лабораторные эксперименты [15-17] показали, что либрации сферической полости, в центре которой находится вращающееся с постоянной угловой скоростью сферическое ядро, способны возбуждать различные режимы зонального (азимутального) течения. Благодаря либрациям небольшой амплитуды в полости возбуждаются инерционные волны, являющиеся собственными модами колебаний невязкой жидкости [18]. Возбуждение инерционной волны происходит резонансным образом, когда частота либраций совпадает с собственной частотой соответствующей моды [14, 17]. Инерционные волны распространяются в жидкости вдоль характеристических поверхностей, имеющих форму конусов. При этом в результате осциллирующего движения в свободных сдвиговых слоях в объеме жидкости возникает осесимметричное зональное течение. Этот режим существует, когда частота либраций вдвое меньше частоты вращения полости. При умеренных амплитудах либраций на стенке полости в пограничных слоях Экмана возникает центробежная неустойчивость в виде вихрей Гёртлера. Вихри возникают в приэкваториальной области, в то же время в объеме жидкости продолжает доминировать течение, связанное с инерционными волнами. Наконец, при больших амплитудах либраций пограничные слои на стенке полости становятся турбулентными.
В пределе низких частот либраций (Q.L << Q.rol), в отсутствие инерционных волн, в объеме жидкости также может генерироваться зональное течение в результате нелинейного взаимодействия жидкости в пограничных слоях Экмана [19]. Приближение низких частот позволило показать, что интенсивность зонального потока не зависит от частоты либраций, а пропорциональна квадрату амплитуды либраций, что было подтверждено экспериментально
212
Субботин С.В., Уральцев А.В. Влияние либраций на динамику
[20, 21]. В [22-24] был сделан вывод о том, что либрации способны генерировать зональное течение не только в сферических, но и в цилиндрических полостях при произвольной частоте либраций.
Источником зонального течения могут выступать внешние инерционные силовые поля. Так, в [25] была рассмотрена задача о поведении свободного цилиндрического ядра в заполненном жидкостью и вращающемся в поле силы тяжести цилиндре. Под действием поля ядро совершает круговые колебания относительно полости вблизи оси вращения. В результате нелинейных эффектов в динамических вязких слоях генерируется осредненная массовая сила. Последняя рождает азимутальное движение жидкости и приводит ядро в дифференциальное вращение. Эффект дифференциального вращения сферического внутреннего ядра во вращающейся сферической полости под действием статического внешнего поля был обнаружен в [26].
Колебания ядра могут быть вызваны осциллирующим инерционным полем, например вибрациями полости [27, 28]. Резонансное увеличение амплитуды колебаний ядра и, как следствие, его интенсивного дифференциального вращения наблюдается, когда частота вибраций совпадает с одной из собственных частот колебаний ядра. Интенсивное вращение сохраняется даже в случае, когда частота осцилляций более чем вдвое превышает скорость вращения системы. Это свидетельствует о том, что инерционные волны не играют определяющей роли в генерации азимутального течения.
Целью данной работы является изучение поведения свободного сферического твердого ядра в быстровращающейся вокруг горизонтальной оси сферической полости с жидкостью при периодическом изменении скорости вращения последней.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Схема экспериментальной установки приведена на рис.1. Легкое сферическое тело (ядро) радиуса R1 и средней плотности ps находится в заполненной жидкостью сферической полости радиуса R2. Плотность жидкости превышает плотность ядра, pL > ps. Полость быстро вращается вокруг горизонтальной оси, причем скорость вращения такова, что под действием центробежной силы твердое ядро находится в центральной части полости. В качестве рабочей жидкости используются водоглицериновые растворы кинематической вязкости v.
213
Конвективные течения..., 2015
Вращение полости задается шаговым двигателем FL86STH118-6004A, для управления которым используется драйвер типа Microstep Driver M542, для питания - источник постоянного тока Mastech HY5005E. Регулировка скорости вращения осуществляется при помощи генератора модуля Zet 210, управляемого компьютером. Подробное описание экспериментальной установки можно найти в [29].
Рис.1. Схема экспериментальной установки
Скорость вращения полости в инерциальной системе отсчета периодически изменяется по закону:
Q(t) = Qrot + QL sin (QLt) ,
где Qrot - средняя скорость вращения полости, Аф - угловая амплитуда либраций, QL - угловая скорость либраций.
Изучается случай низких частот либраций, когда QL << Qrot. В качестве характеристик либрационного воздействия используется безразмерная частота f = QL / Qmt и амплитуда модуляции s = ApQL / Qrot = AQs / Qrot, которая эквивалентна безразмерной амплитуде изменения скорости вращения полости. Параметры, при которых проводятся эксперименты, приведены в таблице.
Эксперимент проводится следующим образом. Первоначально кювета приводится в равномерное вращение со скоростью
214
Субботин С.В., Уральцев А.В. Влияние либраций на динамику
frot = D.rol / 2ж. После установления стационарного режима вращения ядра при заданной частоте fL =0.L / 2ж плавно увеличивается амплитуда либраций s . На каждом шаге изменения s измеряется средняя скорость вращения ядра / =D.s / 2ж в лабораторной системе отсчета. Измерение / осуществляется путем синхронизации с частотой мерцаний стробоскопической лампы с точностью не ниже 0.001 об/с.
Параметр Определение Значение
R Радиус ядра 1.77 см
R Радиус полости 3.60 см
Ps Плотность ядра 0.23 г/см3
Pl Плотность жидкости 1.12 -1.13 г/см3
V Кинематическая вязкость жидкости 4.9 -7.5 сСт
f, =Q , / 2ж J rot rot Средняя скорость вращения 16 - 25 об/с
fL =QL /2ж Частота либраций 0 - 4 Гц
Ap Угловая амплитуда либраций О 1
A/s = AQs / 2ж Амплитуда изменения скорости вращения полости 0 - 8 об/с
/ ^ L / ^ Безразмерная частота либраций О 1 о to
s = AVf = A/s/ L, Безразмерная амплитуда либраций 0 - 0.15
E-1 = ^rotR / v Число Экмана (0.5 -1)104
В последующих экспериментах при заданных значениях s варьируется частота либраций. Отметим, что на каждом шаге изменения амплитуды или частоты либраций ожидается выход системы на установившийся режим вращения. В случае когда ядро вращается не стационарно и его скорость изменяется со временем, помимо среднего значения / измеряется диапазон изменения скорости.
По результатам измерений рассчитывается средняя скорость дифференциального вращения ядра А/ = / - /rot. Отрицательные
215
Конвективные течения..., 2015
значения А/ означают, что в лабораторной системе отсчёта ядро вращается медленнее полости, положительные значения А/ соответствуют опережающему вращению.
2. РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТОВ
В отсутствие либраций ядро совершает медленное отстающее дифференциальное вращение под действием силы тяжести (штриховая горизонтальная линия на рис.2). Это объясняется тем, что в лабораторной системе отсчета легкое ядро смещено относительно оси вращения полости на расстояние, меньшее или близкое значению 0.LRj. При этом во вращающейся системе отсчета ядро совершает круговые колебания относительно центра полости в направлении, противоположном направлению ее вращения, с частотой D.osc = -Qrot. В результате осциллирующего движения в вязких пограничных слоях вблизи границ ядра и стенок полости генерируются сдвиговые напряжения, раскручивающие ядро относительно полости [25, 26].
0.4 А/ об/с 0
-0.4 -0.8 -1.2
0123401234
А/ об/с А/, об/с
Рис.2. Пределы изменения (точки 1) и средняя скорость (2) дифференциального вращения ядра в зависимости от амплитуды либраций при fL = 1 Гц, /гЫ = 20 об/с и v = 7.5 сСт; светлые и темные точки соответствуют повышению и понижению скорости вращения полости; штриховая горизонтальная линия соответствует дифференциальному вращению ядра в отсутствие либраций
216
Субботин С.В., Уральцев А.В. Влияние либраций на динамику
Типичная динамика ядра при либрациях представлена на рис.2а. Либрации полости приводят к тому, что скорость вращения ядра становится непостоянной и периодически изменяется в некотором интервале (точки 1). В то же время средняя скорость отстающего дифференциального вращения возрастает (точки 2).
С повышением амплитуды либраций Д/е наблюдается монотонное увеличение скорости дифференциального вращения ядра. Одновременно диапазон изменения Д/ расширяется, и при некотором критическом значении амплитуды максимальная скорость дифференциального вращения ядра превышает среднюю скорость вращения полости ( Д/ > 0).
На рис.2б представлена средняя скорость дифференциального вращения в увеличенном масштабе. Видно, что как при увеличении, так и при уменьшении Д/ экспериментальные точки хорошо согласуются между собой, поэтому можно говорить об отсутствии гистерезиса.
Рис.3. Зависимость средней скорости дифференциального вращения ядра от частоты либраций при различных е ; /гЫ = 20 об/с и v = 7.5 сСт
Влияние частоты либраций /L при фиксированных значениях амплитуды е на динамику ядра показано на рис.3. При малых значениях е (0.020) либрации практически не оказывают влияния на
217
Конвективные течения..., 2015
среднюю скорость дифференциального вращения А/. Либрацион-ная составляющая скорости / = А/ - А/ близка к нулю практически во всем диапазоне частот /L (здесь А/ - скорость дифференциального вращения в отсутствие либраций).
При s > 0.04 с увеличением частоты fL наблюдается резкое возрастание дифференциального вращения, интенсивность которого практически перестает меняться по достижении критической частоты /L = 0.35 Гц. Как показывают эксперименты, значение /* не зависит от амплитуды либраций.
Рис.4. Либрационная составляющая средней скорости вращения ядра в зависимости от безразмерной частоты либраций; у = 7.5 сСт
Безразмерная либрационная составляющая скорости ядра в зависимости от безразмерной частоты либраций / представлена на рис.4. Экспериментальные точки, полученные при различных значениях скорости вращения полости frot, а следовательно, и при различных значениях А/ , удовлетворительно согласуются между
собой. При этом с увеличением s дифференциальное вращение, связанное с либрациями, возрастает. Таким образом, в вязкой жидкости (у = 7.5 сСт) вклад либраций в дифференциальное вращение
218
Субботин С.В., Уральцев А.В. Влияние либраций на динамику
ядра, AfL / frot, в диапазоне частот f = 0.02 - 0.1 определяется только амплитудой s.
С уменьшением вязкости зависимость скорости вращения ядра от частоты fL меняется (рис.5). С увеличением fL при фиксированном значении s отстающее дифференциальное вращение монотонно возрастает по линейному закону, причем с увеличением s интенсивность возрастания AfL с частотой повышается.
0
f об/с -0.02
-0.04
-0.06
0 12 3 f, Гц 4
Рис.5. Зависимость средней скорости дифференциального вращения ядра от частоты либраций при различных s ; frot = 20 об/с и v = 4.9 сСт
На рис.6 показано влияние амплитуды s на либрационную составляющую скорости дифференциального вращения |fj / frot для двух значений вязкости жидкости. В обоих случаях отношение |AfL| / frot изменяется с s по степенному закону, при этом с
уменьшением v показатель степени n понижается. Так, в случае v = 7.5 сСт дифференциальное вращение возрастает по закону |f / frot ~ s2 5±01, а при v = 4.9 сСт закон имеет вид
| AfL | / frot ~ s18±01. Изменение закона (об этом будет ниже) связано
с изменением числа Экмана E = v / Q^R2. Последнее характеризует отношение вязких сил к силе Кориолиса, с одной стороны, и
219
Конвективные течения..., 2015
время спинапа (переходной режим к установившемуся движению
жидкости) т ~ 1/Ve - с другой [18].
Можно видеть (рис.7а), что все экспериментальные точки согласуются между собой на плоскости параметров (f, |AfJ / frots2'5), при этом в диапазоне низких частот f = 0.02 - 0.1 скорость дифференциального вращения постоянна и не зависит от частоты либраций f .
Рис.6. Вклад либраций в дифференциальное вращение ядра для двух значений вязкости жидкости
0.05
0.1 f 0.15
0
Рис.7. Зависимость безразмерной скорости дифференциального вращения ядра от безразмерной частоты либраций; v = 7.2 сСт (а) и v = 4.9 сСт (б)
220
Субботин С.В., Уральцев А.В. Влияние либраций на динамику
Результаты экспериментов, полученные с менее вязкой жидкостью, согласуются между собой на плоскости параметров f, |f / frotel s (рис.7б). При этом в исследуемом диапазоне частот с увеличением f скорость отстающего дифференциального вращения возрастает по линейному закону.
3. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
В [19] аналитически исследовано влияние либраций на динамику жидкости в сферической полости в приближении малых амплитуд и малых частот либраций по сравнению со скоростью вращения полости (f << е << 1), но больших по сравнению с обратным временем спинапа (f >> ->/e) . Это означает, что толщина вязких пограничных слоев мала по сравнению с размером ядра, а эффекты спинапа, связанного с либрациями, ограничены внешним пограничным слоем. Также предполагалось, что инерционные волны и связанное с ними зональное течение, отсутствуют.
Как показано в [19], в результате осциллирующего движения, вызванного либрациями в вязком пограничном слое Экмана, жидкость в объеме начинает в среднем вращаться относительно полости. При этом скорость осредненного течения в невязкой области определяется выражением:
U = е2кхrF(| kхr |2), (3.1)
F (| к х r |2) = F (х2)
259х2 -360 2400(1- x2)
(3.2)
где к - единичный вектор в направлении вращения полости, r -расстояние от оси вращения.
Функция F(x2)/ е2 описывает распределение осредненной угловой скорости жидкости вдоль радиуса. Из (3.2) видно, что в диапазоне 0 < x < 1 жидкость совершает отстающее дифференциальное вращение, интенсивность которого не зависит от частоты либраций и числа Экмана.
На рис.8 представлены найденные экспериментально при различных значениях числа Экмана показатели степени зависимости
221
Конвективные течения..., 2015
I AfL |/frot(е) ■ При E~5-10 3 экспериментальные данные существенно отличаются от асимптотического закона Буссе. Причина этого может быть связана с влиянием эффектов спинапа за пределами вязкого пограничного слоя, т.е. в объеме жидкости. На это указывает непостоянство скорости вращения ядра при либрациях (см. рис.2а). С другой стороны, отличие может быть связано с возбуждением инерционных волн, которые способны существенно изменять зональное течение [30].
3 n 2 1.5 1
5-103 104 Е-1 2-104
Рис.8. Сравнение показателя степени n (в зависимости скорости дифференциального вращения ядра от амплитуды либраций) с теоретическим законом [19] (штриховая линия)
С уменьшением E показатель степени n становится меньше и принимает значение, близкое к теоретическому n = 2 [19]. При этом, как следует из теории, в пределе малых чисел Экмана скорость зонального течения не должна зависеть от частоты f. Это качественно согласуется с результатами экспериментов на вязкой жидкости (см. рис.7а). В то же время, как можно видеть на рис.7б, в экспериментах с маловязкой жидкостью с повышением f интенсивность дифференциального вращения возрастает. Выяснение причин расхождения теоретических предсказаний и экспериментальных результатов является предметом дальнейших исследований. Но уже на этом этапе можно предположить, что расхождение может быть связано с изменением структуры осциллирующего движения жидкости в результате, к примеру, потери устойчивости вязких динамических слоев. Отметим, что амплитуда угловых колебаний полости в эксперименте изменялась в широком интервале Лф= 0 - 4я, в то время как в теории она предполагается малой.
3
F.H. Busse, 2010
I
222
Субботин С.В., Уральцев А.В. Влияние либраций на динамику
Заключение. Экспериментально исследована динамика свободного сферического ядра во вращающейся сферической полости с жидкостью при либрациях. Обнаружено, что осциллирующее движение жидкости, вызванное либрационным воздействием, приводит к возникновению осредненного отстающего дифференциального вращения ядра. Сравнение результатов экспериментов с результатами теории Буссе, показывает удовлетворительное согласие в области малых чисел Экмана E ~ 10~4.
Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (проект 14-11-00476).
СПИСОК БИБЛИОГРАФИЧЕСКИХ ССЫЛОК
1. Comstock R.L., Bills B.G. A solar system survey of forced librations in longitude // J. Geophys. Res. 2003. Vol. 108, No. E 9. P. 5100.
2. Yoder C.F. Venus free obliquity // Icarus. 1995. Vol. 117, No. 2. P. 250-286
3. Internal and tectonic evolution of Mercury / S.A. Hauck, A.J. Dom-bard, R.J. Phillips, et al. // Earth Planet. Sci. Lett. 2004. Vol. 222, No. 3-4. P. 713-728.
4. Large longitude libration of Mercury reveals a molten core / J.L. Margot, S.J. Peale, R.F. Jurgens, et al. // Science. Vol. 316. P. 710-714.
5. Lunar rotational dissipation in solid body and molten core / J.G. Williams, D.H. Boggs, C.F. Yoder, et al. // J. Geophys. Res. 2001. Vol. 106, No. E11. P. 27933-27968.
6. Gravitational constraints on the internal structure of Ganymede / J.D. Anderson, E.L. Lau, W.L. Sjogren, et al. // Nature. 1996. Vol. 384. P. 541-543.
7. Europa’s differentiated internal structure: inferences from four Galileo encounters / J.D. Anderson, G. Schubert, R.A. Jacobson, et al. // Science. 1998. Vol. 281. P. 2019-2022.
8. Shape, mean radius, gravity field, and interior structure of Callisto / J.D. Anderson, R.A. Jacobson, T.P. McElrath, et al. // Icarus. 2001. Vol. 153, No. 1. P. 157-161.
9. Titan’s rotation reveals an internal ocean and changing zonal winds / R.D. Lorenz, B.W. Stiles, R.L. Kirk, et al. // Science. Vol. 319. P. 1649-1651.
223
Конвективные течения..., 2015
10. Large longitude libration of mercury reveals a molten core / J.L. Margot, S.J. Peale, R.F. Jurgens, et al. // Science 2007. Vol. 316. P. 710-714.
11. Buffett B.A. Constraints on magnetic energy and mantle conductivity from the forced nutations of the Earth // J. Geophys. Res. Vol. 97, No. B13. P. 19581-19597.
12. Jault D. Electromagnetic and topographic coupling, and LOD variations // Earth’s core and lower mantle / Volume editors Jones C.A., Soward A.M., Zhang K. Taylor & Francis: London, 2003, P. 56-76.
13. Holme R., de Viron O. Geomagnetic jerks and a high-resolution length-of-day profile for core studies // Geophys. J. Int. 2005. Vol. 160. P. 435-439.
14. Tilgner A. Driven inertial oscillations in spherical shells // Phys. Rev. E. 1999. Vol. 59, No. 2. P. 1789-1794.
15. An experimental and numerical study of librationally driven flow in planetary cores and subsurface oceans / J. Noir, F. Hemmerlin, J. Wicht, et al. // Phys. Earth Planet. Inter. 2009. Vol. 173. P. 141-152.
16. Aldridge K.D., Toomre A. Axisymmetric inertial oscillations of a fluid in a rotating spherical container // J. Fluid Mech. 1969. Vol. 37. P. 307-323.
17. Aldridge K.D. Inertial waves and earth’s outer core // Geophys. J. Int. 1975. Vol. 42, No. 2. P. 337-345.
18. Гринспен X. Теория вращающихся жидкостей // Л: Гидрометео-издат, 1975. 304 c.
19. Busse F.H. Mean zonal flows generated by librations of a rotating spherical cavity // J. Fluid Mech. 2010. Vol. 650. P. 505-512.
20. Experimental and numerical study of mean zonal flows generated by librations of a rotating spherical cavity / A. Sauret, D. Cebron, C. Morize, et al. // J. Fluid Mech. 2010. Vol. 662. P. 260-268.
21. Axisymmetric simulations of libration-driven fluid dynamics in a spherical shell geometry / M. Calkins, J. Noir, J. Eldredge, et al. // Phys. Fluids. 2010. Vol. 22. P. 086602.
22. Experimental study of libration-driven zonal flows in a straight cylinder / J. Noir, M.A. Calkins, M. Lasbleis, et al. // Phys. Earth Planet. Inter. 2010. Vol. 182. P. 98-106.
23. Busse F.H. Zonal flow induced by longitudinal librations of a rotating cylindrical cavity // Physica D. 2011. Vol. 240. P. 208-211.
24. Sauret A., Le Dizes S. Steady flow induced by longitudinal libration in a spherical shell // J. Fluid Mech. 2013. Vol. 718. P. 181-209.
224
Субботин С.В., Уральцев А.В. Влияние либраций на динамику
25. Козлов В.Г., Козлов Н.В. Вибрационный гидродинамический волчок // Докл. РАН. 2007. Т. 415, № 6. С. 759-762.
26. Козлов В.Г., Козлов Н.В., Субботин С.В. Движение жидкости и твердого ядра в сферической полости, вращающейся во внешнем силовом поле // Докл. РАН. 2014. Т. 454, № 2. C. 173-177.
27. Иванова А А., Козлов Н.В., Субботин С.В. Вибрационная динамика легкого сферического тела во вращающемся цилиндре с жидкостью // Изв. РАН. МЖГ. 2012. № 6. C. 3-14.
28. Kozlov V., Kozlov N., Subbotin S. Vibrational dynamics of a light sphere in a rotating spherical cavity filled with liquid // Proc. Int. Astr. Cong., IAC. 2013. Vol. 1. P. 470-477.
29. Субботин С.В. Методика изучения поведения сферического тела во вращающейся сферической полости // Конвективные течения... Вып. 6. Пермь: Перм. гос. гуманит.-пед. ун-т, 2013. С. 92-103.
30. Tilgner A. Zonal wind driven by inertial modes // Phys. Rev. Lett. 2007. Vol. 99. P. 194501.
INFLUENCE OF LIBRATIONS ON THE DYNAMICS OF FREE CORE IN ROTATING SPHERICAL CAVITY WITH LIQUID
S.V. Subbotin, A.V. Uraltsev
Abstract. Effect of librations (periodic change in the cavity rotation speed) on the dynamics of free spherical core in rotating about horizontal axis spherical cavity with liquid is experimentally studied. The frequency of librations is small compared with the rotation frequency of the cavity. It is found that the librations lead to an intensification of lagging differential rotation of the core due to the action of the gravity. It is shown that the contribution of librations in differential rotation is determined by the amplitude of librations, the exponent of which depends on the Ekman number.
Key words: differential rotation, spherical shell, librations, averaged effects.
225
