CC BY
59УДК 532.5.01; 532.51; 532.526
Субботин Станислав Валерьевич
Кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник лаборатории вибрационной гидромеханики
Кропачева Анастасия Сергеевна
Студентка физического факультета
ФГБОУ ВО «Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет», Россия, 614990, г. Пермь, ул. Сибирская, 24, (342) 238-64-15,
e-mail: subbotin_sv@pspu. ru
ЗАВИСИМОСТЬ ДИНАМИКИ СВОБОДНОГО ЯДРА ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ПОЛОСТИ С ЖИДКОСТЬЮ ОТ ЧАСТОТЫ МОДУЛЯЦИИ СКОРОСТИ ВРАЩЕНИЯ*
Stanislav V. Subbotin
PhD, Senior Researcher of the Vibrational Hydromechanics Lab.
Anastasia S. Kropacheva
Student of the Physical Faculty
Federal State Budget Educational Institution of Higher Education
«Perm State Humanitarian Pedagogical University» 24, Sibirskaya, 614990, Perm, Russia, e-mail: subbotin_sv@pspu.ru
DEPENDENCE OF THE DYNAMICS OF THE FREE CORE IN ROTATING CAVITY ON THE MODULATION FREQUENCY OF THE ROTATION
RATE*
Аннотация: экспериментально исследуется поведение свободного ядра во вращающейся вокруг горизонтальной оси сферической полости, скорость вращения которой меняется по гармоническому закону (либрации). Обнаружено, что либрации приводят к возникновению осредненного течения, в результате которого свободное ядро приходит в дифференциальное вращение. Динамика ядра существенно зависит от частоты либрационного воздействия. Так, в случае либраций низкой частоты скорость дифференциального вращения непостоянна и периодически изменяется с частотой либраций. При этом интенсивность дифференциального вращения возрастает пропорционально
© Субботин С.В., Кропачева А.С., 2016
* Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 16-31-60099 мол_а_дк и РФФИ № 16-3100169 мол_а.
квадрату амплитуды модуляции. При умеренных частотах ядро равномерно вращается относительно полости. Если частота либраций совпадает с частотой вращения полости, резонансное влияние либраций и поля силы тяжести приводят к уменьшению отстающего дифференциального вращения ядра.
Ключевые слова: либрации, пограничные слои, осредненное течение, дифференциальное вращение.
Abstract: the behavior of a free core in a rotating around the horizontal axis spherical cavity the rotation speed of which changes according to a harmonic law (libration) is experimentally investigated. It is found that the libration leads to the appearance of steady flow, resulting in the free core averaged lagging differential rotation. Core dynamics significantly depends on the frequency of the libration. So, in the case of low frequency libration the differential rotation speed is not constant and varies periodically with the libration frequency. Hear the intensity the differential rotation increases as the square of the amplitude of modulation. At moderate frequencies the core rotates uniformly relative to the cavity. If the libration frequency coincides with the rotation frequency of the cavity, a resonant effect of the libration and the gravity field leads to decrease of the retrograde differential rotation of the core.
Key words: librations, boundary layers, steady flow, differential rotation.
Изучение динамики твердых включений во вращающихся жидких сферических слоях является актуальной задачей современной механики жидкости. Интерес объясняется внутренней структурой спутников и планет, многие из которых имеют твердое внутреннее и расплавленное внешнее ядро [12]. Известно, что гравитационное взаимодействие между планетами и их спутниками оказывает сильное влияние на динамику ядра [9]. Ярким примером являются так называемые «либрации» - периодические изменения скорости вращения планеты. Число работ в этом направлении велико. Так, аналитические [3] и экспериментальные [11] исследования движения жидкости в либрирующей сфере показали, что в пределе низких частот либраций в результате нелинейных эффектов в пограничных слоях Экмана генерируется осредненное азимутальное течение. Интенсивность течения не зависит от частоты и пропорциональна квадрату амплитуды либраций. В сферическом слое либрации внешней [4, 10] или внутренней сферы [5] также приводят к возникновению осредненного течения. Экспериментальные исследования влияния низкочастотных либраций на динамику свободного внутреннего ядра [2] показали, что либрации приводят к генерации отстающего дифференциального вращения, скорость которого зависит от вязкости жидкости. Это означает, что внутреннее ядро выступает в качестве индикатора, увлекающегося потоком жидкости, что может использоваться для исследования интенсивности осредненного течения. В настоящей работе продолжаются исследования, начатые в [8], при этом внимание уделяется влиянию частоты либраций на динамику твердого ядра.
Экспериментальная установка и методика. Схема экспериментальной установки приведена на рис. 1. Легкое сферическое тело (ядро) радиусом
"5
R1 = 1,27 см и средней плотностью р5 = 0,82 г/см находится в заполненной жидкостью сферической полости радиусом R2 = 3,60 см. Кювета представляет собой две полусферы, выточенные в плексигласовых параллелепипедах и плотно соединенные между собой. С обеих сторон кювета закрепляется в шарикоподшипниках неподвижных опор, при этом с одной стороны в качестве опоры используется подшипник большого диаметра. Это позволяет исследовать динамику угловой координаты ядра от параметров либраций.
В качестве рабочей жидкости используются водоглицериновые растворы кинематической вязкостью у = 4 - 50 сСт плотностью = 1,113 - 1,21 г/см . Полость быстро вращается вокруг горизонтальной оси, причем скорость вращения такова, что под действием центробежной силы твердое ядро находится вблизи оси вращения на одинаковом расстоянии от полюсов полости.
Вращение полости задается шаговым двигателем ЕЬ868ТИ80-4208А, управляемым драйвером БМ0-9.0 и питающимся от источника постоянного тока Мав1есИ ИУ5005Б. Регулировка скорости вращения вала двигателя осуществляется с помощью генератора модуля 210, управляемого компьютером. Для соединения вала двигателя с полостью используется муфта SJCА-30C, обеспечивающая точную передачу вращения.
Скорость вращения полости в инерциальной системе отсчета изменяется по следующему закону:
О(0 = ОГО, (1 + евш (Ощ/)),
где Ош - средняя скорость вращения полости, Оиъ - угловая частота либраций, е = АфОй6 / Ога = АфО - амплитуда модуляции, Аф - угловая амплитуда либраций.
Методика проведения экспериментов следующая. Первоначально кювета приводится в равномерное вращение со скоростью От1. После установления стационарного режима вращения ядра измеряется его скорость О в лабораторной системе отсчета. Скорость дифференциального вращения ядра рассчитывается как разность АО = О^-Ого,. Далее исследуется зависимость скорости дифференциального вращения ядра от частоты О = Ош / ОгЫ и амплитуды либраций е. Частота и амплитуда либраций меняются в следующих диапазонах О = 0 - 2,5, е = 0 -1.
Рис. 1. Схема экспериментальной установки
Дополнительно динамика ядра исследуется с помощью системы скоростной видеосъемки. Видеорегистрация движения ядра вдоль оси вращения осуществляется на неподвижную в лабораторной системе отсчета скоростную камеру CamRecord CL600x2. Разрешение кадров составляет 800 х 800 пикселей, частота - до 1064 кадров в секунду. Запись осуществляется на видеорегистратор DVR express core. Информация о величине угла поворота ядра относительно полости извлекается с помощью программы ImageJ.
Вращательные колебания ядра. В отсутствие либраций ядро, плотность которого меньше плотности жидкости, в лабораторной системе отсчета под действием силы тяжести занимает стационарное положение на некотором расстоянии от оси вращения. При этом в системе отсчета полости ядро совершает поляризованные по кругу колебания относительно оси вращения, в результате чего приходит в равномерное отстающее дифференциальное вращение со скоростью ДО = (Ож-Пго,)< 0 [1, 7]. Механизм дифференциального
вращения связан с появлением осредненного момента сил в результате круговых колебаний ядра в системе отсчета полости [6, 7].
Либрации полости означают, что ее угловая координата изменяется со временем по закону:
Ф (г) = ф + 5ф = ф + Дфsin г,
где ф - угол, на который поворачивается полость в результате равномерного вращения со скоростью = йф/йг; а 5ф = Дфsin Пй6 г -периодическое изменение угловой координаты с частотой ОЙЬ и амплитудой Дф.
^ _I_I_I_I_I_I
О 100 200 ф, гаё 300
б
Рис. 2. Либрационная компонента угловой координаты полости 5ф и угловой координаты ядра у {г) в равномерно вращающейся системе отсчета со скоростью = 50,24 б-1.
Вязкость жидкости составляет V = 6,2 сСт, частота либраций = 5,024 б-1, амплитуда
либраций Дф = 5 рад
Прямые измерения величины угловой координаты полости, выполненные методом скоростной видеорегистрации, показывают, что в равномерно вращающейся системе отсчета полость совершает азимутальные колебания по гармоническому закону (либрации) с угловой амплитудой Дф (рис. 2, а, кружки). Либрации полости низкой частоты (ОП 1) приводят к тому, что скорость дифференциального вращения ядра становится непостоянной и периодически изменяется (рис. 2, а, крестики). Ядро откликается на изменения 5ф с той же частотой Пиь и существенно меньшей амплитудой Ду. Закон изменения угловой координаты ядра у {г) можно записать следующим образом:
у(?) = у + 5у = у + Дувт (П/й? + а),
при этом у - угловая координата ядра, связанная с равномерным дифференциальным вращением относительно полости, а 5у = Дувт (П/гЬ? + а) -либрационная составляющая координаты, где а - разность фаз либраций ядра и полости. Рост отрицательных значений у{г) означает, что в среднем ядро
вращается в направлении, противоположном направлению вращению полости, т.е. совершает отстающее дифференциальное вращение. Таким образом, можно говорить о том, что либрации полости вызывают таковые свободного ядра.
44
2
О 1 1
О 7 Лф, рад 14
Рис. 3. Амплитуда либраций ядра Ду в равномерно вращающейся системе отсчета со скоростью Пто/ в зависимости от амплитуды либраций полости Дф при V = 6,2 сСт
Либрационная составляющая координаты ядра в зависимости от ф представлена на рис. 2, б. С увеличением Дф амплитуда либраций ядра Ду возрастает по линейному закону (рис. 3). Это означает, что безразмерная амплитуда либраций ядра Ду/ Дф не зависит от амплитуды либраций полости в = ДфПй6 / Пго, = ДфП. Отметим, что эффект оказывается существенным только в области низких частот либраций, когда О « 1, а обратное время спинапа сравнимо по величине с частотой 4Е ~ П ~10 2, где Е = v / (П^Я^) - число
Экмана. Сказанное означает, что вязкие пограничные слои, связанные с равномерным вращением, малы по сравнению с размером полости, но сравнимы с осциллирующими пограничными слоями, обусловленными либрациями. Таким образом, эффекты спинапа в области О « 1 оказываются существенными, в результате чего ядро успевает «откликнуться» на изменение скорости вращения.
Рис. 4. Зависимость безразмерной амплитуды либраций ядра от безразмерной частоты
либраций полости
Результаты экспериментов, полученных в опытах с жидкостями разной вязкости и при разных скоростях вращения полости, согласуются между собой
на плоскости параметров (ДуО/ Дфл/Е, о) (рис. 4). Независимо от частоты О безразмерная амплитуда ДуО / (Дф>/Е) имеет постоянное значение, равное ~ 1.
Это означает, что эффект либраций ядра не связан с его стационарным смещением в лабораторной системе отсчета под действием силы тяжести и имеет универсальный характер. Можно ожидать, что если ядро будет вращаться строго соосно с полостью, то оно будет точно так же откликаться на либрации полости в области, когда О « 1.
Дифференциальное вращение. Как отмечалось ранее, в отсутствие либраций ядро совершает отстающее дифференциальное вращение под действием силы тяжести (горизонтальная штриховая линия на рис. 5). Либрации полости приводят к тому, что скорость вращения ядра становится непостоянной и периодически изменяется. При этом с увеличением амплитуды либраций в средняя скорость отстающего дифференциального вращения ядра ДО возрастает (рис. 5). Независимо от повышения или понижения г экспериментальные точки хорошо согласуются между собой и можно говорить об отсутствии гистерезиса в переходах между различными состояниями.
О 0,1 0,2 0,3 0,4 г 0,5
Рис. 5. Средняя скорость дифференциального вращения ядра в зависимости от амплитуды г = ДфО при V = 6,9 сСт, = 50,24 с-1 и О = 0,15. Светлые символы означают повышение
г, темные - понижение
На рис. 6, а показано влияние вязкости на дифференциальное вращение ядра. С увеличением V скорость дифференциального вращения уменьшается, при этом вид зависимости ДО( г) остается подобным.
Из [8] следует, что результирующее дифференциальное вращение определяется линейной суперпозицией дифференциальных вращений под действием нескольких силовых полей. В рассматриваемом случае система
«ядро-жидкость» находится в поле силы тяжести и в инерционном поле либраций. По аналогии разложим дифференциальное вращение на две компоненты, и далее будем говорить только о либрационной составляющей
движения АЛ,, = АЛ-АЛ „. Здесь АО - вклад поля силы тяжести
§ §
в дифференциальное вращение.
Интенсивность дифференциального вращения, обусловленного либрациями |АЛйг,| / Лт{, в зависимости от амплитуды в представлена на рис. 6,
б. В случае малых вязкостей (V = 4,7 сСт) и низких частот либраций (О = 0,15) дифференциальное вращение увеличивается с в по закону, близкому к квадратичному - |АЛйг,| / Лго, ~ в2. Этот результат хорошо согласуется с рядом теоретических и экспериментальных работ, посвященных осредненному течению в либрирующей сферической полости [3, 4, 11]. Квадратичная зависимость следует из анализа нелинейного слагаемого для осциллирующего пограничного слоя Экмана в предположении, что инерционные волны отсутствуют, а частота либраций мала по сравнению со скоростью вращения полости (О « 1), но велика по сравнению с обратным временем спинапа {4Ё « О). Подобие законов для скорости осредненного течения и скорости дифференциального вращения ядра в зависимости от амплитуды либраций свидетельствует о том, что ядро откликается на либрационное воздействие и выступает в качестве индикатора интенсивности течения в сферическом слое. С увеличением вязкости жидкости наблюдается отклонение от квадратичной зависимости. Так, при V = 46,6 сСт скорость дифференциального вращения возрастает по закону | АЛйг,1 / ЛгЫ ~ в17. Можно предположить, что изменение показателя степени связано с увеличением величины обратного времени спинапа 4Ё, значение которого при больших вязкостях становится больше Л, где теория [3] не применима.
а
б
Рис. 6. Средняя скорость дифференциального вращения ядра (а) и либрационная составляющая скорости (б) в зависимости от амплитуды в = АфЛ при различных вязкостях
жидкости при = 50,24 с-1 и Л = 0,15
Влияние частоты либраций Оиь на динамику ядра при фиксированном значении амплитуды г показано на рис. 7. В области низких частот либраций (Ом« Ого() скорость дифференциального вращения ДОЙЬ практически не зависит от Оиь. В области умеренных Оиь увеличение частоты приводит к плавному уменьшению ДОЙЬ, которое принимает минимальное значение при равенстве частоты либраций и скорости вращения полости, Оиь = Ого1. В области Оиь > ОгЫ скорость вращения ядра также не зависит от Оиъ, однако ее абсолютное значение больше по величине, чем в области Оиъ < Ого,. С увеличением скорости вращения полости кривые зависимости ДОйг, (Ой6) смещаются вправо, при этом
скорость отстающего дифференциального вращения монотонно возрастает по абсолютной величине. Все кривые согласуются между собой на плоскости безразмерных параметров (ДОЙ6 / ОгЫ, О) (рис. 8). При этом положения
максимумов для различных значений От1 совпадают при частоте О = 1.
Специфическое поведение ядра вблизи О = 1 можно объяснить резонансным влиянием двух силовых полей: поля силы тяжести и инерционным полем либраций. С одной стороны, дифференциальное вращение связано с колебаниями ядра относительно полости [7]. С другой стороны, либрации полости генерируют осредненное отстающее движение жидкости в осциллирующих пограничных слоях на стенке полости [3]. При О = 1 на каждый оборот полости приходится один период либраций, в результате чего среднее радиальное смещение ядра от оси вращения уменьшается. В [7] было показано, что интенсивность отстающего дифференциального вращения пропорциональна квадрату амплитуды смещения ядра:
|ДО| / Ого, ~ Ь2/ (Д5),
где 5 = ^2v / ОжД2 - толщина динамического пограничного слоя. В свою
очередь интенсивность отстающего осредненного течения, связанного с либрациями, пропорциональна г2. А так как в области малых г дифференциальное вращение, генерируемое либрациями, мало по сравнению с ДО (см. рис. 5), основной вклад в дифференциальное вращение вносит
радиальное смещение ядра от оси вращения полости. Поскольку среднее смещение уменьшается по величине, соответственно уменьшается дифференциальное вращение ядра.
а
б
Рис. 7. Либрационная компонента скорости дифференциального вращения ядра в зависимости от частоты либраций Лй4 (а) и либрационная компонента безразмерной скорости АЛЙ4 / Лт1 в зависимости от частоты Л = Лй4 / Лто/ при V = 4,7 сСт и е = 0,10
Выводы. Экспериментально исследована динамика свободного ядра в сферической полости, скорость вращения которой модулируется по гармоническому закону (либрации). Либрации полости генерирует осредненное движение жидкости в результате нелинейных эффектов в пограничных слоях Экмана. В результате свободное ядро приходит в дифференциальное вращение. Если частота либраций мала по сравнению с частотой вращения полости (Л < 1), то дифференциальное вращение ядра
непостоянно и периодически меняется с частотой Л. При этом амплитуда либраций ядра определяется отношением обратного времени спинапа к частоте либраций Л. В свою очередь осредненная скорость дифференциального вращения ядра возрастает пропорционально квадрату амплитуды либраций в2 и не зависит от частоты Л. Этот результат хорошо согласуется с теорией Буссе [3], построенной в приближении 4Ё « О « е « 1, при отсутствии инерционных волн. Это означает, что свободное ядро выступает в качестве индикатора интенсивности и направления потоков. При совпадении частоты либраций со скоростью вращения полости (Л = 1) поле силы тяжести
и инерционное поле, связанное с либрациями, резонансным образом действуют друг на друга. Вследствие этого ядро совершает колебания относительно полости, амплитуда которых меняется за период вращения. В результате интенсивность отстающего дифференциального вращения ядра уменьшается.
Список литературы
1. Козлов В.Г., Козлов Н.В., Субботин С.В. Движение жидкости и твердого ядра в сферической полости, вращающейся во внешнем силовом поле // Докл. РАН. - 2014. - Т. 454, № 2. - C. 173-177.
2. Субботин С.В., Уральцев А.В. Влияние либраций на динамику свободного ядра во вращающейся сферической полости с жидкостью // Конвективные течения... . - 2015. - Вып. 7. - С. 211-225.
3. Busse F.H. Mean zonal flows generated by librations of a rotating spherical cavity // J. Fluid Mech. - 2010. - Vol. 650. - P. 505-512.
4. Calkins M.A., Noir J., Eldredge J.D., Aurnou J.M. Axisymmetric simulations of libration-driven fluid dynamics in a spherical shell geometry // Phys. Fluids. - 2010. - Vol. 22. - P. 086602.
5. Koch S., Harlander U., Egbers C., Hollerbach R. Inertial waves in a spherical shell induced by librations of the inner sphere: Experimental and numerical results // Fluid Dyn. Res. - 2013. - Vol. 45. - P. 035504.
6. Kozlov N. Theory of the vibrational hydrodynamic top // Acta Astr. - 2015. - Vol. 114. - P. 123-129.
7. Kozlov V.G., Kozlov N.V., Subbotin S.V. Steady flows excited by circular oscillations of free inner core in rotating spherical cavity // Eur. J. Mech. B-Fluid. -2016. - Vol. 58 (4). - P. 85-94.
8. Kozlov V.G., Kozlov N.V., Subbotin S.V. The effect of oscillating force field on the dynamics of free inner core in a rotating fluid-filled spherical cavity // Phys. Fluids. - 2015. - Vol. 27, Issue 12. - P. 124101.
9. Le Bars M., Cebron D., Le Gal P. Flows Driven by Libration, Precession, and Tides // Annu. Rev. Fluid Mech. - 2015. - Vol. 47. - P. 163-193
10. Noir J., Hemmerlin F., Wicht J., Baca S.M., Aurnou J.M. An experimental and numerical study of librationally driven flow in planetary cores and subsurface oceans // Phys. Earth Planet. Inter. - 2009. - Vol. 173. - P. 141-152.
11. Sauret A., Cebron D., Morize C., Le Bars M. Experimental and numerical study of mean zonal flows generated by librations of a rotating spherical cavity // J. Fluid Mech. - 2010. - Vol. 662. - P. 260-268.
12. Sohl F., Shubert G. Interior Structure, Composition, and Mineralogy of the Terrestrial Planets // Treatise on Geophysics. - 2007. - Vol. 10. - P. 27-68.
