О ВАРИАЦИОННОМ ПРИНЦИПЕ ЛАГРАНЖА МИКРОПОЛЯРНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В СЛУЧАЕ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Механика

УДК 539.3+531.53+532.23

О ВАРИАЦИОННОМ ПРИНЦИПЕ ЛАГРАНЖА

МИКРОПОЛЯРНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В СЛУЧАЕ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЫ

А. В. Романов1

В работе сформулирован вариационный принцип Лагранжа в рамках теории микрополярного континуума для трансверсально-изотропного материала с центром симметрии. С помощью метода Ритца и кусочно-полиномиальных базисных функций серендипова семейства получены компоненты тензорно-блочной матрицы жесткости и составлена система линейных алгебраических уравнений.

Ключевые слова: микрополярная среда, континуум Коссера, несимметричная теория упругости, вариационный принцип, тензор изгиба-кручения, тензор моментных напряжений, метод конечных элементов, матрица жесткости.

In this paper, a variational principle of Lagrange in the micropolar theory of elasticity for transversely isotropic and centrally symmetric material is formulated. The Ritz method and piecewise polynomial serendipity shape functions are used to obtain the stiffness matrix and a system of linear algebraic equations.

Key words: micropolar medium, Cosserat continuum, theory of asymmetric elasticity, variational principle, rotation gradient tensor, couple stress tensor, finite element method, stiffness matrix.

1. Вариационный принцип Лагранжа. Аналогично классической теории упругости [1-3] задачу стационарности функционала Лагранжа L для микрополярной теории упругости можно сформулировать так [4-9]:

/Ди. р) <: I.(w, ф), L(\v, ф) = ^ a(w, ф] w, ф) — l(w, ф), V w, ф: w, ф |Е = 0, (1)

а сам принцип Лагранжа в силу симметрии функционала a приводит к интегральному равенству

DL(u, р; w, ф) = 0, a(u, р; w, ф) = 1(w, ф),

Г 2 2

a(u, р; w, ф) = / [P(u, р)®(Vw - C ■ ф) + ^(р)®Уф] dV,

V ~ (2)

1(w, ф) = У p(F ■ w + m ■ ф) dV + y"(S ■ w + R ■ ф) dE,

V S2

где D — дифференциал Гато; V — объем тела; E — поверхность тела (Ei U E2 = E, Ei П E2 = 0); u р — действительная кинематическая система независимых векторов перемещений и микровращений (далее вращений) соответственно; w, ф — кинематически допустимая система векторов, т.е. возможные перемещения и вращения из того же пространства, что и u, р. Если приняты тождества w = u, ф = р, то a(u, р, w, ф) есть энергия упругих деформаций и изгиба-кручения; 1(w, ф) —

P

го ранга; ^ — тензор моментных напряжений второго ранга; CC — дискриминантный тензор третьего ранга (тензор Леви-Чивиты); F — векторы массовой силы; m — вектор массовых пар; р — плотность 2

среды; ® — знак внутреннего 2-произведения [6-10]; S — вектор поверхностных сил; R — вектор поверхностных пар. При формулировке вариационного принципа Лагранжа потребуем выполнения кинематических соотношений и кинематических граничных условий [1, 3-9]:

1 Романов Александр Вячеславович — науч. сотр. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: atomicraQya.ru.

Romanov Aleksandr Vyacheslavovich — Scientific Researcher, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Composite Mechanics.

18 ВМУ, математика, механика, № 4

Y = Vu - Q ■ p, к = Vp, u |Ei= uo, p |Ei= po, а из условий стационарности (2) следуют уравнения равновесия и статические граничные условия

2

V P + pF = 0, V-M + C ® P + pm = 0, nP |Ез= S, n^ |Ез= R,

где j — тензор деформации микрополярной теории упругости; к — тензор изгиба-кручения; n — внешняя нормаль к поверхности тела. В силу существования оператора (потенциала) деформаций и изгибов-кручений немедленно возникают определяющие соотношения для материалов с центром симметрии при изотермических процессах [6-9]:

1 ( 2 2 2 2 \ dW dW , T T,

W(fr,x) = - 7(x)Acx)7 + xcx)Dcx)>i , P —. /t ——. (A A- D = DJ), (3)

~ 2 ~ ~ ~ J dj ~ ок ~ ~ ~

где A, D — материальные тензоры четвертого ранга.

2. Трансверсально-изотропные тензоры четвертого ранга. Рассмотрим теперь матери-

A

не обладает симметрией по первой и по второй паре индексов и содержит 29 отличных от нуля компонент, из них 10 независимых, и его компоненты можно записать в виде [10]

Aijkl = aiYMMyNN + ^jjN + (МлМ!мYj + «4 (YZ j3l3 + YMM) + «5 Y^ + Jjekl) +

+a6Yltj + «7 (Y!j + УзЗYj) + «8 (eiljg - Y,3 + agjgYj + «ioJ3Y^ (4)

где jM3M = 5дЗ gj — сумма произведений смешанных компонент единичного тензора второго ранга [1, 5], eij = e^g^ gj — символы Леви-Чивиты [1, 10]. Здесь использовано правило суммирования Эйнштейна по повторяющимся индексам (М, N = 1, 2), кроме явно указанных Yj = ga ga (a = 1, 2, 3).

D

вместо а и A подставляются d и D соответственно.

3. Дискретизация области и подпространство базисных функций. Как известно, задача минимизации функционала приводит к системе уравнений в частных производных, для решения которой в настоящей работе использован метод Ритца. Суть этого метода состоит в таком выборе конечного числа пробных функций, чтобы их линейная комбинация доставляла стационарный минимум функционалу.

Вернемся к задаче (1) и выполним ее дискретизацию, представив независимые векторы в базисе кусочно-полиномиальных функций, воспользовавшись основной идеей метода Ритца [1-3, 11, 12]:

N

G Э GN u^pN G GN, w^N G GN {-}N = £ N(T - NlT, (5)

p= i

где Gn — конечномерное пространство базисных функций размерности N\ р = 1 ,N — узлы конечных элементов — подчиняются правилу суммирования Эйнштейна (далее знак суммы опущен), однако не являются компонентами тензора и их положение в виде верхнего или нижнего индекса продиктовано удобством написания; {-}N — аппроксимированная векторная функция; {■} — значение векторной функции в p-м узле; Np — базисные функции, или функции формы, — приняты из условий: £г G [-1, +1] , Np(^) G [0,1] , Np (£iq) = ¿p, т.е. p-я функция формы от компонент радиуса-вектора |q в д-м узле определяется дельтой Кронекера 5р, а значит, на границе w(£q), "(£q)

тождественны узловым значениям: w(£q) = Wq, "(£q) = ф4 (здесь и далее знак дискретизации векторов опущен). Таким образом, функция Np в области конечного элемента аппроксимирует искомое векторное поле и удовлетворяет граничным условиям, а вне области конечного элемента базисная функция равна нулю.

В качестве кусочно-полиномиальных функций использованы серендиповы (serendipity — "интуитивная прозорливость") полиномы [12]. Для 8-узлового конечного элемента они имеют вид

^ = ±i, ep2 = ±i, ep3 = ±i, Np(e,e,e) = l{i+ePe){i+ePe){i+ePe), (6)

где p = {1,2,..., 8} — узлы конечного элемента в локальной нумерации, функции формы 20-узлового конечного элемента для вершинных и промежуточных узлов записываются следующим образом:

ъ = -8 а+еРе) (1+еР2е2) (1+еР3е3) (еРе+еРе+еРе - 2), кР = \{1-е{2)){1+еРе) (1+еРе),

(7)

где р = {1, 2,..., 20}.

4. Система линейных алгебраических уравнений. Выполнив для функционала (1) дискретизацию (5) в области одного конечного элемента и записав его критерий экстремума, нетрудно перейти к системе линейных алгебраических уравнений:

+ К % Щ - К Рд $ = Е Зд

(1) 1 (2) 1 (1)У

- К Рд Щ + К Рд $ = Е д,

(3) 1 (4) 1 (2)

, ф) = 0,

к рд - к

(2)

К

(4)

Ч

(1)

-К

(3)

рд

—к рд к рд

щ

ж

(1)

Ед

(2)д

(8)

где К Рд = К дР, К рд = К др, К рд = К др симметричны для любого материала, так как симметричны (1Г (1) (2) (3Г (4Г (4)

А = Ат, Ю = в силу (3), и для локальной области мастера-элемента с учетом (6), (7) компоненты

тензорно-блочных матриц жесткости примут вид

Крд = у А^Н^Н^ Б%Б\ ,

Уе

Крд = | Атк1Мр,3оЦ N ,

Уе

Крд = АгчктС^.Мр М^БрбЦ,

(2)

Уе

Ед = у Р*Нд+ у Б*Нд,

Уе £2

(9)

1Рд = у т*Нд+ у К*Нд,

Уе £2

АпктМрМд от + зйУ^ = К рд,

(4)

Уе

где у-, Х^ — объем и поверхность тела в области мастера-элемента соответственно; функции Б,< связывающие область мастера-элемента с декартовой областью, будут представлены ниже.

Для получения же системы, аналогичной (8), но с областью определения по всем кусочно-полиномиальным функциям, использован прием суммирования, в основе которого — отображение всех локальных индексов узлов р, ц по номеру конечного элемента е на глобальные узлы Р = Р(р, е), Я = Я(ц, е). Тогда компоненты глобальной тензорно-блочной матрицы жесткости и блочного вектора узловых сил будут определять систему линейных алгебраических уравнений относительно узловых неизвестных гор, [11, 12]:

^Р (р,в)Я(д,в)

= К'

Ч

РЯ,

е=1 д=1

Р

N

(10)

Е К%{-}

Р,Я=1 Я=1

число узлов в одном конечном эле-

Е п Е п N

К* —

е=1 р,д=1

где Е — число конечных элементов в глобальной области; п менте; Н — число узлов во всей глобальной области.

Важно отметить, что для решения системы (8) или (10), элементы которой содержат объемные и поверхностные интегралы от функций и их первых производных, заданных в декартовой системе координат, применяется численное интегрирование Гаусса-Лежандра на отрезке [—1, +1]. По этой причине интегральные зависимости (9) и были представлены в области мастера-элемента. Так что в результате такого отображения произвольный призматический элемент переходит в куб с координатами на отрезке [—1, +1], а функции отображения имеют вид

хг = хг (е) , хг = Нр (е1,^3) хрг. (11)

Взаимосвязь между областью мастера-элемента и декартовой представлена соотношениями [11, 12]

9хк = лк

дег

> _ п»

дхк = к,

дНр дНр д£3

дхк д£5 дхк

щ>я.

дНд дНд

дК

дхг дхг д£,

я

(дх дх

Х

где х — вектор, компоненты которого определяются соотношением (11), J = det [Aj] — якобиан. Так как одни и те же полиномы Np используются и для аппроксимации (5), и для отображения (11), то говорят, что конечные элементы являются изопараметрическими [11, 12].

5. Компоненты тензорно-блочной матрицы жесткости. Для трансверсально-изотропного материала с центром симметрии компоненты тензорно-блочной матрицы жесткости легко получить, если в подынтегральные выражения (9) подставить компоненты трансверсально-изотропных тензоров A, D, определяемые соотношением (4). Представленные ниже компоненты для удобства записи являются подынтегральными и содержат производные по декартовым координатам, которые впоследствии выражаются через область мастера-элемента соотношениями (12). Тогда подынтеграль-

и

ные выражения первого блока тензора Kpq в компонентной форме будут иметь вид

= AHfc4,fc= a^NNq,M7jj + a2NP)MNq,M7jj + asN^Nq,M7j + a4 (N^N^7M +

+NP)MN,^) + a5 (Np;3Nq,i g3еи + Np>fcN,,3 efc1gj j + aeNp;MNq,MYj + az (N^N^7ij + (13) +Np)MNq,373lM) + as (Np;3Nq;i ей£и - Np>fcN,,3 g3 + agN^^M + aioNp^N^Yj.

Подставляя значения компонент = 1, 2, 3 в (13), получим выражения для компонент первого

блока КР!0 поэлементно: (1)

Кр! = (й1 + Й2 + аз Жрд^д + а2ЖР)2Жд>2 + азЖР)зЖд;з, = а^рдЖ^ + азЖр^д,

КК)22 = а2^р>1^,11 + (а! + а2 + аз Жр^Ж^ + а9Лр>з^д>з, КК2! = аЖр^д + аз^рдЖ^, ККзз = аб(Жр>1Ж9>1 + ,2) + а10 ^р.з^д.з,

кККз = а4Жр;1Жд;з - абЖр^^з + а7Жр,зЖдд - азЖр.зЖ^, кКзК = а4Жр;зЖд;1 - аб^зЖ^ + а7ЖрдЖд,з - азЖр^.з,

K 23 = a4Np;2Nq;3 + a5Np;iNq;3 + a7Np;3Nq;2 + as Np^i,

(i)

K 32 = a4Np;3Nq;2 + a5Np;3Nq;i + a7Np;2Nq;3 + as N^N,,3.

(1)

Далее ограничимся выводом компонент блочной матрицы жесткости лишь в общем виде. Так, коми и поненты второго К)рд и третьего К)рд блочных тензоров имеют вид

КЦ = А^-С^Жр^ = Жр (а2Жд>мС^. ^ + аз^)МС^. ^ + а5Ж,>зО,пг ^& + ав^)МСМ3 . 53 + (2)

+а7 (Ж9>мОМ+ Ж,,зСМ3г+ аз е^С^ .53 - ^зС^е3*) + а9^;зОМ,

КЦ = А^Ч,*Ж,Сг„ 1 = (а2^р;М^СЖ + аз^^СМж7' + а5Жр,з £3а«гет + аеЖр;М 3+ (з)

+а7 (Жр,з ^СМТ- + Жр,м 53ОМ) + аз Ч,з е^' - е"*^) + а9Жр,з ^ОМ) .

Компоненты четвертого блочного тензора Кр^ в общем виде записываются так:

(4)

К И = С^ + = [а2 СМЖ-СМ^?- + аз ОМ.С^. + ае Ом3 • СМ 3' +

(4)

+а7 (СМ-Сш- + + а3 №Сг35£гт - ^в^™*) + а9 + 7„„ +

+Й2Жр,м7^ + ¿з^7^ + ¿4 73М + жр,м) + 4 (Жр,з^ 5зеи +

е*1Ц + Ж9>мУз^з + ^ (Жр;з^;М+ Жр,м) + ¿з (^з^ ей£3-

-Жр,*^ е3*) + ¿9Жр;зЖд)з7ММ + ¿1оЖр;зЖд;з7зз.

6. Выводы. В рамках вариационной постановки трехмерной задачи микрополярной теории упругости с помощью выражения трансверсально-изотропного тензора четвертого ранга для материалов с центром симметрии были получены компоненты тензорно-блочной матрицы жесткости, которые впоследствии используются для составления системы линейных алгебраических уравнений и нахождения неизвестных векторов макроперемещений и микровращений. Данные результаты могут быть актуальными для исследования задач наномеханики и микрополярного континуума с целью изучения новых свойств материала с применением численных экспериментов методом конечных элементов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Победря Б. Е. Численные методы в теории упругости и пластичности: Учеб. пособие. 2-е изд. М.: Изд-во МГУ, 1995.

2. Бердичевский В. П. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1983.

3. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975.

4. Eringen А. С. Microcontinuum Field Theories. 1. Foundation and Solids. N.Y.: Springer-Verlag, 1999.

5. Lakes R. Cosserat micromechanics of structured media: Experimental methods // Proc. Amer. Soc. Composites. 3rd Technical Conference, Sept. 25-29. Seatle, 1988. 505-516.

6. Никабадзе M. У. Развитие метода ортогональных полиномов в механике микрополярных и классических упругих тонких тел. М.: Изд-во Попечительского совета механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. 2014 (URL: https://istina.msu.ru/publications/book/6738800/).

7. Nikabadze М., Ulukhanyan A. Some variational principles in the three-dimensional micropolar theories of solids and thin solids // Theoretical Analyses, Computations, and Experiments of Multiscale Materials. Vol. 175. Advanced Structured Materials. Switzerland, 2022. 193-251 (URL: https://doi.org/10.1007/978-3-031-04548-6_11)-

8. Nikabadze M., Ulukhanyan A. On some variational principles in micropolar theories of single-layer thin bodies // Continuum Mechanics and Thermodynamics. Germany, 2022 (URL: https://doi.org/10.1007/s00161-022-01089-5).

9. Nikabadze M., Ulukhanyan A. Generalized Reissner-type variational principle in the micropolar theories of multilayer thin bodies with one small size // Continuum Mechanics and Thermodynamics. Germany. 2022. 34, N 2 (URL: https://doi.org/10.1007/s00161-022-01091-x).

10. Nikabadze M. U. Topics on tensor calculus with applications to Mechanics //J. Math. Sci. 2017. 225, N 1 (URL: https://doi.org/10.1007/sl0958-017-3467-4).

11. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977.

12. Zienkiewiez О. С., Taylor R.L., Fox D.D. The Finite Element Method for Solid Mechanics. 7th ed. Oxford: Butterworth-Heinemann, 2014.

Поступила в редакцию 20.09.2021

УДК 539.3

КРУЧЕНИЕ КРУГЛОГО СПЛОШНОГО ЦИЛИНДРА ИЗ ДИЛАТИРУЮГЦЕГО МАТЕРИАЛА

А. Н. Сахаров1, P.M. Изимов2

Рассмотрена модель дилатируюгцего материала, когда необратимым сдвигом вызывается изменение объема. Изучается влияние упругого стеснения на его деформирование. Исследуются два случая: стеснение вызывается внешними по отношению к телу упругими

1 Сахаров Александр Николаевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. теории пластичности мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: asakhmstQgmail.com.

2 Изимов Ростислав Мирбулатович — асп. каф. теории пластичности мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: irostislav.mailQgmail.com.

Sakharov Alexander Nikolayevich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Theory of Plasticity.

Izimov Rostislav Mirbulatovich — Postgraduate, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Theory of Plasticity.