О ВАРИАЦИОННОМ ПРИНЦИПЕ ЛАГРАНЖА МИКРОПОЛЯРНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ПРИ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ Текст научной статьи по специальности «Физика»

64

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2023. №4

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лейбензон Л.С. Курс теории упругости. М.: Наука, 1947.

2. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970.

3. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975.

4. Победря Б.Е., Шешенин С.В., Холматов Т. Задача в напряжениях. Ташкент: ФАН, 1988.

5. Георгиевский Д.В. Построение обобщенных формул Чезаро для конечных плоских деформаций // Прикл. мех. и техн. физ. 2014. 55, № 3. 140-145.

6. Георгиевский Д.В. Уравнения совместности в системах, основанных на обобщенных кинематических соотношениях Коши // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2014. № 1. 127-132.

7. Georgievskii D.V., Pobedrya B.E. On the compatibility equations in terms of stresses in many-dimensional elastic medium // Russ. J. Math. Phys. 2015. 22, N 1. 6-8.

8. Cesaro E. Sulle formole del Volterra, fondamentali nella teoria delle distorsioni elastiche // Rend. Accad. Napoli. 1906. 12, N 1. 311-321.

9. Poynting J.H. On pressure perpendicular to the shear planes in finite pure shears, and on the lengthening on loaded wires when twisted // Proc. Roy. Soc. London. A. 1909. 82, N 557. 546-559.

Поступила в редакцию 10.03.2023

УДК 539.3+531.53+532.23

О ВАРИАЦИОННОМ ПРИНЦИПЕ ЛАГРАНЖА МИКРОПОЛЯРНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ПРИ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ

А. В. Романов1

В рамках теории микрополярного континуума с использованием вариационного принципа Лагранжа, метода Ритца и кусочно-полиномиальных базисных функций серендипова семейства получены компоненты тензорно-блочной матрицы жесткости и составлена система линейных алгебраических уравнений для анизотропного и изотропного материалов с центром симметрии при неизотермических процессах.

Ключевые слова: микрополярная среда, континуум Коссера, несимметричная теория упругости, вариационный принцип, тензор изгиба-кручения, тензор моментных напряжений, метод конечных элементов, матрица жесткости, неизотермический процесс.

In this paper, a variational principle of Lagrange, the Ritz method and piecewise polynomial serendipity shape functions are used to obtain a stiffness matrix and a system of linear algebraic equations in the micropolar theory of elasticity for anisotropic, isotropic and centrally symmetric material in case of a non isothermal process.

Key words: micropolar continuum, Cosserat continuum, theory of asymmetric elasticity, variational principle, rotation gradient tensor, couple stress tensor, finite element method, stiffness matrix, non isothermal process.

DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-64-4-12

1. Вариационный принцип Лагранжа. Обобщим задачу минимизации функционала Лагранжа классической теории упругости [1, 2] на микрополярную среду:

L(u, tß) ^ L(w, ф), L(w, ф) - a(w, ф] w, ф) — l(w, ф), Vw, ф: w, ф |E = 0 (1)

1 2

и запишем условия стационарности:

DL(u, f; w, ф) = 0, (2)

1 Романов Александр Вячеславович — науч. сотр. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

Romanov Aleksandr Vyacheslavovich — Scientific Researcher, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Composite Mechanics.

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2023. №4

65

где О — дифференциал Гато; и, р — действительная кинематическая система независимых векторов перемещений и микровращений (далее вращений) соответственно; ф — кинематически допустимая система векторов, т.е. возможные перемещения и вращения из того же пространства, что и и, р. При формулировке вариационного принципа Лагранжа аналогично классической теории потребуем выполнения кинематических соотношений и кинематических граничных условий [1, 3-9]

7 = Уи — С ■ р, к = Ур, и |Е1= ио, р |Е1= ро, а из условий стационарности (2) следуют уравнения равновесия и статические граничные условия:

2

УР + рР = 0, У-^ + С ® Р + рт = 0, пР |Еа= Б, п|Е = Я,

где 7 — тензор деформации микрополярной теории упругости; к — тензор изгиба-кручения; Р — тензор напряжений второго ранга; ^ — тензор моментных напряжений второго ранга; С — дискри-минантный тензор третьего ранга (тензор Леви-Чивиты); Р — вектор массовой силы; т — вектор

2

массовых пар; р — плотность среды; ® — знак внутреннего 2-произведения [10]; £ — поверхность тела (£1 и £2 = £, £1 П £2 = 0); Б — вектор поверхностной силы; Я — вектор поверхностных пар; п — внешняя нормаль к поверхности тела. Кроме того, в силу симметрии функционала а из условий стационарности (2) также следуют интегральные тождества

а(и, р; ф) = ф),

2 2 а(и, р; ф) = / [Р(и, р)®(У' — СС ■ ф) + ^(р)®Уф

V ~

1(', ф) = / р(Р ■ ' + т ■ + / (Б ■ ' + Я ■ ф)^£,

V £2

где V — объем тела. Если приняты тождества ' = и, ф = р, то а(и, р, ф) есть энергия упругих деформаций и изгиба-кручения; 1(', ф) — работа внешних сил на соответствующих перемещениях и вращениях.

2. Потенциал деформаций и изгибов-кручений. Заметим, что в силу существования оператора (потенциала) деформаций и изгибов-кручений немедленно возникают определяющие соотношения для материалов с центром симметрии при изотермических процессах [6-9]:

1 ( 2 2 2 2 \ дТ дТ , т т,

И^(7,х) = - ( 7®А®7 + х®Б®х ), Р = —, Ц = (4 = А, Б = Е) ),

где А, Б — материальные тензоры четвертого ранга. При неизотермических процессах в силу обобщенного принципа Дюамеля-Неймана [6, 11] оператор (потенциал) деформаций можно представить в виде

1 ( 22 22\/ 2 \ 2 / 2 \ 2 \Vij.H) = - И А 1 * Р х) + ( Ро [(!■■■

1 ( 22 2 2 \ +- (а Д а Ь I) М/К

где а, Ь — тензоры теплового расширения; $ — перепад температуры; Р0, ¿ио — тензоры, либо образованные источниками немеханической природы, либо являющиеся результатом решения несвязанных задач. Тогда при неизотермических процессах функционал Лагранжа (1) примет вид

Ь(\г, ф) = ^ [ ф; ф) + к ] + 10(чг, ф) - ф),

П ( 22 2 2 \

Н = / [^а ®А® а + 3 ® Б (3)

1о (', ф) = / [^ Р о — А ® ® а(', ф) + — о ® ® а(ф)]^.

Для изотропного материала компоненты тензоров а, Ь принимают выражения а^ = ат д^, Ь^ = вт д^, где ат, вт — коэффициенты линейного теплового расширения.

3. Изотропные тензоры четвертого ранга. В этом случае каждый тензор микрополярного материала с центром симметрии имеет по 3 независимые компоненты [3, 10]:

АЦк1 = х дгз дк1 + ц {Цс Ц + дИдзк ^ + а ¡Не дЦ - дйдзк-ПЦк1 = § дЦ дк + 7 }дгк ^I + _^ А + ^ ^ ^ - ^ ^ ^

(4)

где Л, ц, а, 5, 7, в — материальные параметры среды; дгц — компоненты единичного тензора.

4. Система линейных алгебраических уравнений. Применив метод Ритца и записав критерий стационарности для лагранжиана (3), а также воспользовавшись ранее принятыми обозначениями в работах [12, 13], придем к системе линейных алгебраических уравнений для материала с центром симметрии произвольной анизотропии при неизотермических процессах:

+ К Ц щр - К Ц фр = ¥ Ц - т Ц

, ф) = 0,

(1)

(2)

(1) (1)

- к Ц щр + к Ц фр = - т Ц,

(3)

(4)

(2) (2)

к РЦ - К

(1)

Ц

(2)

рд

- К рд К Рц

. (3)РЦ (4)РЦ

щ

¥ Ц - Т Ц

(1) (1)

¥ Ц - Т Ц -(2)у (2)у

(5)

где компоненты тензорно-блочных матриц жесткости и векторов сил имеют вид:

КЦ = / Агцк1Ир>3Ид>г ВакВ.Щ, КЦ = / АгцктС'к1т.ИрИ^вущ,

(1)

Уе

(2)

Уе

КрЦ = I А^ИркСПИВк.щ,

(3) Уе

Крц = / ¡АгпктИрИдС'ктСП + ПгЦк1ИрккИд,Вв¡\ ,

(4) Уе ]

¥ Ц = / Ид .1рйУ£ + / БЦ Ид . , ¥ Ц = / тц Ид .1рйУ£ + / ЕЦ Ид . ,

(1)

Уе

(2)

Уе

£2

тЦ = У (РоЦ - Агцк1 чы ИдВ. ,

Тд = / \{Агпк1 аы 0 - Р0п) СЦИд + (цО - Огцк1 Ък1 •&) ИдВ

(2) Уе

(6)

5. Компоненты тензорно-блочной матрицы жесткости и вектора сил. Учитывая (6) и соответствующие выражения компонент изотропных материальных тензоров (4), а также запись производных функций форм по декартовым координатам [12], для компонент К.р>д - Крд, ТЦд, ТЦ

будем иметь

КЦ = Л ИркИдц + (ц + а) Ир,гИд,г 5ц + (ц - а) ИрцИд>и КЦ = -2а ецг ИрИдг, КЦ = 2а ц Ир^Ид,

(2) (3)

КРЦ = 5 Ир>1Идц + (7 + в) Ир,гИд,г 5 л + (7 - в) ИрцИд>1 + 4а ИрИд5ц , (4)

(1)

Т3д = РОЦ - (3Л + 2ц) 5гц ат0 Ид,г, ТЦ = ц0Ц - (35 + 27) 5Ч вт^ Ид,г - Р0пегц Ид.

(2)

(7)

Придавая значения индексам I и ^ из формулы (7), для КК^рд получим

КЦ = (Л + 2ц) ИрдИдд + (ц + а) (Ир ,2Ид,2 + Ир,зИд,з), КР2 = ЛИр;1Ид;2 + (ц - а) Ир>2Ид>1, Кр2 = (Л + 2ц) Ир,2Ид,2 + (ц + а) (Ир,зИд,з + ИрАИдА), К^ = ЛИр^Ищ + (ц - а) ИрАИд,2, КрЗ = (Л + 2ц) Ир,зИд,з + (ц + а) (ИрАИдА + Ир^Ид^), Крз = ЛИрАИд,з + (ц - а) Ир>зИд>1, К2Ц = ЛИр^з + (ц - а) Ир>зИд>2,

(1)

К

(1)

(1)

ККзд = Л Ир;зИдД + (ц - а) ИрдИ^з, К™ = Л Ир,зИд,2 + (ц - а) Ир^з.

Если положим а = 0, то из (8) определим компоненты матрицы жесткости классической трехмерной теории упругости [11], образующие систему линейных алгебраических уравнений вида Кр, -щр = (Ш),.

Аналогично выпишем компоненты для кососимметричных тензоров Кр, и Кр, поэлементно:

(2)

(3)

K= K= 0, (а = 1, 2, 3)

(2)Pq (3)Pq

K12 = -2aN„N

pq

VV9,3,

K P1 = +2aNpNq;3,

(2)

K

(2)

K3)pq = +2а NP;3Nq, KKpq = -2а N^N,, K P1 = +2aNp,2Nq,

(3)

K 21 = -2а N

(3)pq

P,3Nq,

KK)13 = +2а NpNq,2, K31 = -2aNpNq,2,

13

(3) K

(3)

K pq = -2aNpNq;1,

(2)

= +2аВДд, K pq = +2aNp,iNq,

(3)

K 32 = -2а N

(3)pq

p,lNq.

Компоненты для KpL поэлементно:

(4Г

K= (5 + 2y) Np,iN9>i + (y + в) (Np,2Nq;2 + N^N,,3) +

(4)

K= (5 + 2y) Np;2Nq;2 + (y + в) (Np,3Nq;3 + Np,iN9>i) + 4а NpNq,

(4)

K33 = (5 + 2y) Np;3Nq;3 + (y + в) (Np,iNq;i + N^N^) + 4а NpNq,

(4)

Kp2 = 5 Np,iNq;2 + (y - в) Np,2N9>i, Ki3 = 5 Np,iNq;3 + (y - в) Np,3Nq;i,

(4) (4)

Kp3 = 5 Np;2Nq;3 + (y - в) Np,3Nq;2, Kpi = 5 Np;2Nq;i + (y - в) Np,iN9>2,

(4)

pq

3i

(4)

Kpi = 5 Np,3Nq;i + (y - в) Np,iN9>3, K32 = 5 N^N^ + (y - в) N^N^.

(4)

(4)

pq

Компоненты для Tq, Tq поэлементно: (i)^ (2)^

7)1 = (Ро11 — (3Л + 2^) ат$) N,,1 + Ро21^2 + Р^з, 7)2 = (Р22 — (3Л + 2^) ат$) N,,2 + Р(32^,,з + Р012^;1, 7)3 = (Рз3 — (3Л + 2^) ат$) N,,3 + Р013^;1 + Р023^;2, 7)1 = (^11 — (35 + 27) вт$) N,,1 + ^N,,2 + ^N,,3 — (Р023 — Р032) N,

7)2 = (^о2 — (35 + 27) вт$) N,,2 + ^N,,3 + — (Р031 — Р013) N,

73 = Ы33 — (35 + 27) вт$) N,,3 + + ^N,,2 — (Р012 — Р021) .

(2)

6. Выводы. С учетом выражений изотропных тензоров А, Б микрополярной теории упруго-

сти для материалов с центром симметрии при неизотермических процессах получены компоненты

тензорно-блочной матрицы жесткости и вектора сил, которые впоследствии используются для со-

ставления системы линейных алгебраических уравнений (5), (6) и нахождения неизвестных векторов

макроперемещений и микровращений. Данные результаты могут быть актуальны для исследования

задач наномеханики микрополярного континуума с целью изучения механических свойств матери-

ала методом конечных элементов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности: Учеб. пособие. 2-е изд. М.: Изд-во

МГУ, 1995.

2. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980.

3. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975.

4. Eringen A.C. Microcontinuum Field Theories.1. Foundation and Solids. N.Y.: Springer-Verlag, 1999.

5. Lakes R. Cosserat micromechanics of structured media: Experimental methods // Proc. Amer. Soc. Composites.

3rd Technical Conf., Sept. 25-29. Seatle, 1988. 505-516.

6. Никабадзе М.У. Развитие метода ортогональных полиномов в механике микрополярных и классических упругих тонких тел. М.: Изд-во Попечительского совета мех.-мат. ф-та МГУ им. М.В. Ломоносова, 2014 (URL: https://istina.msu.ru/publications/book/6738800/).

7. Nikabadze M., Ulukhanyan A. Some variational principles in the three-dimensional micropolar theories of solids and thin solids // Theoretical Analyses, Computations, and Experiments of Multiscale Materials. Vol. 175. Advanced Structured Materials. Switzerland, 2022. 193-251 (URL: https://doi.org/10.1007/978-3-031-04548-6_11).

8. Nikabadze M., Ulukhanyan A. On some variational principles in micropolar theories of single-layer thin bodies // Continuum Mechanics and Thermodynamics. Germany, 2022 (URL: https://doi.org/10.1007/s00161-022-01089-5).

9. Nikabadze M., Ulukhanyan A. Generalized Reissner-type variational principle in the micropolar theories of multilayer thin bodies with one small size // Continuum Mechanics and Thermodynamics. Germany. 2022. 34. N 2 (URL: https://doi.org/10.1007/s00161-022-01091-x).

10. Nikabadze M.U. Topics on tensor calculus with applications to mechanics //J. Math. Sci. 2017. 225. 1-194 (URL: https://doi.org/10.1007/s10958-017-3467-4).

11. Zienkiewicz O. C., Taylor R. L., Zhu J.Z. The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals. 7th ed. Oxford: Butterworth-Heinemann, 2013.

12. Романов А.В. О вариационном принципе Лагранжа микрополярной теории упругости в случае трансвер-сально-изотропной среды // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2022. № 4. 35-39.

13. Романов А.В. О вариационном принципе Лагранжа микрополярной теории упругости в случае ортотроп-ной среды // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2023. № 1. 68-72.

Поступила в редакцию 23.03.2023