CC BY
26. Выводы. В рамках вариационной постановки трехмерной задачи микрополярной теории упругости с помощью выражения трансверсально-изотропного тензора четвертого ранга для материалов с центром симметрии были получены компоненты тензорно-блочной матрицы жесткости, которые впоследствии используются для составления системы линейных алгебраических уравнений и нахождения неизвестных векторов макроперемещений и микровращений. Данные результаты могут быть актуальными для исследования задач наномеханики и микрополярного континуума с целью изучения новых свойств материала с применением численных экспериментов методом конечных элементов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Победря Б. Е. Численные методы в теории упругости и пластичности: Учеб. пособие. 2-е изд. М.: Изд-во МГУ, 1995.
2. Бердичевский В. П. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1983.
3. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975.
4. Eringen А. С. Microcontinuum Field Theories. 1. Foundation and Solids. N.Y.: Springer-Verlag, 1999.
5. Lakes R. Cosserat micromechanics of structured media: Experimental methods // Proc. Amer. Soc. Composites. 3rd Technical Conference, Sept. 25-29. Seatle, 1988. 505-516.
6. Никабадзе M. У. Развитие метода ортогональных полиномов в механике микрополярных и классических упругих тонких тел. М.: Изд-во Попечительского совета механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. 2014 (URL: https://istina.msu.ru/publications/book/6738800/).
7. Nikabadze М., Ulukhanyan A. Some variational principles in the three-dimensional micropolar theories of solids and thin solids // Theoretical Analyses, Computations, and Experiments of Multiscale Materials. Vol. 175. Advanced Structured Materials. Switzerland, 2022. 193-251 (URL: https://doi.org/10.1007/978-3-031-04548-6_11).
8. Nikabadze M., Ulukhanyan A. On some variational principles in micropolar theories of single-layer thin bodies // Continuum Mechanics and Thermodynamics. Germany, 2022 (URL: https://doi.org/10.1007/s00161-022-01089-5).
9. Nikabadze M., Ulukhanyan A. Generalized Reissner-type variational principle in the micropolar theories of multilayer thin bodies with one small size // Continuum Mechanics and Thermodynamics. Germany. 2022. 34, N 2 (URL: https://doi.org/10.1007/s00161-022-01091-x).
10. Nikabadze M. U. Topics on tensor calculus with applications to Mechanics //J. Math. Sci. 2017. 225, N 1 (URL: https://doi.org/10.1007/sl0958-017-3467-4).
11. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977.
12. Zienkiewiez О. С., Taylor R.L., Fox D.D. The Finite Element Method for Solid Mechanics. 7th ed. Oxford: Butterworth-Heinemann, 2014.
Поступила в редакцию 20.09.2021
УДК 539.3
КРУЧЕНИЕ КРУГЛОГО СПЛОШНОГО ЦИЛИНДРА ИЗ ДИЛАТИРУЮГЦЕГО МАТЕРИАЛА
А. Н. Сахаров1, P.M. Изимов2
Рассмотрена модель дилатируюгцего материала, когда необратимым сдвигом вызывается изменение объема. Изучается влияние упругого стеснения на его деформирование. Исследуются два случая: стеснение вызывается внешними по отношению к телу упругими
1 Сахаров Александр Николаевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. теории пластичности мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: asakhmstQgmail.com.
2 Изимов Ростислав Мирбулатович — асп. каф. теории пластичности мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: irostislav.mailQgmail.com.
Sakharov Alexander Nikolayevieh — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Theory of Plasticity.
Izimov Rostislav Mirbulatovieh — Postgraduate, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Theory of Plasticity.
связями и упругим ядром в самом дилатирующем материале. Первый случай рассмотрен в рамках модельной задачи, второй — на примере задачи кручения круглого стержня, когда внешние пластически деформируемые слои оказываются сжатыми внутренним упругим ядром. В качестве условия пластичности в задаче кручения использован критерий Друккера-Прагера.
Ключевые слова: кручение, дилатирующий материал, сдвиговая прочность.
In this paper, we study the effect of elastic constraint on the deformation of a dilating material when an irreversible shear causes a change in volume. Two cases are considered: the constraint is caused by elastic ties external to the body and by an elastic core in the dilating material itself. The first case is considered within the framework of a model problem, whereas the second case is considered by the problem of torsion of a round bar where the outer plastically deformable layers are compressed by the inner elastic core. The Drucker-Prager criterion is used as a plasticity condition in the torsion problem.
Key words: torsion, dilatant material, shear strength.
Введение. Явление дилатансии — необратимое увеличение объема тела при сдвиге — наблюдается при деформировании упругохрупких материалов типа чугуна, графита, горных пород, льда и других тел, обладающих зернистой структурой. Для таких материалов характерна разномодуль-ность, т.е. зависимость деформирования от вида напряженного состояния, отсутствует "единая" кривая. В работах [1-3] построены феноменологические теории для разномодульных материалов: а) деформационная теория, основанная на задании потенциала деформации аналогично случаю физически нелинейного упругого тела; б) теория течения, основанная на задании поверхности текучести для необратимого деформирования. Для деформационной теории получены необходимые условия выпуклости потенциала деформаций, отвечающие единственности решения краевой задачи.
Наряду с такими подходами существуют модели дилатирующих тел, в которых определяющие уравнения следуют из физической теории необратимого деформирования среды и включают коге-зию (внутреннее трение) и дилатацию. К числу таких теорий относится феноменологическая теория дилатансионного упрочнения Дж. Райса [4, 5], примененная им для описания скальных пород. Упрочнение материала может происходить как вследствие накопления пластических деформаций, так и в результате роста сжимающих напряжений на площадках максимального сдвига. Поскольку физическая основа дилатации — накопление несплошностей (пор, микротрещин) — одинакова для рассматриваемых тел, то мы исследуем связь существующих теорий, а также следствий из удовлетворения требованиям физического характера.
В настоящей работе изучено влияние стеснения, возникающего вследствие необратимого увеличения объема тела или его части при сдвиге. При этом стеснение возможно как за счет работы внешних упругих связей, так и за счет совместности деформирования с упругим ядром. Результат стеснения — появление сжимающих напряжений, упрочняющих материал.
Влияние стеснения упругим ядром исследовано для случая задачи о кручении круглого стержня. В работе с применением полуобратного метода Сен-Венана решена задача свободного кручения круглого стержня из упругопластического упрочняющегося дилатирующего материала. Несмотря на простоту принятых кинематических гипотез, решение существенно более сложное, чем в классическом случае, так как необходимо учитывать возникающие вследствие дилатации продольные и поперечные составляющие напряжения и деформации, вызывающие при кручении растяжение внутреннего упругого ядра стержня и сжатие наружных слоев.
Обобщение теории Райса. В работе [4] выписаны определяющие соотношения для инкрементальной теории простого сдвига слоя упрочняющегося дилатирующего материала
где 7е, 7Р — упругий и пластический сдвиги в слое; ее, ер — упругая и пластическая поперечная деформации в слое; т, а — касательное и нормальное напряжения (в работе принято сжатие положительным); О, Е — упругие модули; О = Е/2(1+^); V — коэффициент Пуассона; Н — пластический модуль; ^ — коэффициент внутреннего трения; в — коэффициент дилатансии.
Перечислим гипотезы, положенные в основу инкрементальной теории:
E
(1)
а) необратимый сдвиг происходит, когда в слое выполнено условие активного процесса
йт — уйа> 0. (2)
Это предположение следует из принципа эффективных напряжений, используемого в механике горных пород [6 9|; соответствует теории Кулона Мора;
б) увеличение объема (дилатансия) есть следствие необратимого сдвига и рассматривается как кинематическое условие процесса деформирования: йер = —[вй'Ур-
Материальные константы и функции в инкрементальной теории (1) можно определить из эксперимента на сдвиг при постоянном сжимающем напряжении, задавшись однопараметричееким семейством кривых сдвига т = f (7, а). Сформулируем условие активного на-гружения. На рис. 1 представлены продолжения нагру-жения с разным отношением Да/Дт: активная догрузка — путь АБ (Да = 0 Дт > 0 Д7Р > 0), путь АС (Дт — у Да > 0 Д^Р > 0) и пассивное нагружение АВ (Д7р = 0 Дт = О Д7). Продолжение АВ является нейтральным, предельным для активных процессов, поэтому Дт = у Да > 0 в силу (1). Для приращений будем иметь Дт = |^Д7 + касательный модуль равен щ = = С.
Для пути АВ можно записать Дт = ^Аа + откуда в качестве параметра, определя-
ющего внутреннее трение в материале, примем у = Пластический модуль определим из
условия для активных догрузок Ат/Аа > у. Так как Дт = + С(А^Р + ^г), то для пластиче-
ского модуля получим Н-1(а, 7р) = (О')-1 — О-1. Для слабоупрочпяющегося материала (О' <С О) коэффициент внутренних) трения равен ц = ¿Л. Если зависимость <р ~ а близка к линейной, то закон Кулона Мора будет удовлетворителен для описания необратимого деформирования в качестве первого приближения:
т — уа = т + д(7р ),
где д(7Р) — функция упрочнения. Пластический модуль в этом случае не зависит от гидростатики: Н(а,7р) = д'(7р), в более общем случае его удобно представлять в виде
Рис. 1. Семейство кривых сдвига
Н (а,ъ) = Ф(а)д' (7р
(3)
или в виде степенной зависимости ф(а) = а ■ ат, т > 1.
Теория Дж. Райса, но сути, одномерна, однако в силу простоты и ясности определяющих уравнений (1) позволяет установить ограничения физического характера, а именно для случая простого сдвига доказать неравенство относительно материальных констант у ^ в-
Докажем от противного, пусть в > У- Рассмотрим равновесие невесомого слоя дилатиру-ющего материала (рис. 2), лежащего на наклонной плоскости (плоскость наклонена под углом а к горизонту, п — направление нормали, Ь — направление касательной), под действием "мертвой" нагрузки верхнего весомого слоя ^ = р§ = рдёг, где р — плотность, д — ускорение силы тяжести. Для простоты будем полагать, что нагружение происходит за счет увеличения ускорения 5д > 0. Тогда для выделенного нагрузочного элемента йт необратимое изменение положения его центра тяжести вследствие пластической деформации нижнего слоя будет иметь вид > 0. В силу однородности сдвиговой и поперечной деформации слоя легко найти, что
. Пластический слой
Рис. 2. Невесомый слой дилатируюгцего материала
ЬХрС =
т ■ 5д ■ Н ■ ссе2 а Я
^ап а — у) ^ап а — в)-
Если tan а < у, то процесс деформирования слоя обратим (5т < и 5zpg = 0. В случае
необратимого деформирования слоя необходимо, чтобы tan а > у. Поскольку в > у, то найдется такой угол а* наклона плоскости, что в > tan а* > у. Тогда 5zpg < 0 — противоречие.
Неравенство у ^ в) непротиворечивость которого установлена в одномерном случае, можно принять в качестве гипотезы.
Обобщение теории течения дилатирующей среды Дж. Райса на случай сложного напряженного состояния. Будем стремиться к возможно более простому виду определяющих соотношений для дилатирующего материала.
1. Положим, что материал изотропен, зависимостью от третьего инварианта напряжений или от угла вида напряженного состояния пренебрегаем.
2. Условие дилатансии сформулируем в виде
50 = 5ве + 5вр] 5вр = -в5кр, (4)
где 50 = 5ец, в качестве меры необратимого сдвига используем параметр Одквиста или длину дуги пластического деформирования 5кр = (25 3vmn^Vmn)1/2, ^mn — тензор пластической деформации.
3. Введем поверхность нагружения в пространстве напряжений
F(T, a, Кр) = 0, (5)
где т = {\sijsij)1/2, sij = gij — góij, g = \gmm. Предполагая непрерывность изменения поверхности, запишем |fj^dT + ff-dcr + J^ckp = 0, откуда
dT — у ■ da H(Кр, a)
где ¡л = — — коэффициент внутреннего трения, H(kp,g) = — пластический
модуль. Примем условие активного нагружения в виде dT — у da > 0. Сравнивая его с условием (2), заметим, что здесь, в отличие от одномерной теории, условие активного нагружения, формулируемое для касательного напряжения на площадке максимального сдвига, заменяется условием активного нагружения для частицы "в среднем", т.е. для всех площадок, касательных к сфере малого радиуса, окружающей центр частицы, согласно геометрической интерпретации Новожилова [10].
4. Предполагаем также, что выполнен ассоциированный закон пластического течения в случае
dT — у da > 0
(7)
где d d, 3íj —^q] d\ = > 0.
Гипотеза у ^ в может быть проверена и в этом случае. Действительно, из условия неотрицательности пластической работы dAp = sijd Эр +ad0p ^ 0, ассоциированного закона (7) и условия (4) следует, что
dAp = TdKp + ad0p = (T — ва^Кр ^ 0. (8)
Так как необходимым условием активности процесса (с!кр > 0) является dT — уda > 0, то неравенство (8) перепишем в виде (T — вa)(dT — уda) ^ 0.
Принимая от противного в > у находим такое направление процесса нагружения dT/da = в* i в > в* > у> ПРИ котором последнее неравенство перестает выполняться.
Выясним условия, при которых обобщенной теории течения дилатирующего материала (4)-(7) может быть соотнесена деформационная теория.
Перепишем (6) с учетом представления пластического модуля (3): dnp = где ( =
a/T — параметр вида напряженного состояния, тогда необходимое условие активности процесса примет вид (о < 1/у.
В случае пропорционального нагружения ( = Zo выражение для кр запишется в виде dg(Kp) = 2(1 — откуда следует, что
т
dT
д{пр) = 2(1 - КЖСП N = J (9)
т*
где T* — величина нагрузки, отвечающая началу процесса пластичности при заданном значении Zo-
Следуя [2|, примем для активного нагружения потенциал деформаций в виде
Ф = Фе + ФР(С,Т);
Ф е = -(А + В(2)Т2-,
A =
2 1 + г/_
3 Е '
B =
3(1 - 2v)
Е :
е i р ¿Ф
тогда £ц = 4 + 4 = ш
¿Фр
+
ij S&ij
В силу условия дилатансип (4) должно выполняться 9р = — вкр, откуда = — р-^р- Тшда потенциал Фр должен быть функционально-инвариантным: Фр((^,Т) =
ФР(Т — ¡За) = Фр((1 — р()Т), и в результате получаем кр = ^рИ^ЁЬЮ._
Из сравнения последнего равенства с соотношением (9) видно, что инкрементальная теория Рай-са для пропорциональншх) нагружения допускает существование потенциала деформаций в случае представления пластического модуля в форме (3) и выполнения условия в = У■ Потенциал вида Фр(£,Т) = Фр(Т — ва) = Фр((1 — вС)Т) отвечает частному случаю материала с постоянным коэффициентом дилатансип, в случае в = 0 определяющие соотношения соответствуют деформационной теории для материала с единой диаграммой деформирования.
Влияние упругого стеснения на деформирование дилатирующего тела. Важность учета стеснения упругим материалом области пластичности не раз подчеркивалась при исследовании задач для пластически несжимаемых материалов [11], тем более это существенно в случае пластически расширяющихся тел. Рассмотрим модельную задачу сдвига дилатирующего образца (рис. 3) с поперечными упругими связями, жесткость которых к. Предполагаем, что материал образца подчиняется определяющим соотношениям (1). Такая модель рассматривалась в [10] применительно к исследованию деформирования морского льда при стесненном сдвиге для объяснения высокой сдвиговой жесткости и прочности льда. Тщательное экспериментальное исследование необратимого изменения объема морского льда при сдвиге выполнено в работе [12]. В силу кинематики модели
Дилатирующий материал
Aep + Aee + Aesp = 0, Дее =
Дст
Е '
Act
At>= к
Рис. 3. Модельная задача сдвига дилатирующего образца
откуда следует, что Аер = "g = "g + р Тогда для необратимого приращения сдвига из (1)
имеем
AYp =
AT - у ■ Act
At„ Act _ jj_ д
РЁ ~ CR a'
(10)
Н в
где введено Си = Еву- Поскольку в стадии упругости поперечная деформация не возникает, то ст = 0 (7р = 0). Принимая эти условия в качестве начальных и интегрируя (10), получаем ст = ^ 7Р. Из (10) также получаем уравнения связи для приращений, вызванных упругим стеснением:
At = (h (ct, yp) + cr)a7p.
(11)
Поскольку в пластическом состоянии жесткость деформирования определяется в основном пластической податливостью, то, сравнивая два процесса с упругим стеснением и с постоянным под-жатием (Дст = 0), видим, что коэффициент перед А^р в (11), определяющий пластическую жесткость, возрос па Си в сравнении с (1). Для полной сдвиговой деформации окончательно получаем
А7 = (^ +
:)At.
•G 1 CR+H(a,lp)-
Уравнение (11) совместно с (10) замыкает систему для приращений, для случая представления пластического модуля в виде (3) связь т ~ 7Р можно записать как интеграл т = o.(^f-)"2 f 7™ dg(^/p). В случае линейного упрочнения уравнение (11) интегрируется явно: т = + const.
Заметим, что при любой жесткости внешних упругих связей процесс деформирования образца оказывается активным. Очевидно, что эффект стеснения исчезает, если хотя бы одна из трех
величии Е, в, У обращает Си в нуль. В рассмотренной задаче в роли элемента стеснения выступала внешняя упругая связь. Но таким элементом может быть и упругое ядро, стесняющее область пластического деформирования.
Задача о кручении круглого стержня (прутка). Рассмотрим задачу о свободном кручении круглого стержня из дилатирующего материала, используя теорию течения. Предполагая, что материал упругонесжимаемый и изотропный, условие пластичности (5) примем в виде критерия Друккера-Прагера [13] с учетом упрочнения
Т — уа = + д(кр). (12)
Уравнение (12) представляет поверхность нагружения в пространстве главных напряжений в виде семейства круговых конусов с параллельными образующими.
Задачу будем решать полуобратным методом. Для случая кручения длинного круглого стержня предположим, что поперечное сечение остается плоским, в подтверждение этой гипотезы сошлемся на работу Е.В. Ломакина [14]. Примем, что цилиндр единичного радиуса, перемещения в упругой г < £ и пластической £ ^ г ^ 1 областях зададим в виде
иг = и(ш, г),
иф = -югг, (13)
= —С ('ш)г,
где ш — крутка. Пластичность впервые возникнет в крайних волокнах £ = 1 при крутке ш* = т3/О. При ш > ш* решение в упругой области г < £ находится из условия несжимаемости и = С(ш)г/2, откуда можно отыскать интенсивность касательных напряжений Т = Сл/ЗС2 + (ъиг)2.
В пластической области £(ш) ^ г ^ 1 должны быть выполнены уравнения равновесия и совместности скоростей деформаций, условие пластичности и условие подобия девиаторов, следующее из ассоциированного закона пластического течения (7), а также условие дилатансии, которое запишем в скоростях с учетом упругой несжимаемости:
+ У/г — С = ёр = —вкр, (14)
где У = и = 5и/5ш, дифференцирование ведется по монотонно возрастающему параметру, в каче-
ш
Из ассоциированного закона пластического течения имеем Эц = ^ + Азу; А = т^р. Для сдвиговой деформации ^ = еевх + ервх = ^ + Ат = Для удовлетворения этому условию в области г С (£, 1) ш > ш* необходимо положить т(г,ш) = ш(ш)г; А = А(ш). Тогда получим
Ш ; 1 ^
— + Ат = -. (15)
Полагаем, что в пластической области выполнено условие пропорционального нагружения, и будем искать решение в виде функций с разделяющимися переменными в^(ш,г) = ш(ш)К^(г). Найдем необходимые условия для выполнения этого предположения. Уравнение для функции ш(ш) определим из (13).
Из (15) и условия пропорциональности нагружения следует Эц = ^ + А«^- = (^ + \т)К^ =
и* ■
-тр. Откуда получим Н^{г) = 2Для компонент тензора скоростей деформаций выполняется — л. . + =). . — я.. I Еи
%3 — 3 V г3 ' г3 — 3 Р г3 ' 2 *
Запишем уравнение совместности й(г£ф)/йг = ег в скоростях:
й ( „ 2 д \ Кг — Кф
dr\R*+3<>*)--г =0- (16)
Уравнение равновесия d(rar)/dr = аф также запишем в скоростях: -§p(<J + mRr) + — д.
Из условия пластичности (12) следует а = (T — g' ■ Kp)/у, в дальнейшем для простоты будем полагать, что упрочнение линейно: g' = h = const h <C G. Исключая Rr — Кф из уравнения равновесия с помощью условия совместности (16), получим
d_
dr
1 • 2m
-(Г - hkp) + m(Rr + Кф) + —-
[Л 3
0. (17)
Поскольку = —С = + 19Р, ^ = 0, то = Следовательно, уравнение
(17) содержит производные только от инвариантов. Преобразуем выражение для интенсивности = = (т/т)Т, тогда уравнение (17) примет вид
d_
dr
0. (18)
m \ 3 /
Обозначим |¡л/3 = p. Из (18), (15) и условия À(t) = ^ следует — h — prh= 0.
Пусть = 0, тогда из условия дилатансии (14) имеем V = С\Г + Сг/г и, подставляя V в выражение для интенсивности, получаем ^ 0 — противоречие, следовательно, нулю равен первый сомножитель. Тогда, учитывая (15), приходим к системе
т
- = п + рт,
2mX
m ; 1
— + Am = -.
Введя M = Q=2^,A = A, систему перепишем в виде
— = h +
2Л 2^ /-1
M ДО (19)
Выражая M из второго уравнения системы (19) и подставляя в первое, будем иметь ^^ =
/г, , р(П-Л)
g ' п
Обозначая г] = ^ = ^j, получаем квадратное уравнение относительно г], корни которого представим в виде ряда по h/G:
1 h =,h. ( 1 h =, h Л , .
= 1 + •» = 41_WÔ + 0(G»J- <20)
Запишем решение системы (19), выразив значение параметров через крутку ш:
тг = G(1 - п"1); хг(ш) = (2тгПг)~1. (21)
Значения пь П2 определяются только внутренними параметрами среды. Этими значениями обеспечиваются необходимые условия пропорциональности, а также тождественное удовлетворение уравнению равновесия и условию совместности для скорости деформации в пластической области.
Из физических соображений пг > 0 и тг > 0, что следует из условия отсутствия разгрузки, тогда из (21) получаем пг > 1- Следовательно, возможны два случая: ni > 1 (р < 1) и П2 > 1
(р > 1). В первом случае г] = щ, m = + О(^), тогда касательное напряжение в пластической
зоне будет удовлетворять соотношению = 7F( = Т^р' последнего уравнения можно оценить
количественно эффект стеснения как коэффициент увеличения жесткости. Действительно, ^ =
kfh + Ô{^), где kf = 1.
Второй случай п = п2 отвечает материалу с большим коэффициентом внутреннего трения. Так как в силу предположения /л > (3 (откуда |/л2 ^ р > 1), получаем /л > 0.66. В случае идеально
h = 0 п = р > 1
Из условий = \m(oj)Rij(r); èij — \0p5ij = \Ri
имеем
— с.у з 1/риу — 2±1гз
и.
'У 2г? \£гз 3
к?
где г] — корень (20). Свертывая левые и правые части (22) с самими собой, получим Э^-Э^- = ~2 =
д2
— |др)- Поскольку из условия дилатансии 9Р = —¡3 ■ кр, то -ф = ^(¿уёу — тогда
вр = С(2ёце^)1/2, где
Из условия п > 1 следует 0 < С < уД/2. В силу упругой несжимаемости можем записать
в = Z (Щ ¿j )1/2,
(23)
или в инвариантной форме 11 — (12 = 0. Последнее соотношение замечательно тем, что представляет коническую поверхность теперь уже в пространстве скоростей деформаций, и в данной задаче может быть названо поверхностью деформирования.
Построим решение краевой задачи в рамках гипотезы о пропорциональном нагружении. Условия дилатансии (14) с учетом (23) запишем следующим образом:
dr
dV V А ^ nffdV. 2 V2 А2Л 2 + --с = ^\Г2((—)2 + -2+С2) + Г2.
dr
(24)
Будем искать решение в виде V(r) = Z(r) + Ar/2, где обозначено C = dC/dw = A, тогда изменение объема будет определяться только первым слагаемым ^f- + Перепишем уравнение (24) в виде
(1 - 2( 2)(f )2 + 2(| - A(2)f + [(1 - 2(2)(| )2 - (2(2 А| + 3À2 + г2)} = 0.
Уравнение не распадается на два линейных (см. условие 1.461 Камке [15]). Необходимо разрешить это уравнение относительно Z
^ = ( + АС2 ± С\14(|)2 " 4С2^ + С,2А2 + (1 - 2С2)(ЗА2 + г2) ) /(1 - 2(2). (25)
Уравнение (25) при £ = 1/2 определено на от резке [£, 1], краевое условие 2 (£) = 0 следует из непрерывности радиальной компоненты V на упругопластической границе. Граница £ неизвестна, поэтому воспользуемся условием аг (ш, 1) = 0 на свободной границе прутка г = 1, выполняющимся для любого значения ш крутки. Запишем краевое условие в скоростях аг(ш, 1) = 0,
или аг(ш,1) = Т ^р + ¿г = ~ К)кр + 2т(ег — ^0Р) = 0. С учетом (18) отсюда получим
|/Зкр + ег — = 0, или ег — 0р = 0. Следовательно, на боковой поверхности г = 1 выполнено У(1) — А = 0, откуда 2(1) = ^А. Воспользуемся этим краевым условием для численного интегрирования (25), тогда из условия 2(£) = 0 определим положение упругопластической границы. На рис. 4, а для различных значений внутренних) параметра среды /3 представлены графики £ =
Следовательно, продольная деформация С(ш) может быть найдена из уравнения С = А-1(£), если будет известна функция £(ш).
1.4 от/ш
Рис. 4. Положение упругопластической границы £(в) для дилатирующего (в = 0.2) и недилатирующего материалов (а); зависимость крутящего момента М = М(ш, в) от коэффициента дилатансии (б)
Воспользуемся условием равновесия для продольной силы: Р = 2п ахгйг = 0. Имеем очевидное тождество J ахгйг = 3/ агйг — / й(г2аг), откуда с учетом аг (1,ш) = 0 следует агйг = 0. Условие пластичности непрерывно при переходе через упругопластическую границу, а из непрерывности скорости перемещения на упругопластической границе следует кр(£) = 0, значит, на границе величина Т — уа = та. В упругой области значение интенсивности выписано ранее: т = бузс2^) + ю2, из условия равенства зг = 8ф = \СС следует постоянство гидростатической составляющей в области т ^ £: (те(г,и) = (Т — т3) у = (С^ЗС2(ш) + (сс>£)2 — т3)/ц . Аналогично для пластической области ар (г) = (Т — т3 — Нкр)/у.
Запишем условие для продольной силы в скоростях Р = 0. С учетом непрерывности напряжений на подвижной упругопластической границе имеем
1
21(Г - ккр)г йг + С2 + Ю2) = 0. (26)
Воспользовавшись соотношением вр = в = ^ + преобразуем первое слагаемое: Т — ккр =
^2та ~~ ^)кр = — вр. Имея в виду /^(^г + %)гйг = = с учетом (21) преобразуем (26) к виду
+ (27)
где обозначено р = 2р(1 — 1 )в-1- Интегрируя (27), получим следующее соотношение, связывающее искомые функции, где постоянная интегрирования находится из условий С(ш*) = 0 £(ш*) = 1:
-рС + е2^ЗС2 + Ю2 = и*. (28)
Совместно с условием С = А-1(£) квадратное уравнение (28) относптельно С замыкает систему уравнений для определения £(ш).
Для нахождения крутящего момента М = 2п т(г) ■ г2 йг наряду с касательными напряжениями в упругой области т = Ошг, г ^ £(ш) необходимо учесть напряжения в пластической области т = ш(ш)г, определенные ранее: т = Ог(1 — п-1)(ш — ш*). Тогда крутящий момент выразится следующим образом: М = 2ттС(|ш£4 + (1 — — ш*)(1 — |£4)).
Определим продольное напряжение в наружных волокнах прутка: ах (ш, 1) = ^ ах (ш, 1) йш, где учтено ах(ш*, 1) = 0. Поскольку аг(ш, 1) = а + Ьг = 0 и <гг(ш, 1) = в2 — вГ: сжимающее напряженпе в крайних волокнах, возникающее при кручении круглого стержня, равно ах(ш, 1) = С(1—п-1) (А+
Выводы. Исследуется модель материала, необратимо увеличивающего удельный объем при пластическом сдвиге (явление дилатации). В рамках одномерной теории сдвигового течения слоя получены ограничения на материальные константы, показано, что коэффициент дилатансии не может превысить коэффициент внутреннего трения. Установленное ограничение также подтверждается в рамках предложенного в работе обобщения, основанного на задании поверхности нагружения по типу модели Друккера-Прагера.
Также предложено обобщение теории Дж. Райса на случай пропорционального нагружения. В предположении активности процесса деформирования установлены необходимые условия существования потенциала деформаций.
Рассмотрена модельная задача сдвига образца из дилатирующего материала в условиях упругого стеснения с целью объяснения эффекта упрочнения, наблюдаемого в экспериментах.
Также рассмотрена задача свободного кручения круглого стержня (прутка) из упругопласти-ческого дилатирующего материала, вычислен коэффициент, отвечающий за стеснение деформирования наружного слоя прутка за счет взаимодействия с упругой внутренней областью.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 20-01-00356) и МНОШ Московского университета "Фундаментальные и прикладные исследования космоса".
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Амбарцумян С. А. Разномодульная теория упругости. М.: Наука, 1982.
2. Ломакин Е. В. Определяющие соотношения деформационной теории для дилатирующих сред // Изв. АН СССР. Механ. твердого тела. 1991. № 6. 66-75.
3. Ломакин Е. В. Нелинейная деформация материалов, сопротивление которых зависит от вида напряженного состояния // Изв. АН СССР. Механ. твердого тела. 1980. № 4. 92-99.
4. Rice J. On the stability of dilatant hardening for saturated rock masses //J. Geophys. Res. 1975. 80, N 11. 1531-1536.
5. Rudnieki J. W., Rice J. Conditions for the localization of deformation in pressure-sensitive dilatant materials // J. Mech. and Phys. Solids. 1975. 23. 371-394.
6. Драгон А., Мруз 3. Континуальная модель пластически хрупкого поведения скальных пород и бетона // Механика деформируемого твердого тела. Направление развития: Сб. статей / Под ред. Г.С. Шапиро. М.: Мир, 1983. 163-188.
7. Park Н., Kim J.-Y. Plasticity model using multiple failure criteria for concrete in compression // Int. J. Solids and Streets. 2005. 42. 2303-2322.
8. Wesley L. D. Fundamentals of Soil Mechanics for Sedimentary and Residual Soils. N. Y.: Wiley, 2009.
9. Шемякин E. И. Вопросы прочности твердых тел и горных пород // Проблемы механики деформируемого твердого тела и горных пород: Сб. статей к 75-летию К.II. Шемякина / Под ред. Д.Д. Ивлева и Н.Ф. Морозова. М.: Физматлит, 2006. 26-45.
10. Sakharov A., Karulin Е., Marchenko A., Karulina М., Chistyakov P. Mechanism of shear collapse in sea ice // Proc. 25 Int. Conf. POAC. N 6. Delft, 2019.
11. Прагер В., Ходж Ф.Г. Теория идеально-пластических тел. М.: ИЛ, 1956.
12. Saeki Н., Опо Т., En N., Naok N. Experimental study on direct shear strength of sea ice // Ann. Glaciol. 1985. 6. 218-221.
13. Drucker D. C., Prager W. Soil mechanics and plastic analysis or limit design // Quart. Appl. Math. 1952. 10, N 2. 157-165.
14. Ломакин E. В. Кручение цилиндрических тел с изменяющимися деформационными свойствами // Изв. АН СССР. Механ. твердого тела. 2008. № 3. 217-227.
15. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. 5-е изд. М.: Наука, 1976.
Поступила в редакцию 27.10.2021
УДК 539.3
ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ПРИ СЛОЖНОМ НАГРУЖЕНИИ ПО КРИВОЛИНЕЙНЫМ ТРАЕКТОРИЯМ ДЕФОРМАЦИИ
И. Н. Молодцов1
Предложенный подход к математическому моделированию процессов сложного на-гружения базируется на двух идеях, предложенных A.A. Ильюшиным. Одна из них называется трехчленной формулой A.A. Ильюшина и задает вид дифференциальной зависимости, связывающей между собой векторы — девиаторы напряжений и деформации в двух- и трехмерных процессах сложного нагружения, а другая определяет вид пятимерной траектории деформации постоянных кривизн. Развитие этих идей привело к новому определяющему уравнению и к новому подходу математического моделирования процессов сложного нагружения. Для анализа процессов сложного нагружения с траекториями деформации нулевой кривизны были введены материальные функции Васина, которые оказались в центре математической модели. Они вошли в представления функционалов, формулы диссипативных напряжений и в явное выражение вектора напряжений. В работе изучаются особенности применения нового подхода для процессов с траекториями постоянной кривизны.
1 Молодцов Игорь Николаевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: mechmathmsu® mail .ru.
Molodtsov Igor Nikolaevich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Theory of Elasticity.
