CC BY
91
------------------------------------- © В.А. Миронов, О.Е. Софьин,
2008
УДК 622.011
В.А. Миронов, О.Е. Софьин
НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ГРУНТОВ ПРИ ПЛАСТИЧЕСКОМ ТЕЧЕНИИ
Проведены теоретические исследования, подтверждающие, что определяющие соотношения достоверно описывают закономерности пластического течения дилатирую-щих грунтов. Предложена модель грунта для численных расчетов деформируемости и несущей способности оснований и грунтовых сооружений.
Семинар № 3
ш щри расчетах оснований и грунтовых сооружений используются математиче--М. Л. ские модели, описывающие механическое поведение грунтов при нагружении с различной степенью физической достоверности, что приводит к расхождению теоретических величин прочности и деформируемости с экспериментом. Точность расчетов в значительной степени зависит от учета в математической модели наиболее существенных особенностей деформирования грунтов. В настоящее время для описания нелинейного деформирования грунтов отдается предпочтение различным вариантам теории течения, в которых используются как ассоциированные, так и неассоциированные законы пластического течения. При формулировке определяющих соотношений в рамках теории пластического течения исходят из коаксиальности и подобия тензоров напряжений и скоростей пластической деформации. Специально поставленные опыты на кручение образцов грунта трубчатой формы, в которых нагружение сопровождалось поворотом осей главных напряжений, показали, что оси главных напряжений и скоростей пластической деформации совпадают [1]. Допущение о подобии тензоров экспериментально подтверждено только для частных случаев нагружения.
Определяющим в механике грунтов является закон сухого трения Кулона. Будем считать, что закон Кулона связывает проекции напряжений, действующих на пространственной площадке предельного равновесия физической точки грунта, на нормаль к площадке скольжения и на саму площадку, а оси главных напряжений и скоростей пластической деформации совпадают, тогда получим условие предельного течения
г = 1§ф0 5, (1)
где
5 = а111' + а 2 тт' + а 3 пп' , г (а/т' -а 2 т1' )2 + (а 2 тп' -а 3 пт ')2 + (а 3 п1' -а11п ')2
нормальная и касательная силы на площадке скольжения; ф0 - угол внутреннего
трения.
Направляющие косинусы
I =
112 О1
12 О 2
12 О 3
(3)
определяют ориентацию площадки предельного равновесия в пространстве главных напряжений ст1> о2 > о3,
I' =
3е 2 е р - 32 + ^ 32 - 3 31 3
(<б Г -е 2
е Г-е р)
т =
3е р е р - 32 + д/ У22 - 3313
п =
1 3ер е р - 3 2 +Л/ 3 2 3313
(е р-е р) р-е 2)
(4)
- ориентацию площадки скольжения в пространстве главных скоростей пластической деформации ер >ер > ер или, в силу принятого допущения коаксиальности, в пространстве главных напряжений. Здесь 11 = О1 + О 2 + О3,
12 =О1О 2 + О1О3 + О2О3, 13 = О1О2О3 - инварианты напряженного состояния, 3 х = ер +ер +ер , 32 = ерер +ерер +ерер , 33 = еререр - инварианты скоростей пластической деформации.
Условие предельного течения (1) позволило описать разрушение грунтов вне зависимости от начального физического состояния, вида напряженного состояния и режимов нагружения [2-4]. Для адекватного описания результатов экспериментов за скорости пластической деформации необходимо принимать разность между полными скоростями пластической деформации и скоростями их гидростатической части. Подобное разделение пластической деформации использовалось, например, в работах [5, 6].
Условие дилатансии грунта запишем в виде уравнения
ер + Лур , = 0,
где
ер =ер +ер +ер,
(5)
ур = —
л/3
- 32 +л/ 32 - 33133
(6)
скорость объемной пластической деформации и скорость пластического сдвига на площадке скольжения (нормальная компонента скорости ер = 0); Л - скорость ди-
латансии.
Из условия (1) следуют определяющие соотношения
(
ер = Х
О11
~г
(
о 2 т т'
(
ер = Х
О3 п п'
- 5
(7)
где X = ур, 21 - скалярный множитель (X > 0).
3
3
3
Анализ соотношений (7) показывают, что в общем случае тензоры напряжений и скоростей пластической деформации не подобны. Зависимость параметра вида напряженного состояния = (о2 -о1 - о3)/(а1 - о3) от параметра вида для скоро-
стей пластической деформации це = (е2 - 2ер - 2е3 )/(ер - ер) устанавливается путем решения системы уравнений
(т’/1 -/'/т)2 + (п'/т - т' /п)2 + (Г/п -п'//)2
-------------------------------------------------= 0,
/ '// + т'/т + п '/п 1///' - /'// - т'/т - п'/п п'2 (/'2 - т'2 - п'2)
1/пп' - /'// - т'/т - п '/п /'2 2 - /'2 - т,2)
/'2 + т'2 + п '2 = 1
(8)
относительно /' , т', п ' при известн^1х значениях /, т, и, или наоборот при замене
третьего уравнения геометрическим соотношением /2 + т2 + п2 = 1.
Первое уравнение системы (8) получено из условия (1) подстановкой вместо о1,
о2, о3 их выражений из формул (3). Второе представляет собой отношение главных скоростей пластической деформации ер/ ер . Левая часть уравнения записана с учетом соотношений (7) при указанной выше подстановке, а правая с помощью дифференцирования условия предельного равновесия при постоянных /, т и п, учитывая,
что при этом о1 = /' 211, о2 = т'211, о3 = п'211. Условие предельного равновесия вытекает из уравнения (1), если положить в выражениях (2) / = /, т = т, п = п .
Для проверки предлагаемых определяющих соотношений воспользуемся данными экспериментов, выполненных в работах [7,8], в которых исследовалось механическое поведение неоднородного песка средней плотности в воздушно-сухом состоянии. Опыты выполнялись на экспериментальном стенде конструкции МИСИ с независимым управлением тремя главными напряжениями о1, о2, о3. Рабочая камера имела форму куба размером 100x100x100 мм. Образцы грунта испытывались после предварительного изотропного обжатия до разрушения по траекториям с постоянным средним и увеличивающимся девиаторным напряжениями при трех видах напряженного состояния = -1,0; 0; 1,0.
Обработка опытов по условию предельного течения вне зависимости от вида напряженного состояния дает единое значение ф0 = 16,7° при скорости дилатансии разрыхления Л = -0,275.
Для рассматриваемого грунта на основе предложенной модели получены теоретические зависимости параметра от параметра Де (рис. 1, а) и угла внутреннего
трения по Мору-Кулону фм от параметра (рис. 1, б) при различной скорости ди-
латансии и постоянном значении ф0 = 16,7°.
Рисунок иллюстрирует, что в крайних точках (|ДО = ±1,0) имеет место строгое совпадение параметров и де, в промежуточных точках в общем случае наблюдается отклонение от равенства = Де. При Л > 0 тензоры напряжений и скоростей пластической деформации близки к подобию, при Л < 0 подобие существенно нарушается и чем меньше Л, тем больше отличается от де.
Зависимость угла внутреннего трения фм от параметра в меньшей степени выражена при дилатансионном уплотнении грунта, при его разрыхлении вид наряженного состояния оказывает значительное влияние на величину фм.
Геометрическое место точек, соответствующих условию плоской деформации при различных значениях Л, показано на рис. 1 пунктирной линией. Для максимально возможной скорости дилатансии уплотнения Л = 0,45 (де =-0,35) условию плоской деформации соответствует = -0,35, а для скорости дилатансии разрыхления Л = -1,0 (де = 0,63) расчет дает значение = -0,12. В опытах с плоской деформацией [8] при нагружении грунта по траектории, характеризующейся постоянным отношением ер/ер = -1,0 (Л = 0, де =0), значение параметра составляло от -0,1
до -0,2, что подтверждает теоретически прогнозируемое нарушение подобия тензоров напряжений и скоростей пластической деформации для пластически несжимаемой среды.
Рассмотрим результаты экспериментальных исследований механического поведения крупноскелетного грунта (базальтовые парфериты) с максимальной крупностью фракции 5 мм в условиях плоской деформации, выполненных А.Л. Крыжанов-ским [9]. Испытания проводились на кубических образцах размером 150x150x150 мм. Деформирование в условиях плоской деформации осуществлялось после предварительного изотропного обжатия 0,06 и 0,2 МПа до разрушения при постоянных в
каждом опыте значениях ер/ер : -1,0; -1,4; -2,0; -3,85. В опытах установлено подобие тензоров напряжений и скоростей пластической деформации.
Для условия плоской деформации (е 2 = 0) и из второго соотношения (7) следует, что промежуточное главное напряжение
О 2 = 4 ((/' + 7°3п '). (9)
Результаты обработки данных экспериментов по соотношению (9), подтверждают наблюдаемое в опытах подобие тензоров напряжений и скоростей пластической деформации (рис. 2).
Истинный угол внутреннего трения оказался непостоянным и изменялся от ф0 = 22° при ер/ е р = -1,0 до ф0 = 31° при ер/ е р = -3,85. Это объясняется тем, что в работе [9] за приращения пластической деформации принимались их полные значения. Для реализации в опыте траекторий с отрицательными значениями отношений
ер/ер необходимо непрерывное увеличение среднего напряжения, и скорость его
возрастания тем больше, чем меньше отношение ер ер . Поэтому из полных приращений пластической деформации необходимо
6)
фм,
Рис. 1. Сравнение расчетов по предлагаемой модели с опытами Г. М. Ломизе и А.Л. Крыжа-новского. Испытания неоднородного песка средней крупности: а - зависимость от Де (е =
0,674); б - зависимость угла внутреннего трения по Мору-Кулону фм от параметра (у = 1,7
г/см3). 1 - 6 расчеты при значениях Л соот-
д ветственно равных 0,45; 0,275; 0; -0,275; -
О 0,5; -1,0. Точки - эксперимент
Рис. 2. Сравнение расчетов по предлагаемой модели с опытами при плоской деформации А. Л. Крыжановского. Испытания щебня (у= 2,05 г/см3). Точки - расчеты для различных условий деформирования (светлые - предварительное обжатие 0,06 МПа, темные - 0,2 МПа):
♦ - е1р/ 'е р 4) ,0 0, = Л( о, 7 N
❖ - ер, /е р = -1,4 (Л = 0,19);
• - ер, /ер = -2,0 (Л = 0,3);
о - ер, /ер = -2,0 (Л = 0,37);
■ - ер, /ер = -3,85 (Л = 0,63);
□ - ер, /ер = -3,85 (Л = 0,69).
1 - зависимость до от д,е, полученная в опыте
вычесть скорости их гидростатической части. Расчеты с учетом приращений пластической деформации, обусловленных только дилатансией грунта, позволили получить значение ф0 равное 21-22 °.
Следовательно, подобие напряженного и деформированного состояний наблюдается в частных случаях нагружения, при которых реализуются траектории, обуславливающие дилатансионное уплотнение грунта.
Укажем также на результаты опытов с плоской деформацией песков, поставленных Малышевым М.В. [10] на специально изготовленном приборе, позволявшем проводить испытания с кубическими образцами размером 150x150x150 мм при различных параметрах . В этих опытах при разрушении грунта промежуточное
главное напряжение О2 = 0,53 ^ 0,55(о1 +О3), т.е. параметр был приблизи-
тельно равен нулю.
В работе [11] приведены средние значения параметра , полученные при испытаниях мелкого однородного песка по схеме плоской деформации в допредельной стадии деформирования. Опыты проводились на приборе конструкции МИСИ. Для различных траекторий нагружения и начального состояния грунта при интенсивности деформации сдвига е г- = 0,05, где
е 1 = P/'\/3Л/Г^^2)+(е2^е3)+(е3^е!)^, параметр =-0,3 -^-0,5. Так
как значение параметра в процессе деформирования грунта уменьшалось, а разрушение грунта сопровождалось разрыхлением, то можно предположить, что в предельном состоянии значение будет близким к теоретическому значе-
нию = 0 -^-0,2 .
С цель апробации предлагаемой модели ниже рассматривается задача взаимодействия жесткого штампа с упругопластическим основанием. Поведение грунта описывается моделью предельного течения грунта с нулевой дилатансией.
Решение краевой задачи проводится в пространственной постановке методом конечных элементов. В алгоритме используется метод начальных напряжений [12], в соответствии с которым на каждом шаге нагрузки, прикладываемой к рассматриваемой области, определяются упругие напряжения в каждом элементе. Полученные напряжения прибавляются к ранее накопленным напряжениям в данном элементе и вычисляются главные суммарные напряжения, которые сравниваются с границами поверхности предельного течения (сплошная линия на рис. 3).
Если действующие напряжения не выходят за пределы поверхности предельного течения, ограничивающей зону I (рис. 3), то деформации грунта являются упругими. В этом случае корректировка напряжений не требуется.
Если точка заданных напряжений попадает в зону II, то вводятся новые переменные напряжений
Ч1 = О1^/окт > 42 = О 2™1™ош , 43 = О 3п/покт , (10)
где /окт = даокт = покт = 1/л/3 - направляющие косинусы октаэдрической площадки.
Рис. 3. Определение теоретических напряжений: а) поверхность предельного течения грунта; б) сечение предельной поверхности равнонаклоненной плоскостью q1 + q2 + q3 = const
В пространстве д1, д2, Ч3 поверхность предельного течения представляет собой конус вращения, а теоретическая точка лежит на пересечении перпендикуляра, опущенного из заданной точки на поверхность кинематического условия нулевой дилатансии в виде цилиндра вращения. Следовательно, для элементарного объема среды при пластическом течении будет постоянна не только объемная деформация,
Т Т
но и величина 5, а значит 5 = 5, ^ = tgty0 5 .
Теоретические значения новых переменных напряжений в зоне II определяются по формулам:
( \ ( \
qT = s
1 +
V
f
q! = s
1 -
3 M'q
V2 (з+^q)
3 + M'q
tQ9c
q2T = s
1 +
V2 (3 + ^2)
tQ9c
(11)
tQ9c
(2q:
qiT - qsT y(qiT
qs
). По известным значениям qT вычисляются
теоретические значения главных напряжений с { .
Если точка заданных напряжений находится в зоне III, т.е. хотя бы одно из главных напряжений меньше либо равно нулю, то элемент среды будет разрушен по
трем направлениям и аТ = сТ = аТ = 0.
На основе разработанного алгоритма составлена программа численного расчета. С помощью этой программы моделируется процесс упругопластического деформирования основания жестким штампом. Результаты расчета сравниваются с результатами штамповых испытаний, приведенных в работе [13].
Экспериментальные исследования проводились с шероховатым металлическим штампом размером 0,2х0,2 м в лотке диаметром 1,2 м и высотой 0,8 м. В качестве основания использовался песок средней крупности плотностью р = 1,78 т/м .
Рис. 4. График зависимости сопротивления песчаного грунта сдвигу: 1 -
теория; 2 - эксперимент
График зависимости инварианта прочности t/s от интенсивности деформации ег-, полученный по результатам испытания песка в ста-билометре при среднем напряжении ст = 0,1 МПа, приведен на рис.
4. Пиковое значение истинного угла внутреннего трения расчетной модели ф0 равно 22,3°. Ему соответствует угол внутреннего трения по Мору-Кулону фм = 41,5°.
Экспериментальная зависи-
мость t/s - ег аппроксимирована диаграммой Гука-Прандтля, т.е. линейным участком, характеризуемым модулем общей деформации Е0 и коэффициентом общей относительной поперечной деформации v0 при напряжениях, не превышающих заданного предельного уровня, и горизонтальным участком пластического течения. Как показали результаты теоретических исследований, нелинейность зависимости осадки штампа от нагрузки в большей степени связана не с возникновением и развитием необратимых деформаций грунта, а с развитием зон предельных состояний, что позволяет рассматривать грунт как идеально упругопластическую среду.
Вследствие осевой симметрии задачи рассматривалась только одна четвертая часть расчетной области (рис. 5). Граничные условия задавались в пере-мещениях и силах. На вертикальных границах задавались равными нулю горизон-тальные перемещения в
узлах, а на нижней границе обеспечивалось зак-репление узлов в трех направлениях. Внешняя нагрузка на штамп модели-ровалась узловыми силами.
У элементов штампа упругие характеристики были приняты равными: модуль упругости Е = 2 • 105 МПа, коэффициент Пуассона v = 0,25. Прочностные характеристики штампа задавались такими, чтобы обеспечить его упругую работу в процессе нагружения.
Рис. 5. Конечно-элементная схема расчетной области
Рис. 6. Зависимость осадки S от давления под штампом Р: 1 - эксперимент, 2 - расчет по предлагаемой модели; 3 - расчет по модели Мора-Кулона
При численном решении на первом шаге определялось напряженно-деформированное сос-
тояние от собственного веса грунта, а на последующих ша-гах к штампу прикладовалась ступенчатая вертикальная нагрузка. Величина ступени составляла приблизительно 15 % от максимальной нагрузки на штамп. Таким образом, все решение состояло из 8 шагов.
Результаты расчета в виде графика зависимости осадки 5 от давления под штампом Р в сравнении с экспери-ментом представлены на рис. 6. Там же приведена расчетная кривая, получен-ная на основе модели Мора-Кулона.
В расчете модуль общей деформации основания принимался исходя из напряженного состояния под штампом. Для этого анализировалось величина всестороннего обжатия в основании штампа на начальных ступенях нагрузки. Определенный таким образом модуль общей деформации составил величину равную: Е0 = 5 МПа; коэффициент поперечной общей деформации принят равным: Vo =С03.видно из рисунка, на начальном участке графики расчетных зависи-мостей, соответствующие двум различным моделям, совпадают. С ростом нагрузки расчетная осадка, полученная на основе модели Мора-Кулона, меньше осадки, полученной на основе предлагаемой модели, причем последняя лучше согласуется с экспериментом.
Анализ зависимости «осадка-давление», соответствующей расчету по предлагаемой модели, показывает, что при давлении под штампом Р меньшем
где Ртах - максимальное опытное давление под подошвой штампа,
наблюдается практически линейная зависимость между давлением и осадкой штампа. При увеличении нагрузки зависимость становится нелинейной вследст-вие значительного развития зон пластической деформации в основании штампа. Это качественно соответствует экспериментальной зависимости. Мак-симальная нагрузка, полученая в расчетах, равна предельной несущей способ-ности основания штампа, определенной в опыте. За максимальную нагрузку в расчетах принималось величина, при превышении которой итерационный про-цесс численного решения начинал расходиться.
На рис. 7 показаны изолинии интенсивности деформации сдвига ег- грунта основания жесткого штампа, построеннные по экспериментальным и расчетным данным для трех уровней нагрузки на штамп: Р = 0,5Ртах; 0,75Ртах; 0,91Ртах. По этим линиям можно судить о развитии деформации в основании в процессе нагружения.
Рис. 7. Изолинии в %.
Слева от вертикальной оси штампа - эксперимент, справа - расчет
В целом и здесь характер деформирования соответствует экспериментальным результатам. Области повышенной деформируемос-ти, как и следовало ожидать, наблюдаются под краями штампа. При нагрузке Р = 0,5Ртах области
деформации, ограниченные изоли-нией ег- = 6 % оказались меньше, чем в эксперименте и достигают глубины
0,1 Ь (Ь - сторона квад-ратного штампа). С ростом наг-рузки эти области растут более интенсивно, чем в опыте и смыкаются, образуя единую область, которая при максимальной нагрузке достигает глубины 2,5Ь. При этой нагрузке под штампом образуется ядро в виде пирамиды, ограниченной накла-ненной по углом 45° изолинией ег- = 6 %, а на глубине 0,5Ь наблюдается смещение изолиний в стороны от оси штампа и вверх к поверхности грунта. Размеры зон расчетной деформации, ограни-ченых
изолиниями ег = 6 % и ег- = 3 % по глубине при соответствующих нагрузках больше, чем в опыте и это различие увеличивается с рос-том нагрузки. Последнее следует объяснить тем, что модуль общей деформации грунта Е0 для рассматриваемого грунта зависит от величины всестороннего обжатия. Чем выше среднее напряжение в грунте, тем больше модуль деформации. Согласно упругопластической модели величина Е0 постояннна и не завист от напряженного состояния. Поэтому в расчете при нагрузке Р > 0,5Ртах деформация песчаного основания с глубиной затухает медленнее, чем в в опыте.
Из проведенных теоретических исследований следует, что предложенные определяющие соотношения достоверно описывают закономерности пластического течения дилатирующих грунтов. Допущение о подобии напряженного и деформированного состояний может быть использовано для описания процессов пластического деформирования дилатансионно уплотняющегося грунта. Результаты расчета де-
Р = 0,91Р,
формации песчаного основания жесткого квадратного штампа на основе модели предельного течения грунта с нулевой дилатансией хорошо согласуются с экспериментом. Предложенная модель грунта может быть рекомендована для численных расчетов деформируемости и несущей способности оснований и грунтовых сооружений.
-------------------------------------------------------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Николаевский В.Н. Механические свойства грунтов и теория пластичности. Итоги науки и техники. Механика деформируемых твердых тел. -Т. 6. -М.: ВИНИТИ, -1972. -87 с.
2. Миронов В.А, Софьин О.Е. Модель предельного течения дилатирующих грунтов при сложном напряженном состоянии/ Будаунщтва. Строительство. Construction. -Мн.: БНТУ, -2003. -№ 1 - 2. -С. 71-75.
3. Миронов В.А., Софьин О.Е. Вариант уравнений пластического течения грунтов для пространственного напряженного состояния/ Труды международной научно-практической конференции по проблемам механики грунтов, фундаментостроению и транспортному строительству: в 2-х т. -Т. 1. -Пермь: ПГТУ, -2004. -С. 113-118.
4. Миронов В.А., Софьин О.Е. Основные уравнения прочности и деформируемости дисперсных пород/ Горный информационно-аналитический бюллетень, -2007. -№ 10. -С. 286-292.
5. Ломизе Г.М., Суханов Е.И. Закономерности течения грунта при разрушении/ Гидротехническое строительство, -1974. -№ 6. -С. 15-19.
6. Капустянский С.М., Николаевский В.Н. Количественная формулировка упругопластической дилатансионной модели (на примере песчаника)/ Механика твердого тела, -1984. -№ 4. -С. 113-123.
7. Ломизе Г.М., Крыжановский А.Л., Петрянин В.Ф. Исследование закономерностей развития напряженно-деформированного состояния песчаного основания при плоской деформации/ Основания, фундаменты и механика грунтов. -1972. -№ 1. -С. 4-7.
8. Крыжановский А.Л., Харин Ю.И. Использование закона Кулона в решении задач предельного состояния оснований/ Основания, фундаменты и механика грунтов, -1983. -№ 2. -С. 2427.
9. Крыжановский А.Л. Закон трения Кулона и разрушение грунта при пространственном напряженно-деформированном состоянии/ Гидротехническое строительство. -1982. -№ 12. -С. 5055.
10. Зарецкий Ю.К. Вязко-пластичность грунтов и расчеты сооружений. -М.: Стройиздат, 1988. -352 с.
11. Зарецкий Ю.К., Воронцов Э.И., Малышев М.В., Рамадан И.Х. Деформируемость и прочность песчаного грунта в условиях плоской деформации при различных траекториях напряжений/ Основания, фундаменты и механика грунтов. -1981.- № 4. -С. 25-28.
12. ФадеевА.Б. Метод конечных элементов в геомеханике. М.: Недра, -1987. -221 с.
13. Саенков А.С., Елизаров С.А., Малышев М.В. Развитие областей предельного состояния грунта в основании квадратного штампа/ Основания, фундаменты и механика грунтов. -1991. -№ 2. -С. 15-17.1333 ' '
— Коротко об авторах --------------------------------------------------------------
Миронов В.А., Софьин О.Е. - Тверской государственный технический университет.
Доклад рекомендован к опубликованию семинаром № 3 симпозиума «Неделя горняка-2008». Рецензент д-р техн. наук, проф. С.А. Гончаров.
