Определение параметров для численного моделирования поведения грунтов Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 624.131

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПОВЕДЕНИЯ ГРУНТОВ

Л.А. Строкова

Технический университет, г. Мюнхен, Германия E-mail: geyer3@mail.ru

Приводятся теоретические сведения о двух моделях Mohr-Coulomb и Hardening Soil, реализованных в программном комплексе PLAXIS, на примерах показан процесс определения параметров грунтов для последующего численного моделирования.

Ключевые слова:

Определяющие уравнения, параметры грунта, трехосные испытания.

По данным рабочей группы European Geo-technical Thematic Network [1] у пользователей современных программных продуктов ABAQUS, AN-SYS, PLAXIS и др., позволяющих оценивать напряженно-деформированное состояния грунтов, часто возникают трудности по определению и заданию входных параметров; определению начальных условий; выбору подходящей модели, достоверно описывающей поведение материала при нагружении; интерпретации результатов.

В настоящей работе речь пойдет о технологии назначения входных параметров грунтов моделей Mohr-Coulomb и Hardening Soil программного комплекса PLAXIS и методах их определения.

Упругая идеально-пластическая модель Мора-Кулона (Mohr-Coulomb) состоит из двух компонент: закона Гука и условия прочности Кулона, рис. 1. Модель рекомендуется для приближенной оценки напряженно-деформированного состояния [2]. Она учитывает основные свойства грунта, такие как упругое поведение при малых нагрузках, малая жесткость материала при разрушении, условие разрушения и упругая разгрузка после течения [3]. Ограничения модели: определение сопротивления грунта сдвигу вблизи предельного состояния, избыточная дилатансия, неспособность описать явления гистерезиса и изменения тензора упругих модулей после наступления предельного состояния. Фактически модуль Юнга и число Пуассона принимаются константами. Модель Мора-Кулона пригодна для

определения несущей способности грунтов, расчетов устойчивости склонов, подпорных стен.

Основные определяющие уравнения: закон Гука в дифференциальной форме, т. к. поведение материалов является зависимыми от истории нагружения; суммируемость деформаций; функция текучести; закон пластического течения материала; закон пластического упрочнения.

Уточним формулировки:

• Закон Гука в дифференциальной форме - в приращениях напряжений dаi¡=D¡¡kldsekl или й8=С1ыйоеы в приращениях деформаций, где коэффициенты пропорциональности между напряжениями <79 и деформациями представлены тензором напряжений D|kI и тензором податливостей Сеы, связанные между собой следующим образом D{k=(CkГl.

• Независимые от времени, упругие и пластические приращения деформаций действуют независимо друг от друга. Полное приращение деформации складывается из упругих и пластических приращений: ds¡=ds‘¡j+ds^¡j.

• Функция текучести / задается уравнением $=(о\—с3 )-(ст1 '+ст3 ^пф —2с со8ф'.

• Потенциал пластичности % задается уравнением

£=(о1 —Стз )-(ст1 '+Оз ц

• Поверхность текучести одновременно рассматривается как потенциальная поверхность (%=/), т. е. действует ассоциированный закон течения.

f f

Я =171 ~ rJ2

Т= с' + р'

^ф'

—i 1 Ь—►

r>

b = с' со sip'

tga = sintp'

а 1

1 1 I гГ 1 / - f b ! ^1 + ^3 1 ►

3_

;t 6c'cOSij)'

■f— 4'4 3 - sin<p' 1 ►

6 sin tp'

с' ctgq}' c'ctg<p'

Рис. 1. Различные формы представления критерия Мора-Кулона

1 c'ctg<p' 2

р=-(/7[+2^)

• В процессе пластического деформирования поверхность текучести не изменяется.

Для задания модели требуется 5 параметров, табл. 1.

Таблица 1. Параметры линейно-упругой идеально-пластической модели Мора-Кулона

Символ Название Размерность

Ео Модуль упругости (Tangent Young's Modulus) кН/м2

V (nu) Число Пуассона (Poisson's ratio) -

с Сцепление (Cohesion) кН/м2

ф (phi) Угол внутреннего трения (Friction angle) град

Ф (psi) Угол дилатансии (Dilatancy angle), принимает значения 0<у<ф град

Уточним формулировки:

• Для описания нелинейной упругой области используется гиперболическое отношение между напряжениями и деформациями в ходе дренированных трехосных испытаний (рис. 2, a), впервые предложенное R.L. Kondner и J.S. Zela-sko в 1963 г., дополненное J.M. Duncan и C.-Y Chang в 1970 г.

1 q р =

1 2£5() l-q/qa '

Асимптотическое девиаторное напряжение qa связано с максимальным девиаторным напряжением qf уравнением qa=qj/Rf где

Упругопластическая модель с изотропным упрочнением Hardening Soil Model [2, 4, 5] включает: в качестве поверхности разрушения - формулировку Мора-Кулона; для описания упругой области напряженно-деформированного состояния - гиперболическую формулировку Duncan-Chang [6] с изменяемыми модулями упругости для траектории первичного нагружения и траектории разгружения - повторного нагружения; для описания пластических сдвиговых и объемных деформаций - две функции текучести для девиаторного f и изотропного f нагружений, соответственно, рис. 2, б.

Модель точно описывает поведение грунта при экскавации грунта, при устройстве подпорных стен и проходке туннелей, сопровождающейся уменьшением среднего эффективного напряжения и одновременно мобилизацией сопротивления пород сдвигу. Ограничения модели: неспособность учесть явления анизотропии прочности и жесткости, ползучести и длительной прочности, непригодность для моделирования динамических процессов [7].

Основные определяющие уравнения: гиперболическое отношение; суммируемость деформаций; функция текучести; закон пластического течения материала; закон пластического упрочнения.

qf = (с'- ctgp' + aOy

2sin^ '

-sin ф

Величина Я/ для большинства грунтов изменяется в пределах 0,75...1 [6].

Секущий модуль упругости Е50ге/ и модуль упругости при разгрузке - повторном нагружении являются величинами, зависящими от сдерживающего напряжения ст3', определяются из трехосных испытаний по формулам

Е = E?;

и Е = Ещ

с cosp-CT, sin ф сcosp + pref sinф с cos ф-ст'sin ф

pref

c cos9 + p J sin ф _

• В процессе пластического деформирования поверхность текучести изменяется двояко.

1) Функция текучести для девиаторного нагружения „/'описывает пластические сдвиговые деформации и задается уравнением

1 q 2q

2£50 1 - q/qa Еш

fs =

Y

где Y - параметр упрочнения, равный

yv=—{s{—s{—s{). При девиаторном нагружении

Рис. 2. Гиперболическое отношение между напряжениями и деформациями (слева) и поверхности текучести модели Нэгс1е-тпд-БоИ (справа)

пластические объемные деформации пренебрежительно малы по сравнению с сдвиговыми, т. е. уг~-2е{. При первичном нагружении проявляются и упругие е‘, и пластические ердеформации. При разгрузке - повторном нагружении возникают преимущественно упругие деформации, которые при трехосных испытаниях определяются а1е=д/Еиг, причем 82е=8ге=-уш(д/Еиг).

Таблица 2. Перечень параметров грунта для модели PLAXIS Hardening Soil

Символ Название Ед. изм.

Г ref E50 Секущий модуль упругости при 50 % значении (стгст3) из трехосных испытаний (Reference stiffness for triaxial compression) кН/м2

E ref ‘-oed Тангенциальный модуль упругости из компрессионных испытаний (Reference stiffness for primary oedometer loading)

E ref Eur Модуль упругости при разгрузке-повторном нагружении из компрессионных испытаний (Reference stiffness for triaxial unloading)

Vur Число Пуассона при разгрузке-повторном нагружении, по умолчанию vur=0,2 -

m (power) Показатель степени, для описывания влияния ограничивающего давления на модуль упругости, определяется из компрессионных испытаний -

Ко Коэффициент бокового давления грунта K0= с'м/с'гупри консолидации, по Jaky (1944) K0"c=1-sin <р -

pe Опорный уровень напряжений (Reference stress for stiffnesses), по умолчанию pref=100 кН/м2

с Эффективное сцепление из трехосных испытаний

ф (phi) Эффективный угол внутреннего трения из трехосных испытаний град

^(psi) Угол дилатансии из трехосных испытаний, обычно у=ф-30°

• Потенциал пластичности при девиаторном нагружении gs задается уравнением

g!=(o'1'-o'3')-(o'1'+o'3')sin%, где % - мобилизованный угол дилатансии, определяемый по закону дилатансии Rowe [2].

• Поверхность текучести не совпадает с потенциальной поверхностью (gV=/), т. е. действует неассоциированный закон течения.

2) Функция текучести для изотропного нагружения fcописывает пластические объемные деформации и задается уравнением fc=(q2/a2)-p2-pp2. Поверхность текучести f изменяется независимо отfc. Размеры и формы этой поверхности текучести определяются параметрами а и преднапряжением консолидации рр. Оба эти параметрами являются внутренними параметрами программы PLAXIS и определяются по входным параметрам. Параметр а зависит от коэффициента бокового давления для нормально-консолидированного грунта K0NC и от отношения E5r0f к Е/Щ. Параметр рр зависит, главным образом, от модуля упругости E0rf определяемого из компрессионных испытаний по формуле:

Е = Ef ( с cos ф-ст sin ф Y

oed oed ref • ^

^сCOSф + p sinф)

где m - показатель степени, предложенный Ohde (1937) для оценки изменения модуля упругости при изменении действующего напряжения по отношению к опорному (атмосферному) давлению pref«100 кН/м2 [9]. Параметр m для большинства грунтов изменяется в пределах 0,4...1.

• Поверхность текучести при изотропном нагружении совпадает с потенциальной поверхностью (gc=fc), т. е. действует ассоциированный закон течения.

Для задания модели необходимо 10 параметров, табл. 2.

Методика установления параметров

Определение угла внутреннего трения ф и сцепления с возможно методом одноплоскостного среза при трех разных вертикальных нагрузках ст1' или методом трехосного сжатия при различных вертикальных ст/ и ограничивающих давлениях ст3' (рис. 3).

Определение упругих параметров модулей упругости Е и числа Пуассона производится при компрессионных и трехосных испытаниях в лаборатории, либо при испытаниях штампом in-situ. Модуль упругости при компрессионных испытаниях определяется как тангенс угла наклона кривой напряжение - деформации. Лучшие результаты дает определение модуля деформации в приборах трехосного сжатия.

Для расчета модуля упругости Е0 для модели Мора-Кулона берут отрезок, составляющий 1/2...1/3 от напряжения разрушения. Расчет модулей упругости E„dref и Еи[4 для модели Hardening Soil возможен по данным компрессионных или ^-консолидации. Под ^-консолидацией понимается сжатие образца в специальных трехосных приборах с двумя камерами без возможности бокового расширения. Условия сжатия напоминают компрессию в обычном одометре, но преимущество этого прибора - исключение сил трения по боковой поверхности. Специальная система в автоматическом режиме регулирует боковое давление на образец грунта по данным объемной деформации. На рис. 4 приведен пример определения Eje и Eurref при компрессионных испытаниях, в табл. 3 представлено вычисление параметра m.

Таблица 3. Определение параметра т для глиныы со сцеплением 25 кН/м2 и углом внутреннего трения 25°

Напряжение ст, кН/м2 Модуль упругости EoeJef=Aa/ Ае, МН/м2 Параметр m [-]

100 53,5/0,22=16,5 Е Eref ( с' cosqj +ст[ sin ф ^ ^ с' cos ф + p,rf sin ф)

300 82,0/0,21=23,5 г,-, с A25cos25° + 300sin25° Y 23,5 = 16,51 I ^m~0,6 ^ 25 cos 25° +100sin 25° )

300

600 ■

о.'=29,92°

Ь'= 30 кН/м2 с = 36,62кН/м2 У= 35,13°

smф,,=tga,,,

с'= ЬУсоз ф'

£

1 ступень <73'=150 кН/м2;

2 ступень ст3'=300 кН/м2;

3 ступень <т3'=450 кН/м2

кН/м2

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

Рис. 3. Пример определения параметров прочности при трехосных испытаниях

1600

Рис. 4. Определение модулей упругости Р'

Число Пуассона определяется в результате непосредственного измерения продольных и поперечных деформаций (рис. 5) по формуле

1 (, Ае*

V = —I 1------

2 ^ Ае,

Коэффициент бокового давления К0 определяется как отношение горизонтального напряжения о'к к действующему вертикальному напряжению (К0=а'к/а'г) при отсутствии боковых деформаций (е2=е3=0). Для определения КО предложено множество полевых (пенетрометр, дилатометр) и лабора-

торных (компрессия, К0-консолидация) методов. Коэффициент бокового давления отражает мгновенное напряженно-деформированное состояние массива, и многократно меняется в геологическое время, при седиментации и нормальной консолидации является постоянной величиной, при увеличении вертикальных напряжений, (наступление ледников, застройка) К0 - уменьшается, при разгрузке (отступлении ледников, эрозии, экскавации грунта) К0 - увеличивается. На рис. 6 представлены результаты определения коэффициента бокового давления при ^-консолидации для глины мягко-

л 10 И

и

Н

Я

и

N

ч

о,

G

К

и

О

и

о,

о

Й

н

m

'D

с

/ X / 1 3(1 -l + i Sv) J >V= 0,25

0 2 4 6 В 10 12 14

Среднее напряжение, р, МПа

Рис. 5. Определение числа Пуассона при К0-консолидации

16

18

±

ь:

“еъ

D

0)

600

550

500

450

5 400

Е4

'Г

350 &

* 300

| 250

£ 200

О

а-

о

е

I

150

100

50

0

Кс ]=1.( /К0 = 0,7 К0 = 0,5 Ко = 0,4

// /

/ у / Ко со CR=1) = 0,45

// Г <0 = С ,3

/ // А

// А Г

/ Ко = 0,2

//■ У

) / / * f

/

о

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1 100 1200 1300 1400 1500

Эффективное вер тика льное напряжение О/, кН/м2

— Нагружение —1-аяразфузка —Повторное нагружение —2-ая разгрузка

Рис. 6. Определение коэффициента бокового давления К0

пластичной, K0NC=0,45 в условиях нормальной кон-

Для определения угла дилатансии используют

солидации, при разгрузке образца, наблюдается результаты испытаний на сдвиг и трехосного дре-повышение К до 0,9. нированного сжатия. Угол дилатансии ^определя-

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

Деформация сдвига, У, мм

Рис. 7. Определение угла дилатансии по результатам среза

ч

ы

¡=г

й

Ж

а

о

(D

Ч

3

к

>4

И

ы

(Н

а

(D

PQ

■ т-у

■ егУ

ется для условий плоской деформации по предложению M.D. Bolton [10] по формуле

tg^m = -

7

1УУ УХ

а для условии трехосного сжатия по предложению PAVermeer, R. De Borst [11],

• 2¿v

SW„ = -—v—,

sv - 2ег

где s1 и sv - скорости осевоИ и объемной деформации.

На рис. 7 приведен результат определения угла дилатансии по данным среза глины тугопластичной в условиях кинематического нагружения. Точка перегиба кривой изменения объема соответствует изменению контракции на дилатансию. Макси-

мальное значение дилатансии имеет место при максимальном значении напряжения Tpeak.

Процесс установления параметров грунта для последующего численного моделирования является важнейшей составляющей обеспечения качества оценки напряженно-деформированного состояния грунтового массива. Поэтому необходимо уделить особое внимание разработке отечественных нормативов для определения числа Пуассона, коэффициента бокового давления грунта в состоянии покоя, угла дилатансии. Следует установить методику определения этих параметров с достаточной надежностью и с приемлемыми издержками.

Автор признателен Г. Пельцу, инженеру Центра Геотехники Технического университета Мюнхена, за помощь в процессе нахождения параметров и их использовании при численном моделировании напряженно-деформированного состояния грунтов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. De Vos М., Whenham V. Innovative design methods in geotechnical engineering. - Belgium, 2006. - 90 p. http://www.geo-technet.org/wp3.

2. Brinkgreve R.B.J. et al. PLAXIS, 2D Version 8. - Balkema, 1997. - 200 p. http://wwwplaxis.nl/index.php?cat=manuals&mouse=Plaxis%20V8.

3. Болдырев Г.Г. Устойчивость и деформируемость оснований анкерных фундаментов. - М.: Стройиздат, 1987. - 80 с. http://ge-oteck.ru/publications/public1/.

4. Schanz T Zur Modellierung des mechanischen Verhaltens von Reibungsmaterialien // Mitt. Inst. fur Geotechnik 45. Universitat Stuttgart. - Stuttgart, 1998. - 152 S.

5. Schanz T., Vermeer P.A., Bonnier P.G. The Hardening-Soil Model: Formulation and verification // Beyond 2000 in Computational Geotechnics. - Balkema, Rotterdam, 1999. - Р. 281-290. http://www.uni-stuttgart.de/igs/content/publications/40.pdf.

6. Duncan J.M., Chang C.-Y. Nonlinear analysis of stress and strain in soils // ASCE Journal of the Soil Mechanics and Foundations Division, 1970. - № 96 (SM5). - Р. 1629-1653.

7. Brinkgreve R.B.J. Selection of soil models and parameters for geotechnical engineering application // Soil Constitutive Models: Evaluation, Selection, and Calibration. Ed. J.A. Yamamuro, V.N. Kaliakin.

- American Society of Civil Engineers, 2005. - V. 128. - P. 69-98.

8. Wehnert M. Ein Beitrag zur drainierten und undrainierten Analyse in der Geotechnik // Mitt. Inst. fur Geotechnik 53. Universitat Stuttgart. - Stuttgart, 2006. - 167 S.

9. Ohde J. Zur Theorie der Druckverteilung im Baugrund // Der Bauingenieur. - 1939. - V. 20. - P. 451-453.

10. Bolton M.D. The strength and dilatancy of sands // Geotechnique.

- 1986. - № 36 (1). - P. 65-78. http://www-civ.eng.cam.ac.uk/ge-otech_new/people/bolton/14-Geotechnique(36) 65-78.pdf.

11. Vermeer P.A., De Borst R. Non-associated plasticity for soils, concrete and rock // Heron. - 1984. - № 29 (3). - 62 p.

Поступила 17.04.2008 г.