CC BY
2УДК 539.3+531.53+532.23
О ВАРИАЦИОННОМ ПРИНЦИПЕ ЛАГРАНЖА МИКРОПОЛЯРНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В СЛУЧАЕ ОРТОТРОПНОЙ СРЕДЫ
А. В. Романов1
В рамках теории микрополярного континуума с использованием вариационного принципа Лагранжа, метода Ритца и кусочно-полиномиальных базисных функций серендипо-ва семейства получены компоненты тензорно-блочной матрицы жесткости и составлена система линейных алгебраических уравнений для ортотропного материала с центром симметрии.
Ключевые слова: микрополярная среда, континуум Коссера, несимметричная теория упругости, вариационный принцип, тензор изгиба-кручения, тензор моментных напряжений, метод конечных элементов, матрица жесткости.
In this paper, a variational principle of Lagrange, the Ritz method and piecewise polynomial serendipity shape functions are used to obtain the stiffness matrix and a system of linear algebraic equations in the micropolar theory of elasticity for orthotropic and centrally symmetric material.
Key words: micropolar continuum, Cosserat continuum, theory of asymmetric elasticity, variational principle, rotation gradient tensor, couple stress tensor, finite element method, stiffness matrix.
DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-2023-1-68-72
1. Вариационный принцип Лагранжа. Обобщим задачу минимизации функционала Лагранжа классической теории упругости [1, 2] на микрополярную среду:
L(u, ip) ^ L(w, ф), L(w, ф) - a(w, ф; w, ф) — l(w, ф), Vw, ф: w, ф |E = 0 (1)
1 2
и запишем условия стационарности
БЬ(и, <; ф) = 0, (2)
которые в силу симметрии функционала а приводят к интегральным тождествам
а(и, — , ф) = ф),
Г 2 2
а(и, <; -,ф)= [Р(и, <)®(V-- - С ■ ф) + ] йУ,
V
;(—,ф) = / „(Е-- + тф) ^ + /(8 — + Нф) йЕ,
V Е2
где Б — дифференциал Гато; V — объем тела; Е — поверхность тела (Е1 и Е2 = Е, Е1 П Е2 = 0); и, < — действительная кинематическая система независимых векторов перемещений и микровращений (далее вращений) соответственно; ф — кинематически допустимая система векторов, т.е. возможные перемещения и вращения из того же пространства, что и и, Если приняты тождества — = и, ф = <, то а(и, ф) есть энергия упругих деформаций и изгиба-кручения; 1(-, ф) — работа внешних сил на соответствующих перемещениях и вращениях; Р — тензор напряжений второго ранга; и — тензор моментных напряжений второго ранга; С — дискриминантный тензор третьего ранга (тензор Леви-Чивиты); Е — вектор массовой силы; т — вектор массовых пар; р —
1 Романов Александр Вячеславович — науч. сотр. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: atomicra@ya.ru.
Romanov Aleksandr Vyacheslavovich — Scientific Researcher, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Composite Mechanics.
плотность среды; ® — знак внутреннего 2-произведения; Б — вектор поверхностной силы; К — вектор поверхностных пар. При формулировке вариационного принципа Лагранжа (1), (2) аналогично классической теории [1, 2] потребуем выполнения кинематических соотношений и кинематических граничных условий [3-9]:
7 = Уи — С ■ к = У^, и |Е1= ио, <р |Е1= ^о, а из условий стационарности (2) следуют уравнения равновесия и статические граничные условия:
УР + рР = 0, У-^ + С ® Р + рт = 0, пР |Е = Б, п-^ |Ез= К.
Здесь 7 — тензор деформации микрополярной теории упругости; к — тензор изгиба-кручения; п — внешняя нормаль к поверхности тела. Также отметим, что в силу существования оператора (потенциала) деформаций и изгибов-кручений немедленно возникают определяющие соотношения для материалов с центром симметрии при изотермических процессах [6-9]:
1 ( 2 2 х) = - 17® А
22 + к ® Б ®к
Р
(Ш
д7 '
(Ш дк
А = АТ Б = Б
т\
где А, Б — материальные тензоры четвертого ранга.
2. Ортотропные тензоры четвертого ранга. В этом случае каждый тензор микрополярного материала с центром симметрии имеет 15 независимых компонент. Например, компоненты тензора А представляются в виде [10]
Аг3к1 = ¿1111 ^ ^ + А2222 7217*2 + А3333 7З3 тк3 + А
^ + а т^ ^ + а 7 ,
'11 '11 1 '22 '22 1 '33 '33
31
>1122
(т!^ + Т» 71Л + А1133
у? + у?
11 33 33 11
+
+А2233 7^3 + 73^3т22) + А121271к722 + А1221 (7117?3 + 7227^) + А2121 7п + А1313т1к7^3 + +А1331 (7Ц + 732?) + А31317337? + А2323722? + А2332 (7227^ + 732?) + А323^? , (3)
где 70? = (а = 1, 2, 3) (по а суммирования нет) — произведения смешанных компонент единичного тензора второго ранга [1, 6, 10]. А если учесть симметрию относительно первых двух индексов Аг^к1=А^гк1, то из выражения (3) получим
Аг^ = А1111 у?7*1 + А222272?7*2 + А3333722^ + А1122 (7?7^ + 7?7^) + А1133 (
,7? 7*3 + 733 Т*') +
+А2233 (т22 733 + 733 т22) + А1212 (т31722 + 732 ? + т32 + 723 т?0 +
+А1313 (У М1 + <Уг V'3 + У1 V'3 + У М1) +
11 33 11 33 33 11 33 11
I А2323 (у ¿г? + у1 у'3 + у1 у'3 + У 37
22 33 22 33 33 22 33 2
33 22
где А содержит уже 9 независимых компонент, что соответствует ортотропному материалу клас-сичеякой теории упругости [3, 6, 10]. Если в (3) А заменим на то получим соответствующие выражения для компонент материального тензора Б.
3. Система линейных алгебраических уравнений. Применив метод Ритца и записав критерий стационарности для дискретного лагранжиана, а также воспользовавшись ранее принятыми обозначениями в работе [11], придем к системе линейных алгебраических уравнений для произвольного материала с центром симметрии:
^¿(^, -) = 0,
+ К % 0 — К % — = Е Зд (1) 1 (2) 1 (1)д
— К рд гуР + К рд — = Ед,
(3) 1 (4) 1 (2)
'У У
к рд — к рд
(1)
(2)
рд
—к рд к рд
. (3)рУ (4)
Ед-
(1)
Ед
(2)д
(4)
где компоненты тензорно-блочных матриц жесткости имеют вид
К* = I ВД^, К* = I А^С^ Мр,
(1) Це (2) Ув
К* = / Атк1 ^С^д, п = / ^Жд+ / Б*Мд^ ^,
(3) Ув (1) Ув £2 (5)
Е 3 = / т* Жд + / К* Жд , ( )
(2) Ув ^2
I [а^-вдСк1.С^ + Жд,^^ = Крд
Ув
(4)Рд-
(6)
4. Компоненты тензорно-блочной матрицы жесткости. Учитывая (3) и соответствующие выражения компонент ортотропных материальных тензоров А, Ю, а также запись производных функций форм по декартовым координатам [11], из (5) для компонент первого блока тензора Крд
будем иметь
К* = ^ = А1111^,^,^ + А2222 N^,2^22 +
+А3333ЖР;зЖд;з73^ + А1122 (^Жд,^ +
+Жр,1Жд;271^2) + А1133 (ЖР)зЖд)173^1 + ЖрдЖд;з7^) + А2233 (Жр>зЖд>2732 + Жр,2^,3723) + +А1212ЖР;1Жд;172^2 + А1221 (Жр^д,^ + ЖрдЖд^) + А2121 Жр)2Жд,271^1 + +А1313Жр;1Жд;173^3 + А1331 (Жр;3Жд;171^3 + ЖрдЖд;3731) + А3131 Жр,3Жд)371^1 + +А2323Жр,2Жд;273^3 + А2332 (Жр;3Жд;272^3 + ^,2^,3732) + А3232^Жд^. Придавая значения индексам I и / из формулы (6), получим
крд = А1111 ЖрдЖдд + А2121Жр,2Жд;2 + А3131 Жр,3Жд;3, К™ = А1122Жр,1Жд;2 + А1221 Жр,2ЖдД,
кКрд = А2222Жр,2Жд;2 + А3232Жр,3Жд;3 + А1212ЖрдЖдд, = А1122Жр,2Ждд + А1221 Жр,1Жд,2,
К^ = А3333 Жр,3Жд;3 + А1313 ЖрдЖдд + А2323 Жр,2Жд;2,
КК)р3 = А1133 ЖрдЖд,3 + А1331 Жр,3Ждд, = А2233 + А2332 ^3^2,
КК)ррд = А1133 Жр,3Ждд + А1331 Жр,1Жд,3, К)3д = А2233 Жр,3Жд;2 + А2332 Жр,2Жд;3.
Компоненты второго Орд и третьего К* блоков тензора в общем виде представляются следующим образом:
Крд = А ^С^Жр^ = Жр (А1212Жд,1 С121 ^ + А1221 (Жд,1 С21 1 ^ + Жд,2 С2 1) + А2121Жд,2 С211^ + +А1313Жд,1 С131+ А1331 (Жд,1 С^' + Жд,3 СЦ ^) + А3131 ^3 С311+ А2323 Жд,2 С23 1^ + -32 153 + Жд,3 С23 1) + А3232Жд,г С'• 1 ^^
+А2332 (Жд,2 С32 1 533 + Жд,3 С23г £22) + А3232Жд,3 С321 £22) ,
Крд = А-**^ЖдСП = Жд (А1212Жрд52 С12/ + А1221 (Жр,2 51 С^' + Жрд52 С^!^) + А2121 ^ 51С^+ +А1313Жр,153 С^ + А1331 (Жр,3 51С/ + Жр,153 С31?) + А3131 ^3 51 С3'1/ + А2323^ 53 С«5 +
„ "д^т- — 2,р,1У 2—12 • 1 ■"- ^'р>2У 1^12 • 1 2,р,1У 2—21 ■) 1 ^ -1- 1ур
(3)
• + 4 1331 „ С'+ гур - С- -Л + 43131 лг _ С"/ + 42323 ^ , С'/
(Жр,3 52 С235' + Жр,2 53 С320 + А3232Жр,3 52 С325) . Запишем их выражения поэлементно:
К11 = К22 = К33 = 0
К)рд К)рд К)рд
Кр2 = NpNд)з(A2332 - А3232), Крд = NpNд)2(A2323 - А2332), К^ = NpNд)l(A1331 - А1313),
Крд = ВДДА3131 - А1331), К31 = ВДДА1221 - А2121), К^д = NpNд)l(A1212 - А1221),
(2) (2) (2)
Ки = К22 = К р3 = 0
Крд (К)рд (К)рд 0,
вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2023. № 1
71
К)12 = (А3131 - А1331), кр3 = (А1221 - А2121), К^3 = (А1212 - А1221),
КЦ = (А2332 - А3223), К31 = N^N3(А2323 - А2332), К32 = N^N3(А1331 - А1313).
(3) (3) (3)
Компоненты четвертого блока тензора Кр3 представим в общем виде:
(4)
Кр3 = А-^^ б^ + £ ^^ N3,^ = (4) . . = ^рД? [А1212 С12 1С1 25 + А1221 (С2 1 1С125 + С1 21С2 +
+ А2121 с-'С ' + А 1313 + А 1331 /с-• 'с' + с-'С"') + А3131 с-• 'с' + А2323 с-• 'с ' +
+ А с21 • с21 • + А с13 • с13 • + А ^с31 • с13 • + с13 • с31 •) + А с31 • с31 • + А с23 • с23 • +
+А2332 (632+ 6231632') + А3232 с32№] + Я1111^.^^ + Д2222^^^' +
УЯ3333^^^ + £1122 (^Л^ + ^д^^) + £1133 (^з^п' + ^д^з^) +
+£2233 (^з^У' + ^^^а) +
УЯ1212^,^,^ + £1221 (^^д^ + ^д^^') + Я2121^^^ + УЯ1313^,^,^ + £1331 (^з^д^ + ^д^зУ') + Я3131^^^ +
УЯ2323^^^ + £2332 (^з^^ + ^^.зУ') + Я3232^^^.
Их выражения поэлементно:
КP1 = (А2323 - 2А2332 + А3232)^^ + Я1111^,^ + Я2121^^ + Я3131^^,
(4)
= (А1313 - 2А1331 + A3131)NpNз + Я2222^^ + Я1212^,^ + Я3232^^, ^ = (А1212 - 2А1221 + A2121)NpNз + Д3333^^^ + Я1313^,^ + Я2323^^, К^ = ^^^д^^ + Д1221^^, К)21 = Я1122^^ + Д1221^,^, K4)P3 = Я1133^,^ + Я1331^^, К)23 = д2233^^^^ + Д2332^^, КЦ = Я1133^^ + Я1331^,^, К32 = Я2233^^ + Я2332^^.
4. Выводы. С учетом выражений ортотропных тензоров А, Б для материалов с центром симметрии микрополярной теории упругости получены компоненты тензорно-блочной матрицы жесткости, которые впоследствии используются для составления системы линейных алгебраических уравнений (4), (5) и нахождения неизвестных векторов макроперемещений и микровращений. Данные результаты могут быть актуальными для исследования задач наномеханики микрополярного континуума с целью изучения новых свойств материала методом конечных элементов с применением численных экспериментов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности: Учеб. пособие. 2-е изд. М.: Изд-во МГУ, 1995.
2. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980.
3. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975.
4. Eringen A.C. Microcontinuum Field Theories.1. Foundation and Solids. N.Y.: Springer-Verlag, 1999.
5. Lakes R. Cosserat micromechanics of structured media: Experimental methods // Proc. Amer. Soc. Composites. 3rd Technical Conf. Sept. 25-29. Seatle, 1988. 505-516.
6. Никабадзе М.У. Развитие метода ортогональных полиномов в механике микрополярных и классических упругих тонких тел. М.: Изд-во Попечительского совета мех.-мат. ф-та МГУ им. М.В. Ломоносова, 2014 (URL: https://istina.msu.ru/publications/book/6738800/).
7. Nikabadze M., Ulukhanyan A. Some variational principles in the three-dimensional micropolar theories of solids and thin solids // Theoretical Analyses, Computations, and Experiments of Multiscale Materials. Vol. 175. Advanced Structured Materials. Switzerland, 2022. 193-251 (URL: https://doi.org/10.1007/978-3-031-04548-6_11).
8. Nikabadze M., Ulukhanyan A. On some variational principles in micropolar theories of single-layer thin bodies // Continuum Mechanics and Thermodynamics. Germany, 2022 (URL: https://doi.org/10.1007/s00161-022-01089-5).
9. Nikabadze M., Ulukhanyan A. Generalized Reissner-type variational principle in the micropolar theories of multilayer thin bodies with one small size // Continuum Mechanics and Thermodynamics. Germany. 2022. 34, N 2 (URL: https://doi.org/10.1007/s00161-022-01091-x).
10. Nikabadze M.U. Topics on tensor calculus with applications to mechanics //J. Math. Sci. 2017. 225. 1-194 (URL: https://doi.org/10.1007/s10958-017-3467-4).
11. Романов А.В. О вариационном принципе Лагранжа микрополярной теории упругости в случае трансвер-сально-изотропной среды // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2022. № 4. 35-39.
Поступила в редакцию 14.10.2022
