Вариант модели деформирования ортотропных композитных материалов Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

fl

ЭКСПЕРТ: 2020 NO 3 (6) EXPERT:

ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА J \ THEORY AND PRACTICE

УДК 539.3: 519.6.502 DOI 10.24411/2686-7818-2020-10027

ВАРИАНТ МОДЕЛИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ОРТОТРОПНЫХ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ*

© 2020А.А. Трещев, Ю.А. Завьялова, М.А. Лапшина**

Рассмотрены варианты постулирования уравнений состояния композитных конструкционных материалов, обладающих структурной ортотропией и деформационной анизотропией. Связи тензоров деформаций и напряжений построены на основе общих нелинейных энергетических зависимостей между силовыми и геометрическими параметрами процесса деформирования. Ввиду высокой сложности экспериментального определения констант потенциальных соотношений с высоким уровнем нелинейности для практического применения в расчетах конструкций рекомендованы квазилинейные приближения уравнений состояния. Вычисление констант энергетических зависимостей ограничено проведением простейших экспериментов, на основе которых получены величины этих констант для ряда композитов.

Ключевые слова: потенциал деформаций, квазилинейные уравнения, ортотропный разносопро-тивляющийся материал.

Введение ми, а во многих случаях - зависимость жест-

С развитием химической промышленно- костных и прочностных параметров от вида сти наряду с традиционными строительны- напряженного состояния. Последнее свой-ми материалами такими, как древесина, ство материалов часто интерпретируется как сталь и железобетон, в двадцатом столетии механическая разносопротивляемость или получили широкое распространение поли- деформационная анизотропия. Среди струк-меры и композиты. Эти материалы в настоя- турно анизотропных материалов наибольшее время используются как в составе ограж- шее распространение получили композиции, дающих, так и несущих конструкций. Их проч- относящиеся к классу ортотропных. Следует ность и жесткость зачастую превышают ана- заметить, что даже железобетон и весьма логичные характеристики железобетона и «древний» материал - древесина относятся даже стали, обладая большей коррозионной также к классу ортотропных с декартовой и стойкостью и одновременно меньшей мас- цилиндрической ортотропией, соответствен-сой, что создает преимущества при констру- но. Тем более это относится к современным ировании. Использование композитных и стекло-, боро-, углепластикам и поликарбо-полимерных материалов в строительстве нату. Не смотря на высокую прочность совре-существенно усложняет проектирование менных строительных композитов к их ис-конструкций. Это объясняется рядам причин следованию и проектированию из них кон-таких, как структурная анизотропия, нели- струкций необходимо подходить особенно нейность связи напряжений с деформация- тщательно, т. к. в процессе деформирования

* Работа представлена в качестве доклада на XI Академических чтениях РААСН - Международной научно-технической конференции «Долговечность, прочность и механика разрушения строительных материалов и конструкций», посвященной памяти первого Председателя Научного совета РААСН «Механика разрушения бетона, железобетона и других строительных материалов» Почетного члена РААСН, д.т.н., профессора Зайцева Юрия Владимировича (Саранск, ФГБОУ ВО "Национальный исследовательский Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарёва", 2020 год).

** Трещев Александр Анатольевич (taa58@yandex.ru) - доктор технических наук, профессор, член-корреспондент РААСН; Завьялова Юлия Андреевна - магистрант; Лапшина Мария Александровна - магистрант; все - Тульский государственный университет (РФ, г. Тула).

повышается уровень их анизотропии. Это объясняется тем, что абсолютное большинство конструкционных полимеров и композитов реагируют на деформирование проявлением такого свойства как «несовершенная упругость», приводящая к анизотропии двоякого рода в процессе изменения типа слож -ного напряженно-деформированного состояния. Обладание указанными свойствами совершенно не коррелируется с существующими классическими теориями прочности и строительного материаловедения. Не смотря на широкое распространение ортотроп-ных композитов и высокий уровень развития современных теорий механики, до сих пор не предложены общие, широко апробированные теории деформирования и прочности, которые свободны от грубейших недостатков, а, следовательно, их можно с высокой точность применять к расчету конструкций их композитных материалов. Представленное исследование представляет вариант математической модели деформирования композитных материалов, проявляющих анизотропию двоякого рода, который вероятно можно использовать многие годы проектировщиками и материаловедами.

Постулирование уравнений состояния

Основным методом исследования в представленном докладе является развитие традиционной классической деформационной теории, тензорных преобразований векторных представлений пространств напряжений, представленных в главных осях анизотропии применительно к композитным и полимерным материалам. Круг исследуемых материалов ограничен графитокомпозита-ми, стеклопластиками и полимерными структурами, использование которых встречается в строительных конструкциях и деталях различных технических устройств.

В исследованиях, представленных в работах [1; 2] проанализированы многочисленные известные экспериментальные сведения по деформированию разных классов анизотропных материалов, проявляющих механическую разносопротивляемость [3 -

7]. На этой основе были сформулированы основные правила постулирования нелинейных энергетических уравнений, связывающих компоненты тензоров деформаций и напряжений применительно к ортотропным материалам:

Щ = Щ + Ж2 + Ж3 +..., (1) где Щ = Щ(0"11, &22> &33> ^12^21.

Т23Т32

Т31Т13'

ttt 1), W,

" п

степенной полином уровня п +1 по напряжениям, определенным в главных осях анизотропии.

Элементы разложения (1) определяются в зависимости от физико-механических свойств композитных структур, изменяющихся из-за колебаний сочетаний компонентов напряжений, развивающихся вдоль направлений главных структурных осей. Эти компоненты обычно определяют по данным, получаемым из проводимых квазистатических испытаний стандартных образцов. Для уровня квазилинейных приближений потенциала деформаций полином (1) можно представить в виде:

W1 .2

A1s11 + A2s22

+

A3s33 + A4S11S22 + A5S22S33 + + A6S33S11 + A7t12t21

+ А t + А t 1111

(2)

8' 23 ' 32 ^19'31Ч3 ■ С ростом показателя степени п число слагаемых в общей записи (1) существенно увеличивается. Так, если принять п = 2 , то приходим к следующей записи:

Ж2 = В1°п + В2°Ъ22 +

В3^33 + В4°Л^22 + В5°Па22 +

В6 ° 22 а 33 + В7 а 22 а 33 +

22 + В8^33°Л + В9а33а11 +

B10S11S22S33 + BiSt

2

11^1142

fl

ЭКСПЕРТ:

ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА

2020. № 3 (6)

2 2 + В12°11Т23 + В13°11*31 +

J14u2242

+ В15° 22t

15u22'23

16u22^31

+ B17°33t

17^33 42 2

+ В18°33^23 +

В19°33Т31 + B20t12t13t23 ■

(3)

a.:

= °j /S ; ( i, j = 1,2,3 ),

(4)

где

S = jsj = a/°H

+ °22 + °33 + 2t12 +

+ 2t^3 + 2t13

ajaj = a

11

J22

f33

,2 12

2 2 + 2a23 + 2a13 = 1

ей и меняющимися податливостями, можно определить по сформулированному выражению удельной дополнительной работы (1) -(3), представленному в главных структурных осях ортотропии. Это осуществимо благодаря использованию дифференцирования по правилам Кастильяно:

При п = 3 число параметров разложения в полиноме (1) возрастает до 42.

В работах [1; 2] исследовался потенциал

(1), ограниченный до степени п = 2 . В случае зависимости механических характеристик материалов от вида напряженного состояния в разложениях (2) и (3) все параметры

Ак и Бк должны быть представлены функциональными зависимостями от компонентов тензора нормированных напряжений [8 - 10]:

dW d°ij

; ( i, j = 1,2,3 ).

(6)

Полная комбинация компонентов тензора нормированных напряжений, определенных в главных материальных осях не может быть произвольной, т. к. на величины этих напряжений накладываются ограничения, проявляющиеся в любых нормированных векторных пространствах [1; 2; 8 - 10]:

(5)

Как рекомендовано в работах [1; 2; 8 -10], для любых материалов компоненты Ак и Бк должны быть представлены в виде функций Ак (ау ) ; Бк ) с аргументами (4).

Следуя классическим законам механики конституционные уравнения, связывающие тензорные компоненты деформированного и напряженного состояний для абсолютно любого, а не только материала с ортотропи-

Не смотря на общую нелинейность введенного потенциала Ж = Ж1 + Ж2, глубокий

его анализ указывает на то, что для вычисления комплекта констант требуется выполнить весьма большой объем механических испытаний и даже таких, которые включают эксперименты с комплексами сложных напряженных состояний. Даже требуется провести различные двухосные, трехосные опыты по растяжению-сжатию, а что особенно сложно - выполнить эксперименты по совместному сдвигу в двух-трех взаимно главных ортогональных плоскостях анизотропии, что на сегодняшний день сложно реализуемо. При этом в настоящее время строительная практика широко использует ортотропные композиты с двоякой (структурной и деформационной) анизотропией [3 - 7]. Поэтому строительные конструкции, элементы деталей и инженерного оборудования, выполненные из рассматриваемых материалов, требуется подвергать деформационным и прочностным расчетам с точностью, которую можно максимально достичь в настоящее время. Такое положение дел допускает в настоящее время принять в разложении (1) квазиквадратичное представление (2), представив в нем функции А7 , А.

янными параметрами [8 - 9]. При таком выборе энергетической зависимости запись потенциала преобразуется к виду:

Ж = о,5( лпп + Аппщ! + о,5( 4222 +

А9 посто-

+ А2222а22 )°22 + 0,5( А3333 + А3333а33°33 + [А1122 + А1122 (a11 + a22)]°11°22 +

+

+ [ А2233 + A2233 (a22 + a33 )]s22s33 + + a3\)] - 0,5(АШ1а131 +

А2222 a 22 ) +

+ [ А3311 + A3311(a33 + a11)]s33

S11 + + (1 -a33)[A1133a11(a121 + a22 + 2(a122 +a223 +

+ А1212 112 + A2323 t223 + A3131T31 ' (7) a31)) +A2233a22] -A1122a11a22 (a11 + a22)}<T3î

. 3

1212 1 12 ^ 2323 23 ^3131

Применив дифференцирование к потенциалу (7) по формулам правила Кастиль-яно (6), представляем искомые уравнения состояния, связывающие два тензора второго ранга для структурно ортотропных материалов, проявляющих деформационную анизотропию:

е11 = {(А1111 + А1111ап) + 0,5 А1111а11 \а22 +

+ а33 + 2(а122 + а223 + а321 )] -

- 0,5(А2222а22 + А3333а33) + (1 -- а11)[А1122а22 (а22 + а33 + 2(а12 + + а23 +а321)) + + А1 133 а33 ] -— А2233а22а33(а22 + а33)}а11 + \ А1122 + + А1122 (а11 +а22)]а22 + + \ А1133 + А1133 (а11 + а33 )]а33 ;

33

/12 = [A1212 - (А1111 a11 + A2222 a22 + + A3333 a33 ) — 2A1122 a11a22 (a11 + + a22 ) — 2A2233a22a33(a22 + a33) -2A1133a11a33 (a11 +a33)]t12 ;

y 23 - [ A 2323 ( А1111 a11 + A

2222 a 22 +

+ A3333 a 33 ) 2 A2233 a 22 a 33 (a

22

+

+ a33) - 2A1133 a11a33 (a11 +a33) -2A1122 a11a22 (a11 + a22 )]t23 ; y31 = [A1313 - (А1111 a11 + A

'22

= [ А1122 + А1122 (a11 + a 22 )]s11 +

+ {( A2222 + А2222 a22 ) + + 0,5 A2222a22[a11 +a33 + 2(a12 + a23 +

+ a321)]- 0,5(A11na131 + ^^3333a333) + + (1 a22)[А2233a33 (a 11 +a33 + 2(a12 + + a223 +a321)) + А1 133a33] - А1133 a11a33 (a11 + a33 )}s22 + [А2233 + А2233 (a22 + a33 )]s33 '

33

[ А 133 + A1133(a11

+ a33)]s11 +

2222 a 22 +

+ А3333 а33 ) — 2 А1133 а11а33 (а11 + + а33 ) — 2А1122а11а22(а11 +а22) — - 2А2233а22а33 (а22 + а33 )]г31 . (8)

Определение констант квазилинейного потенциала

Очевидно, что константы, фигурирующие в записи (2) должны быть установлены по результатам проведенных экспериментов на осевое растяжение и сжатие в направлениях трех главных материальных осей ортотро-пии и испытаний на сдвиг в трех ортогональных плоскостях ортотропии. Весь объем данных, получаемых по результатам математической обработки проведенных испытаний, дает возможность вычислить модули деформаций (секущие модули) Е± , коэффициен-

ты

+ [ А2233 + А2233 (a22 + a33 )]s22 + {( A3333 + A3333a33) +

+ 0,5 A3333a33[a121 + a22 + 2(a12 + a23 +

© АНО "Институт судебной строительно-технической экспертизы", 2020

поперечных деформаций У у и модули

сдвига в главных структурных ортогональных плоскостях ортотропии .

Выполнив комплекс экспериментальных замеров при испытании на осевое растяжение и осевое сжатие вдоль главной структурной оси Х\, и проведя несложные математические процедуры,приходим к уравнениям:

1/Е+ = Апп + А1Ш ; -п +1 = (А1122 + А1122)/(А1111 + А11п) ;

- п +1 = (А1133 + А1133 )/(А1111 + А1111 );

1/ЕГ = АШ1 - ¿1111 ; (9) - п 21 = (А1122 - А1122 )/(А1111 - А1111 ) ;

-п31 = (А1133 - А1133)/(А1111 - А1111) ' вдоль главной структурной оси Х2 :

1 / Е2 = А2222 + А2222 ; -п+2 = (А1122 + А1122)/(А2222 + А2222 ) ; - п +2 = (А2233 + А2233 )/(А2222 + А2222 );

1/ Е2 = A2222 - A2222 ; (10) - v12 = (A1122 - A1122 ) /(A2222 - A2222 ) ;

- v32 = (A2233 - A2233 ) /(A2222 - A2222 ) ' вдоль главной оси ортотропии Х3 :

1 / Е + = A3333 + A3333 ; -v+3 = (A1133 + A1133)/(A3333 + A3333 );

- v 23 = (A2233 + A2233 ) /(A3333 + A3333 ) ;

1 / E3 = A3333 - A3333 ; (11)

- v13 = (A1133 - A1133 ) /(A3333 - A3333 ) ;

-v23 = (A2233 - A2233 )/(A3333 - A3333 ) ' Эксперименты по чистому сдвигу в соответствующих главных плоскостях ортотропии

позволяют получить следующие зависимости: 1/ G12 = A1212 ; 1/ G23 = A2323 ;

1/G13 = Ax3!3 . (12)

Технические константы ортотропных композитных материалов

Материалы [литературные источники]

П32-57 [11] П36-50 [11] П41-42 [11] Графит ATJ-S [12] Стеклопластик [14] Стеклопластик [14]

Е+,ГПа 12,75 10,3 8,09 11,85 140 60

Ej", ГПа 14,03 11,77 10,79 10,48 70 20

E+, ГПа 16,425 17,6 16,09 11,85 280 30

Е-, ГПа 20,60 18,54 16,97 10,48 140 15

Е+,ГПа - - - 9,45 - -

Е3-, ГПа - 8,34 - 7,95 - -

v1+2 0,176 0,188 0,28 0,1 0,2 -

v12 - - - 0,09 0,3 -

v1+3 0,126 0,115 0,1 - - -

v13 - - - - - -

v3~2 - - - - - -

v3:2 - - - - - -

E+2, ГПа - - - - 170 -

Ef2, ГПа - - - - 875 -

G12, ГПа 3,98 3,14 - - - -

G13, ГПа 3,28 3,49 4,02 - - -

G23, ГПа 2,63 2,55 2,45 - - -

ЭКСПЕРТ:

ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА

2020. № 3 (6)

Ясно, что, рассматривая зависимости (9) - (12) в совокупности, можно вычислить все константы потенциала и выразить их через технические характеристики в форме:

Аккк = (1/Е++1/Е— )/2; Аккк = (1/Е+— 1/Е— )/2;

Аш=-(у+// Е++у—/ Е— )/2; % = —(у+/ Е + —у—/ Е— )/2;

Аш^ш = 1/вш ; у+ / Е + =уШ / Е+ ;

У- / Ej = У- /E-

(13)

где /, Ш, к = 1,2,3 .

В обязательном порядке при определении констант (13) необходимо исследовать устойчивость потенциала (7) по Дукеру [8], проверка которой сводится к анализу положительности общей квадратичной формы:

S j ôsj

д 2Wj

dskm dSij

dsmS*« * 0

(14)

Для информаций представим механические константы некоторых материалов, заимствованные из отечественной и зарубежной в литературе. Эти параметры сведем в таблицу, куда сведены технические констан-

+ + г* ты композитов Ек , Vjj и Gij .

Заключение

Полученные зависимости между компонентами тензоров деформаций и напряжений с учетом характеристик приведенных в таблице однозначно могут определять состояния ортотропных композитов [3-7; 11-14]. Перед выполнением конкретных расчетов конструкций эти зависимости должны быть проанализированы с учетом ограничений (14). Сформулированные уравнения состояния (8) обобщают большинство известных деформационных моделей ортотропных материалов, проявляющих деформационную анизотропию.

Библиографический список

1. Трещев А.А. Потенциальная зависимость между деформациями и напряжениями для ортотропных физически нелинейных материалов / А.А. Трещев // Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии. - 2017. -№ 4-1(324). - С. 71 - 74.

2. Трещев А.А. Удельная дополнительная работа деформирования ортотропных физически нелинейных материалов / А.А. Трещев, Ю.А. Монастырев, В.Д. Чибрикина // Социально-экономические и экологические проблемы горной промышленности, строительства и энергетики: 13-я Международная конференция по проблемам горной промышленности, строительства и энергетики. - Тула: ТулГУ, 2017. - Т. 2. - С. 208 -212.

3. Schmueser D.W. Nonlinear Stress-Strain and Strength Response of Axisymmetric Bimodulus Composite Material Shells / D.W.Schmueser // AIAA Journal. 1983. Vol. 21. №12. P. 1742 - 1747.

4. Reddy L.N. On the Behavior of Plates Laminated of Bimodulus Composite Materials / L.N.Reddy, C.W.Bert // ZAMM. 1982. Vol. 62. № 6. P. 213 - 219.

5. Jones R.M. A Nonsymmetric Compliance Matrix Approach to Nonlinear Multimodulus Ortotropic Materials / R.M.Jones // AIAA Journal. 1977. Vol. 15. № 10. P. 1436 - 1443.

6. Jones R.M. Modeling Nonlinear Deformation of Carbon-Carbon Composite Material / R.M.Jones // AIAA Journal. 1980. Vol. 18. № 8. Р. 995 - 1001.

7. Jones R.M. Bucling of Stiffened Multilayered Circular Shells with Different Ortotropic Moduli in Tension and Compression / R.M.Jones // AIAA Journal. 1971. Vol. 9. № 5. P. 917 - 923.

8. Трещев А.А. Теория деформирования и прочности материалов с изначальной или наведенной чувствительностью к виду напряженного состояния. Определяющие соотношения. -Тула: ТулГУ, 2016. - 328 с.

9. Трещев А.А. Анизотропные пластины и оболочки из разносопротивляющихся материалов. - Тула: ТулГУ, 2007. - 160 с.

10. Трещев А.А. Определяющие соотношения для нелинейных анизотропных материалов, чувствительных к виду напряженного состояния / А.А. Трещев, Д.А. Ромашин // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. -2011. - №4. - Ч. 4. - С. 1740 - 1742.

11. Розе А.В. Трехармированные тканые материалы / А.В. Розе, И.Г. Жигун, М.Н. Душин /

/ Механика полимеров. - 1970. - №3. - С. 471476.

12. Jones R.M., Theoretical-experimental correlation of material models for non-linear deformation of graphite / R.M.Jones, D.A.R.Nelson // AIAA Journal. 1976. Vol. 14. № 10. P. 1427 - 1435.

13. Jones R.M. Stress-Strain Relations for Materials with Different Moduli in Tension and

Compression / R.M.Jones // AIAA Journal. 1977. Vol. 15. №1. P. 16 - 25.

14. Золочевский А.А. Расчет анизотропных оболочек из разномодульных материалов при неосесимметричном нагружении / А.А. Золочевский, В.Н. Кузнецов // Динамика и прочность тяжелых машин. - Днепропетровск: ДГУ, 1989. -С. 84 - 92.

Поступила в редакцию 28.04.2020 г.

ЭКСПЕРТ:

ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА

2020. № 3 (б)

VARIANT OF THE ORTHOTROPIC DEFORMATION MODEL COMPOSITE MATERIAL

© 2020 A.A. Treschev, Yu.A. Zavyalova,

M.A. Lapshina*

Variants of postulating the equations of state of composite structural materials with structural orthotropy and deformation anisotropy are considered. Connections of strain and stress tensors are constructed on the basis of general nonlinear energy dependencies between the force and geometric parameters of the deformation process. Due to the high complexity of experimental determination of constants of potential relations with a high level of non-linearity, quasi-linear approximations of the equations of state are recommended for practical application in structural calculations. The calculation of energy dependence constants is limited to conducting simple experiments, on the basis of which the values of these constants for a number of composites are obtained.

Keywords: strain potential, quasilinear equations, orthotropic different resistant material.

Received for publication on 28.04.2020

* Treschev Alexander Anatolievich - Doctor of Sciences, Professor, Corresponding member of the Russian Academy of Architectural and Construction Sciences; Zavyalova Yulia Andreyevna - Undergraduate; Lapshina Maria Alexandrovna - Undergraduate; Tula State University (Tula, Russia).