К РАСЩЕПЛЕНИЮ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В АНИЗОТРОПНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2019. №5

23

Механика

УДК 539.3

К РАСЩЕПЛЕНИЮ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В АНИЗОТРОПНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

М. У. Никабадзе1

Рассмотрены некоторые вопросы о расщеплении начально-краевых задач теорий упругости для некоторых анизотропных сред. В частности, начально-краевые задачи микрополярной (классической) теории упругости представлены с помощью введенных тензорно-блочных матричных операторов (тензоров-операторов). В случае изотропной микрополярной упругой среды (изотропной и трансверсально-изотропной классических сред) найдены соответствующие тензорно-блочным матричным операторам (тензорам-операторам) данных начально-краевых задач тензорно-блочные матричные операторы (тензоры-операторы) алгебраических дополнений, которые позволяют расщеплять начально-краевые задачи.

Ключевые слова: тензор-оператор уравнений в перемещениях, тензор-оператор напряжения, тензор-оператор напряжения и моментного напряжения, тензорно-блочный матричный оператор.

A number of questions on the decomposition of initial-boundary value problems of elasticity-theories for some anisotropic media are considered. In particular, the initial-boundary problems of the micropolar (classical) theory of elasticity are presented with the help of the introduced tensor-block matrix operators (tensors-operators). In the case of an isotropic micropolar elastic medium (isotropic and transversally isotropic classical media) tensor-block matrix operators (tensors-operators) of cofactors corresponding to the tensor-block matrix operators (tensorsoperators) of given initial-boundary value problems are obtained, which allows one to split the initial-boundary value problems.

Key words: tensor-operator, tensor-operator of stress, tensor-operator of stress and couple stress, tensor-block matrix operator.

Уравнения движения относительно векторов перемещений и вращений для упругого материала без центра симметрии. Определяющие соотношения для линейно-упругого неоднородного анизотропного тела без центра симметрии при малых перемещениях и вращениях и изотермических процессах имеют вид

2 2 2 2 p = a®Y + й = C®7 + D®к (y = Vu - с ■ p, к = Vp), (1)

где P и й — тензоры напряжений и моментных напряжений; y и к — тензоры деформаций и изгиба-кручения; u и p — векторы перемещений и вращений; A) C = BT и D — материальные тензоры

ю ~ 2 ~

четвертого ранга; C — дискриминантный тензор третьего ранга; ® — внутреннее 2-произведение [18]; верхний индекс T обозначает операцию транспонирования; V — набла-оператор Гамильтона.

Учитывая (1), из уравнений движения микрополярной среды

2

V- P + pF = pdt2u, V- й + C ® P + pm = J ■ dt2p

получим уравнения движения в перемещениях и вращениях в форме

A ■ u + B ■ p + pF = 0, C ■ u + D ■ P + pm = 0, (2)

где p — плотность тела; F — массовая сила; m — массовый момент; J — внутренний момент инерции, а дифференциальные тензоры-операторы A B> C и D представляются выражениями2:

1 Никабадзе Михаил Ушангиевич — доктор физ.-мат. наук, доцент каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: nikabadzeQmail.ru.

Nikabadze Mikhail Ushangievich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Associated Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Composite Mechanics.

2 Применяются обычные правила тензорного исчисления [1, 7—10]. В частности, строчные латинские индексы принимают значения 1, 2, 3, а прописные — 1,2. По повторяющимся строчным латинским индексам происходит суммирование от единицы до трех, а по повторяющимся прописным латинским индексам — от единицы до двух.

А = А' - Ерд2, А' = т1(Агук1 V,Vk + ),

В = Гу гг[Бгук1^к + гук1 - С1тпАтпкз^к - С1тпVгAmnгj], С = Ту п[Бк1гу VгVk + ^гБк1гу + СутпАтпк1^к], В = В' - ¿0?, (3)

В' = Ту+ + (д1 д\-д13£)СтпБтпЫ^к -

- С1рд(АР1тпСтп3 + VlБpqгj)}.

Здесь и далее Е — единичный тензор второго ранга; дУ — смешанные компоненты тензора Е; Агук1, Бгук1, Сгук1 и Бгук1 — контравариантные компоненты тензоров А, В, С и В соответственно; С.1тп — компоненты дискримпнантного тензора С; Vг — оператор коварпантной производной; г, — коварпантный базисный вектор.

Введя матричный дифференциальный тензор-оператор и вектор-столбцы векторов перемещений и вращений и векторов объемных сил и моментов

ев). и=(г)■ х=(д. (4)

уравнения (2) можно коротко представить в виде

М ■ и + X = 0. (5)

О статических граничных условиях в линейной трехмерной микрополярной теории упругости. Тензор-оператор напряжения и моментного напряжения. Учитывая (1), статические граничные условия можно записать таким образом:

Т(1)-и + Т(2) г = Р, Т(3) ■ и + Т(4) -г = М, (6)

где Р и м — заданные на поверхности тела векторы напряжения и моментного напряжения;

Т(1) = гутпгАг:>к^к, Т(2) = гугтгБгjklVk - п ■ А с| С,

Т(3) = тутпгСгук^к, Т(4) = тупщБ^^к - п ■ С I С

— дифференциальные тензоры-операторы.

Введя тензорно-блочный матричный оператор напряжения и моментного напряжения и векторный столбец векторов напряжения и моментного напряжения

Т(1) Т(2) \ /Р

Т = (, Т(3) Т(4) у , ^ = (, м), (7)

статические граничные условия (6) можно представить в форме

Т(1) Т(2)) ( и ) = ( Р

Т(3) Т(47 Vг) Vм

пли, используя второе соотношение из (4) и формулы (7), — в форме

Т ■ и\8 = Q. (8)

Заметим, что кинематические граничные условия запишутся следующим образом:

= Н (н = ( . (9)

Смешанные граничные условия примут вид

Т ■ П\51 = <0; иЦ = Н,

а начальные условия — вид

U|t=to = Uo, V|t=t0 = Vo, (10)

где

(u0\ (Ш (v0\ du dip

uo = i , v0 = — = , v,;, — , u)0 = —

\<Po J dt t=to \Uo/ dt t=to dt t=to

Здесь P и у — заданные на поверхности тела векторы напряжения и моментного напряжения; f и ф — заданные па поверхности тела векторы перемещений и вращений; t — врем я; uo и ^o — заданные в начальный момент времени (при t = to) векторы перемещений и вращений; vo и Uo — заданные в начальный момент времени векторы скорости и угловой скорости; S — поверхность тела; Si и S2 = S Si п S2 = S.

Формулировка начально-краевых задач. Введем определения.

Определение 1. Первая начально-краевая задача включает уравнения движения (5), кинематические граничные условия (9) и начальные условия (10).

Определение 2. Вторая начально-краевая задача включает уравнения движения (5), статические граничные условия (8) и начальные условия (10).

Определение 3. Смешанная (третья) начально-краевая задача включает уравнения движения (5), кинематические граничные условия (9) на одной части границы тела, статические граничные условия (8) на остальной части границы тела (см. также формулы после (9)) и начальные условия (10).

Исключая из приведенных выше определений характеристики микрополярной теории, получим соответствующие определения для классической.

Следует заметить, что кинематические граничные условия и начальные условия нет необходимости расщеплять, так как они задаются в расщепленном виде. Значит, для расщепления первой начально-краевой задачи достаточно расщеплять лишь уравнения движения, поскольку, как уже было сказано, кинематические граничные условия и начальные условия расщеплены. В этой связи большой интерес представляет расщепление статических граничных условий. Если уравнения движения (5) и статические граничные условия (8) при каких-то условиях можно расщепить, то при тех же условиях расщепляются все сформулированные выше начально-краевые задачи. Значит, следует установить условия, при выполнении которых уравнения движения (5) и статические граничные условия (8) расщепляются.

Расщепление уравнения движения для однородной изотропной микрополярной среды. В этом случае, как некоторые авторы (см., например, [11]) считают, B = 0 и дифференциальные тензоры-операторы A B> С и D (см- (3)) представляются в форме

A = EQ2 + dW, B = С = -2аС -V, D = EQ4 + mVV,

Q2 = bA - рд2, Q4 = gA - l - Jdt2, Qi = Q2 + dA, Q3 = Q4 + mA, J = JE,

d = Л + у - a, l = 4a, b = ^ + a, g = S + в, m = 7 + 5 — в,

Qi Q2 Q3 Q4

A = aiC(i) + a2C(2) + азС(з), D = diC(i) + d2C(2) + d3 C(3), (11)

где C(i), C(2) и С(з) — изотропные тензоры четвертого ранга; для материальных констант приняты обозначения: ai = Л, а2 = у, а3 = a, di = % d2 = 5 и d3 = в-Пусть

( к B(i)\ ~ * V B(2) С )

— тензорно-блочный матричный оператор алгебраических дополнений для тензорно-блочного матричного оператора M уравнения (5). Тогда после простых, но громоздких вычислений получим

A = Q3(Q2Q4 + 4a2A)[EQiQ4 - (dQ4 - 4a2)VV] (AT = A), B = B(i) = B(2) = -2aQiQ3(Q2Q4 + 4a2A)C • V) (BT = -B), С = Qi (Q2Q4 + 4a2A)[EQ2Q3 - (mQ2 - 4a2)VV] (CT = C).

Введем в рассмотрение тензорно-блочные матричные операторы

N<1- = ( В §<2) V N<2) = ( » 8'1' 1 ,

* (1) Т) ^§<2) Т )

где

Я = Е^!^- (^4 - 4а2)УУ, §(1) = ОзВ, §<2) = ^Б, В = -2аС -V, Т = Е^Фэ - (т<32 - 4а2)УУ. Если решение уравнения (5) будем искать в виде (аналогично методу Галеркина)

и=N<1)т ■ V (и = (£), V = (;

то придем к следующим расщепленным уравнениям:

<?1(^4 + 4а2Д^ + рЕ = 0, Оз(^4 + 4а2 ДДО + рт = 0. (12)

Применяя к (5) слева оператор будем иметь расщепленные уравнения:

^[(^2^4 + 4а2Д)и + 2а(С•V)•(рm)] + [Е^4 - № - 4а2^]-(рЕ) = 0, ^[(^2^4 + 4а2Д)р + 2а(С •V)•(рЕ)] + [Е^э - (ш^ - 4а2)VV]•(рm) = 0.

(13)

а=0

уравнение, а из второго уравнения получается аналогичное классическому.

Расщепление статических граничных условий. В случае изотропного микрополярного тела без центра симметрии в силу (11) и равенства В = Ь1С<1- + 62С<2- + 6эС<э- имеем:

Т<!) = А2Еп ■ V + а^ + aэ(nV)T, Т<2) = ^Еп -V + + - (а2 - аэ)п ■ С,

Т<э) = ^Еп -V + + , Т<4) = ^Еп -V + ^^ + - (62 - Ьэ)п ■ С.

В

тензор, поэтому в случае изотропной среды он равен нулю, как это полагалось выше. Однако в

В

он не равен нулю и как всякий изотропный тензор четвертого ранга в общем случае определяется тремя параметрами, что и принято выше. Далее нетрудно заметить, что

Т<2) = Т<э) - (а2 - аэ)п ■ С, Т<4) = Т'<4) - (62 - Ьз)п ■ С,

Т'<4) = ^2Еп ■ V + ^^ + .

Предполагая, что тело имеет кусочно-плоскую границу и обозначая через Т^1- и |Т<!)|, Т^3- и |Т<3)I, Т*<4) и |Т <4)| дифференциальные тензоры-операторы алгебраических дополнений и определители для тензоров-операторов Т(1), Т<3) и Т <4) соответственно, после простых, хотя и громоздких вычислений будем иметь

Т^1- = [(а1 + а2)(а2 + аэ)Еп-V - аэ(а1 + a2)nV-

-а1(а2 + aэ)(nV)T]п-V + а^э^ + (пп - Е)Д],

|Т(1)| = а2[(а1 + а2)(а2 + аэ)ппп!)VVV - а^Дп-V] =

2

= а2[(а1 + а2)(а2 + aэ)nn®VV - alaэД]n•V,

т 13) = [(61 + 62X62 + 6з)Еп-V - 63(61 + Ь2)пУ-

-61(62 + 6з)^)т]п-V + 61 6з^ + (пп - Е)Д],

|Т(3) | = 62[(61 + 62)(62 + 6з)ппс|VV - 616зД]п-V, = [(¿1 + ¿2)(^2 + 4)Еп-V - ¿з(¿1 + ^2)nV-

(¿2 + ¿з)^)т]п-V + Мз[VV + (пп - Е)Д],

Т' (4) т

|Т'(4) | = ¿2[(Й1 + + ¿з)ппс| VV - ¿1 ^зД]п-V.

Отметим, что наша цель — для и и < по отдельности получить граничные условия. Для краткости рассмотрим случай, когда 62 = 6з, а2 = аз- Тогда Т(2) = Т(з\ Т(4) = Т (4) и граничные условия (8) можно записать в виде

т(1) ■ и+т(з) ■ < = Р, Т(з) -и+т'(4) = м-

и<

(|т '(4) |т 1з) т ■ т(1) - |т(з) |т'14) т ■ т(з)) ■ и = |т'(4) |т 1з)тр - |т(з) |т '!4) т ■ м,

(|т(з)|т а)тт(з) - |Т(1)|Т 1з)т■ т'^) ■ < = |Т(з)|Т 11)т■ Р - |Т(1)|Т 1з)т

(14)

м-

Следует заметить, что в виде (14) представлены граничные условия для системы уравнений (13). При этом первое соотношение (14) — граничные условия для первого векторного уравнения (13), а второе — для второго. Граничные условия для системы уравнений (12), которые следует получить относительно V и ф, имеют довольно сложные выражения и поэтому их расщепление — непростая задача. В этой связи предпочтительнее иметь дело с уравнениями (13), а не с (12). Заметим также, что некоторые вопросы о расщеплении начально-краевых задач рассмотрены в [4, 5, 13].

Характеристическое уравнение для тензорно-блочного матричного оператора второго ранга. Характеристическое уравнение для тензорно-блочной матрицы М имеет вид [7, 8]

П6 - /1(М)п5 + /2(М)п4 - 1з(М)пз + /4(М)п2 - /б(М)п + /б(М) = 0, где инварианты Б к = 1к( М), к = 1,6, вычисляются по формулам

=

к!

51 1 «2 51

«к-1«к-2 «к 5к-1

00 00

к - 1 «2 «1

к = 1,6,

(15)

8к = 11(Шк), к = 1,6, Шк Обратные к (15) соотношения представляются в виде

«к =

$1 1 0 2^2 $1 1

к$к 1 £к-2 ■ ■ ■ $1

к = 1,6.

М

щениях при различных анизотропных средах, получим характеристические уравнения для них. Если найдем корни (собственные операторы) этих характеристических уравнений для тензорно-блочных матричных операторов уравнений в перемещениях и вращениях, то их определители можно представить в виде произведения собственных (простых) операторов. Тем самым уравнения расщепляются.

Расщепление уравнений в перемещениях классической теории упругости для транс-версально-изотропного тела. В этом случае уравнения и граничные условия представляются в форме

L ■ u + pF = 0, T ■ u = P (L = r,riAijklVlVk, T = г,-vlnlAijklVk),

где тензор упругости A тензор-оператор L> тензор-оператор алгебраических дополнений L* Для L | L| ~ ~ ~

A = A2C(i) + (Ai - A2)E + A3(~I~3 + ~3~) + A4~3~3 +

+ A5(e/в3в/e3 + в3в/e:ie/ + e/в^в/ + e3le3), 2L = [(Ai - A2)^ + 2A5~3] A + (Ai + A2)VoVo +

+ 2(A3 + A5)[e3Vo + (e3Vo)T ]д3 + 2(A5~ + A4~3)d32,

2L * = 2~{AiA5A2 + [AiA4 - A3 (A3 + 2A5)]Ad32 + A4A5d|} -

- {(Ai + A2)A5Д + [(Ai + A2)A4 - 2(A3 + A5)2]d2}VoVo -

- [(Ai - A2XA3 + A5)A + 2(A3 + A5)A5d32][e3Vo + (e3Vo)T]д3 + + ~3[Ai(Ai - A2)A2 + (3Ai - A2)A5Ad32 + 2A2д|],

2|L| = (Ai - A2)AiA5A3 + {(Ai - A2)[AiA4 - A3(A3 + 2A5)] + 2AiA5}A2d2 + + [(3Ai - A2M4A5 - 2A3A5(A3 + 2A5)]Ad4 + 2A4A2df,

2

ei ■ e, = Si,, i,j = 1, 2, 3, em ® e„ = Smn, m,n = 1, 2,..., 6,

ei = eieb e2 = e2e2, e3 = e3e3, e4 = (l/\/2)(eie2 + e2ei),

e5 = (1/\/2)(е2е3 + e3e2), e6 = (l/\/2)(e3ei + eie3).

Здесь Sij — дельта Кронекера; ei, i, j = 1, 2, 3 — ортонормированный базис; I = e/e/ — изотропный тензор второго ранга, C(i) = II; 2E = С(2)+С(3)' а C(i^ С(2) = e/eje/ej, C(3) = e/Ie/ — изотропные тензоры четвертого ранга. Нетрудно заметить, что

21i(L) = (3Ai - A2 + 2A5)Д + 2(A4 + 2A5)d|,

2/2 (id) = [(3Ai - A2) A5 + Ai(Ai - A2)]A2 + [(3Ai - A2) A4 - 2 A3 (A3 + 2A5) + + (2A5 + 3Ai - A2)A5]Ad32 + 2(2A4 + A5)A5d|, /3(L) = |L

L

|L| = AA3 + ВД2д| + C Дд4 + Ddf = k(A + fcid|)(A + ^2д2)(Д + Й3д|),

где

k = A, ki + k2 + k3 = B/A, fcifc2 + kik3 + ^3 = C/A, fcifc2k3 = D/A, A = (1/2)(Ai - A2)AiA5, B = (1/2){(Ai - A2)[AiA4 - A3(A3 + 2A5)] + 2AiA5}, C = (1/2)[(3Ai - A2)A4A5 - 2A3A5(A3 + 2A5)], D = A4A5.

При этом расщепленные уравнения будут иметь вид

|L|u+L*■ (pF) = 0 (плиесли u будем искать в виде u = L*-v^o |L|v + pF = 0).

Расщепление статических граничных условий классической теории упругости для трансверсально-изотропного тела. В этом случае граничные условия можно записать в виде T-u = P (T = г, rin Aijkl V^), ^де тензор-оператор пап ряжения T тензор-оператор алгебраических T* T |T|

Т = A2n°V° + - А2)[In0 ■ V° + (n°V°)T] + A3(n°e3d3 + n3e3V°) + + A4eзnздз + A5[e3no ■ Vo + n3(e3Vo)T + (П31 + eзn0)дз],

Т* = A5n°-VViIn0 • V0 - A2n°V° - - A2)(n°V°)T] - А3А5п2ЦД - V°V°) +

+ -{[(2A1-A2)AA-Al]ln°-V0 - (A2A4-A2)n°V° - [(A1-A2)A4-Ai}(n0V°)T}n3d3 +

2

+ А5КА4п2 - Аз|п°|2)1 + Азп°п°]д32 + С®п°У°{А2А5ИС ■ (езУ°)т - езС ■ п°дз] -- ААз(С ■ п°ездз - пзезС ■ У°)} - Ап° ■ У°{А5ЫезУ°)т + езп°дз] +

+ Аз(п°ез дз+пзез У°)}-А2 [п2(ез У°)т дз + пзез п°дз2 ] - Аз ^(^езУ^з + пзп°езд2) +

2

+ езез[-АА2(1-п2 )Д+А(А1 + А2)п° п° ®У°У° + (А^5+ААз)пзп°-У°дз+А5п2дз2],

2

|Т| = АА5{[-А2 + (А2 - Аз)п|]Д + (А1 + А2)п°п°®У°У°}п°+ + {А2(А2 - АА4) + АА2 - [(А2 + Аз)А5 + А(А2 - А2А4)]пз}пзДдз + + [2А(А5 - Аз) + (А1 + А2)АА4]пзп°п° СУ°У°дз + А5[-ААз + + (ААз+ЗАА4+А2А4-Аз)п2]п°-УЧ2-А2[Аз - (Аз+АОп^пзд!,

Д = д2+д2, п° = п/ е/, У° = е/д/,

п°п°ссУ°У° = П/^д/дJ, А = 1/2(А1 - А2).

Тогда расщепленные граничные условия будут иметь вид |Т|и = Т^ ■ Р.

Следует заметить, что уравнения движения (равновесия) в перемещениях для любого однородного анизотропного тела можно записать в форме

где

M■ u + pF = 0 (Lu + pF = 0), где M = L - Epdt2, L = Apiqje^e,dpdq. (16)

При этом

1з(М) = IMI = 1s(L) - I2(L)pd2 + 1i(L)p2dt4 - p3d6,

M* = M2 - ii(M)M + i2(M )E = L * + [L - ii(L )E]pd2 + Ep2d4 =

= L2 - L[ii(L) - pd2j + 2[/2(L) - ii(L)pd2 + p2d4], L* = L2 -ii(L)L + i2(L)E-

Применяя M* (L*) к уравнениям движения (равновесия) (см. (16)), получим следующие расщепленные уравнения:

|M|u + M* '(pF) = 0 (|L |u + L * ■ (pF) = 0).

Далее представим |MI в виде произведения простых операторов:

IMI = 13(L)-12 (L )pd2+1i(L )p2d4-p3dt6 = (a-pd2)(b-pd2)(c-pd2) = = abc - (ab + ac + bc)pdt2 + (a + b + c)p4d4 - p3d6,

где

1i(L) = a + b + c, 12(L) = ab + ac + bc, 13(L) = abc.

Ясно, что a, bu c — собственные операторы (значения) для L а a-pd2, b-pd2 и c-pd2 — собственные операторы (значения) для M.

Рассмотрим теперь случай изотропной среды. Тогда соответствующие тензоры-операторы и дифференциальные операторы представятся в виде

M = EQ2 + (А + M* = Q2N, N = EQi - (A +

IMI =QiQ2, Qi = (A + 2/х)Д - pd2, Q2 = /хД - pdt2, M ■ M* = M*-M = EIMI, M ■ N = N ■ M = EQiQ2.

Применяя сперва оператор М, а затем N к уравнению движения (16), получим следующие расщепленные уравнения:

Q2[QiQ2u + N-(pF)] = 0, QiQ2u + N ■ (pF) = 0.

Видно, что второе уравнение имеет на две единицы меньший порядок, чем первое. Это, конечно, дает ему преимущество перед первым.

М

все векторы a = 0, которые удовлетворяют уравнению М ■ a = Aa, где Л — скалярный оператор. Характеристическое уравнение и его решения имеют вид

(det(M - AE) = 0) ^ (A3 - 1i(M)A2 + 12(M)A - /э(М) = 0),

A1 = Qij Л2 = A3 = Q2 j

где

1i(M) = Qi +2Q2, 12(M) = Q2(2Qi + Q2)J 13(M)= QIQ2-

М

второй волновой оператор — двукратный корень характеристического уравнения. Для определения собственных векторов получаем уравнения

(EA - W) ■ ai = 0, W ■ a2 = 0,

решениями которых являются, например, следующие собственные векторы:

ai = V^j a2 = Vx ф + 1/3 ^r,

где ^ — произвольная скалярная функция, ф — произвольная векторная функция, ц — некоторый

r

Работа выполнена при поддержке гранта Национального научного фонда им. Шота Руставели № 1)1 2010 11.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Векуа H.H. Основы тензорного анализа и теории ковариантов. М.: Наука, 1978.

2. Никабадзе М. У. К построению собственных тензорных столбцов в микрополярной линейной теории упругости // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2014. № 1. 30-39.

3. Никабадзе М. У. Метод ортогональных полиномов в механике микрополярных и классических упругих тонких тел. I. Деп. в ВИНИТИ РАН 20.05.14. № 135 - В2014. М., 2014.

4. Никабадзе М. У. Метод ортогональных полиномов в механике микрополярных и классических упругих тонких тел. II. Деп. в ВИНИТИ РАН 20.05.14. № 136 - В2014. М., 2014.

5. Никабадзе М. У. Развитие метода ортогональных полиномов в механике микрополярных и классических упругих тонких тел. М.: Изд-во Попечительского совета мех.-мат. ф-та МГУ, 2014.

6. Никабадзе М. У. Метод ортогональных полиномов в механике микрополярных и классических упругих тонких тел: Докт. дне. М.: МАИ, 2014.

7. Никабадзе М. У. О некоторых вопросах тензорного исчисления с приложениями к механике // Современная математика. Фундаментальные направления. Т. 55. М.: РУДН, 2015. 3-194.

8. Nikabadze M.U. Topics on tensor calculus with applications to mechanics //J. Math. Sei. 2017. 225, N 1. 1-194. DOI: 10.1007/sl0958-017-3467-4.

9. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980.

10. Нобедря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ, 1986.

11. Eringen A.C. Microcontinuum Field Theories. 1. Foundation and solids. N.Y.: Springer-Verlag, 1999.

12. Баскаков В.А., Бестужева H.H., Кончакова H.A. Линейная динамическая теория термоупругих сред с микроструктурой. Воронеж: Изд-во ВГТУ, 2001.

13. Nikabadze M.U. То the problem of decomposition of the initial boundary value problems in mechanics// J. Phys. Conf. Series. 2017. 936. 012056. DOI: 10.1088/1742-6596/936/1/012.

Поступила в редакцию 16.02.2018