О тёплицевых операторах в весовых Соболевских пространствах голоморфных в полидиске функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 18, 2011

УДК 517

Ф. А. Шлмоян

О ТЕПЛИЦЕВЫХ ОПЕРАТОРАХ В ВЕСОВЫХ СОБОЛЕВСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ ГОЛОМОРФНЫХ В ПОЛИДИСКЕ ФУНКЦИЙ

В статье получена полная характеризация тех символов, при которых соответствующие Теплицевые операторы действуют ограниченно в Соболевских пространствах голоморфных в полидиске функций.

Пусть ип = {г = (гі,...,гп) Є С” : |zj | < 1,] = 1, 2, ...,п} — единичный полидиск в п-мерном комплексном пространстве С”, Т” — его остов, Н(и”) — множество всех голоморфных в и” функций. Пусть далее в = (ві,...,вп) Є М+, обозначим через Вв оператор дробного дифференцирования в Н(ип), — его обратный (см. [1]),

ЬК — граничные значения плюригармонических функций из класса Харди К1 (и”) на торе Т”. Если Н Є Ь1 (Тп), то оператором Теплица на подпространстве X С Н(и”) называется оператор вида

Г /(С)Н(С)

ЗД )(г) :=

(2п*)г

С - г

-¿С, г Є ип.

Такие операторы возникают во многих вопросах комплексного и функционального анализа (см. [2], [3]). Если 0 < р < +то, а =

(аі,. .., ап) Є Кп, а^ > -1, ] = 1, 2,. .. ,п, т = (ті, .. ., тп) Є 2+, то

А*(т) :=

/ Є Н(ип) : ||/|и*(т) = ( | №т/(С)|р(1 - |С|)“гіт2п(С) ) <

Ла :=<^ / Є Н(ип) : |£в/(г) | <

с/

а + 2 ,в >--------------1

© Ф. А. Шамоян, 2011

О теплицевых операторах в Соболевских пространствах

91

В работе исследуются Теплицевы операторы в пространствах Aa(m) при 0 < p < 1. Символом B(Aa(m)), Aa(m)) обозначим множество всех линейных операторов из Aa(m) в Aa(m).

Теорема. Пусть 0 < p < 1, h G LR. Тогда

1) Если (mj+1)p < aj +2, j = 1, 2,..., n, то Th G B(Aa(m)), Aa(m)) ^ h представима в виде h = hi + h2, где D-mhi G Л^, h2 — мультипликатор пространства A^(m).

2) Если(mj+1)p > aj +2, j = 1, 2,...,n, тоTh G B(Aa(m)), Aa(m)) ^ h = h1 + h2, где h1 G HTO(U”), h2 G Aa(m).

3) Если h G H 1(Un), то Th G B(Aa (m)), Aa(m)) ^

|Dh(z)| < --------^--------r, z = (z1,..., zn) G Un, D := D1.

П (1-|zj|)(ln i-L-1)p j=i j

Замечание. Утверждение теоремы для случая 1 < p < +то в менее общем виде анонсировано в работе [4].

Resume

A complete characterization of those symbols for which the corresponding Toeplitz operators are bounded in Sobolev spaces of holomorphic functions in the polydisk is obtained.

Список литературы

[1] Djrbashian A., Shamoyan F. A. Topics in theory of Aa spaces. Leipzig: BSB, Teubner Texte zur. Math., 1988. 200 p.

[2] Nikolski N. K. Operators, functions and systems: An easy reading. New-York: Amer. Math. Soc., 2001.

[3] Шамоян Ф. А. Теплицевы операторы в некоторых пространствах функций и новая характеристика класса BMOA // Изв. АН АрмССР. 1987. Т. 22. № 2.

[4] Шамоян Ф. А., Арутюнян А. В. Теплицевы операторы в анизотропных проостранствах голоморфных в полидиске функций // ДАН Арм.ССР. 1990. Т. 91. № 4. С. 147-151.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ (проект 09-01-95717_р центр_а)