CC BY
14
УДК 533.951
О ТУРБУЛЕНТНОМ НАГРЕВЕ ИОНОВ
И. В. Кузора, В. П. Силин, С. А. Урюпин
Изложены результаты основ теории турбулентного нагрева ионов плазмы, содержащей ионы двух сортов. Для основной массы ионов, описывающейся максвелловским распределением, получены уравнения временной эволюции температур ионов. Установлена возможность изотермического нагрева ионов разных сортов.
1. В плазме с развитой иоино-звуковой турбулентностью (ИЗТ) эффективно нагревается основная масса тепловых частиц - электронов и ионов, скорости которых малы по сравнению со скоростью звука [1, 2]. Характерное время удвоения температуры ионов в турбулентной плазме оказывается много меньше эффективной частоты релаксации энергии ионов при обычных электрон-ионных столкновениях. Турбулентный нагрев ионов теория ИЗТ связывает с процессом индуцированного рассеяния ионно-звуковых воли на ионах [3, 4].
Первоначально [3 - 5] теория ИЗТ строилась для плазмы с одним сортом ионов. Однако практика исследовательской работы в области управляемого термоядерно1 < > синтеза потребовала построения теории ИЗТ для более сложных полностью ионизованных плазм. Следует подчеркнуть, что интерес к таким плазмам возник давно [6 12]. Однако теория ИЗТ для таких плазм стала развиваться лишь в последнее время [13, 14]. В настоящем сообщении будут изложены результаты теории нагрева ионов в плазме с двумя сортами ионов в таком часто встречающемся случае, когда отношения зарядов к массам ионов равны.
2. Для плазмы, в которой дебаевский радиус электронов гре значительно превышает дебаевские радиусы ионов и выполнено условие неизотермичности
гоТе<£Та, ' (2.1)
где Те - температура электронов, а Та - температура и еа = Za\e\ - заряд ионов сорта а, могут существовать ионно-звуковые волны с законом дисперсии
= kvs/yjl + (krDey, (2.2)
где vs — шьгое - скорость быстрых ионно-звуковых волн, ш\ — E^L, шЬа =
а
\J&rnae20llma - ленгмюровская частота ионов сорта а. Кроме таких волн возможны также медленные звуковые волны. Следуя работе [14], будем рассматривать условия, в которых медленные волны сильно затухают и на турбулентность влияют слабо.
Причиной возникновения ИЗТ является эффективная плотность силы R = (0,0. R).
R = епеЕ - др/дг > 0, (2.3)
где пе и р - плотность и давление электронов, Е - квазистационарная напряженность электрического поля в плазме. Согласно работе [14], когда отношения зарядов к массам одинаковы для всех сортов ионов в плазме, декремент ионно-звуковых волн из-за индуцированного рассеяния на ионах имеет вид
7лп,(к) -
2тги>£
£
^ьУта
m'
k4k д f k4dk J
где N(k, cos в) - распределение числа ионно-звуковых волн по волновым числам к п углам в между к и R. Отличие выражения (2.4) от возникающего в плазме с одним сортом ионов определяется суммой в квадратных скобках. С использованием этого вы ражения подобно [5, стр. 147] находим
N(k, cos в) = Ф(со8 0),Лр^
V 8 Шье
хЛ +
£
га;
ln-
0.5
r4(i + ^24)-3/2x 0.25
кг
De
(1 + *He) (1 + кЧЬеУ
(2.5)
где Ш1е - ленгмюровская частота электронов, Ута = \JkTdrria - тепловая скорость ионов сорта а. Явный вид угловой зависимости в формуле (2.5) зависит от величины турбулентного числа Кнудсена
К
N
12тг2 Bwl A V^loI
£
m*
(2.6)
где Л = 0.5. В дальнейшем нам понадобятся лишь моменты функции Ф(соз в) вида 1
Мп = f с1хх"Ф(х). Приведем их значения в двух предельных случаях. В пределе малых о
чисел Кнудсена Кдг < (1 + S)2 имеем
Мп =
Зтг(1 + 6)
а£-1
1 -
(п-1) , п = 0,1,..., (2.7)
где £ 1п2/1п[(1 + « 1, е = 2Кк/Щ1 + < 1, 6 = £.5а, а пара-
о
метр 8а — /а(^5)//е(и5) представляет собой отношение функции распределения горячих резонансных ионов сорта а к функции распределения электронов при V — В противоположном пределе, когда Клг >> (1 + ¿)2, функция Ф(соз0) пропорциональна у/К^, а ее моменты равны
М0 = М2 = 1.10^, М4 = 0.72у/к^. (2.8)
3. Получим теперь уравнения для температур ионов, отвечающих в нулевом приближении максвелловскому распределению ионов
п т?'2 ( т хР" \
^= (2™ЗД)з/2 ехр 1,-2^))• (3-11
В качестве исходных воспользуемся кинетическими уравнениями для тепловых ионов сорта с*
где [/а, //?] - интеграл столкновений Ландау ионов сорта а с частицами сорта /?. 0[ - тензор диффузии в пространстве скоростей, описывающий взаимодействие ионов с волнами при индуцированном рассеянии. В уравнении (3.2) опустим интеграл столкновений ионов с электронами, что оправдано в обсуждаемых здесь условиях большого превышения порога неустойчивости. Ограничимся таким случаем, когда распределение ионов при скоростях V < у3 - максвелловское. Для этого примем, что в этой области скоростей сумма интегралов столкновений Ландау в правой части уравнения (3.2) много больше второго слагаемого, то есть сумма эффективных частот столкновений ионов много больше эффективной частоты столкновений ионов с турбулентными шумами. Обсуждение этого условия приведено в разделе 4. Тогда в нулевом приближении по
взаимодействию ионов с турбулентными пульсациями получим решение (3.1). Уравнение для температуры получается из уравнения (3.2) путем домножения на тау2/Зпак и интегрирования по скоростям. В итоге имеем
¿Та та [ 2 д п(а)д/а ^ . .
"¿Г = з^ Г™ ^ + ? ^ ~Та)'
сН
где частоты ион-ионных столкновений определяются выражением [15] 4 тге2 е2рАпр(татр)3'2
(3.3)
Ате'ае%Апр[татр)"'' г
"<» = 3 {кТакТ,т2х)з ] ехр
тау2а тру}л
х Ъа^рз
2кТа 2кТр [уа - чр)28ц - (\а - хр){(ча -
X
IV« - Чр\3
Л - кулоновский логарифм, а тензор диффузии имеет вид
(3.4)
(в) м (2тг)3
« 2 тМ
У ¿Ык^3^ЛГ(к)Я(к^К - к"у)|Аа(к, к', V)!2. (3.5)
Здесь к" = к — к', ш" = а; — и>' - волновой вектор и частота биений взаимодействующих волн, а амплитуда Ла(к,к',у) имеет вид [14]
Л«(к,к» =
кк<//к кЛ\
(2тг)3таш'кк' \\ш ш')
(3.6)
Из (3.4) следует
^ар — 2
4>/27г е2ае20\пр{татр)112
3 (тркТа + такТр)3/2 В предельных случаях сильно различающихся масс из (3.7) имеем
(3.7)
1/ар = 2
4>/27г е2ае2р\пр 3 т1/2(кТа)3/2
тс/тр, тр » та, (гЪпЛ1'2 „
(3.8)
Теперь рассмотрим первое слагаемое в правой части уравнения (3.3). Из-за экспоненциальной малости функции распределения ионов при V ~ у3 ясно, что основной вклад в интеграл дадут скорости у ~ Ута -С ь3. Для таких скоростей разложим в (3.5) д-функцию по малому параметру ук"/ш" ~ у/у3 <С 1. Тогда, используя (3.1), (3.5), (3.6), представим первое слагаемое в правой части (3.3) в виде
та [¿г 6 ф 3пак ' 13
9 „(а) д/а кТа
где
(3.9)
ш
Ьа
¿Ык'
Зп'тМ ] ФО
(3.10)
Далее, используя спектр ИЗТ (2.5), находим
т„ =
114 4
2п2т2ш2
96(4тг)
а а Ье
Л, Л 2
Ее(Зи'ьр1'Т0
гп2
-2
X
х[М2 + Ш0М2 - 6М0М4 - 24М22 + 60М2М4 - 35М42],
(3-11)
где г] = 0.97. Согласно (2.7) билинейная комбинация моментов в квадратных скобках в (3.11) равна 64А'дг/37г в пределе К к < (1 + <5)2, а в противоположном пределе Кц (1 + 8)2 она равна 4.66А",у. Подставив А'дг из (2.6), окончательно получаем первое слагаемое в уравнении (3.3) в виде
= А
£
р
4 пгпр
(3.12)
где А = ЗЛ/2г/ ^ 0.77 при Км < (1 + 8)2 и А = 32А/4.66тгт/ £ 1.12 при Ки > (1 + б)2. С учетом выражений (3.7), (3.9) уравнение (3.3) принимает вид
Та = — + Е ^{Тр - Та).
Та р
<и
(3.13)
4. Рассмотрим решение уравнения (3.13). Для простоты ограничимся случаем плазмы с
двумя сортами ионов. Рассмотрим решение с начальным условием 7\(0) = /2(0) = Т,0.
Прежде всего заметим, что в начальный момент времени вклады ион-ионных столкно-
вений в уравнение (3.13), пропорциональные разнице температур ионов, равны нулю.
Следовательно, на малых временах, пока разница температур достаточно мала
I Тг - Г2
Тг
<шш[(г/12г1) , (1/2172)
ч —
(4.1)
нагрев ионов определяется столкновениями ионов с турбулентными шумами и описывается первым слагаемым в правой части (3.13). При этом отношение скоростей нагрева ионов определяется параметром
У" («>
а12 Ti \mie2/
Поэтому, если отношение зарядов к массам для обоих сортов ионов одинаково, то оба сорта ионов нагреваются с одинаковыми скоростями. При этом ион-ионные столкнов« ния не влияют на нагрев ионов, поскольку разница температур ионов остается равной нулю на протяжении всего нагрева. Однако именно благодаря наличию частых ион-ионных столкновений распределения ионов по скоростям имеют вид (3.1). Соответству ющее условие на соотношение эффективных частот столкновений имеет вид
т~1 < max(i/al, va2). (4.3)
Таким образом, мы видим, что в случае е\/тг = ег/тг, когда оба сорта ионов нагреваются с одинаковыми скоростями, будучи изотермическими в начале нагрева они остаются изотермическими и при их нагреве, обусловленном индуцированным рассеянием турбулентных ионно-звуковых флуктуаций на ионах. При этом согласно (3.13), (4.2) уравнение, описывающее нагрев ионов, имеет вид
dT Rva . . , ., .
_ = _1(П1+ПЗГ (4.4)
с решением
Т Tl0 +
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ N 02-02 ведущих научных школ РФ N НШ-1385.2003.2.
ЛИТЕРАТУРА
[1] 3 а в о й с к и й Е. К., Рудаков Л. И. Атомная энергия, 23, 417 (1967).
[2] В о л к о в Е. Д., Перепелкин Н. Ф., Супруненко В. А., Сухомлин Е. А. Коллективные явления в токонесущей плазме. Киев, Наукова Думка, 1978.
[3] К а д о м ц е в Б. Б. В сб.: Вопросы теории плазмы, 4, Атомиздат, Москва (1964). с. 258.
[4] П е т в и а ш в и л и В. И. ДАН СССР, 153, 1295 (1963).
(4.5)
-16047 и гранта поддержки
[5] В у с h е п к о V V. Yu., Silin V. P., and U г у u p i n S. A. Phys. Reports, 164, 119 (1988).
[6] A 1 e x e f f I., J о n e s W. D., and Montgomery D. Phys. Rev. Lett., 19. 422 (1967).
[7] H i г о s e A., A 1 e x e f f I., and J о n e s W. D. Phys. Fluids, 13, 1290 (1970).
[8] Fried B. D., White R. В., and S a m e с Т.К. Phys. Fluids, 14, 2388 (1971).
[9] P a s e с h n i к L. L. and Semenyuk V. F. Sov. Phys. Tech. Phys., 18, 676 (1973).
[10] G 1 e d h i 1 1 I. M. A. and H e 1 1 b e r g M. A. J. Plasma Phys., 36, 75 (1986).
[11] V u H. X., W a 1 1 а с e J. M., and В e z z e г i d e s B. Phys. Plasm., 1, 3542 (1994).
[12] W i 1 1 i a m s E. А., В e r g e r R. L., D г а к e R. P., R u b e n с h i к A. M., et al. Phys. Plasm., 2, 129 (1995).
[13] К u 'z о r a I. V., Silin V. P., and U г у u р i n S. A. Phys. Lett., A, 258. 329 (1999).
[14] К узор а И. В., С и л и н В. П., У р ю п и н С. А. ЖЭТФ, 120, 1194 (2001).
[15] Силин В. П. Введение в кинетическую теорию газов, М., Наука, 1971.
Поступила в редакцию 29 апреля 2003 г.
