CC BY
7
УДК 533.951
О ВЛИЯНИИ ТУРБУЛЕНТНОГО НАГРЕВА ИОНОВ НА ФИЛАМЕНТАЦИЮ ВЫСОКОЧАСТОТНОГО
ИЗЛУЧЕНИЯ
К. Ю. Вагин, В. П. Силин, С. А. Урюпин
Дано гидродинамическое описание влияния турбулентного нагрева ионов на филаментацию высокочастотного излучения в неизотермической плазме. Установлен характерный размер филамента и показано, что турбулентный нагрев ионов приводит к существенному увеличению коэффициента усиления филамента.
Эффективная частота столкновений электронов в плазме с ионно-звуковой турбулентностью (ИЗТ) существенно больше, чем в ламинарной плазме, что, в частности, является причиной ограничения электронного переноса тепла. Вследствие этого имеет место относительное увеличение возмущений плотности электронов из-за обратно го тормозного поглощения излучения и их охлаждения электронным потоком тепла. Тем самым, в турбулентной плазме проще реализуются условия, в которых такие параметрические неустойчивости, как филаментация [1,2] и вынужденное рассеяние Мандельштама-Бриллюэна [1, 3], обусловлены тепловой нелинейностью плазмы. При этом филаментация лазерного излучения в турбулентной плазме [1, 2] возникает при плотностях потока меньших, чем в ламинарной плазме (см., например, [4 - 7]). Другой важной особенностью плазмы с ИЗТ является аномальный турбулентный нагрев ионов, который порождает весьма большие относительные возмущения температуры ионов, сравнимые с относительными возмущениями плотности и температуры электронов. В этой связи возникает необходимость в последовательном учете нагрева ионов при рассмотрении параметрических неустойчивостей [3]. Цель настоящего сообщения - дать описание влияния турбулентного нагрева ионов на явление филаментации.
Основу дальнейшего рассмотрения составляет система гидродинамических уравне ний для плотности и температуры электронов, и температуры ионов, описывающих
квазистационарное состояние плазмы с ИЗТ. Базируясь на этих уравнениях, найдено возмущение плотности электронов, порождаемое возмущением поля электромагнитной волны. Используя такое возмущение плотности и укороченные уравнения для филамен-тационных возмущений поля, получено выражение для коэффициента пространствен ного усиления филамента. Найдены зависимости характерного размера наиболее эффек тивно усиливающегося филамента и максимального коэффициента пространственного усиления филамента от угла между волновым вектором филаментационных возмущений и направлением анизотропии ИЗТ. Показано, что турбулентный нагрев ионов облегчает развитие филаментационной параметрической неустойчивости.
В основу дальнейшего рассмотрения положим систему гидродинамических уравне ний, описывающих квазистационарное состояние неподвижной плазмы с ИЗТ в высо кочастотном электромагнитном поле
VP = --^-V|E|2, (1)
107ГПС
divq = ve~— |Е|2 - |i/rn/cT, (2)
07rnc 2
3
divq; = -vttihT. (3)
Здесь р = пк(Т + Ti/Z) - давление, к - постоянная Больцмана, Z - кратность ионизации ионов, п - плотность электронов, Т и Тг - температуры электронов и ионов. пс = mijûQ/47ге2 - критическая плотность электронов для излучения с частотой u;o, е и m - заряд и масса электрона, Е - напряженность высокочастотного поля,
_ 4 уДKZAe4n Uei ~ 3 vW«?1)3/2
- частота электрон-ионных столкновений, А - электронный кулоновский логарифм, vj
- турбулентная частота релаксации температуры, q и qt - тепловые потоки электронов и ионов. Уравнения (1) - (3) записаны в условиях, когда в плазме отсутствует электри ческий ток. Ограничимся рассмотрением уравнений (1) - (3) в условиях, когда тепловой поток электронов и порождаемый им уровень турбулентных шумов велики настолько, что
3 1 ZT
R = -UK\VT\ > RNL = —mnVsULi-—, (5)
Z 07Г 1 i
где vs - скорость звука, ш/,,- - ленгмюровская частота ионов. При этом для турбулентно!! частоты Рт и электронного потока тепла q имеют место соотношения
иТ = 1.3^, (6)
LT
128 Я т R f-T\
q=-n -q, q = —f3nnTvs]l, (7)
где n = VT/|VT|, Lt = |VlnT|_1 - характерный масштаб неоднородности температуры, /? = 0.25. Наконец, будем считать, что рассеяние ионов в основном определяется их столкновениями между собой. Тогда, для теплового потока ионов справедливо соотно шение Фика
q, = -XiVTi, (8)
и обычное выражение для коэффициента теплопроводности
ПК2 Т.;
Л, = 3.91—-Ц 9
Z rrii va
где rrii - масса ионов, г/,-,- - частота ион-ионных столкновений
_ 4
"" 3 у/пГ^кТ,)3/2' (10)
Л; - кулоновский логарифм для ионов.
Воспользуемся уравнениями (1) - (3) для отыскания возмущения плотности электронов, порождаемых возмущением квадрата модуля амплитуды поля
¿Я2 ехр(г'кг) + к.е.. (11)
Примем, что все гидродинамические величины имеют такую же зависимость от волнового вектора возмущений к и изменяются на масштабах много меньших характерного масштаба неоднородности плазмы L. При kL 1 из (1) - (10) приближенно получаем систему уравнений для возмущений 8п, 8Т и 8Т{
8п ггг1 6Т{ 8Е2 , ч
-Т— = 8Т+-^ + --, 12
п L \Ьтткпс
' k4rqf(1 + ^ „ _ зг„С05, + Щ = (13)
к2кТ 1
--6Т{ = -ikvsZ8T cos0, (14)
rriiVii 2
где в - угол между векторами к и п. Из (12) - (14) сразу находим возмущение плотности электронов, порождаемое возмущением поля 6Е2
8п е26Е2
п Атш^кТ
1 +
У^ 1 1+ги^ТГС05в 24
(15)
кЬ т
В (15) использованы обозначения для длин свободного пробега тепловых электронов в ламинарной /е,- = и турбулентной плазме 1т = г-'т/Щ, где
= \ --—• (16)
V о пть3
Первое слагаемое - единица в фигурных скобках (15) - связано с пондеромоторным воздействием высокочастотного поля. Второе слагаемое, содержащее длины свободного пробега электрона, описывает возмущение плотности, возникающее при нагреве элек тронов из-за столкновительного поглощения поля и их охлаждения потоком тепла в турбулентной плазме. Напомним, что использование представлений о локальном пе реносе тепла оправдано при Zk2ltlei <С 1. Наличие такого неравенства позволяет в дальнейшем говорить о тепловом механизме филаментации и пренебречь единицей в фигурных скобках формулы (15).
Зная возмущение плотности электронов, перейдем к рассмотрению явления фила ментации. С этой целью представим поле электромагнитной волны в виде
Е(г) = е[Е0 + (8Е+1( г)е'кг + *Я_1(г)е-'кг)]е«'к°г| (17)
где е - единичный вектор поляризации волны накачки, к0 - волновой вектор волны. к0е = 0. Для простоты примем к0к = 0, ке = 0. При этом 8Е2 имеет вид
8Е2 = Е"08Е+Х + Е08Е*_Х. (18)
Как обычно, для филаментационных возмущений электромагнитного поля имеем систе му укороченных уравнений вида
(2гко~ - к^6Е+1(г ) = ~Е„, (19)
(-як,! - ™=(2о)
Принимая, что характерная длина изменения филамента в направлении распространения волны много меньше решение уравнений (19) - (20) ищем в виде 6Е+х(г) ~ 8Е^х{г) ~ ехр[(г'Д + С)к0г/&0]- Тогда для коэффициента усиления филамента и поправки А к волновому числу к0 находим
1с2
Д = —1тМ,
(л
С2 = к2 Здесь функция N имеет вид
+ к2
ReN -
к2 Щ
+ [/тА]2.
(21) (22)
_ у/2ж 1 /УЕШи у ~ 384/3 к2и1е{\уТ кос)
х
X
1 +
/гт\г/2
2к1ц V Т{ )
сое в
1 /гт\3/2 I-1 1 + 81П2 0 + . ( £±_ ) со82 в
(23)
2к2Ьт1ц \ Т, /
ье = \еЕо\/тшо - асмплитуда скорости осцилляций электрона в высокочастотном поле, = ^кТ/т - тепловая скорость электронов, шье ~ ленгмюровская частота электронов, /,,' = Ул/иц - длина свободного пробега ионов с тепловой скоростью
Прежде всего, отметим, что при значениях углов удовлетворяющих неравенству
соэ в\ < 2кцт1/гту'2,
(24)
в (22) можно полностью пренебречь мнимой частью N. При этом в наиболее интересном и легко реализующемся случае, когда Ьт /;,'(2Т/Т:)1/'2 ~ /е1(Тг/£Т)3/'2, коэффициент усиления (22), (23) переходит в полученный ранее в рамках подхода, не учитывающего турбулентный нагрев ионов [2].
Далее остановимся на обсуждении противоположного предельного случая
2к1ц < ^ — |со8 0|,
(25)
когда в (22) можно опустить Ие N. Тогда коэффициент пространственного усиления филамента (22) принимает вид
с2 =
к4 ( к8 к2 к6 11/2 Щ + { ёЩ + иА2 с°з2 в[к1 с°з2 0 + к2в{2 ~ с°з2 0)1 / ' (26)
где использованы обозначения
^ Л^и^л2 1Т Т< (27]
48/3 \vTkocJ ' 1
В = 2к20ьт1а - (28)
Для обсуждаемых филаментационных возмущений поля, когда ке = 0 и кк0 = 0, угол О между векторами кип определяется однозначно, если определена ориентация векторов к0 и е относительно п. Имея в виду это замечание, рассмотрим коэффициент усиления С (25) как функцию волнового числа к. С этой целью введем безразмерное волновое число
V = у/Вк/ко и коэффициент пространственного усиления Р = \Z8BG/к0. Тогда выражение (25) принимает вид
Р2 = -у4 + {у8 + В2у2 соз2 0[соз2 в + у2{2 - сов2 А)]"2}1'2 (29)
и содержит зависимость лишь от одного параметра
3/2 гр ч 13/4
/ ( 1 \ '( Т \]
Л - АВ>» = V-sL^rf (У (£)
(30)
где / = с\Ео\2/8тг - плотность потока излучения. Величина 10 определяет пороговое значение плотности потока излучения Ith = /о(2 — cos2 в) в турбулентной плазме без учета турбулентного нагрева ионов в том случае, когда порог неустойчивости характеризу ется масштабом неоднородности порядка Ьт, и имеет вид [2]
24/? Ithi ( к0с\ 2 n\mv2T
Iq = --JY — с-• (31)
27Г Ly \ ш0 ) п
Для определения тех Ym = Ym(0,B), при которых коэффициент усиления Fm(0,D) = F{Ym{6, В), в, В) максимален, воспользуемся условием dF/dY\Y=Ym = 0. Тогда из (28) находим
{1 + B2y-J cos2 0[cos2 9 + y2m{2 - cos2 в)}'2}"2 =
= 1 + ^64COs2Vs2 в - у2т{2 - cos2 0)][cos2 в + yl(2 - cos2 0)]"?. (32)
Результаты численного решения уравнения (31) и графики функции Fm(0:B) представлены на рис. 1 и рис. 2 для нескольких значений параметра В. Представленные на этих рисунках зависимости допускают аналитическое описание в двух предельных случаях. Сначала рассмотрим такие условия, когда
.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
cos©
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
COS©
Рис. 1. График зависимости безразмерного волнового числа ут(0) наиболее эффективно усиливающегося филамента как функции угла в между волновым вектором филамента и осью анизотропии турбулентных шумов. Кривые отвечают следующим значениям параметра Б: 1 - 10; 2 - 1; 3 - 0.1; 4 - 0.01; 5 - 0.001.
Рис. 2. График зависимости безразмерного максимального коэффициента пространственного усиления филамента Гт(в)/\/Т). Значения параметра Б те же, что и на рис. 1.
cos 6j < Dl'\
(33)
В этом случае А = (7, а сам коэффициент С описывается выражением (25), в котором до статочно удержать лишь слагаемое, содержащее А. Удерживая в (31) лишь содержащее £>2 наибольшее слагаемое, находим волновое число
кт(в) =
к0 cos в\ (ZT\3/4 1 | cos6>|
у/ВлД — COS в \TiJ y/TLrUi у/2 — cos2 0 и отвечающий ему коэффициент усиления
(34)
Gm{6) = £
А2
5(2- cos2 0)
1/4
= 2
1/4
(35)
где £то(0) _ известный максимальный коэффициент усиления в теории, не учитывющей турбулентный нагрев ионов [2]
~ (ill) Jltlei у/2-cos* в' (36)
С учетом зависимости (33) неравенство (24), определяющее область применимости со отношений (33), (34), эквивалентно условию
(2-cos2 » 1. (37)
Отсюда и из (34) следует, что Gm(0) Go(6). Это означает, что турбулентный на грев ионов существенно повышает максимальный коэффициент усиления филамента и облегчает возможность развития филаментационной параметрической неустойчивости. Приведенные выше зависимости (33), (34) описывают те участки кривых на рис. 1 и рис. 2, где выполнено неравенство (32). Отметим, что при D 1 выражения (33), (34) пригодны во всем диапазоне углов 0, так как неравенство (32) в этом случае выполнено для всех | cos 01.
Поскольку выражение для D (29) содержит два малых параметра /,,/Lt и T,/ZT в большой степени, то возможны условия, когда D < 1. Для малых D интерес представляет и второй предельный случай, когда имеет место неравенство, обратное (32)
|cos0|>D1/4. (38)
В этом случае в (31) можно опустить малые члены вида y^(2 —cos2 в). При этом находим
кт{в) = ^А^ |со8Г1/3
960 \ZT)
4 "le LT
1/3
С2 ltle
cos в I
-1/3
(39)
и следующее выражение для коэффициента усиления
Gm(0)
ко
Т
cos в\
2/3
cos 0\~2/3у/2 — cos2 0Go(0) (Lf ко
1/3
(40)
Поскольку обычно koLт(Ti/ZT)2 1, то из (39) видно, что и в пределе (37) коэффициент усиления Ст(0) больше £?о(0), возникающего в теории, не учитывающей турбулентный нагрев ионов. Отметим, что зависимости (38), (39) описывают те участки кривых на рис.1 и рис. 2, для которых выполнено неравенство (37).
Подводя итог нашему рассмотрению отметим, что приведенные выше закономерности филаментации имеют два существенных отличия от установленных ранее в [2] без учета турбулентного нагрева ионов. Во-первых, увеличение возмущения плотности электронов из-за нагрева ионов приводит к увеличению коэффициента пространственного усиления. Во-вторых, в отличие от [2], где не оказалось возможным определение кт, при последовательном описании нагрева ионов в нашем сообщении установлена возможность определения характерного размера наиболее эффективно усиливающегося филамента. Отметим также, что увеличение коэффициента пространственного усиления филамента ведет к еще большему понижению порога филаментации по сравнению с реализующимся в ламинарной плазме.
Работа выполнена в рамках проекта РФИИ N 97-02-16779 и при Государственной поддержке ведущих научных школ.
ЛИТЕРАТУРА
[1] О в ч и н н и к о в К. Н., С и л и н В. П., У р ю п и н С. А. ЖЭТФ, 113, 629
(1998).
[2] В а г и н К. Ю., Силин В. П., У р ю п и н С. А. Физика плазмы, 25, 688
(1999).
[3] В а г и н К. Ю., С и л и н В. П., У р ю п и н С. А. ЖЭТФ, 117, 75 (2000).
[4] К г u е г W. L. Comm. Plasma Phys. Contr. Fusion, 9, 33 (1985).
[5] E p p e r 1 e i n E. M. Phys. Rev. Lett., 65, 2145 (1990).
[6] Максимов А. В., С и л и н В. П. ЖЭТФ, 103, 73 (1993).
[7] М а к с и м о в А. В., С и л и н В. П., Чеготов М. В. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 9, 35 (1989).
Поступила в редакцию 30 декабря 1999 г.
