CC BY
12
УДК 533.9.01
КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ИОНОВ ПЛАЗМЫ С ИОННО-ЗВУКОВОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТЬЮ В СЛУЧАЕ
ДВУХ СОРТОВ ионов
Р. Р. Рамазашвили, В. П. Силин, П. В. Силин, С. А. Урюпин
Получены явные выражения, для, кинетических уравнений ионов, определяющиеся, ионно-звуковой турбулентностью плазмы,, когда наличие двух сортов ионов приводит к повышению вынужденного рассеяния, ионно-звуковых волн на ионах.
Ключевые слова: ионные кинетические уравнения, турбулентная плазма.
В настоящем сообщении приведены результаты получения кинетических уравнений для ионов в модели ионно-звуковой турбулентности (ИЗТ) Силина Урюпина [1. 2]. когда для плазмы с двумя сортами ионов, благодаря различию отношения зарядов еа к их массе та
е1 =
т1 т2'
вероятность вынужденного рассеяния ионно-звуковьтх волн на ионах может существенно возрастать по сравнению со случаем е1/т1 = е2/т21 отвечающим модели Бьтченкова Силина Урюпина [3, 4]. Соответственно это относится и к модели Кадомцева Петвиатттвили [5, 6].
В основу дальнейшего рассмотрения положены результаты теории ИЗТ плазмы, содержащей два сорта ионов, сформулированной в работах [1. 2]. В работе [1] были записаны кинетические уравнения для ионов в виде (а = 1, 2):
+ ^Е д^ + V д^ = За + 7 (1)
дЬ та дv дг
где добавлены также интегралы столкновений Ландау ионов с ионами (см., напр., [7] ). При этом
^=т / (Цз / (Л* *<кж ^^о)(к" щ2 • <2)
Учреждение Российской академии наук Физический институт им. П. Н. Лебедева РАН, 119991, Москва, Ленинский пр-т, 53.
где /а - функция распределения ио нов сорта а, N (к) - распределение по волновым векторам плотности числа ионно-звуковых волн со спектром ш = кь8(1 + к2г2ве)-1/2, у8 = шьгИе """""" скорость звука, гИе ^ дебаевский радиус электронов, шЬ = + ш2ь2 и шЬа = (4пе2^а/та)1/2 - ленгмюровская частота ионов сорта а, имеющих плотность Na. В формуле (1) также использовано обозначение Wа(k, к', 0), для которого, согласно [1],
Ша(к, к', 0) = 4(2п)3|Лак, к', 0|2 (шдеШ¿(ш - и')
(3)
где б(ш, к) = 1 + ¿бе(ш, к) + ¿б1(ш, к) + ¿б2(ш, к), ¿бе и ¿ба - парциальные вклады в продольную диэлектрическую проницаемость электронов и двух сортов ионов. Наконец, считая выполненным неравенство
ГИе > ГиаШах[1, ^а^/eNe|1/2],
(4)
где гИа - дебаевский радиус ионов сорта а, е и Ne - заряд и плотность электронов, можно, согласно [1], записать следующее выражение для амплитуды рассеяния
Ла(к, к', 0)
1 еа кк
(2п)3 и кк'
X
X
5б1(0, к - к') + ¿62(0, к - к') V т,
¿бв(0, к - к')
тв/
В приближении максвелловских распределений ионов отсюда имеем:
Л1(к, к'0)
1
е1
e2N2 Т1
кк'
-
(2п)3 ш(к) \т1 т2/ е2^Т + е2^Т1 V кк'
(5)
(6)
Л2(к, к'0)
1
е2 ( _ _е1
e?Nl Т2
кк'
-
(2п)3 ш(к) \т2 т1/ е2^Т + е2^Т1 V кк'
Для аксиально-симметричного распределения ионно-звуковых пульсаций
N (к) = N (к)Ф(еов в),
(7)
(8)
в
поля Е. Далее ограничимся случаем, когда степень неизотермичности плазмы доста-
точно велика:
г'Те Т
1
ет\
ет2/
0)
1
е
а
где Т - температура порядка температуры первого сорта ионов Т1 и второго сорта ионов Т2,е1 и е2 - заряды ионов двух сортов, Z - характерная степень их ионизации, Те - температура электронов. При этом (см. [2])
* (к) = л/-
6 5 п ШЬ ГЬ е
2 ШЬе + V
(гР1 + ГР2)2 (
2 г4 Ь2' Э2
т1
т2
2
У(кГВе),
у(х) =
(1 + х2)х4
1п
VI + х2 + 1
х
VГTX2 3(1 + х2)3/2
(10)
(11)
Распределение ионно-звуковых пульсаций по углам, согласно [1], при Км ^ Л(1 + 8)2
имеет вид
а при Км ^ А(1 + 8)2:
Ф(х)
4К
N
1 &
х
3пА(1 + 8) х &х (1 + е — х)
1
(12)
Ф(х)
2Км 1 & Г пА х2 &х 0 ^р(Ь)\/х2 — Ь2
(13)
1/2
1.03 + 0.Ш2 — 0.66Ь4 — 1.85í2VГ—Г2 1п
VГ—2 + 1
Ь
(14)
Здесь А = 0.5, 8 - отношение декрементов черенковского затухания волн на ионах и электронах.
2 е*еЕшЬ е ^ЪлгЬг+^ь^оа ( е1 е2 У _ Е
Км = 6п ~8~г--(г2 + г2 )2 т — т) =
шЬтве (гт + тВ2)2 \т1 т2/ Ем
(15)
(гт + ГЬ2)2 Vml т^ Ем
Согласно соотношению (15). удобный для представления асимптотических формул для спектра ИЗТ параметр Км определяет величину напряженности порождающего турбулентность электрического поля относительно характерной напряженности поля Ем. Введем, наконец. обозначение для моментов функции Ф(х),
1
Мп
&ххпФ(х).
(16)
Согласно [1], в случае сильных полей, когда Км ^ А(1 + 8)2, для моментов имеем
М0 = 2.47Х КМ, М1 = 1.84*/, М2 = 1.44* К
А
А
А
1
1
1
X
М3 = 1.17^^, М4 = 0.99^.
Все эти обозначения позволяют записать в правых частях уравнений (1) За в виде
(17)
Л е1шЬГЬе
■ 1 = т
4 т2шЬе \т1 т2
е1
е2
-2
гЪ1(гЪ1 + ГИ2)
,2
,2 ^4
ШЬ1Гт + ШЬ2Г02
/ + д/Л + ^д/
д^ дь2 / ду"2
,
■2 = -
Л е2шЬгИе
4 т2ШЬ е
е1 т1
е2 т2
2
ГР2 (гР1 + ГР2) ШЬ1ГР1 + ШЬ2ГР2
д2/ + + ед2/к дь2 / ду"2
т = ^[Мо + М0М4 + 4М22 + 4М3М1 - 3М0М2 - 2М? - 3М2М4 - 2М32],
(19)
(20)
2
2
£ = М0М2 - М? - М0М4 - М22 + 2М1М3 + ЗМ2М4 - 3М32. (21)
М0, М1, М2, М3, М4
т = 0.5^ ^ = 0.1^ Кг) • (22)
/1 /2
уравнений диффузии в пространствах скоростей ионов
9/1 = 0 ~дг = 011
(Ц + / + + (23)
! = Ц Ц + + °2, / + ^ (24)
При этом для турбулентных коэффициентов диффузии имеем следующие выражения:
3п eENeVs ш2Ь1гАт
Би_ = 0.50
Бп = 0.13~" ~ ' е в
8 mlNl шЬ1Гт + шЬ2ГР2; Зп eENeVs ш11Г%1
8 т^1 ш11ГИ)1 + ШЬ2ГР2 ' 0 = 0 50 3пeENeVs ШЬ2ГР2
21 . 8 m2N2 шЬ1ГП1 + ШЬ2ГР2 '
ШЬ2ГР2 /окч
°2|| = 0.13^ т м ш2 Г4 + ш2 Г4 . I25)
8 т2^2 шЬ1Гт + ШЬ2ГИ2
Следует подчеркнуть, что эти коэффициенты диффузии, благодаря их зависимости от плотностей Na и температур Tq, j ЯВЛЯЮТСЯ функционалами функций f а.
Обратимся теперь к случаю слабых полей, когда имеет место угловое распределение (12). Малые по сравнению с единицей параметры а и t зависят от моментов Mn (16):
а = (Mo - 9M2 + 10M4)/(1 + 5), t = (M2 — M4)/(1 + 5).
Тогда. представив формулу (12) в виде
Ф(ж)
4K
N
3пА(1 + 6)Ф(Ж)'
для выражений Mn имеем Mn = 4KNan/3пA(1 + 5), где
(26)
(27)
т . . 1 d Ф(х) = -
x
xdx (1 + t — x)1-
Соответственно этому имеем:
x2 [4(1 + t) — (3 + a)x] (1 + t — x)2-a
dx • xnФ(x). (28)
an = t
1
n+2
1 + £ t1+m(n — 1)
m=0
(n + 3 — m)r (a)m+1
— (1 + t)n+2+a (n + 2))!(n — 1) , (29)
(a)n+3
где (г)0 = 1 и (г)п = г(г + 1)...(г + п — 1) - символ Похгаммера [8]. Очевидно, что согласно (20), (21), т и £ окажутся довольно громоздкими функциями параметра Км, характеризующего величину напряженности электрического поля.
4K
N
3пА(1 + 5)
г, е
4K
N
3пА(1 + 5)_
1
г = -(a0 — 3a0a2 — 2a1 + a0a4 + 4a1a3 + 4a2 — 3a2a4 — 2a2),
(30)
(31)
Г = a0a2 — a°° — a0a4 — a2 + 2a1a2 + 3a2a4 — 3a°°.
(32)
В пределе Км ^ А(1 + 8)2, используя приближенные выражения для малых параметров
ое
2
2K
а
N
1п[3пА(1 + 5)°(1ii2)/2Kn ]'
из (31) и (32) приближенно находим:
3пА(1 + 5)%i2
In
3пА(1 + 5)%2
2K
N
г
3пА(1 + 5)2 4KN
(33)
(34) 45
1
a
n
2
2
с 3
е - 5 а
3^Л(1 + ¿)2
4K
N
(35)
В результате для сравнительно несильных полей получаем систему двух диффузионных уравнений в пространстве скоростей, по виду аналогичных уравнениям (23) и (24). но с иными турбулентными коэффициентами диффузии в пространстве скоростей VI и V2:
D
1 eENev4
1_L
uLirDi
2 miNi w?,r4
L1 D1
+ ui-r
2 „„4
L2' D2
D1
3а eENevs
uLirDi
D
10 miNi uiiD + uL-rDi1 1 eENevs
2_L
UL2rD2
D
2 m2N2 uLirDi + uL2rD2
3а eENv u^D-
21 10 Ш2М2 и^ЬГ+^Л.' (36)
Сопоставим выражения (36), полученные при Км ^ Л(1 + б)2, и (25), полученные при Км ^ Л(1 + б)2. Если Км ~ Л(1 + б)2, то выражения (36) для П\± и отличаются от выражений, даваемых формулами (25), на множитель 8/3п ~ 0.85. Также при Км ~ Л(1 + б)2, выражения (36) для Дц и Д2ц отличаются от выражений, даваемых формулами (25), на множитель 0.8а/0.13п ~ 1.15. Принимая во внимание численную близость выражений (25) и (36) на границе области их применимости, можно, не претендуя на высокую точность, предложить использовать асимптотические выражения (25) и (36) как аппроксимацию коэффициентов диффузии во всем обсуждаемом диапазоне изменения отношения Км/Л(1 + б)2, то есть напряженности электрического поля.
Представленные в настоящем сообщении интегралы столкновений ионов, обусловленные ИЗ Т. прежде всего демонстрируют влияние анизотропии турбулентности, что помимо открывающихся возможностей получения новых, конкретных следствий в теории явлений переноса демонстрирует ограниченность всего используемого нами до сих пор подхода к теории такой турбулентности. Последнее связано с тем, что требуемый экспериментом сильный нагрев ионов вступает в противоречие с предположением об их максвелловском распределении. Это, в частности, ставит вопрос о необходимости углубления разработки теории ИЗТ. Вместе с тем, в случае быстрой релаксации из-за обычных парных столкновений ионов, приводящей к максвеллизации распределения ионов и к выравниванию их температур, обусловленные ИЗТ коэффициенты диффузии в пространстве скоростей ионов (см. (25) и (36)), оказываются не зависящими от
температуры понов. что приводит к существенному упрощению теории турбулентного нагрева ионов.
Авторы выражают признательность за финансовую поддержку этой работы в рамках проекта X 09-02-00674 РФФИ и Программы фундаментальных исследований Президиума РАН X 30.
ЛИТЕРАТУРА
[1] В. П. Силин, С. А. Урюпин, ЖЭТФ 102, 78 (1992).
[2] В. П. Силин, С. А. Урюпин, Физика плазмы 19, 894 (1993).
[3] В. К). Быченков, В. П. Силин, ЖЭТФ 82, 1886 (1982).
[41 В. К). Б ыченков, В. П. Силин, С. А. Урюпин, Краткие сообщения по физике ФИАН, X 3, 27 (1983).
[5] Б. Б. Кадомцев, Коллективные явления, в плазме (Москва, Наука, 1976), с. 210.
[6] В. И. Петвиатпвили, ДАН СССР 153, 1295 (1963).
[7] В. П. Силин, Введение в кинетическую теорию газов (Москва, Наука, 1971).
[8] А. П. Прудников, К). А. Брычков, О. И. Маричев, Интегралы и ряды (Москва, Наука, 1981), с. 794.
Поступила в редакцию 14 декабря 2009 г.
