CC BY
9
УДК 533.932
ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ ДЛЯ ИОНОВ ПЛАЗМЫ С ИОННО-ЗВУКОВОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТЬЮ
P.P. Рамазаптвили, В. П. Силин, П. В. Силин
Для, плазмы с сильно развитой ионно-звуковой турбулентностью получено явное выражение интеграла столкновений для, ионов в модели Быченкова Силина Урюпина [1].
Ключевые слова: ионно-звуковая турбулентность, интеграл столкновений ионов, турбулентные флуктуации.
В настоящем сообщении излагается материал получения интеграла столкновений для ионов в модели плазмы с ионно-звуковой турбулентностью (ИЗТ). возбуждаемой постоянным электрическим полем с напряженностью E. При этом мы следуем модели работы [1], когда отношение зарядов ионов сорта ea к их массе ma одинаковы
ea _ ee (1)
ma me'
В этом случае, согласно модели ИЗТ Кадомцева Петвиатттвили [2] (см. также работу Сагдеева [3]), нелинейным физическим процессом, который стабилизирует ионно-звуковую (ИЗ) неустойчивость, является вынужденное рассеяние ИЗ-волн на ионах. Этот же процесс определяет уровень ИЗТ и в модели Силина Урюпина [4]. когда условие (1) нарушается. Однако в условиях (1) такой процесс не столь эффективен, что приводит к тому, что в таких условиях интенсивность ИЗ-флуктуаций в модели [1] оказывается больше соответствующей интенсивности в модели [4].
В нашу задачу входит определение явного вида интеграла столкновений ионов Ja с пульсациями ИЗТ. обусловленного вынужденным рассеянием таких пульсаций на ионах, и общий вид которого был5 например, дан в работе [1] (ср. [4. 5])
Ja[fa] _ dvz
3 (V ) dv
3 J
(2)
Учреждение Российской академии наук Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН, 119991, Москва, Ленинский пр-т, 53; e-mail:.
где коэффициенты диффузии в пространстве скоростей 0(а\У) определяются следующей формулой
Dj\v)
1
dk
2m2aJ (2n)*J (2n)3
dk' -* -* -* -* N (k)N (k' )k'¡ k" Wa(k,k',Y).
(3)
Здесь ¡а - функция распределени я ионов, к" = к — к', N (к) - определяет распределение по волновым векторам ИЗ-флуктуаций, а вероятность рассеяния Ша(к,к',У) дается формулой:
Wa(k, k', Y) = 4(2n)g\Aa(k, k',Y)|2 x
u
,de(u,k) de(u',k') du du'
-i
ó(u" — kW), (4)
где u" = u — u', e(u, k) = 1 + Ó£e(u, k) + Sea(u, k), 5ee, 5ea - вклады соответственно
а
электронов и а-го сорта ионов в продольную диэлектрическую постоянную плазмы. При этом в (4)
- П\ uLrDek , .
u = u(k) = —. = (5)
у/1 + k2rD
De
частота ИЗ-волн, rDe - дебаевский радиус электрона, uL = uLa =
Na
4nea ^ mn
i/2
ленгмюровская частота а-го сорта ионов, Na - число ионов в единице
объема. Для амплитуды рассеяния Ла(к,к',У) в случае выполнения условия (1) приближенно имеем
л (kk'y.A__eLт kY + kY
Aa(k,k' V)= (2n)3 mau' kk' u + u
(6)
Используя малость тепловой скорости ионов по сравнению с фазовой скоростью ИЗ-волн с помощью формул (4) (6) можем записать соотношение (3) в виде [1]:
У) = / ^N(к^(к')к45(и—и')тЖ2 ^Г(КК')2(К+К',У)2(К—К')](К—К')к, (7)
к''
где к = и К = 1^7
Для N (к) используем положение теории [1] о приближенном разделении переменных
N(k) = N(k)Q(cos вк),
(8)
где. согласно [1. 6, 7],
N (к)
П ШЬ Г7Ре 8 ШЬе
Р2 1,2 V2
е^шг угр_
РаШЬа у Та
та
-1
У (кгде),
(9)
У(ж) = "Г
Ж4
(1+ Ж2)3/2
1п
л/Т+Ж2
1
1
Ж
2(1+ ж2) 4(1+ ж2)2
(10)
те - масса электрона, ^ - число электронов в единице объема, Те - их температура, 1/2
N
шЬе = ( 4пр2—е 1 - электронная ленгмюровская частота, а УТа =41 кв—~ - тепловая
те та
скорость ионов сорта а с температурой Та и кв постоянная Больцмана.
Используя эти выражения, можно записать тензор коэффициента диффузии в про-стр&нстве ионных скоростей в виде
Т
а
= (V),
(11)
1 шп
32 шЬе
. в
2 2 4 2
т'аРв ШЬв ГЭв
р>2 ^у!2
Ратв1 Эе
2
II,
(12)
ii = ¿ж • ж8(1+ ж2)3/2у2(ж),
(13)
тг/2 п/2
(^)=/ Мк ^пвкФ(сов 9к) ! ¿9'к вш9'кФ(сов 9'к)13к(V), 0 0
13к (V)
2п
2п
¿Щк [ ¿'А
к (КК')2(К + К', V)2(К - К')3 (К - к')к,
2п I 2п
(14)
(15)
где 9к и Щк - полярный и азимутальный углы в пространстве К. Используем моменты функции углового распределения
п/2
Мп
¿9к (сое 9к )гаФ(ео8 9к).
(16)
Отметим, что в первоначальной работе [8] и ряде последующих, где необходимыми оказывались литтть моменты с четными номерами, вместо определения (16) использовалось такое, в котором вместо п писалось 2п. Нам необходимы и нечетные. Поэтому далее
1
мы пользуемся определением (16), которое использовано было в [1]. Тогда элементы тензора д^ (У) можно записать в виде
(V) = апК2 + МК2 + У2), (17)
дхх (Ю = дгх(V) = —УХУ2 ап, дуХ (= дХу (V) = —Уу Уг ап, (18)
дху У = дух(У) = УхУу аху, (19)
дхх(V) = а21У2 + ЪпУХ + Ь\2 У у , (20)
дуу (V) = а21 У2 + ЬпУу2 + Ь12 У2, (21) где использованы обозначения
а11 = М0М4 + М2М4 + 3М2М6 — М22 — М0М6 — 3М%, (22)
1 17
а12 = М0М2 + ^ МоМ6 + 5М1М3 + у М2 М4 + 5М3М5 —
3 7 3 7
М0М4 — М2 — зМ1М5 — ^ М22 — ^ М2М6 — 6М32 — 2
аху = -(4М0М2 + 14М2М4 + 6М2М6 — 2М0М6 — 10М2 — 11М2 — М%), (24) 8
2 17 2 1
а21 = М0М2 + м2 + у М2М4 + 6М32 + ^ М0М6 + ЗМ1М5—
3 7 7 3
—^ М0М4 — ^ М22 — 5М1М3 — ^ м42 — 2 М2М6 — 5М3М5, (25)
Ь11 = V1 М02 + 4М0М4 + М22 + 9М2М6 — 2М0М2 — 3М0М6 — 3М2М4 — 13М42 ) , (26) 8 2 0 2 2 4
1(3 9 N
Ь12 = ^ 2м02 + 4М0М4 + 11М22 + ЗМ2М6 + 2М42 — 6М0М2 — М0М% — 17М2МА . (27)
Скажем несколько слов в связи с встречавшимися ранее выражениями среди (22) (27). Так выражение (23), большее нашего в два раза, возникало в работе [9], в которой для моментов (17) использовалась строчная буква шп. При этом двойка нами используется умышленно, дабы избежать численных коэффициентов в формулах (17) (21). Далее формула (22) совпадает с формулой (30) работы [9], а формула (25) совпадает с формулой (32) работы [9] после ее уточнения в работе [10].
Откладывая несколько ответ на вопрос об угловом распределении Ф(еов вк) и отдавая должное подходу Кадомцева и Петвиатттвили. и5 естественно, работ [1,6,7], запишем
уравнение (7) в случае плазмы с одним сортом ионов. Тогда формула (9) имеет известный вид (вместо а записываем г):
N (к) = ЩКТ Л ^kk у (krDe), (28)
VTi V 8 ULe
Используя это выражение, можно записать тензор коэффициента диффузии в пространстве ионных скоростей в виде
= Doäjk (V). (29)
Здесь
Остальные обозначения
отвечают формулам (13) (15). Полученные здесь формулы позволяют записать искомый интеграл столкновений ионов с ИЗ-флуктуациями Ja в виде, который определяет его функциональную зави-
VV
JJV) = D<a) А j(V) f. <31)
Здесь
определено формулой (12). а в частном случае одного сорта ионов формулой (30) для D0.
9 äjk(VV)f = (a21V2 + biiVX + b12V2)f + (a21VZ + biV + b^V?)f+
д^^ 'дУк у" * 11 х " у' дУ2 К " * 11 у " ^ дУ^
+(«.. у2+«.,[У?+о Ц+2а" уху» жУ,- щ (ух §х+уу Щ ■ (32)
Входящие в правую часть последней формулы (32) шесть коэффициентов (22) (27) определяются параметрами плазмы в зависимости от углового распределения турбулентных пульсации. При этом коэффициенты (22) (27) зависят от сделанных приближений и точности численного расчета.
Теперь можно отметить, что из формулы (2) непосредственно следует очевидное сохранение числа ионов
JdУ • Ъ[Ъ] = 0, (33)
а из формул (2), (32), (17) (21) и (22) (27) следует
У dУ • У • ии] = 0. (34)
Последнее отвечает приближению сохранения импульса каждого сорта ионов при их столкновениях с ИЗ-флуктуациями.
Обратимся теперь к угловому распределению ИЗ-флуктуаций по углу между вектором к и направлением возбуждающей ИЗТ силы, которую будем связывать с вектором Е напряженности электрического поля. Используем формулу [6]
сое в
Ф( Я ) = 2 Км Л [ 141 1 (35)
ф(008Як) псоз2вку а2 ¿(008ек) } у/соит—Р Ж)' ()
0
^(1) = 0.26 - 0.1Ш2 + 0.31514 + 12(1 - г2)1/2(0.09 - 0.31Ы2)Ы + *)
(36)
А2 = 0.7, согласно [6], и так называемое турбулентное число Кнудсена, которое в случае плазмы с одним сортом ионов имеет вид [6, 8]:
К„ = 3Л1!фЕ (37)
формула (35) относится к случаю
Км >> 1. (38)
Здесь следует остановиться на некоторой возможности путаницы. Именно, численное значение А2 в [6] для случая (38) приведено неверное. Верное значение А2 = 0.5 с большой точностью. Поэтому в ряде работ вместо (Км/А2) использовалось турбулентное число Кнудсена, в два раза превышающее (37), введенное первоначально в работе [8]. В то же время заметим, что для случая, противоположного (38), тогда, когда интересуются интерполяцией от столкновительного описания к турбулентному, как это нетрудно усмотреть из текста работы [6], А2 перестает быть константой, а завит от столкновений заряженных частиц. В этой связи, чтобы не порождать путаницу, мы далее используем (37), и в условиях (38) А2 = (1/2).
В общем случае плазмы с произвольным числом ионов, удовлетворяющих условию (1), для турбулентного числа Кнудсена используем следующее выражение
К 12п\еЕ \I\eULeST еа г2 (39)
КМ = --ЙТа- т ^ЬаГЪа, (39)
ь Ъе а а
которое, как и (37), относится к случаю (38).
В предельном случае плазмы с одним сортом ионов это выражение принимает вид (37). Отметим, что в работе [7] в знаменатель правой части используемой там формулы (2.6) включена в виде множителя Л. (Еще одно отличие.)
Используя формулы (2.172) из [1] (с. 161), для углового распределения (35) можем записать
Мо = л/к -
2 [' x2dx
П 7 ^(х)
х
VI - х2
+ агсо эх
2.03Л/2К
N,
(40)
2
М\ = фк, -
х3 dx
П 0 <^(х)л/1 — х2
1.44л/7К,
(41)
2
М2 = у/К -
х5 dx
П } (р(х)\/1 — х2 о
Мз = л/К -
2 [ x5dx
п } <£>(х)
1
— 1п
1 + л/Г—
х2
х2
х
0.88Л/2К
N)
(42)
(43)
г^2 [ хЫх 2х — 1 „ г—
М4 = —— Гл-2 = 0.72Л/К,
П } у(х) — х2
(44)
М5 = л/К -
1 [ x5dx
П } <£>(х)
(—1 + 3х2)
/Т—х2
3х2
1 + V—х
х
0.61Л/К,
(45)
г— 2 /х^х (—1 — 4х2 + 8х4) г—
М6 = л/К~ —- ±-==-= 0.52л/2^.
Зп I р(х) л/1 - х2
(46)
Определенный
Мо
боте [11] упрощающим запись преобразованием. Подобным преобразованием отличается М5 от приведенного в [1]. В обзоре [1] приведены первые шесть интегралов. В работе
Мо М2 М4
Использование численных значении (40) (46) позволяет, согласно формулам (23) (28), записать элементы тензора djk(У) в следующем виде:
dxx(V) = 2KN(0.73 • У*2 + 0.11 • Ух2 + 0.18 • У2),
dyy( у) = 2KN(0.73 • У*2 + 0.11 • У, + 0.18 • Ул2), dxy(у) = dyx(V) = —2KN • УхУу • 0.07,
(47)
(48)
1
1
1
1
1
1
1
dxz(V) = dzx(V) = -2Kn • VXVZ • 0.15, (50)
dyZ(V) = dzy(V) = -2KN • VyVz • 0.15, (51)
dzz(V) = 2Kn(0.15 • Vz2 + 0.05 • V2 + 0.05 • Vx2). (52)
Наконец, формулы (47) (52) позволяют записать формулу (32) в виде I
Ö -djk(V)f = 2kJ (0.73 • V2 + 0.11 • V2 + 0.18 • V2)ff +
8Vj JkK '&Vk N V z x y' dV2
д 2 f д 2 f +(0.73 • V? + 0.18 • Vx + 0.11 • Vf) ^ + (015 • V2Z + 0.05 • V2 + Vy2]) ^
- 0.14 • VxVy7дf^- - 0.30 • ЪУ.^ - 0.30 • УуУ.т^^\ . (53)
дУхдУу дУхдУ. дУу ЗУ.)
Формулы (31),(32),(12),(17) (21) и (22) (27) решают задачу о зависимости ионного интеграла столкновений а точнее, соответствующего ему диффузионного оператора, от скорости ионов. Наконец, формула (53) дает необходимые численные коэффициенты в рамках предельного случая больших значений турбулентного числа Кнудсена (39) и приближенного способа определения числовых коэффициентов в функции р(Ь), описываемой формулой (36).
Авторы выражают признательность за финансовую поддержку этой работы в рамках проекта Л"2 09-02-00674 РФФИ и Программы фундаментальных исследований Президиума РАН Л"2 30.
ЛИТЕРАТУРА
[1] V. Yu. Bychenkov, V. Р. Silin, S. A. Uryupin, Physics Reports 164, № 3, 119 (1988).
[2] В. И. Петвиатпвили, ДАН СССР 153, 1295 (1963).
[3] R. Z. Sagdeev, Ргос. Symp. Appl. Math. 18, 281 (1967).
[4] В. П. Силин, С. А. Урюпин, ЖЭТФ 102, 78 (1992).
[5] Л. М. Коврижных, ЖЭТФ 48, 1114 (1965).
[6] В. К). Б ыченков, В. П. Силин, С. А. Урюпин, Краткие сообщения по физике ФИАН, № 3, 27 (1983).
[7] И. В. Кузора, В. П. Силин, С. А. Урюпин, Краткие сообщения по физике ФИАН Л"2 3, 26 (2003).
[8] В. К). Быченков, В. П. Силин, ЖЭТФ 82, 1886 (1982).
[9] В. К). Б ыченков, В. П. Силин, С. А. Урюпин, Физика плазмы 15, 300 (1989).
[10] В. К). Б ыченков, В. Н. Новиков. В. П. Силин. С. А. Урюпин. Физика плазмы 15. 1456 (1989).
[11] В. К). Б ыченков, О. М. Градов. В.П. Силин. Физика плазмы 10. 33 (1984).
Поступила в редакцию 15 января 2010 г.
