CC BY
16
УДК 533.932
О РАЗДЕЛЕНИИ ПЕРЕМЕННЫХ В ТЕОРИИ СПЕКТРА ИОННО-ЗВУКОВОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
В. П. Силин, П. В. Силин
Доказана независимость спектра ионно-звуковой турбулентности от константы разделения переменных: модуля, волнового вектора и его угла при решении интегрального уравнения, определяющего ■интенсивность флуктуации N (к).
Ключевые слова: ионно-звуковая турбулентность, разделение переменных.
При построении теории ионно-звуковой турбулентности прорывным моментом явилось приближение разделения переменных распределения турбулентных пульсации N (к) как функции модуля волновог о вектора к и угл а 9к между волновым вектором и силой, приводящей к ионно-звуковой (ИЗ) неустойчивости (например, еЕ, где е -электрический заряд электрона, а Е - напряженность электрического поля),
N (к) = N (к)Ф(еов 9к). (1)
В работах [1, 2] постоянная разделения принималась равной единице. До сих пор это приводит к возникновению недоумения. Ниже мы покажем, что распределение ИЗ пульсаций от постоянной разделения не зависит. При этом мы ограничимся моделью Силина Урюпина [2], оставляя читателю возможность убедиться в аналогичном результате для модели Бьтченкова Силина Урюпина [1, 3].
Напомним, что стационарная теория ИЗТ базируется на уравнении, отвечающем равенству нулю инкремента ионно-звуковьтх волн
Г = ъ + 71 + 72 + 1мь = 0 (2)
с частотным спектром
" = ^=(1 + к2г1 е) 1/2 • (3)
Здесь к
модуль волнового вектора, тВе - дебаевский радиус электронов, и2ь = и2Ь1 +^Ь2, иьа = (4пе2^а/ша)1/2 - ленгмюровская частота ионов сорта а, ~ вклад в инкремент
Учреждение Российской академии наук Физический институт им. П. Н. Лебедева РАН, 119991, Москва, Ленинский пр-т, 53.
эффекта вынужденного рассеяния волн на ионах, a 7e,7i и 72 - вклады соответственно электронов, первого и второго сорта ионов, обусловленные их черенковским взаимодействием с волнами. При этом в предположении разделения переменных распределение турбулентных пульсаций принимается в виде
N (k) = Nc (к)Фс (cos вк), (4)
где 9 - угол между волновым вектором k и направлением напряженности электрического поля E, приводящего к возникновению тока в плазме и соответственно к ионно-звуковой неустойчивости. Относительно обозначения C - чуть ниже. Прежде всего укажем, что
Ynl = а(П) 1/2 (krDe)2 х (1 + k2r2DJ * [(krDef(1 + k2r2De)Na(k)] X фс(cos9к),
Voz ¡Le d(krDe)
__(5)
где ¡Le = \j4ne2Ne/me - электронная ленгмюровская частота,
А = (^ - ^X (2)1/2 ^f ^^D^e , (б)
\mi m2 J \nj ¡L r5De(r2D1 + r2D2)2
фс(x) = 1[Mc0 - Mc2 - (Mco - 3Mc2)x2 - 3(Mci - Mc3)x + (3Mc 1 - 5Me3)x3], (7)
где rDa - дебаевский радиус ионов сорта а, а
1
Men = j dx • хпФс (x). (8)
0
Далее сумма Ye + Y1 + Y2 дается с помощью решений квазилинейных уравнений для электронов и двух сортов ионов следующим выражением
sin вк
(П \1/2 ¡L krDe Ye + Y1 + Y2 =(gj — [1 ¡ k2r2
Я) ¡Le [1 + k2rDe]
2 П Í dC
~ cos в к , . 2n-г^гтг
П J (sin2 в к - C2)1/2
0
x I _+ ^ura X - (1 + 5)- ¡(k)
VC2(VT-F) ve2U1 - C2) 1 - ^J 'krDeVs
Здесь vs = ¡LrDe - скорость ионного звука и
0)
5 = Ó1 + 62, (10)
г ака(Уз) , ,
6а = ~ГТ-2 г , \ , (11)
^ШЬ еке(Уз)
а /0е и /оа _ максвелловские функции распределения электронов и ионов соответственно. Помимо этого
/9п\1/2 еЕ
УЕ = — -, 12
\ 8 / ШеШьТВе
УСп = 4п2гС^шШШе Хспхсп(у) (13)
сс
xan = j de • e4(i+c2)(n-5)/2N^D)
(14)
kminrDe
y
(y) ¡ Ma jx)xn
Xan J yn(x2 — y2)/' 1 j
0
Записанные выражения позволяют в приближении, пренебрегающем отличием от единицы отношения (u/kruev.s), стоящего после (1 + ó) в формуле для Ye + Yi + 72 (что качественно упрощает рассмотрение) получить следующее следствие из уравнения Г= 0:
d
A(krDe)(1 + k2rDe)5/2 d(krDe)[(krDe)4(1 + k2r2De)Na (k)]+
sin dk /
1 „„„ „ [ di 3n5/2rD,eeENeU,Le
+^«il(2/n)cosSk / (^»r-^iíixawr-^ + ( )
. Xa i xa iiyr-!2 ) (1 +^ (1 + ó)] = 0
+ Xa2Xa) X (1 - í2)J " (1+ Ó)]=0 '
k
от 9k. Поэтому оба они являются постоянными. Пусть первое равно — C, а второе +C. Это позволяет записать следующие два уравнения
dC dkD")[(krDe)4(1 + k2D)Na(k)] = — A(krDe)(1 + k2rD^ ' ^
sin dk / __\
f dí 3n5/2r%eeENeuL + Xci^U/T—g) = ГШ
J (sin2 dk — í2)i/2l^Xa2xa2(4/!—í2) Х2Х2^лД—í2) 1 — íV
п 1
[1 + 5 + Сфс (cos вк)].
2 cos вк
Решение уравнения (17) имеет следующий вид
Ne (k) = Ay(krDe), (19)
" 'V1 + х2 + Л 1 1
y(x) 1
х4 (1 + x2)
111
(20)
ж / (1+ x2)1/2 3(1+ x2)3/2
Таким образом функция y(x) определяет распределение ионно-звуковых пульсаций по модулю волнового вектора, или. как можно говорить, по частотам ионно-звуковых ВОЛН. Теперь используем функции
Ф(ж) = Фс (x)C, N (к) = NC). (21)
Тогда имеем
N (k) = Nc (к)Фс (cos 9к) = N (к)Ф(^ 9к). (22)
Используя явное выражение для NC(к), можем теперь записать (при (e1/m1) = (e2/m2))-.
Vn(z) = Vn • \n • Xn(z), (23)
VN = ¡L (r2D1 + rD2)2 x 1 f244
N 2(2n)3/2Neme¡le(¡hrbe + ^D) (^ _ ^)2 ' ^ j
\m1 m2
oo
An _ J d£ • £4 • (1 + £2){n-5)/2y(0, (25)
(kminr De)
У
_ 1 í' dx • xn • Ф(х)
Xn _ VnJ (x2 - y2)1/2 - {Щ 0
Кроме того, используя обозначение
KN _ VE, (27)
VN
называемое в теории ионно-звуковой турбулентности турбулентным числом Кнудсена. можно теперь записать уравнение (18) в виде
sin вк , --х
í d£ Kn + AiXi^x/T-C2^ (1 + S)\ _
J (sin2 вк - А2Х2(л/г—ё2) A2X2(VT=?) VT-ё;
п 1
-[1 + 5 + ф(cos 9к)],
2 cos 9к
где А1 = 0.543; Л2 = 0.556; ф^) подобно фс(x), но в отличие от последнего не зависит
C
ф(x) = 1[Mo - M2 - (Mo - 3M2)x2 - 3(Mi - M3)x + (3Mi - 5M3)x2] (29)
и
Mn = dx • xnФ(x).
(30)
Таким образом, согласно (28), угловое распределение ионно-звуковых пульсаций Ф(ж) не зависит от постоянной разделения переменных С, как не зависит от С и полное распределение N (к).
Для решения уравнения (28) воспользуемся уравнением Абеля
d£u(Q
sjx2 - £2
f (x)
и его решением в виде
x
2 d f sf(s)ds u(x) = —- , J . п dx J \Jx2 - s2 o
При этом принимаем за u(£) выражение в круглых скобках левой части (28), a f (x) -правую часть уравнения (28). Тогда можем записать следующее интегральное уравне-нив для функции Ф^):
K
N
AiXi(cos 9к) 1 + 5
+ - / „ s х
d
sds
A2X2(cos 9к) A2X2(cos 9к) cos 9к d(sin 9к) J ^ДПв^-!2
х
(31)
х
1 + 5 + ф(V1 - s2
1
cos2 9к
[1 + 5 + p(cos 9к)],
где возникшая после взятия интеграла функция tp(x) имеет вид
¥(x) = 2
M0 - M2 - (M0 + 6Mi - 3M2 - 8M3)x2 + (6Mi - 10M3)x4+
+(Mo - 3M2)x2(1 - x2)i/2ln ^
1 + (1 - x2)i/2
x
(32)
i
x
1
2
s
Для получения асимптотических решений последнее интегральное уравнение (31), после умножения его на x2(cos 9k) и cos2 9k, а также деления на (1 + 5), перепишем в виде
Knx2 Г dt ■ t ■ Ф(^)
А2(1 + 5) J (x2 - t2)1/2 о
"2 I 1 +
x2
y(t)\ _ А1
1 + 5) А2
(33)
Это уравнение решено в работе В. П. Силина и С. А. Урюпина [2] в приближении А1 = Л2 = А = 0.5.
При этом в пределе Кп ^ А(1 + б)2 имеем
Ф(х) =
1п2
4K
N
d
X
3^А(1 + 5)x dx (1 + e — x)1_
2K
а
In
3^А(1 + 5)21II2
2КП
; e
N
3этА(1 + 5)%i2
I11
3^А(1 + 5)21ii2
2K
N
Соответственно в пределе KN ^ А(1 + 5)2 имеем
Ф(х) = -
2 /КИ1/2 1 d
t5dt
А J x2 dx J <p(t)(x2 — t2)1/2'
(34)
(35)
(36)
где использованы полученные значения Mn = Mn ( kN
Kn ^1/2
M0 = 2.47; M1 = 1.84; M2 = 1.44; M3 = 1.17.
Соответственно этому
p(t) = 0.51 + 0.08t2 — 0.33t4 — 0.92t2 (1 — t2)1/2l
11
1 + (1 — t2)1/2
t
(37)
Тем самым мы показали, как общее рассмотрение разделения переменных сохраняет старый наш результат о спектре ионно-звуковой турбулентности для плазмы с двумя сортами ионов, полученный в работе [2]. Таким образом, проведенное рассмотрение подтверждает правомерность использования в [2] постоянной разделения, равной единице.
Авторы выражают признательность за финансовую поддержку этой работы в рамках проекта X 09 02 00674 РФФИ и Программы фундаментальных исследований Президиума РАН Х-30.
x
ЛИТЕРАТУРА
[1] В. К). Быченков, В. П. Силин, ЖЭТФ 82, 1886 (1982).
[2] В. П. Силин, С. А. Урюттин, ЖЭТФ 100, 78 (1992).
[31 В. К). Б ЫЧ6НКОВ, В. П. Силин, С. А. Урюттин. Краткие сообщения по физике ФИАН, X 3, 27 (1983).
Поступила в редакцию 14 января 2010 Г.
