CC BY
6O центроиде расширений Оре
Мушруб Владимир Александрович,
канд. физико-математических. наук, доцент кафедры экономико-математических методов, Российский экономический университет им. Г.В. Плеханова, mushrub@yandex.ru
Иванкова Галина Владимировна
старший преподаватель кафедры высшей математики, Российский экономический университета им. Г.В. Плеханова, g_ivankova@mail.ru
Мочалина Екатерина Павловна
канд. физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, Российский экономический университет им. Г.В. Плеханова, mochalina77@yandex.ru
Соболев Виталий Николаевич
канд. физико-математических. наук., младший научный сотрудник Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, sobolev-vn@yandex.ru
В данной статье все кольца ассоциативны и содержат единицу. Основными результатами настоящей работы являются теоремы 2 и 3. В доказательстве этих утверждений существенно используется понятие кольца частных, разработанного Утуми и Фейсом. Пусть R - кольцо, Cr (R) - центр его
максимального правого кольца частных и R[x; F - расширение Ope посредством инъективного эндоморфизма. Целью данной статьи является получение описание расширенного центроида расширения Оре R[x; F]. В рассматриваемом случае мы сталкиваемся с некоторыми трудностями. Так, например, нет разумного способа продолжить эндоморфизм F на максимальное кольцо частных кольца R и не существует кольца косых многочленов Лорана R[x, х-1, F]. Для того чтобы преодолеть эти трудности, в статье использована конструкция минимального содержащего R кольца A(R, F), на которое эндоморфизм F продолжается как автоморфизм. В том случае, когда кольцо R является F-первичным и удовлетворяет условию F-устойчивости для левых аннуляторов, доказано (см. теорему 3), что расширенный центроид кольца R[x; F] изоморфен либо полю Cf либо полю Cf(y), где Cf — подкольцо специально вида в Cr(R). Это обобщает результат, полученный ранее для расширений Оре с автоморфизмами. Отметим, что в условиях теоремы 3 расширение Оре оказывается первичным кольцом.
Ключевые слова: ассоциативные кольца; кольца частных; первичные кольца.
Введение. Всюду в данной статье Я - ассоциативное кольцо и Р -инъективный эндоморфизм кольца Я Напомним, что существуют кольцо А и его автоморфизм /: А ^ А, обладающее следующими двумя свойствами:
1) Я - подкольцо кольца А;
2) ограничение автоморфизма f на Я совпадает с эндоморфизмом Р;
да
3) А = у (Я).
п=1
Кольцо А будем называть расширением Кона-Джордана (см. [17], [25], [30]) кольца Я. Различные свойства расширений Кона-Джордана исследованы в работах [11], [13], [14], [17].
Кольцо Я называется Р-первичным (см. [21]), если для любых его двух Р-идеалов I и J из условия и = 0 следует, что либо I = 0 либо J = 0. В статье используются понятия и обозначения введенные в работах [18] и [26].
Методы и объект исследования. Всюду далее через £ = Я[х,Е] обозначим расширение Оре, в котором умножение определено соотношением хг = Е (г) х, через 5= А(х,/) - кольцо
косых многочленов Лорана. Напомним, что идеал I кольца Я называется Р-инвариантным, если Е(I) с I (см. [12]), и называется Р-идеалом, если Е~1(!) = I (см. [11], [19], [27]).
Расширения Оре возникают из потребностей различных разделов математики, являются классическим объектом исследования и источником примеров в современной теории колец (см., например, [3], [8], [16], [25]). Расширения Оре могут быть использованы для математического моделирования функциональных схем (см. [1], [2], [32]). Значительный интерес представляет описание свойств расширений Оре над кольцами с различными условиями конечности (см. [3], [15]).
Цель статьи - дать описание расширенного центроида (см. [6], [10], [28], [30]) кольца 5 в том случае, когда кольцо Я является Р-первичным.
Через Q/ (А) и (А) обозначим соответственно Мартиндейловские левое и правое ^ кольца частных кольца А. Эти кольца введены в работе [18]. В статье также используются левое и правое максимальные (полные) кольца частных кольца А, которые мы обозначим через
Qm (А) и Qrm (А).
О
R >
£
R
m fi 4
9
8
и
у
а
s
а б
Через C(A) и Cr(A) обозначим соответственно центры максимального левого и правого колец частных кольца A; Cf (A) = {c е C (A)\f (c) = c} и
Cf (A) = {c е Cr (A) \ f (c) = c}. Буквами Г и Ф будет обозначать множества всех ненулевых F-инвариантных идеалов кольца R и всех ненулевых /-идеалов кольца A. Заметим, что для любого q е Qf (A) правый идеал I(q) = {r е R \ qr е R}
является плотным и содержит ненулевой f-идеал кольца A.
Методы работы с кольцами частных, используемые в данной статье, достаточно подробно описаны в монографиях [5] и [29]. Один из основных приемов состоит в следующем: если I -плотный правый идеал кольца R, a q и p - элементы максимального правого кольца частных кольца R, то из условия qr = pr для всех r е I следует, что q=p. Другим приемом является продолжение автоморфизма f на кольца частных Qm (A) и Qrm (A).
Замечание (см. лемму 1 [23]). Каждому ненулевому F-инвариантному идеалу I кольца R можно сопоставить ненулевые F-идеал I(R)=
U F(I) кольца R и f-идеал I(A)= U f ~n (I)
n=0 n=0
кольца A.
Можно было бы попытаться найти взаимосвязь между расширенными центроидами колец R[x,F] и A(x,f), исследуя взаимосвязь между
плотными правыми идеалами колец R и A, а также решетку F-замкнутых правых идеалов. Некоторые усилия в этом направлении были предприняты в статьях [20] и [22]. Однако этот подход оказался трудоемким и малопродуктивным.
Поэтому в предлагаемой работе авторы будут использовать вложение кольца Cf (A) в
кольцо частных Qrm (R).
Предварительные результаты. Предположим далее, что основное кольцо R является F-
первичным. ПустьCr(R) - центр его правого максимального кольца частных и CF - подкольцо кольца Cr(R), состоящее из всех элементов
p е Cr (R), для которых существует F-инвариантный идеал I кольца R такой, что pI с R и F(pr) = pF(r) для всех r е I.
Лемма 1. Следующие условия равносильны:
(1) кольцо R - F-первично;
(2) кольцо A - f-первично;
(3) для любых двух F-инвариантных идеалов I и J кольца R из условия IJ = 0 следует, что либо I = 0 либо J = 0.
Доказательство. (1)^(2). Пусть I и J - два /идеала кольца А таких, что и = 0. Предположим, что I Ф 0 и Л Ф 0. Тогда найдется целое положительное число п такое, что I п (Я) ф 0 и
3 п /-п (Я) ф 0 .
Отсюда I = (I п /-п (Я)) = I п Я ф 0 и = /п (3 п /-п (Я)) = 3 п Я ф 0. Заметим, что I и «Г - ненулевые Р-идеалы кольца Я такие,
что I «Г = 0, что противоречит условию (1). Следовательно, I = 0 или Л = 0.
(2)^(3). Пусть условие (3) не выполнено. Тогда существуют два ненулевых Р-инвариантных идеала I и Л кольца Я таких, что I Л = 0. Несложно проверить, что !(А)Л(А) = 0. Так как !(А) Ф 0 и Л(А) Ф 0, то условие (2) не выполнено.
(3)^(1). Тривиально, так как все Р-идеалы являются Р-инвариантными.
Альтернативное доказательство этой леммы может быть найдено в работе [23] (см. лемму 3 этой работы).
Лемма 2. Если 1,3 еГ, то Iп3 еГ .
Доказательство. Если 1,3 еГ, то и Ф 0 по лемме 1. Кроме того, и с I п3 .
Лемма 3. 1). Если д е С^(А), то множество
Б(д) = {ё е А | ёд е А} является /-идеалом в А.
2). Сг(А) = Z(А)).
3). Если Я=[^а] е Qf (А), где I еФ, то де Z(А)) в том и только том случае, когда а является гомоморфизмом А-бимодулей.
4). Кольца С^(А) и С^(А) изоморфны.
Доказательство. 1). Пусть а е А. Ясно, что условие ац е А равносильно условию /(ад) е /(А), то есть условию /(а)д е А. Следовательно, Б(д) является /-идеалом в А.
2). Как хорошо известно, С (А) = {с е Qm (А) I ас = са (У а е А)}. Поэтому утверждение 2) следует из утверждения 1).
3). Если а: I^ А является гомоморфизмом А-бимодулей и а е А , то уац = а(уа) = а(у)а = уца для всех элементов у е I. Следовательно, ая = Яа для всех элементов а е А. Отсюда следует, что я е Z (аг (А)).
Обратно, пусть де Z(А)). Тогда отображение а: 0(д) ^ А, а(ф = бя является гомоморфизмом А-бимодулей, причем 0(д) наибольший /идеал среди идеалов I е Ф со свойством qI с А.
4). Несложно проверить, что оба кольца С^ (А) и Сг (А) изоморфны подкольцу
{c е K | f (c) = c} прямого предела колец K = lim(Homa (л1 A, ЛАЛ):1 е Ф^)).
Лемма 4. Если q е Qf (A) и f(q) = q, то I(q) -
ненулевой правый F-идеал кольца R.
Доказательство. Рассмотрим ненулевой элемент a е A такой, что qa е A . Тогда по лемме 2 [23] получаем, что a е f ~n (R) и a = f ~n (s)
для некоторого целого положительного числа n и некоторого элемента s е R. При этом
qs = fn (qa) е R и, следовательно, s е 1 (q). Поэтому I(q) - правый F-идеал кольца R. Он является ненулевым, так как 0 ф s е 1 (q).
Предложение 1. Обозначим через T множество всех элементов p е Cr (A) для каждого из
которых существует F-идеал I (зависящий от элемента p) такой, что pi с R и pF(r) = F(pr) для всех r е 1:
T = {q е Qrf (A)| 31 еГ (qi с R)} .
Предположим, что IR (1 ) = 0 для всех 1 еГ. Тогда
1) T - кольцо и R с T с Qrf (A);
2) Cf (A) с T;
3) существует гомоморфизм колец P'T ^Qrm(R) такой, что ф(г) = r для всех r е R
4) Crf (A) n Kerp = 0;
5) p(crf (A) ) = Cf .
Доказательство. Утверждение 1) очевидно.
2). По предыдущей лемме I(q) будет ненулевым правым F-идеалом кольца R для любого
элемента c е Crf (A).
3) Как показано в §4.3 [5] идеал I является плотным правым идеалом тогда и только тогда, когда IR (1) = 0. Поэтому все идеалы 1 е Г -плотные правые идеалы. Пусть q е T и I - ненулевой F-идеал кольца R такой, что q1 с R . Тогда по определению кольца T отображение а: 1 ^ R, определенное для всех r из I равенством a(r) = qr, является гомоморфизмом правых R-модулей. Как показано в предложении 4.3.6 [5], существует
элемент максимального кольца частных q е Qrm такой, что qr = qr для всех элементов r е 1.
Рассмотрим отображение p: q ^ q. Докажем, что это отображение определено корректно. Пусть J - другой ненулевой F-идеал, для которого qJ с R и пусть p е Qm(R) - элемент такой, что для всех r е J . Тогда по лемме 2 1 n J е Г .
Кроме того, рг = дг = ¡¡г для всех г е Iпи и, следовательно, р = ¡¡.
Докажем теперь, что отображение ф является гомоморфизмом колец. Пусть р,д е Т ,
I, и еГ , причем qI с Я и рО с Я . Тогда и еГ, дг = р] е Я1 = и и
р( р)р(д)г = р( р)дг = рдг = р( рд)г для любого г = I] е и где I е I и ] е и . Таким образом, р( р)р(д) = р( рд). Аналогично, из соотношения (рр(р ± д)-(р(р) ±р(д))) I п и = 0 следует, что р(р±д) = р(р)±р(д), поскольку Iпи еГ .
4). Пусть с е Сг/- (А) п Кет р. Тогда cI = 0 и а с Я для некоторого I еГ. Тогда
да
|(А)= у /-п (I) еф п=0
с/-п(I) = /-пс) = 0 . Поэтому с/А) = 0 и, следовательно, с = 0.
5). Пусть с е Сг/ (А), I еГ и а с Я. Заметим, что р(с)Е(г) = р(с ■ /(г)) = р(/(с)/(г)) для всех г е I, поскольку Е(г) = /(г) е I и р(/(г)) = /(г), ведь отображение ф действует на Я тождественно. Кроме того, р(/(с)/(г)) = /(сг) = Е(р(с)г). Отсюда, р(с)Е(г) = Е(р(с)г). Таким образом, р(С} (А)) с Се .
Докажем обратное включение. Пусть 5 е Ср и I - ненулевой Р-инвариантный идеал кольца Я такой, что яЕ(г) = Е(яг) е Я для всех г е I. По
и,
кроме
того,
лемме
1 [23] идеал J = у f n(1) еФ является
n=0
Р-идеалом кольца А. Несложно доказать, что отображение у:и ^А такое, что
у(/-п(г)) = /-п(яг) для всех г е I и всех целых неотрицательных чисел п, является корректно определенным гомоморфизмом А-бимодулей. В силу леммы 3 существует элемент с е С\} (А)
такой, что са = у(а) для всех а е и. Непосредственно проверяется, что сг = вг для всех элементов г е I. Поэтому ф(с) = 5.
Следствие 1. Если IЯ (I) = 0 для всех I еГ, то кольцо СР изоморфно кольцу Сг/(А).
Доказательство. Это утверждение непосредственно следует из пунктов 3), 4) и 5) предложения 1.
Основные результаты. Для эндоморфизма Р существуют две логически взаимоисключающих друг друга возможности:
0
55 >
£
55 П П 1
9
8
и
у
а
г
*
а б
(I) существуют положительное целое числа т, элемент w е Qrm (Я) и ненулевой Р-идеал I кольца Я такие, что тг = Р"(3)т для всех г е Я и Р(тг) = тР(г) для всех г е I;
(II) условие (I) не выполнено.
Теорема 1. Пусть д - ненулевой элемент кольца Qr/(А) такой, что д/(а) = ад для всех элементов а е А . Тогда д - обратим элемент в Q'/(А), порождающий автоморфизм / (в том смысле, что / (а) = дад-1 для всех элементов а е А).
Данная теорема является правосторонней версией теоремы 3 работы [21].
Теорема 2. Предположим, что IЯ (I) = 0 для
всех I еГ. Тогда условие (I) эквивалентно следующему условию:
(III) существуют положительное целое числа т и обратимый элемент V е Q/ (А) такие, что /(V)
= V и автоморфизм /т является внутренним
автоморфизмом кольца Q/(А) определенным
элементом V.
Доказательство. (¡)^(Ш). Пусть т, т и I взяты из условия (I). В силу замечания в начале
статьи, 3 = у /-п(I) еФ . Рассмотрим отобра-
п>0
жение а: 3 ^ А, определяемое соотношением
а(/-п(г)) = /~п^г) для всех п > 0 и всех элементов г е I. Это отображение корректно определено, поскольку
/-п-к ^/к (г)) = /-п-к (Fk (wr)) = /-п ^г) для всех чисел п,к> 0 .
Для доказательства, что а - гомоморфизм правых А-модулей, возьмем произвольные
элементы вида а = /~п (г) е 3 , где г е I и
Ь = /~п(¿) е А , где 5 е А. Утверждение следует из цепочки равенств
а(аЬ)Ь = /-п(wrs) = /-п(wr)Ь = а(а)Ь . По
предложению 1 [21] существует элемент бе Qr/(А) такой, что ёа = а(а) для всех а е 3.
Пусть а = /~п (г) е 3 , где г е I. Тогда
/ (а) = /-п (у>/ (г)) = /~п (/ (wr)) = / (ёа) = /(ё)/(а). Так как /(3) = 3, то (ё-/(ё)) 3 = 0 и, следовательно, /(б) = б.
Пусть снова а = /~п(г) е 3 , где г е I, и Ь = /~п (5) е А , где 5 е А. Тогда
Ла = = wsr = Рт (= Рт (5)ёг .Следовател ьно,
ёЬа = /-п (5 )й/) = /т (/-п (5))/-п (ё)/-п (г) = /т (Ъ)йа . Поэтому (йЬ-/т (Ъ)й)3 = 0 для всех Ь е А . По предложению 1 [20] отсюда вытекает, что ёЬ = /т (Ь)ё для всех Ь е А . По теореме 1 элемент б обратим в кольце Q/(А), причем
/ (а) = дад-1 (У а е А). Для доказательства импликации осталось заметить, что условие (III) выполняется для элемента V = ё-1.
(III) ^0). Пусть V- инвариантный относительно автоморфизма / элемент кольца Q/(А) такой,
что/т(д) = V-1qv для всех д е Qr/(А). Докажем, что V еТ. По лемме 4 правый идеал I = {г е Я | дг е Я} является правым Р-идеалом в
кольце Я Умножив равенство V-1qv = /т(д) на
-1
элемент V справа, получаем, что
V- 1д = /т (д^-1 для всех д е Qr/ (А). Отсюда
следует, что V- 1Ш = /т (Я^- 1I с Я и, следовательно, Я с I по определению правого идеала
I. Таким образом, I еГ и V 1 е Т .
Положим
w = ф(у 1) .
Тогда
wr = (р(у 1/) = ср(/т (/)V ^ = Ет (/^ 1, поскольку ФЯ = . Для завершения доказательства оста-
лось
заметить,
что
Ет ) = /т {V-1/) = V-1 /т (/) = wFm (/) для всех г е I.
Определение. Если соотношение щ) = £^п (I)) справедливо для всех Р-инвариантных идеалов I кольца Я и всех натуральных чисел п, то говорят, что выполнено условие Р-устойчивости на левые аннуляторы кольца Я.
Это условие является более слабым условием конечности по сравнению с условием обрыва возрастающих цепочек левых аннуляторов.
Теорема 3. Пусть Я - Р-первичное кольцо. Предположим, что кольцо Я удовлетворяет условию Р-устойчивости на левые аннуляторы. Тогда кольца Я[х, Р], А(х,/), являются первичным и СР- поле. Более того,
в случае (I) расширенный центроид С(Я[х, Р]) кольца Я[х, Р] изоморфен полю рациональных функций СР(у);
в случае (II) расширенный центроид С(Я[х, Р]) кольца Я[х, Р] изоморфен полю СР.
Доказательство. По теореме 1 [23] расширенные центроиды колец Я[х, Р] и А{х,/) изоморфны. Кроме того, так как кольцо Я является
Р-первичным, то в силу леммы 1 кольцо А является /-первичным. Поэтому возможно использование результатов работы [18] и описание расширенного центроида кольца Я[х, Р] получается из структуры расширенного центроида кольца А(^х,/), полученной в работе [18]. Отметим, что
по теореме 2 [21] кольца С/ (А) и Сг/ (А) изоморфны (поэтому в работе [18] для них использовано обозначение С). Теорема 1 [18] утверждает, что Сг/(А) является полем и что при выполнении условия (Ш) расширенный центроид кольца А(х,/) изоморфен полю рациональных
функций Сг(А)(у). Если же условие 0И) не выполнено, то по той же теореме расширенный центроид кольца А(х, /) изоморфен полю
С/ (А).
Условие (Ш) по теореме 2 равносильно условию 0), а невыполнение условия (Ш) равносильно выполнению условия (и).
По теореме 2 [23] расширение Оре Я[х, Р] является первичным кольцом и, следовательно, центр его максимального правого кольца частных является расширенным центроидом кольца Я[х, Р]. Кроме того, по теореме 2 [23] из условия Р-устойчивости на левые аннуляторы следует, что £„ (/ ) = 0 для всех идеалов IеГ. Поэтому используя следствие 1 заключаем, что поля СР и
С/(А) изоморфны, что завершает доказательство теоремы.
Результаты данной работы могут быть использованы в преподавании линейной алгебры, прикладной математики, методов оптимизации, теории систем и системного анализа в системе бакалавриата и магистратуре (см [4], [9], [24]).
Литература
1. Выборнова И.И., Выборнов А.Н., Мушруб В.А. Математическое моделирование влияния стохастических рацемизирующих воздействий на хиральную чистоту биосферы // В книге: "Качество жизни населения и экология". Министерство образования и науки Российской Федерации, Пензенский государственный университет, Пензенский государственный университет архитектуры и строительства, Пензенская государственная сельскохозяйственная академия, Межотраслевой научно-информационный центр Пензенской государственной сельскохозяйственной академии. Пенза, 2014. С. 176-188.
2. Выборнова И. И. , Фомин Г. П. Методы моделирования экономических процессов. - М.: монография. Издательство ФГБОУ ВО "РЭУ им. Г.В.Плеханова", 2016. - 40 с.
3. Кряквин В.Д. Об ограниченности и нетеро-вости псевдодифференциальных операторов в весовых пространствах Гёльдера//Известия высших учебных заведений. Математика. 1983. № 12.С. 71.
4. Кряквин В.Д. Линейная алгебра в задачах и упражнениях. Москва, 2007. (2-е издание, исправленное и дополненное)
5. Ламбек И. Кольца и модули, пер. с англ. М., «Факториал», 2005.
6. Мочалина Е.П. Об одном критерии аналитической продолжимости функции СС отрезка // Успехи математических наук. 2003. Т.58, №6. С. 161-162.
7. Мочалина Е.П. Аналитическая продолжимость функций и рациональные приближения в некоторых пространствах//диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, 2006, 105 стр.
8. Мочалина Е.П., Вячеславов Н.С. Рациональные приближения функций типа Маркова-Стилтьеса в пространствах Харди НР, 0<р< «//Вестник Московского университета. Серия 1: математика. Механика. 2008, №4. С. 3-13
9. Мочалина Е.П., Иванкова Г.В., Маслякова И.Н., Татарников О.В. Совместное оценивание уровня подготовки и сложности зада-ния//Образование, наука и экономика в вузах и школах. интеграция в международное образовательное пространство. Труды международной научной конференции. 2015. С 147-152.
10. Мушруб В. А.. Расширенный центроид кольца косых многочленов// Успехи математических наук . 1997 . Т. 52, №2(314) . С. 147-148.
11. Мушруб В. А. О нильпотентности подко-лец косых групповых колец// Фундаментальная и прикладная математика. 1996. Т. 2, № 4. С. 1227-1233.
12. Мушруб В. А. Критерий полупростоты кольца косых многочленов// Фундаментальная и прикладная математика. 1995. Т. 1, № 3. С. 701709.
13. Мушруб В. А. О классическом кольце частных расширений Кона-Жордана // Успехи математических наук . 1992 . Т. 47, №6(288) . С. 201-202.
14. Мушруб В. А. О гипотезе Херстейна // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. 1992. № 3. С. 62-64.
15. Мушруб В. А. Относительная нильпотентность левых идеалов // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. 1992. № 6. С. 50-52.
16. Мушруб В.А. Эндоморфизмы и радикалы колец: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. М., 1992. 11 с.
17. Мушруб В.А. Эндоморфизмы и радикалы колец: дис. канд. физ-мат. наук. М., 1992. 158 с.
О
55 >
£
55
РЧ
п 1
9
8
и
у
а
s
а б
18. Мушруб В.А., Максимов Д.А., Фадеева Л.Л. O расширенном центроиде кольца косых многочленов с автоморфизмом// Инновации и инвестиции. 2016. № 5. С. 175-179.
19. Мушруб В.А., Сухорукова И.В., Беляев А.А., Павловский В.В. Об инвариантности строго наследственных радикалов относительно эндоморфизмов// Инновации и инвестиции. 2016. № 4. С. 150-154.
20. Мушруб В.А., Сухорукова И.В., Мочалина Е.П., Иванкова Г.В. Некоторые свойства решетки /-замкнутых правых идеалов// Theoretical & Applied Science. 2017. № 7 (51). С. 103-106.
21. Мушруб В.А., Сухорукова И.В., Мочалина Е.П., Иванкова Г.В. О F-первичных кольцах и их кольцах частных//Theoretical & Applied Science. 2017. № 7 (51). С. 107-110.
22. Мушруб В. А., Выборнова И.И., Иванкова Г.В., Мочалина Е.П. Биективные расширения энодоморфизмов и существенные правые идеалы // Информационные технологии естественных и математических наук. Сборник научных трудов по итогам IV международной научно-практической конференции / Инновационный центр развития образования и науки. 2017. Выпуск IV.
23. Мушруб В. А., Выборнова И.И., Иванкова Г.В., Мочалина Е.П. О некоторых свойствах расширений Оре // Информационные технологии естественных и математических наук. Сборник научных трудов по итогам IV международной научно-практической конференции / Инновационный центр развития образования и науки. 2017. Выпуск IV.
24. Мушруб В.А., Максименко М.Н., Выборнова И.И., Фадеева Л.Л. Алгоритмический подход к преподаванию теории графов//Инновации и инвестиции. 2016. № 6. С. 202-208.
25. Мушруб В.А. О размерности Голди расширений Оре со многими переменными // Фундаментальная и прикладная математика. 2001. Т. 7, № 4. С. 1107-1121.
26. Пчелинцев С.В., Гришин А.В., Красильни-ков А.Н., Мушруб В.А. Тождества алгебраических объектов//отчет о НИР № 97-01-00785 (Российский фонд фундаментальных исследований)
27. Сухорукова И., Мушруб В. The Jacobson radical and ring endomorphisms // Уральский научный вестник. 2016. Т. 4. С. 155-164.
28. Beidar, K. I., Martindale III, W. S. and Mikhalev, A.V. Rings with Generalized Identities. New York: Marcel Dekker, Inc., 1996.
29. Mushrub V.A. Extended Centroid of Ore Extensions and Injective Ring Endomorphisms// First International Tainan-Moscow Algebra Workshop: proceedings of the international conference held at National Cheng Kung University, Tainan, Taiwan, Republic of China, July 23-August
22, 1994. Berlin; New York: Walter de Gruyter,
1996. P. 265-281.
30. Mushrub V.A. Extended centroid of a ring of skew polynomials // Russian Mathematical Surveys.
1997. Volume 52, Number 2. P. 414-415.
31. Mushrub V.A. On the classical ring of quotients of Cohn-Jordan extensions Russian Mathematical Surveys. 1992. Volume 47, Number 6. P. 228
32. Vybornova I.I., Sukhorukova I.V., Vybornov A.N. Mathematical model of effects on living organisms in the biosphere negative anthropogenic stochastic factors//International Journal of Professional Science. 2017. № 4. C. 6-21.
On the centroid of Ore extensions
Mushrub V.A., Ivankova G.V., Mochalina E.P., Sobolev V.N.
Plekhanov University of Economics, Lomonosov Moscow State University
Throughout this paper all rings are associative and contain a unity. Main results of the present paper are theorems 2 and 3. The notion of ring of quotients elaborated by Y. Utumi and C. Faith is essentially used in the proof of these statements. Let R be a ring, Cr(R) be the center of its maximal rings of quotients and R[x; F] be Ore extension by an injective endomorphism F. The aim of this paper is to describe the structure of the extended centroid of Ore extensions of the form R[x; F]. In the case under consideration we face some difficulties. For instance there is no reasonable way of extending F to the maximal ring of quotients of R and the skew Laurent polynomial ring R[x, x- , F] does not exist. In order to surmount these difficulties we will use the construction of minimal overring A(R, F) to which endomorphim F extends as an automorphism. F If R is F-prime and satisfies the stability condition on left annihilators, we show (see Theorem 3) that the extended centroid of R[x; F] is isomorphic to either the field CF or to the field CF(y), where CF is some special subring of Cr(R). This generalizes the result obtained earlier obtained for Ore extensions of automorphism type. Note that, under the conditions of Theorem 3, the Ore extension is a prime ring. Keywords: associative rings; rings of quotients; of prime rings. References
1. Vybornova 1.1., Vybornov A.N., Mushrub V.A. . Matematicheskoye modelirovaniye vliyaniya stokhasticheskikh ratsemiziruyushchikh vozdeystviy na khiral'nuyu chistotu biosfery // In the book: "Kachestvo zhizni naseleniya i ekologiya". Ministry of Education and Science of the Russian Federation, Penza State University, Penza State University of Architecture and Construction, Penza State Agricultural Academy, Interindustry Scientific Information Center of the Penza State Agricultural Academy. Penza, 2014. p. 176-188.
2. Vybornova I.I., Fomin G. P. Metody modelirovaniya ekonomicheskikh protsessov. - Moscow: monograph. Publishing office Plekhanov Russian University, 2016. -40 pp.
3. Kryakvin V.D. Ob ogranichennosti i neterovosti psevdodifferentsial'nykh operatorov v vesovykh prostranstvakh Gol'dera // Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika. (Russian Mathematics. Izvestiya VUZ. Matematika). 1983. No. 12. P. 71.
4. Kryakvin V.D. Lineynaya algebra v zadachakh i uprazhneniyakh. (Linear Algebra in Problems and Exercises). Moscow, 2007. 2nd edition, revised and enlarged.
5. Lambek J. Lectures on Rings and Modules. American Mathematical Soc., AMS Chelsea Publishing Series (Vol. 283). 2009 - 187pp, 2005
6. Mochalina E.P. On a criterion for the analytic continuation of
the function CC of an interval // Uspekhi matematicheskih nauk. 2003. V.58, No 6. P. 161-162.
7. Mochalina E.P. Analytic continuity of functions and rational
approximations in some spaces: Thesis for obtaining the scientific degree of Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Moscow. 2006, 105 p.
8. Mochalina E.P., Vyacheslavov N.S. Rational approximation of
functions of Markov-Stieltjes type in Hardy spaces HP, 0 <p< ~ // Bulletin of Moscow University. Series 1: Mathematics. Mechanics. 2008, №4. p. 3-13
9. Mochalina E.P., Ivankova G.V., Maslyakova I.N., Tatarnikov
O.V. Joint assessment of the level of preparation and complexity of the assignment // Education, science and economics in universities and schools. integration into the international educational space. Proceedings of the International Scientific Conference. - 2015. P. 147-152.
10. Mushrub V.A. Extended centroid of a skew polynomial ring//Uspekhi matematicheskih nauk . 1997. V. 52, No2(314). P. 147-148.
11. Mushrub V. A. On the nilpotency of subrings of skew group rings // Fundamental'naya i prikladnaya matematika (Fundamental and applied mathematics). 1996. Volume 2, Issue 4. P. 1227-1233.
12. Mushrub V. A. Criteria of semisimplicity of skew polynomial ring // Fundamental'naya i prikladnaya matematika (Fundamental and applied mathematics). 1995. Volume 1, Issue 3. P. 701-709.
13. Mushrub V. A. On classical ring of quotients of Cohn-Jordan extension// Uspekhi matematicheskih nauk. 1992 . T. 47, No 6(288) . P. 201-202.
14. Mushrub V. A. On the Herstein hypothesis // Moscow University Mathematics Bulletin. 1992. No 3. p. 62-64.
15. Mushrub V. A. On relative nilpotency of left ideals// Moscow University Mathematics Bulletin. 1992. No 6. p. 50-52.
16. Mushrub V.A. Endomorphisms and radicals of the rings: thesis of Ph.D. Dissertation (Avtoreferat dissertacii na soiskanie uchenoj stepeni kandidata fiziko-matematicheskih nauk). Moscow, 1992. 11 p.
17. Mushrub V.A. Endomorphisms and radicals of the rings: thesis of Ph.D. Dissertation (Avtoreferat dissertacii na soiskanie uchenoj stepeni kandidata fiziko-matematicheskih nauk). Moscow, 1992. 158 p.
18. Mushrub V.A., Maksimov D.A., Fadeeva L.L. On exended centroid of a skew polynomial ring with an automorphism// Innovations and investments (Innovacii i investicii). 2016. No 5. P. 175-179.
19. Mushrub V.A., Sukhorukova I.V., Beliaev A.A., Pavlovskij V.V. On the invariance of strictly hereditary radicals with respect to endomorphisms// Innovations and Investments (Innovacii i investicii). 2016. No4. P. 150-154.
20. Mushrub V.A., Sukhorukova I.V., Mochalina E.P., Ivankova G.V. Some properties of the lattice of f-closed right ideals // Theoretical & Applied Science. 2017. No. 7 (51). P. 103-106.
21. Mushrub V.A., Sukhorukova IV, Mochalina E.P., Ivankova G.V. on F-prime rings and their F-rings of quotients // Theoretical & Applied Science. 2017. No. 7 (51). P. 107-110.
22. Mushrub V.A., Vybornova I.I., Ivankova G.V., Mochalina E.P. Biyektivnyye rasshireniya enodomorfizmov i sushchestvennyye pravyye idealy // Informatsionnyye tekhnologii yestestvennykh i matematicheskikh nauk. Sbornik nauchnykh trudov po itogam IV mezhdunarodnoy nauchno-prakticheskoy konferentsii / Innovatsionnyy tsentr razvitiya obrazovaniya i nauki. 2017. Issue IV.
23. Mushrub VA, Vybornov II, Ivankova GV, Mochalina E,P. O nekotorykh svoystvakh rasshireniy Ore // Informatsionnyye tekhnologii yestestvennykh i matematicheskikh nauk. Sbornik nauchnykh trudov po itogam IV mezhdunarodnoy nauchno-prakticheskoy konferentsii / Innovatsionnyy tsentr razvitiya obrazovaniya i nauki. 2017. Issue IV.
24. Mushrub VA, Maksimenko MN, Vybornova II, Fadeeva LL Algorithmic approach to the teaching of graph theory // Innovations and investments. 2016. No. 6. P. 202-208.
25. V. A. Mushrub. On the uniform dimension of skew polynomial rings in many variables// Fundamental'naya i prikladnaya matematika (Fundamental and applied mathematics). 2001. Vol. 7, Issue 4. P. 1107-1121.
26. Pchelincev S.V., Grishin A.V., Krasil'nikov A.N., Mushrub V.A. "Identities of Algebraic Objects", research report №9701-00785. Russian Foundation for Basic Research ("Tozhdestva algebraicheskih ob'ektov", otchet o NIR #9701-00785. Rossiyskiy fond fundamentalnyih issledovaniy)
26. Sukhorukova I.V., Mushrub V.A. The Jacobson radical and ring endomorphisms // Ural scientific Bulletin 2016. T. 4., P. 155-164.
27. Beidar, K. I., Martindale III, W. S. and Mikhalev, A.V. Rings with Generalized Identities. New York: Marcel Dekker, Inc., 1996.
28. Mushrub V.A. Extended Centroid of Ore Extensions and Injective Ring Endomorphisms// First International Tainan-Moscow Algebra Workshop: proceedings of the international conference held at National Cheng Kung University, Tainan, Taiwan, Republic of China, July 23-August 22, 1994. Berlin; New York:Walter de Gruyter, 1996. P. 265-281.
29. Mushrub V.A. Extended centroid of a ring of skew polynomials // Russian Mathematical Surveys. 1997. Volume 52, Number 2. P. 414-415.
30. Mushrub V.A. On the classical ring of quotients of CohnJordan extensions Russian Mathematical Surveys. 1992. Volume 47, Number 6. P. 228
31. Vybornova 1.1., Sukhorukova I.V., Vybornov A.N. Mathematical model of effects on living organisms in the biosphere negative anthropogenic stochastic factors//International Journal of Professional Science. 2017. No 4. P. 6-21.
О
R >
£
R
n
1
9
8
