CC BY
8О расширенном центроиде кольца косых многочленов с автоморфизмом
Мушруб Владимир Александрович,
канд. физико-математических. наук., доцент кафедры экономико-математических методов, Российский экономический университет им. Г.В. Плеханова, mushrub@yandex.ru
Максимов Денис Алексеевич,
канд. экон. наук, доцент кафедры экономико-математических методов, Российский экономический университет им. Г.В. Плеханова, Maksimov.DA@rea.ru
Фадеева Лидия Леонидовна,
старший преподаватель кафедры высшей математики, Российский экономический университет им. Г.В. Плеханова, kafedra_vm@mail.ru
Данная работа посвящена изучению колец косых многочленов. Кольца косых многочленов является одним из классических объектов исследования в теории колец (см. [2, 3, 17, 18]). Точнее говоря, целью настоящей работы является описание расширенного центроида [1] колец косых многочленов над ^первичным кольцом. Все кольца предполагаются ассоциативными с единицей. Некоторым аспектам проблемы рассматриваемой в данной статье посвящены работы [11, 12]. Предлагаемая работа во многом мотивирована предыдущими исследованиями авторов [7, 19].
Основным результатом настоящей работы является Теорема 1, которая утверждает, что расширенный центроид кольца косых многочленов либо является полем инвариантных элементов левого Мартиндейловского ^кольца частных, либо изоморфен полю рациональных функций над предыдущем полем.
Важными дополнительными результатами работы служат предложение 2, которое устанавливает, что расширенные центроиды кольца косых многочленов и кольца косых многочленов Лорана совпадают, и лемма 2, в которой построен внутренний автоморфизм левого Мартиндейловского ^кольца частных.
В доказательстве использована стандартная техника работы с кольцами частных и методы, разработанные в статьях [5] и [6]. Ключевые слова: ассоциативные кольца; кольца частных; расширенный центроид.
Пусть й - ассоциативное кольцо. Прежде
всего уточним понятие расширенного центроида. Введем следующие обозначения: .©(й) -
полное левое кольцо частных (см. [1]) кольца й;
= {■: Е ! = ?ч" для всех
Г Е /?}; £Г(й) - полное правое кольцо частных кольца Я; <ГЧй) = {с Е Ог(Д) \ ст = тс для всех г Е й^. Если <ЗГ(й) = ^(й) , то кольцо (£(й) называют расширенным центроидом кольца й.
Пусть А - ассоциативное /-первичное кольцо (см. [13]), где f - автоморфизм кольца А.
Ниже приведен список используемых в статье обозначений:
От — ^'г'-Л) - левое мартиндейловское
/-кольцо частных (см. [13]) кольца А;
подкольцо расширенного центроида, образованное всеми инвариантными относительно автоморфизма / элементами; в случае /-первичного кольца А это подкольцо совпадает с кольцом [с Е ЗДГ) : /03 = с}, где ¿((¿г) -центр /-кольца частных.
Я' = ,4';.";, /: - кольцо косых многочленов Лорана над кольцом А такое, что хпа _ рцф* (Ус Е Л Уг ЕЖ);
О В I» £
55 П П Н
о ы
а
а
«
а б
0~ = - кольцо косых многочленов
Лорана над кольцом \лZ - центр этого кольца;
Подробное описание конструкции Мартин-дейловских колец частных можно найти в §2.3 монографии [23]. Там же описана конструкция расширенного центроида. Расшинному центроиду посвящены также работы [1] и [7]. Сведения о кольцах косых многочленов содержатся, например, в работах [9] и [10].
Предложение 1. Пусть В - кольцо, О - множество левых делителей в В и О-1 В - классическое левое кольцо частных (см. [4] и [8]) кольца В относительно множества Д. Тогда существует инъективный гомоморфизм колец г: В~1Б -* такой, что г(&) = Ь и
г-Ил —
1Ь) = 1Ь для всех Ь £ В и й е £>.
Доказательство этого предложения аналогично доказательству предложений 4.3.8 и 4.6.1 монографии [22].
Мы будем отождествлять соответствующие элементы классического и полного колец частных.
Далее будут использованы понятия, введенные в работах [14] и [16].
Предложение 2. Расширенный центроид кольца косых многочленов Л [ж,/] равен расширенному центроиду кольца косых многочленов Лорана А{х, /} и равен
Доказательство. Легко видеть, что множество = > 0| является множеством левых делителей в кольце А[х, /] и кольцо является его классическим левым кольцом частных относительно множества Применяя предложение 1, получаем вложение £-1Л[Х/] чЯ^Д^,/}) Используя лемму 4
[20] получаем, что <£(А[х,/Т) = <£(Л*), где . Трудность состоит в том, что кольцо А[х, может оказаться не первичным. Используем тот факт, что элементы £ а^х}
кольца А\х^\ могут быть записаны в виде .
Заметим, что ^ - множество правых делителей в кольце А[х, /]. Причем классическим
правым кольцом частных будет то же самое кольцо А* = А{х,/'}. Так как кольцо А* первично, то центры правого и левого полных колец частных кольца А*
кольца А совпадают:
<2? (Л*) = <£(Л*). Поэтому является
расширеннным цетроидом кольца А*. Применяя правостороннюю версии предложения 1 и леммы 4 [20], получаем, что Й^ХЛСк,/]) = Таким образом, оба
кольца и <1Т{А[х, /"]) совпадают с
кольцом (ЦЛ*1) и, следовательно, расширенный центроид кольца Л[х, /] изоморфен Ф^Л*). По теореме 1 [21] справедливо равенство
Лемма 1. Пусть к = а^х1 £ Тогда для каждого номера I такого, что ш < £ <те
справедливы следующие утверждения:
0) = и поэтому все элементы а^
лежат в кольце Qf.
(2) если щ Ф 0 при I Ф 0, то щ - обрати-
мый
элемент кольца и /¿((у) =
Ус-ЧОгУ,
(3) с^х* Е%.
Доказательство. Утверждение (1) следует из равенства хк = кх, означающего, что
(2). Из условия, что К £ % следует, что
для любого
Ь £ (¿р. Поэтому I&а£ = и по теореме 1
работы [15] элемент щ обладает обратным в кольце Qf и fi - внутренний автоморфизм кольца порожденный элементом
(3). Если а£ =0, то утверждение (3) тривиально. Если же а^ Ф 0, то
, так как о^ коммутирует с переменной х вследствие (1).
Рассмотрим две взаимоисключающих возможности:
Случай 1: автоморфизм не является
внутренним автоморфизмом (см. [15]) кольца ни при каком целом положительном показателе к.
Случай 2: автоморфизм fK является внутренним автоморфизмом кольца ^ для некоторого целого числа к.
Символом а^ будем обозначать внутренний автоморфизм <т¥: t »-» q~1tq.
Лемма 2. Если % £ то существует наименьшее положительное число Ш, для которого автоморфизм /™ будет внутренним автоморфизмом, порожденным /-инвариантным элементом кольца (¿р.
Доказательство. Если % £ 0;^, то, как показывает пункт (2) леммы 1, имеет место случай 2. Не теряя общности, можно считать, что к > 0.
Пусть/к = где $ Е (¿р. Проблема состоит в том, что f{q) может не совпадать с д, и нужно сконструировать другой, /-инвариантный, элемент й, определяющий некоторую степень автоморфизма / как внутренний автоморфизм. Положим = /'(<?) при £ Ф О. В этих обозначениях для любого и имеем:
.
Поэтому для любого целого I Ф 0 автоморфизм .,- " является внутренним, порожденным элементом Теперь положим с1 = и заметим, что = = при
£ < к - 1 и /(Лй-а) = /«• /й-1(<?) = я■ Отсюда следует, что
№ = Пчжчг)" Я:<7*-1) = 41 - =Ч-Чц = Г-Ы] = А
. Осталось заметить, что Од =
Предложение 3. (1). В случае 1 справедливо равенство # = С^
(2). В случае 2 справедливо равенство ? = , где у = их™, т. - наименьшее целое положительное число т., для которого автоморфизм /т будет внутренним автоморфизмом, порожденным /-инвариантным элементом кольца и - /-инвариантный элемент кольца , для которого =
Доказательство. (1). Если % $ то, как
показывает пункт (2) леммы 1, имеет место случай 2. Следовательно, в случае 1 выполнено включение % Я. (¿р. По пункту (1) леммы 1
/(а) = а для всякого элемент аЕ%, Поэтому С Я С-. Обратное включение очевидно.
(2). По лемме 1 моном щ™ является в кольце % полиномом наименьшей положительной степени. Пусть к Е Лемма 1(3)
показывает, что щ?с* Е % для
всех
; = 5, ^ — ......;";. Возьмем какое-либо число
£ = & -+-1,..., п и разделим его на 771 с остатком: I = йтг + г, где £ и г - целые числа, причем 0 < г < 571. Тогда из перестановочности и их вытекает, что
= ЕС. В силу мини-
0 В I» £
В т П Н
о ы
а
s
«
а б
мальности числа 171 получаем, что т = 0. Отсюда по лемме 1 С££"ы-!: Е С^ и, следовательно,
.
Теорема 1. Пусть А - ассоциативное кольцо и / - автоморфизм кольца А. Предположим, что кольцо А - /-первично и обозначим через (¿р его левое мартиндейловское /-кольцо частных. Тогда расширенный центроид <£{А[х, /]) кольца А[х, /] равен расширенному центроиду кольца А{х, /) и изоморфен полю частных где % - центр кольца (¿¿{х^}. Более
того,
(1) если автоморфизм ^ не является внутренним автоморфизмом кольца ни при каком кЕЪ то*(А|лЯ) =СГ;
(2) автоморфизм fk является внутренним автоморфизмом кольца для некоторого целого числа к, то <£(Л[х,/]) = где
- поле рациональных функций над полем Су,
у = ихпъ и Ш взяты из предложения 3.
Доказательство. Теорема непосредственно следует из предложений 1 и 3.
В заключение отметим, что данная работа в значительной мере мотивирована работой [7] и является ее продолжением.
Литература
1. Мушруб В. А.. Расширенный центроид кольца косых многочленов//
Успехи математических наук . 1997 . Т. 52, №2(314) . С. 147-148.
2. Мушруб В. А. О нильпотентности подколец косых групповых колец// Фундаментальная и прикладная математика. 1996. -Т. 2, № 4. С. 1227-1233.
3. Мушруб В. А. Критерий полупростоты кольца косых многочленов// Фундаментальная и прикладная математика. 1995. -Т. 1, № 3. С. 701-709.
4. О классическом кольце частных расширений Кона-Жордана // Успехи математических наук . 1992 . Т. 47, №6(288) . С. 201-202.
5. Мушруб В. А. О гипотезе Херстейна // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. 1992. № 3. C. 62-64.
6. Мушруб В. А. Относительная нильпотентность левых идеалов // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. 1992. № 6. C. 50-52.
7. Mushrub V.A. Extended centroid of a ring of skew polynomials // Russian Mathematical Surveys. 1997. Volume 52, Number 2. P. 414-415.
8. Mushrub V.A. On the classical ring of quotients of Cohn-Jordan extensions Russian Mathematical Surveys. 1992. Volume 47, Number 6. P. 228
9. Мушруб В.А. Эндоморфизмы и радикалы колец: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. М., 1992. 11 с.
10. Мушруб В.А. Эндоморфизмы и радикалы колец: дис. канд. физ-мат. наук. М., 1992. 158 с.
11. Мушруб В.А., Сухорукова И.В., Беляев А.А., Павловский В.В. Об инвариантности строго наследственных радикалов относительно эндоморфизмов// Инновации и инвестиции. 2016. № 4. С. 150-154.
12. Мушруб В.А., Сухорукова И.В. О решетке f-замкнутых правых идеалов // Естественные и математические науки в современном мире. 2016 - № 7 (42) - С. 118-125.
13. Мушруб В. А., Иванкова Г. В., Мочалина Е. П. О свойствах f-колец частных первичных колец // Наука вчера, сегодня, завтра. 2016. № 7 (29). -С. 20-26.
14. Мушруб В.А., Иванкова Г.В., Мочалина Е.П. О существенных правых идеалах расширения Кона-Джордана // Наука вчера, сегодня, завтра. 2016. № 7 (29). С. 26-33.
15. Мушруб В. А., Иванкова Г. В., Мочалина Е. П. О внутренних автоморфизмах f-колец частных // Естественные и математические науки в современном мире. 2016. № 8 (43) . С. 62-68.
16. Сухорукова И., Мушруб В. The Jacobson radical and ring endomorphisms // Уральский научный вестник. 2016. Т. 4. С. 155-164.
17. Мушруб В.А. О размерности Голди расширений оре со многими переменными // Фундаментальная и прикладная математика. 2001.-Т. 7, № 4. С. 1107-1121.
18. Пчелинцев С.В., Гришин А.В., Красильни-ков А.Н., Мушруб В.А. Тождества алгебраических объектов//отчет о НИР № 97-01-00785 (Российский фонд фундаментальных исследований)
19. Mushrub V.A. Extended Centroid of Ore Extensions and Injective Ring Endomorphisms// First International Tainan-Moscow Algebra Workshop: proceedings of the international conference held at
National Cheng Kung University, Tainan, Taiwan, Republic of China, July 23-August 22, 1994. Berlin; New York: Walter de Gruyter, 1996. P. 265-281.
20. Выборнова И.И., Иванкова Г.В., Мочалина Е.П. О свойствах расширенного центроида расширений Оре// Наука вчера, сегодня, завтра. 2016. № 8-1 (30). С. 27-31.
21. Выборнова И.И., Иванкова Г.В., Мочалина Е.П. Строение расширенного центроида колец косых многочленов // Наука вчера, сегодня, завтра. 2016. № 8-1 (30). С. 31-36.
22. Ламбек И. Кольца и модули, пер. с англ. М., «Факториал», 2005.
23. Beidar, K. I., Martindale III, W. S. and Mik-halev, A.V. Rings with Generalized Identities. New York: Marcel Dekker, Inc., 1996.
On exended centroid of a skew polynomial ring with an
automorphism Mushrub V.A., Maksimov D.A., Fadeeva L.L.
Russian Plekhanov University of Economics This paper is devoted to study of skew polynomial rings. This type of rings is one of the classical objects of research in the ring theory (see [2, 3, 17 and 18]). More precisely, the purpose the present work is to describe extended centroid [1] of skew polynomial rings over an f-prime ring. All rings are supposed associative with unity. Some aspects of the problem under consideration have been already covered in related works [11, 12]. This work is largely motivated by the previous author's research [7, 19]. The main result of the present work is Theorem 1, which states that the extended centroid of a skew polynomial ring is either equal to the field of invariant elements of the left Martindale
■' 3 quotient ring or isomorphic to the field of rational functions over the previous field.
Additional important results are Proposition 2, which establishes that extended centroids of the skew polynomial ring and the skew Laurent polynomial ring coincide, and Lemma 2, which
yields an inner automorphism of the left Martindale J 13 quotient ring.
In the proof we use the standard technique of working with rings
of quotients and methods elaborated in [5,6]. Keywords: associative rings; rings of quotients; extended cen-
troid References
1. Mushrub VA Extended centroid of a skew polynomial ring//Uspekhi matematicheskih nauk . 1997. V. 52, No 2(314) . P. 147-148.
2. Mushrub V. A. On the nilpotency of subrings of skew group
rings // Fundamental'naya i prikladnaya matematika (Fundamental and applied mathematics). 1996. -Volume 2, Issue 4. P. 1227-1233.
3. Mushrub V. A. Criteria of semisimplicity of skew polynomial
ring // Fundamental'naya i prikladnaya matematika (Fundamental and applied mathematics). 1995. -Volume 1, Issue 3. P. 701-709.
4. Mushrub V. A. On classical ring of quotients of Cohn-Jordan
extension // Uspekhi matematicheskih nauk. 1992 . T. 47, No 6(288) . P. 201-202.
5. Mushrub V. A. On the Herstein hypothesis // Moscow Univer-
sity Mathematics Bulletin. 1992. No 3. C. 62-64.
6. Mushrub V. A. On relative nilpotency of left ideals // Moscow
University Mathematics Bulletin. 1992. No 6. C. 50-52.
7. Mushrub V.A. Extended centroid of a ring of skew polynomials
// Russian Mathematical Surveys. 1997. Volume 52, Number 2. P. 414-415.
8. Mushrub V.A. On the classical ring of quotients of CohnJordan extensions // Russian Mathematical Surveys. 1992. Volume 47, Number 6. P. 228
9. Mushrub V.A. Endomorphisms and radicals of the rings: the-
sis of Ph.D. Dissertation (Avtoreferat dissertacii na soiskanie uchenoj stepeni kandidata fiziko-matematicheskih nauk). Moscow, 1992. 11 p.
10. Mushrub V.A. Endomorphisms and radicals of the rings: Ph.D. Dissertation (dissertaciya na soiskanie uchenoj stepeni kandidata fiziko-matematicheskih nauk). Moscow, 1992. 158p.
11. Mushrub VA, Sukhorukova I.V., Beliaev A.A., Pavlovskij V.V. On the invariance of strictly hereditary radicals with respect to endomor-phisms// Innovations and Investments. 2016. No 4. P. 150-154.
12. Mushrub VA, Sukhorukova I.V. On the lattice of f-closed right ideals // Natural and mathematical Sciences in the modern world. 2016. No 7 (42). P. 118-125.
13. Mushrub VA, Ivankova, G. V., Mochalina E. P. On properties of f-rings of quotients of prime rings // Science yesterday, today and tomorrow. 2016. -No 7 (29). P. 20-26.
14. Mushrub VA, Ivankova, G. V., Mochalina E. P. On essential right ideals of the Cohn-Jordan extension // Science yesterday, today, tomorrow. 2016. № 7 (29), P. 26-33.
15. Mushrub VA, Ivankova, G. V., Mochalina E. P. On inner automorphisms of f-quotient rings // Natural and mathematical Sciences in the modern world. 2016. No 8 (43) . P. 6268.
16. Sukhorukova I.V., Mushrub VA The Jacobson radical and ring endomor-phisms // Ural scientific Bulletin 2016. T 4., P. 155-164.
17. V. A. Mushrub. On the uniform dimension of skew polynomial rings in many variables// Fundamental'naya i priklad-naya matematika (Fundamental and applied mathematics). 2001. Volume 7, Issue 4. P. 1107-1121.
18. Pchelincev S.V., Grishin A.V., Krasil'nikov A.N., Mushrub V.A. "Identities of Algebraic Objects", research report № 9701-00785. Russian Foundation for Basic Research ("Tozhdestva algebraicheskih ob'ektov", otchet o NIR # 9701-00785. Rossiyskiy fond fundamentalnyih issledovaniy)
19. Mushrub V.A. Extended Centroid of Ore Extensions and Injective Ring Endomorphisms// First International Tainan-Moscow Algebra Workshop: proceedings of the international conference held at National Cheng Kung University, Tainan, Taiwan, Republic of China, July 23-August 22, 1994. Berlin; New York: Walter de Gruyter, 1996. P. 265-281.
20. Vybornova I.I., Ivankova G.V., Mochalina E.P. On properties of extended centroid of Ore extensions// Science yesterday, today, tomorrow. 2016. № 8-1 (30). P. 27-31.
21. Vybornova I.I., Ivankova G.V., Mochalina E.P. Structure of extended centroid of skew polynomial rings// Science yesterday, today, tomorrow. 2016. № 8-1 (30). P. 31-36.
22. Lambek J. Lectures on Rings and Modules. American Mathematical Soc., AMS Chelsea Publishing Series (Vol. 283). 2009 - 187pp, 2005.
23. Beidar, K. I., Martindale III, W. S. and Mikhalev, A.V. Rings with Generalized Identities. New York: Marcel Dekker, Inc., 1996.
О R и
£
R
m fi H
