Кольца частных колец с большим центром Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Verblunsky S. On a descriptive definition of Cesaro-Perron integrals //J. London Math. Soc. 1971. 7, N 3. 326-333.

4. Дергачёв А.В. Некоторые свойства чезаровских производных высших порядков // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2013. № 3. 3-10.

5. Сакс С. Теория интеграла. М.: ИЛ, 1949.

Поступила в редакцию 30.05.2012

УДК 512.552.3+512.552.51

КОЛЬЦА ЧАСТНЫХ КОЛЕЦ С БОЛЬШИМ ЦЕНТРОМ

Д. В. Злыднев1

Кольцо R называется IIC-кольцом, если любой его ненулевой идеал имеет ненулевое пересечение с центром кольца R. Рассматриваются некоторые результаты о кольцах частных полупервичных IIC-колец и показывается на примерах, что эти свойства не сохраняются в случае произвольных IIC-колец. Также доказываются более общие свойства IIC-колец, касающиеся их колец частных.

Ключевые слова: центр кольца, IIC-кольцо, ограниченное справа кольцо, полное кольцо частных, симметрическое кольцо частных.

А ring R is called IIC-ring if any nonzero ideal of R has nonzero intersection with the center of R. We consider certain results about rings of quotients of semiprime IIC-rings and show by examples that these properties are not conserved in the case of arbitrary IIC-rings. We prove more general properties of IIC-rings which concern its rings of quotients.

Key words: center of ring, IIC-ring, right-bounded ring, full ring of quotients, symmetric ring of quotients.

Все рассматриваемые кольца ассоциативны, но необязательно содержат единицу.

Запись I<R означает, что I — идеал (двусторонний) кольца R. Если V — правый (левый) идеал кольца R, то используем запись Vr ^ Rr (rV ^ rR). Центр кольца R будем обозначать Cen(R). Правый (левый) аннулятор подмножества M кольца R обозначаем Tr(M) (Ir(M)) или же AnnR(M), если Ir(M) = Tr(M).

Определение 1. Кольцо R называется кольцом с большим центром (или IIC-кольцом), если любой его ненулевой идеал имеет ненулевое пересечение с центром, т.е. если 0 = I < R, то I П Cen(R) = 0.

Определение 2. Пусть Vr ^ Rr. Тогда V называется существенным правым идеалом кольца R, если K П V = 0 для любого ненулевого правого идеала K кольца R (обозначение Vr ^ess Rr).

Аналогично определяют существенный левый идеал и существенный идеал (двусторонний).

Определение 3. Кольцо R называется ограниченным справа, если любой его существенный правый идеал содержит двусторонний идеал кольца R, который является существенным правым идеалом.

Известный результат Роуэна [1] состоит в том, что полупервичное PI-кольцо является IIC-кольцом. Более точно [2, теорема 1.17]: полупервичное PI-кольцо есть ограниченное справа (и слева) IIC-кольцо.

Определение 4. Пусть Vr ^ Rr. Тогда V называется плотным правым идеалом кольца R, если для любых x,y Е R, где y = 0, существует такой элемент r Е R, что xr Е V и yr = 0 (обозначение Vr ^den Rr).

Очевидно, что плотный правый идеал всегда является существенным. Каждый существенный правый идеал IIC-кольца R является плотным тогда и только тогда, когда R — полупервичное кольцо (см. [2, предложение 1.2] и [3, лемма 2.1.13]).

Из определения плотного правого идеала легко вытекает, что если Vr ^den Rr, то Ir(V) = 0. Если же V < R, то верно и обратное, т.е. Ir(V) = 0 тогда и только тогда, когда Vr ^den Rr.

Для любого кольца R с Ir(R) =0 (в частности, для полупервичного кольца или кольца с единицей) существует кольцо Q(R), удовлетворяющее следующим условиям:

(i) R — подкольцо Q(R);

(ii) для любого q Е Q(R) существует такой плотный правый идеал J кольца R, что qJ С R;

(iii) если 0 = q Е Q(R) и Jr ^den Rr, то qJ = 0;

1 Злыднев Дмитрий Владимирович — асп. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected]. 13 ВМУ, математика, механика, № 2

(1у) для любого плотного правого идеала 3 кольца Я и для всякого гомоморфизма / : 3я ^ Яя найдется такой элемент д £ Q(R), что /(х) = дх для любого х £ 3.

Более того, условия (1)—(гу) задают кольцо Q(R) с точностью до изоморфизма [3, предложение 2.1.7].

Определение 5. Кольцо Q(Я), удовлетворяющее условиям (1)—(гу), называется полным правым кольцом частных кольца Я.

Аналогично определяют полное левое кольцо частных Ql(R), которое существует, если Гя(Я) = 0.

Определение 6. Симметрическим кольцом частных Qs(R) называется множество таких элементов д £ Q(Я), что д3 и 3д С Я для некоторого 3 — двустороннего идеала Я, плотного справа и слева.

Кольцо Qs(R) можно рассматривать и как подкольцо элементов Ql(R) с тем же свойством [3, замечание 2.2.4].

Известно, что Сеп^(Я)) = {д £ Q(Я) \ дг = гд Уг £ Я} [3, замечание 2.3.1]. В частности, имеет место включение Сеп(Я) С Сеп^(Я)).

Полупервичное ПС-кольцо Я обладает следующими свойствами [2]:

1) справедливо равенство Q(Cen(Я)) = Сеп^(Я));

2) кольцо Qs(R) характеризуется условиями:

(1) Я — подкольцо Qs(Я);

(и) для любого д £ Qs(R) существует такой существенный идеал 3 кольца Сеп(Я), что д3 С Я;

(ш) если 0 = д £ Qs(R) и 3 <е88 Сеп(Я), то д3 = 0;

(гу) для любого плотного идеала 3 кольца Сеп(Я) и для всякого гомоморфизма / : 3сеп(я) ^ Ясеп(я) найдется такой элемент д £ Qs(Я), что /(х) = дх для любого х £ 3;

3) если кольцо Я ограничено справа (справа и слева), то Qs(R) = Q(Я) ^^Я) = Q(Я) = Ql(Я)).

Данные свойства полупервичных ПС-колец мы попытаемся перенести на произвольные кольца с большим центром. Конечно, они перестают быть справедливыми, что будет подтверждено соответствующими примерами. Тем не менее мы докажем более общие свойства, которые имеют место и в случае неполупер-вичных ПС-колец (см. теоремы 1 и 2).

Сначала приведем некоторые простые свойства ПС-колец, которые пригодятся при рассмотрении вопросов о кольцах частных.

Лемма 1. Пусть Я — ПО-кольцо и У я ^ Яя. Тогда

(a) если 1я(У) = 0, то и Гя(У) = 0;

(b) в случае, когда У < Я, условия 1я(У) =0 и Гя(У) = 0 эквивалентны.

Доказательство. Заметим, что Гя(У) < Я. Допустим, что Гя(У) = 0. Найдется ненулевой элемент а £ г я (У) П Сеп(Я). Тогда аУ = У а = 0, а значит, 1я(У) = 0. Если У < Я, аналогично можно показать, что из условия 1я(У) = 0 следует, что гя(У) = 0. Лемма доказана.

Следствие. Пусть Я — 11О-кольцо. Если I < Я, то 1я ^аеп Яя тогда и только тогда, когда яI ^аеп яЯ.

В этом случае будем говорить, что I — плотный идеал кольца Я и обозначать I <аеп Я. Эквивалентное условие: Аппя(!) = 0.

В частности, 1я(Я) = 0 тогда и только тогда, когда Гя(Я) = 0. Это означает, что правое и левое полные кольца частных для ПС-кольца Я существуют или не существуют одновременно.

Лемма 2. Пусть Я — 11О-кольцо и 3 < Сеп(Я). Тогда условия 3 <аеп Сеп(Я) и 3Я <аеп Я эквивалентны.

Доказательство. Пусть 3 <аеп Сеп(Я). Ясно, что 3Я < Я. Достаточно показать, что 1я(3Я) = 0. Пусть это не так. Имеем

0 = 1я(3Я) < Я ^ 0 = 1я(3Я) П Сеп(Я) = АппСеп(я) (3Я) =: Ь,

Ь3Я = 0 ^ Ь3 С Аппсеп(я) (3) = 0 ^ Ь С Аппсеп(я)(3) = 0.

Получили противоречие. Поэтому 3Я <аеп Я.

Обратно: пусть 3Я <аеп Я. Тогда 0 = Аппя(3Я) Э Аппсеп(я)(3). Значит, 3 <аеп Сеп(Я). Лемма доказана.

Лемма 3. Если К — плотный правый идеал кольца Я, а Б — такое кольцо, что К С Б С Q(R), то

(a) Q(Б) = Q(R);

(b) если Я —11О-кольцо, то Б — 11О-кольцо.

Доказательство см. в [3, предложение 2.1.10] для (а) и в [2, лемма 3.3] для (Ь).

Следствие. Если К я ^аеп Яя, то Сеп(К) = К П Сеп(Я).

Мы будем рассматривать такие !Ю-кольца Я, что Аппк(Я) = 0. При этом кольцо Q(Cen(R)) может не существовать. Также возможно, что Q(Cen(Я)) = Сеп^(Я)). Оба варианта будут указаны в следующем примере.

Пример. Пусть Р — некоторое поле, Р1 — его собственное подполе. Рассмотрим кольцо матриц специального вида:

а\ а\2 а1з Я = { А = | 0 а2 а2з 0 0 а1

а1,а2, а12, а1з, а2з £ Р

а также его подкольцо (идеал) Яо = {А £ Я | 0,2 = 0} и подкольцо Я1 = {А £ Я | 0,2 £ Р1}.

Здесь и далее будем обозначать через Е единичную матрицу и через Е^ матричные единицы.

Лемма 4. Центр кольца Я — это множество матриц {аЕ + 6Е13 | а,Ь £ Р}.

Доказательство. Поскольку для любой матрицы А £ Я выполнено АЕ13 — а1Е1з — Е13А, то Е13 £ Сеп(Я), поэтому аЕ + ЬЕ1з £ Сеп(Я). Пусть теперь А £ Сеп(Я). Тогда из условий АЕ12 = Е12А и АЕ2з = Е23А получаем, что а1 = а2, а2з =0 и а12 = 0. Лемма доказана.

Лемма 5. Кольцо Я является ПС-кольцом.

Доказательство. Возьмем .] — произвольный ненулевой идеал кольца Я. Выберем некоторую ненулевую матрицу А £ .]. Тогда для подходящей матрицы В £ Я имеем 0 = АВ = Е13 £ .] П Сеп(Я). Лемма доказана.

Лемма 6. Все плотные правые идеалы кольца Я — это Я и Яо.

Доказательство. Нетрудно убедиться, что 1к(Яо) = 0, а следовательно, Яо ^аеп Я.

Пусть теперь У^ ^аеп Як. Так как Е13V = 0, то V содержит матрицу А с а1 =0. Поэтому в правом идеале V есть матрицы с любой первой строкой. Если V содержит также матрицу В с 62 = 0, то ясно, что V = Я. В противном случае V = Яо, ведь Ш = {аЕ2з | а £ Р} С V как минимальный правый идеал. Лемма доказана.

Лемма 7. Полное правое кольцо частных Q(Я) совпадает с Я.

Доказательство. Нужно убедиться, что кольцо Я удовлетворяет четырем условиям для кольца Q(Я) из его определения. Очевидно, условия (1)—(ш) выполнены. Проверим условие (1у).

Пусть задан гомоморфизм / : Як — Як. Тогда /(X) = / (Е)Х для любой матрицы X £ Я, при этом / (Е) £ Я.

Пусть теперь / : (Яо)к — Як. Имеет место разложение Яо как правого Я-модуля в прямую сумму: Яо = Е1Я ® Е23Я, где Е1 := Ец + Е33. Поэтому гомоморфизм / однозначно определяется образами матриц Е1 и Е23. Матрица /(Е1) должна удовлетворять следующему условию: если А £ Я и Е1А = 0, то /(Е1)А = 0. Другими словами, /(Е1) £ 1к(гк(Е{)). Аналогично /(Е23) £ 1к(гк(Е23)). Имеем

'а10 а1з\ 1 ( /0 0 01З'

1к(гк(Е1)) = 0 0 а2з I £ Я > , 1к(гк(Е2з)) = <| 0 0а2з | £ Я

0 0 а1 У I I \00 0

/а1 0а1А /00Ъ1з\ (а1 Ь1з 01З\

Пусть /(Е1) = | 0 0 а23 | и /(Е23) = | 0 0 Ь23 | . Положим С = | 0 Ь23 а23 | £ Я. Видим, что

V 0 0 а1 У \00 ^ / V 0 0 а1 У

/(Е1) = СЕ1 и /(Е23) = СЕ23, а значит, /(X) = СХ для любой матрицы X £ Яо. Лемма доказана. Далее, используя лемму 3 и ее следствие, получаем следующие утверждения:

(a) Q(Яо) = Q(Яl) = Q(Я) = Я;

(b) Яо и Я1 — кольца с большим центром;

(c) Сеп(Яо) = Яо П Сеп(Я) = {аЕ1з | а £ Р} и Сеп(Я^ = Я1 П Сеп(Я) = {аЕ + ЬЕ1з | а £ Ръ Ь £ Р}. Поскольку Сеп(Яо) — кольцо с нулевым умножением, то у него не существует колец частных. Лемма 8. Кольцо Q(Cen(Яl)) совпадает с кольцом Сеп(Я1).

Доказательство. Так как Е £ Сеп(Я1), достаточно показать, что кольцо Сеп(Я1) не содержит собственных плотных идеалов. Пусть аЕ + ЬЕ13 £ Сеп(Я1). Если а = 0, то (аЕ + ЬЕ1з )(а_1Е — а ЬЕ1з) = Е. Значит, любой собственный идеал кольца Сеп(Я1) состоит из матриц ЬЕ1з и, очевидно, не является плотным. Лемма доказана.

Итак, {аЕ + ЬЕ1з | а £ Ръ Ь £ Р} = Q(Cen(Яl)) = Cen(Q(Rl)) = {аЕ + ЬЕ1з | а,Ь £ Р}. Однако справедливо включение Q(Cen(Rl)) С Сеп^(Я^).

Пусть теперь К — произвольное ПС-кольцо. Потребуем только для существования кольца Q(Cen(R)) условие Лппд(Сеп(К)) = 0. Ясно, что тогда кольцо Q(R) тоже существует.

Сначала докажем результат о симметрическом кольце частных.

Теорема 1. Пусть К — 11С-кольцо и Лппд(Сеп(К)) = 0. Тогда для любого плотного идеала 3 кольца Сеп(К) и для всякого гомоморфизма / : 3сеп(д) — Ксеп(Я) найдется такой элемент д £ Qs(R), что /(х) = дх для любого х £ 3.

Доказательство. Пусть 3<аеп Сеп(К) и задан гомоморфизм / : 3сеп(д) — Ксеп(д). Согласно лемме 2, 3К <аеп К. Определим отображение д : 3К — К так: д (Е СгГг) = Е /(сг)гг, где сг £ 3, Гг £ К. Убедимся в корректности отображения д. Для этого положим

В

= /(с^)Гг \ ^ СгГг = 0, Сг £ 3, Гг £ к|

и докажем, что В = 0. Предположим противное: В = 0. Тогда КВ = 0. Ясно, что Вд ^ Кд и КВ < К. Поскольку К — ПС-кольцо, то КВ П Сеп(К) = 0. Более того, 3 <е88 Сеп(К), и поэтому КВ П 3 = 0. Возьмем ненулевой элемент к £ КВ П 3. Он представим в виде к = Е аг(Е /(Сгз)ггз), где аг £ К, с¿з £ 3, £ К

г з

и Е СгзГгз = 0. Пусть х £ 3, тогда кх = Е аг(Е /(сгз)хггз) = Е аг(Е /(хсгз^) = Е аг/(х)(Е СгзГгз) = 0.

з г з г з г з

Получаем к3 = 0. Это противоречит тому, что 3 <аеп Сеп(К).

Таким образом, д — корректно определенное отображение. Это гомоморфизм правых К-модулей 3Кд — Кд, где 3К <аеп К. Поэтому найдется такой элемент д £ Q(R), что д(у) = ду для у £ 3К. В частности, если х £ 3 и V £ К, то д(хг) = дхг = /(х)г. Поэтому (/(х) — дх)К = 0, а значит, /(х) = дх.

Осталось показать, что д £ Qs(R). Действительно, 3К <аеп К, д3К С К, 3Кд = К(3д) = К(д3) С К. Мы воспользовались тем, что 3 С Сеп(К) С Сеп^(К)). Теорема доказана. С помощью теоремы 1 получаем следующий важный результат.

Теорема 2. Пусть К — 11С-кольцо и Лппд(Сеп(К)) = 0. Тогда Q(Cen(R)) С Сеп^(К)). Доказательство. Рассмотрим такое подмножество Qo С Сеп^(К)), что д £ Qo тогда и только тогда, когда существует такой плотный идеал 3 кольца Сеп(К), что д3 С Сеп(К). Легко убедиться, что Qo — это кольцо. Утверждаем, что Qo = Q(Cen(R)). Для этого проверим, что кольцо Qo удовлетворяет четырем условиям полного кольца частных.

Во-первых, Сеп(К) — подкольцо Qo. Это очевидно, если учесть, что Сеп(К) С Сеп^(К)). Во-вторых, согласно определению Qo, для любого д £ Qo существует такой плотный идеал 3 кольца Сеп(К), что д3 С Сеп(К).

В-третьих, если 0 = д £ Q0 и 3 <аеп Сеп(К), то 3К <аеп К, поэтому д3К = 0 и д3 = 0. В-четвертых, пусть 3 <аеп Сеп(К) и задан гомоморфизм / : 3сеп(д) — Сеп(К)сеп(д). По теореме 1 найдется такой элемент д £ Qs(R), что /(х) = дх для любого х £ 3. Остается показать, что д £ Qo. Действительно, д3 С Сеп(К), где 3 <аеп Сеп(К), но нужно проверить, что д £ Cen(Q(R)). Заметим, что 3 С Сеп^(К)) и д3 С Сеп^(К)). Пусть р £ Q(R), тогда (др — рд)3 = д(р3) — р(д3) = д(3р) — (д3)р = 0. Так как 3 <аеп Сеп(К), то др — рд = 0. Значит, д £ Сеп^(К)). Теорема доказана.

Приведем теперь пример ограниченного справа и слева ПС-кольца К, для которого Q(R) = Ql(R) и

Q(R) = Qs(R).

Пример. Пусть Р — некоторое поле. Рассмотрим такое кольцо матриц:

а1 а12 а1з К = { А = | 0 а2 а2з 0 0 а1

а1,а2,а12 £ Р, а1з,а2з £ Р2

Здесь Р2 понимается как двумерное векторное пространство над Р. Заметим, что элементы из Р2 не перемножаются между собой. Будем представлять их в виде

а13 =(З3) , а23 =(а^О , где 4з,а2з,а1з,а2з £ Р. (1)

\а13/ \а23/

Легко установить (по аналогии с леммами 4-6), что Сеп(К) = {аЕ + ЬЕ1з | а £ Р, Ь £ Р2}, кольцо К — ПС-кольцо и все плотные правые идеалы кольца К (а также все плотные левые идеалы) — это К и Ro = {А £ К I а2 = 0}.

Введем обозначения: Е^ := ^^

Е13:

Е1з :=

Е23, Е23 : =

Е23.

0) Е13, Е123 := (1 Лемма 9. Кольцо Я ограничено справа и слева.

Доказательство. Положим и = {аЕ1з + ЬЕ2з | а,Ь £ Р2}. Ясно, что и < Я и Цк Як. Более того, и содержится в любом существенном правом идеале V кольца Я: если 0 = А £ и, то АР С V как минимальный правый идеал кольца Я. Следовательно, Я — ограниченное справа кольцо.

Аналогично положим Ь = {аЕ12 + ЬЕ13 | а £ Р, Ь £ Р2}. Видим, что Ь < Я и кЬ ^евв кЯ, а также если ^ ^азв кЯ, то Ь С V. Поэтому Я — ограниченное слева кольцо. Лемма доказана. Лемма 10. Полное левое кольцо частных Ql(Я) совпадает с Я.

Доказательство. Как и в лемме 7, достаточно проверить, что всякий гомоморфизм / : кЯо — кЯ обладает свойством

3 С £ Я : УX £ Яо, /(X) = XC.

Имеем разложение Яо как левого Я-модуля в прямую сумму: Яо = ЯЕ1 ® ЯЕц, где Е1 := Ец + Е33. При этом /(Е1) £ Тк(1к(Е\)) и /(Ец) £ тк(1к(Ец)), где

гк (1к(Е1)) =

а1 а12 а13 0 0 0 0 0 а1

£ Я}, тк (1к(Ец)) =

0 а12 а13

0 0 0 | £ Я 0 0 0

/а1 а12 а!з\ /0 Ьц Ь1з\ /а1 а12 01З\

Пусть /(Е1) = | 0 0 0 | и /(Е12) = | 0 0 0 | . Положим С = | 0 Ь12 Ь13 | . Действительно, С £ Я, \ 0 0 а1 ) \0 0 ^ / \ 0 0 а1 )

ведь а1,а12,Ь12 £ Р и а13,Ь13 £ Р2. Видим, что /(Е1) = Е1С и /(Е12) = Е12С, а значит, /(X) = XC для любой матрицы X £ Яо. Лемма доказана.

Лемма 11. Полное правое кольцо частных Q(Я) не совпадает с Я.

Доказательство. Достаточно предъявить такой гомоморфизм / : (Яо)к — Як, что условие

3 С £ Я : УX £ Яо, /(X) = CX

(2)

будет не выполнено. Справедливо разложение Яо как правого Я-модуля: Яо = Е1Я ® Е^Я ® Е^Я. Для построения / необходимо и достаточно, чтобы образы матриц Е1, Е^ и Е^ удовлетворяли условиям

/(Е1) £ 1к(тк(Е1)), /(Е1з) £ 1к(тк(Е1з)), /(Е2з) £ ¡к(тк(Е^з)).

(3)

Здесь 1к(тк(Е{)) =

а1 0 а13

0 0 а23

0 0 а1

£ Я } и 1к(тк(Е1з)) = 1к(тк(Е2з)) =

00а1з 0 0а23 .00 0

Я

Положим /(Е23) = Е23, что соответствует условиям (3). При этом для любой матрицы С £ Я имеем СЕ2з = СцЕ^з + ^Е^ = /(Е23). Условие (2) не выполнено. Лемма доказана.

Итак, Q(R) = Ql(R), и поскольку Я С QS(Я) С Ql(Я) и Ql(R) = Я, то QS(Я) = Я и QS(R) = Q(R). Интересно также узнать, как именно устроено кольцо Q(Я). Обозначим через Н кольцо всех линейных преобразований векторного пространства Р2. Рассмотрим следующее кольцо:

Q =

а1 а12 а13 0 а2 а23

0 0 а1

а1 £ Р, а2,а12 £ Н, а13,а23 £ Р2

Если элементы а1з ,а2з £

Р2

представлены столбцами вида (1), то элементы а12,а2 £ Н представляются в виде матриц 2 х 2 над полем Р.

Лемма 12. Кольцо Q(Я) совпадает с Q.

Доказательство. Проверяем четыре условия из определения полного правого кольца частных. Во-первых, вложение поля Р в кольцо Н скалярными матрицами индуцирует вложение Я — Q. Во-вторых, Яо <^аеп Я, и легко заметить, что QRо С Я.

В-третьих, предположим, что АяЯо = 0, где Ая £ Q. Поскольку АяЕ^ = 0 и АяЕ|з = 0, то второй столбец матрицы Ая нулевой, а значит, Ая £ Я. Но 1к(Яо) = 0, поэтому Ая = 0.

В-четвертых, пусть есть гомоморфизм / : (^)д — Кд. Он задается согласно условиям (3):

f (Ei) =

'ai 0ai3N

0 0 a23

0 0 ai

f (Е1з) =

'0 0 bi3 0 0b23 00 0

, f (E3) =

'0 0di3 0 0^23 00 0

Элементы из

Р2

в этих матрицах представим столбцами вида (1). Положим

/

C =

ai

0

bi di

b13 di3 b2 d2 bi3 di3 bi di b23 d23

b23 d23 0

ai3

23

G Q.

ai

Видим, что /(Е1) = СЕ1, /(Е23) = СЕ^з и /(Е^з) = СЕ^з. Поэтому /(X) = СХ для любой матрицы X £ Ro. Лемма доказана.

Теперь мы хотим построить такое ограниченное справа и слева ПС-кольцо 5, что все три кольца Q(S), Ql(S) и Qs(S) попарно различны. Для этого нам потребуются некоторые факты о прямой сумме колец, которые легко проверяются через определения.

Лемма 13. Для произвольных колец К и Т и их прямой суммы 5 = К ® Т имеют место следующие утверждения:

(а) 5 — 11С-кольцо тогда и только тогда, когда К и Т — 11С-кольца;

Уя ^евв тогда и только тогда, когда V = и ® Ш, где Пд Кд и Шт Тт; кольцо 5 ограничено справа тогда и только тогда, когда кольца К и Т ограничены справа; Vs ^аеп тогда и только тогда, когда V = и ® Ш, где Пд ^аеп Кд и Шт ^аеп Тт; если Q(R) и Q(T) существуют, то Q(S) = Q(R) ® Q(T);

(!) если Qs(К) и Qs(T) существуют, то Qs(5) = Qs(R) ® Qs(T).

Зададим поле Р. Будем обозначать кольцо К из предыдущего примера через К(Р). Рассмотрим также кольцо транспонированных матриц из К(Р)

(b)

(c)

(d) (e)

Rl(F) =

ai 0 0 a2i a2 0 a3i a32 ai

ai,a2, a2i G F, a3i, a32 G F

Транспонированием матриц осуществляется антиизоморфизм колец К(Р) и Кг(Р). Поэтому

Ql(R(Р)) = К(Р) ^ Q(Rt(Р)) = К(Р); Q(R(Р)) = К(Р) ^ Ql(Rt(Р)) = К*(Р).

А также поскольку К(Р) — ограниченное справа и слева ПС-кольцо, то таковым является и кольцо К'(Р).

Пусть теперь Р1 и Р2 — различные поля. Рассмотрим кольцо 5 = К(Р1) ® Rt(Р2). Согласно лемме 13, 5 — ограниченное справа и слева ПС-кольцо, а кроме того, его кольца частных имеют вид

Q(S) = Q(R(Fl)) ® К(Р2), Ql(S) = К(Р1) ® Ql(Rt(Р2)), Qs(S) = К(Р1) ® Rt(Р2) = 5.

Ясно, что эти три кольца попарно не изоморфны.

2

a

1

a

0

2

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Rowen L.H. Some results on the center of a ring with polynomial identity // Bull. Amer. Math. Soc. 1973. 79. 219-223.

2. Armendariz E.P., Birkenmeier G.F., Park J.K. Ideal intrinsic extensions with connections to Pi-rings //J. Pure and Appl. Algebra. 2009. 213. 1756-1776.

3. Beidar K.I., Martindale W.S., Mikhalev A.V. Rings with generalized identities. N.Y.: Marcel Dekker, 1996.

Поступила в редакцию 05.12.2012