Полугрупповые и групповые кольца с большим центром Текст научной статьи по специальности «Математика»

13. Toffoli Т. Reversible Computing // Automata, Languages and Programming. Ser. Lect. Notes Comput. Sci. Vol. 85. Berlin; Heidelberg: Springer, 1980. 632-644. DOI: 10.1007/3-540-10003-2^104.

14. Maslov D.A. Reversible Logic Synthesis: Ph.D. Thesis. 2003. URL: http://web.cecs.pdx.edu/~mperkows/ PerkowskiGoogle / thesis_ maslov.pdf.

Поступила в редакцию 02.09.2015

УДК 512.552.3+512.552.7

ПОЛУГРУППОВЫЕ И ГРУППОВЫЕ КОЛЬЦА С БОЛЬШИМ ЦЕНТРОМ

Д. В. Злыднев1

Кольцо R называется кольцом с большим центром или IIC-кольцом, если любой его ненулевой идеал имеет ненулевое пересечение с центром кольца R. Рассматриваются условия, при которых полугрупповое кольцо над IIC-кольцом является ПС-кольцом.

Ключевые слова: центр кольца, IIC-кольцо, групповое кольцо, полугрупповое кольцо, нильпотентная группа.

A ring R is called a ring with a large center or an IIC-ring if any nonzero ideal of R has nonzero intersection with the center of R. We consider conditions under which a semigroup ring over an IIC-ring is an IIC-ring.

Key words: center of ring, IIC-ring, group ring, semigroup ring, nilpotent group.

Все рассматриваемые кольца ассоциативны, но необязательно содержат единицу. Запись I <\ R означает, что I — идеал кольца R. Центр кольца R обозначаем через Cen(_R) или Rc, аннулятор кольца R — через Ann(_R) или R0, а правый (левый) аннулятор кольца R — через Rr (R1).*

Отметим, что R° = R1 П Rr и R0 С Rc. Если R — IIC-кольцо и = 0, то Rl = Rr = 0. Пусть S — полугруппа. Полугрупповым кольцом RS называется свободный //-.модуль с базисом S и умножением r\S\-r2S2 = (ji?"2)(sis2)) где fi, f2 G R, Si, $2 € S. В частности, если S = G — группа, то RG — групповое кольцо. Любой ненулевой элемент а € RS однозначно представляется в виде

п

а = r%Si, где 0 ф Vi £ R, Si £ S, Si ф Sj при i ф j. Обозначим через supp(a) := {si}i=l носитель

г=1

элемента а, а через cf(a, Si) := Vi коэффициент элемента а при Sj. Если s supp(a), то cf(a, s) := 0.

Используем следующие обозначения для групп: Gc — центр группы G; С(д) = {hgh~l \ h € G} — класс сопряженности элемента д € G; GA = {д € G \ |С(д)| < оо}; Cg(M) = {д Е G \ Ух € М дх = хд} — централизатор множества М С G. Группа G называется FC-группой, если (1 = Сл.

Если S — моноид с единицей е, то отождествим элементы г € R и re € RS. Таким образом, будем считать, что R С RS. Легко убедиться в справедливости следующей леммы. Лемма 1. Если S — моноид, то Cen(RS) С RCS. Теорема 1. Если S — моноид и RS — IIC-кольцо, то R — IIC-кольцо.

Доказательство. Пусть 0 ф I <\ R, тогда 0 ф IS < RS. Так как RS — IIC-кольцо, то найдется ненулевой элемент а = ^fiSi £ IS П Cen (RS), где 0 ф ri € I, Si € S. По лемме 1 имеем n € Rc.

г

Итак, I П Rc ф 0, а значит, R — IIC-кольцо. Теорема доказана.

Поставим вопрос о том, верно ли обратное: если R — IIC-кольцо, то RS — IIC-кольцо? Позже мы убедимся, что, вообще говоря, это не так. Положительный ответ был получен в случае, когда S — коммутативный моноид и i2° = 0 [1, теорема 4.4]. Оказывается, это вытекает из следующего утверждения, причем условие R0 = 0 несущественно.

Теорема 2. Пусть R — IIC-кольцо, S — моноид и I — ненулевой идеал кольца RS. Тогда I П Rc S ф 0; причем для всякого ненулевого элемента а £ I найдется такой ненулевой элемент а' € I П R°S, что supp(a') С supp(a).

1 Злыднев Дмитрий Владимирович — асп. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: dvz29Qyandex.ru.

Доказательство. Пусть дан ненулевой элемент а € I. Любой элемент а' € I представим в

к(а') l(a')

виде а' = ciai + risij гДе 0 Ф с% € Rc, Vi € R\ Rc, tJi,Si € S, все ai,Si различны. Среди

г= 1 г= 1

всех ненулевых элементов а1 € I с условием supp(a') С supp(a) выберем такой, для которого число слагаемых 1{а') в указанном представлении минимально. Если l(a') = 0, то а' € RcS, и утверждение

1{а<)

доказано. Иначе Г\Х ф хг\ для некоторого х € R. Тогда имеем 0 ф а'х — xol = ^ (/"¿ж — xri)si € I.

г=1

l(a')

Поэтому можем считать, что к(а') = 0 и а' = ^ riSi. Идеал кольца R, порожденный элементом

г=1

Г\, имеет ненулевое пересечение с Rc, т.е. найдутся такие dj,bj € R и п € Z, что 0 ф пг\ + d^r\ +

t t l(a')

ribo + djfibj = с € R°. Следовательно, 0 ф a" = na' + d^a' + a'bo + ^ djd'bj = cs\ + ^ r^Sj € j= 1 i=l i=2 I, где r^ € -R. Видим, что l(a") < l(a'), при этом supp(a//) С supp(a') С supp(a). Противоречие с минимальностью l(a'). Теорема доказана.

Далее рассматриваем групповые кольца RG. Сначала выясним, как устроен центр группового кольца.

Элемент а € RG будем называть G-центральным, если gag-1 = а для всех д € G.

Лемма 2. Элемент а € RG является G-центральным, тогда и только тогда, когда он пред-

т ki

ставим в виде а = r% 9i,j, где п € R, {gi,j}¡=1 = С(gitl) С GA.

г=1 j=\

Доказательство. Пусть а — элемент данного вида. Нужно доказать, что hah-1 = а для всех h € G. Сопряжение элементом h действует на множестве С(дгд) как перестановка элементов, поэтому

/с^ /с^ ттъ /с^

^hgijh_1 = => hah'1 = ^n^hgijh'1 = a.

j= 1 j= 1 i= 1 j=1

Пусть а непредставим в указанном виде. Тогда cf(a,gi) ф cf(a,g2) для некоторых g\,g2 € C(g\). Выберем такой элемент h € G, что hgih-1 = g2■ Тогда cf^a/z-1, g2) = ci(a,g\) ф cf(a,g2)• Поэтому hah_1 ф а, и элемент а не является G-центральным. Лемма доказана.

Очевидно, что G-центральные элементы, принадлежащие RcG, являются центральными элементами кольца RG. Также ясно, что R°G С Ann(_RG) С Cen(_RG).

Докажем критерий того, что элемент группового кольца является центральным. Теорема 3. Элемент а € RG является центральным тогда и только тогда, когда он представим в виде а = ас + ао, где ас — G-центральный элемент, ас € RCG и ао € R°G.

Доказательство. Если a — элемент данного вида, то ас,ао € Cen(_RG), поэтому a € Cen(_RG). Если a <t RCG, то a ^ Cen(_RG) по лемме 1. Пусть a € но a непредставим в указанном

виде. Тогда найдутся такие элементы g\,g2 € C(g\), что cf(a,gi) — cf(a,g2) ^ R°- Если cf(a,gi) = r\ и cf(a,g2) = f2, то r\ — Г2 € Rc \ R0. Выберем такой элемент г € R, что г(г\ — Гг) ф 0. Выберем такой элемент h € G, что hgih-1 = g2, т.е. hg\ = g2h. Имеем

rh ■ а = rr\ ■ hgi + а\, hg\ ^ supp(ai),

a • rh = r2r • g2h + a2 = rr2 • hgi + a2, hgi ^ supp(a2),

rh ■ a — a ■ rh = r(r\ — r2) • hgi + (ai — a2) Ф 0.

Таким образом, a qL Cen(_RG). Теорема доказана.

Следующий результат, который касается колец с большим центром, доказывается так же, как и теорема 2.

Лемма 3. Пусть R — IIC-кольцо и I — идеал кольца RG. Если I содержит ненулевой G-цент,ра,льны,й элемент, а, то I содержит ненулевой элемент, а' € Cen(_RG); причем supp(a') С supp(a).

Пусть теперь II — произвольное кольцо с нулевым аннулятором. Укажем такой класс групп, для которых групповое кольцо RG не является ПС-кольцом.

Лемма 4. Если R — кольцо с нулевым аннулятором и G — бесконечная группа, в которой Ga = е, то RG не является IIC-кольцом.

7 ВМУ, математика, механика, №3

Доказательство. Поскольку R0 = 0, то из теоремы 3 и леммы 2 заключаем, что Cen(_ñG) С RcGa. Таким образом, Cen(RG) С Re. Рассмотрим множество I = { rg9 G RG | rg Е R, Y1 гд =

fl€g fleg

О}. Легко убедиться, что 0 ф I <\ RG, при этом IП Re = 0. Следовательно, IП Cen(_ñG) = 0. Лемма доказана.

Условие Сл = е выполняется в свободной группе ранга > 1. Однако больший интерес представляет пример разрешимой группы класса 2, в которой также выполнено это условие.

Пример 1. Пусть F — бесконечное поле, G — группа матриц вида д^ь = ^q ^ > где d Е F\ 0,

Ъ Е F. Поскольку дХуУ gd>b g~l = gd,xb+y(i-d), то C(ghi) = {ghx \ x E F \ 0}, а если d ф 1, то C(dd,o) = Í9d,y I У G F}- Все эти множества бесконечны, поэтому Сл = е. Очевидно, что коммутант группы G состоит из матриц вида дц, и является абелевой группой, при этом Gc = е. Следовательно, G — разрешимая группа класса 2.

Итак, из условия, что R — IIC-кольцо, не всегда следует, что RG — IIC-кольцо, даже если ограничиться классом разрешимых групп. Рассмотрим более узкий класс — нильпотентные группы.

Положим Go := G, G\ := \G, G\, ..., GVц := G], ...— нижний центральный ряд группы G.

Пусть G — нильпотентная группа класса п. Тогда е ф Gn-\ С Gc и Gn = е. Любой элемент

п— 1

а Е RG можем записать в виде а = Y1 аг, где сц € R(Gi \ 1) при i ^ п — 2, an~i € RGn-1-

i=0

Определим m¿(a) как количество смежных классов по |_i, которые представлены элементами из носителя (ц (если щ = 0, то m¿(a) = 0). Положим т(а) := (mo(a), rrii(a),... ,mra_i(a)). Зададим на множестве {т(а) \ а € RG} лексикографический порядок: т(а) < т(Ъ) тогда и только тогда, когда гпг(а) < rrií(b) для некоторого г € 0, п — 1 и rrij(a) = rrij(b) при всех j < г.

Лемма 5. Если an~i ф 0; то m^ah-1 — а) < т(а) при всех h € G.

Доказательство. Если д е то при всех h € G имеем hgh_1 = [h,g]g € Gí+\g С Следовательно, элементы из носителя (hah~l)i представляют те же смежные классы по ц, что и элементы из носителя а%. Если а! = hah_1 — а, то = (hah~1)i — a¿, и в носителе новые смежные классы не появляются. Поэтому m¿(a') ^ m¿(a) при всех г € 0,п — 1. Поскольку ara_i € то

= 0, но по условию ara_i ф 0. Поэтому mra_i(a/) < тп-\(а). Таким образом, т(а') < т(а). Лемма доказана.

Лемма 6. Если an~i = 0; причем а ф 0; то найдется такой элемент h € G, что m(ah) < т(а).

Доказательство. Возьмем такое г, что a¿ ф 0 и aj = 0 при всех j > г. Обозначим через {Gi-\-ihk}™l^ все смежные классы, представленные элементами из носителя ец, где h^ € \ -Тогда {Gi-^-ihkhi1}™^^ — все смежные классы, представленные элементами из носителя (ah~[l)i. Поэтому m,i(ah~[l) = m¿(a) — 1. Поскольку h~[l € то h~[l € Gj+i при всех j < i. Значит, элементы из носителя (ah~[l)j представляют те же смежные классы по Gj-ц, что и элементы из носителя üj. Поэтому m,j(ahi1) = rrij(a) при всех j < i. Таким образом, m(ahi1) < т(а). Лемма доказана.

Следующая теорема является основным результатом данной статьи.

Теорема 4. Пусть G — нильпотентная группа. Тогда если R — IIC-кольцо, то RG — ПС-кольцо.

Доказательство. Пусть G — нильпотентная группа класса п. Пусть I — ненулевой идеал кольца RG. Если IP\R°G ф 0, то lP\Cen(RG) ф 0, что и требуется. Будем считать, что IP\R°G = 0.

Чтобы доказать, что /ПСеп(ЛС) ф 0, в силу леммы 3 достаточно найти ненулевой G-централь-ный элемент идеала /. Если I состоит только из G-центральных элементов, то утверждение доказано. Иначе среди всех не G-центральных элементов а € I выберем такой, для которого набор т(а) минимален. По теореме 2 найдется ненулевой элемент а' € / П RCG, причем supp(a') С supp(a), а значит, т(а') ^ т(а). Если а' — G-центральный элемент, то утверждение доказано. Иначе мы можем выбрать а' вместо а, т.е. можем считать, что а € RCG. Поскольку а ^ R°G, то га = аг ф 0 для некоторого г Е R. Так как аг Е I, то аг ^ R°G, поэтому аг ^ RlG или аг qL RrG, т.е. гаг' ф 0 или г'аг ф 0 для некоторого г' Е R. Без ограничения общности считаем, что г'аг = Ь ф 0. Итак, 0 ф Ъ Е I и т(Ъ) ^ т(а). Если b — G-центральный элемент, то утверждение доказано. Иначе рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: bn-i ф 0. Найдется такой элемент h Е G, что hbh_1 — b = b' ф 0. По лемме 5 имеем т(Ъ') < т(Ъ). Следовательно, т(Ъ') < т(а). Заметим, что b' = r'h ■ а ■ rh~l — г'аг Е F Из минимальности т(а) следует, что У — G-центральный элемент.

Случай 2: Ъп-\ = 0. По лемме 6 имеем т(Ыг) < т(Ъ) для некоторого h G G. Тогда m(bh) < т(а). При этом 0 ф bh = г'а ■ rh G I. Из минимальности т(а) следует, что bh — G-центральный элемент. Теорема доказана.

Рассуждения, приведенные в доказательстве теоремы 4, позволяют также получить следующий результат, который усиливает теорему Залесского [2, п. 3.6]: если 0 ф I < RG, где R — кольцо с единицей, G — нильпотентная группа, то IП RGА ф 0.

Теорема 5. Пусть R — кольцо с нулевым левым и, нулевым правым, аннулятором, G — нильпотентная группа. Тогда, в любом ненулевом идеале группового кольца, RG содержится, ненулевой G-центральный элемент.

Следующие два примера показывают, что условие R1 = Rr = 0 является существенным в теореме 5, как и в теореме Залесского.

Пример 2. Пусть R — кольцо с ненулевым аннулятором. Если группа G не абелева, то существует такой ненулевой идеал I кольца RG, который не содержит ненулевых С-центральных элементов: I = {nrg \ п G Z}, где 0 ф г G R°, g G G \ Gc. Если при этом G ф GA и g G G \ GA, то I П RGa = 0.

Пример 3. Пусть II — кольцо с нулевым левым, но ненулевым правым аннулятором. А именно пусть аддитивная группа кольца R имеет базис {г\,г2,1г}, где Г\,Г2 G Rr и 1Г — правая единица. Пусть G ф GA и g G G \ GA. Рассмотрим идеал I кольца RG, который порождается элементом г\е + Г2д. Заметим, что любой элемент а G I имеет вид а = (г\е + Г2д) nhh = (nh^i +

heG heG

ng-ihr2)h, где rih G Z. Пусть a € I П RGA. Если h ^ GA, то ci(a,h) = 0, поэтому rih = 0. Если h € Ga, то gh ^ Ga и ci(a,gh) = 0, поэтому nu = 0. Таким образом, а = 0 и I П RGA = 0.

В связи с теоремой 5 и теоремой Залесского возникает вопрос: если I < RG и I П RGA ф 0, то всегда ли I содержит ненулевой G-центральный элемент? Оказывается, что это так для колец нулевой характеристики.

Теорема 6. Пусть R — кольцо нулевой ха,ра,кт,ери,ст,и,ки, с нулевым,и, левым и, правым, аннуля-торами, I <\ RG и I П RGA ф 0. Тогда, I содержит ненулевой G-центральный элемент.

m

Доказательство. Пусть 0 ф а = Y1 гг9г € / П RGA, где 0 ф Гг G R, gi G GA, gi ф gj при

г=0

г ф j. Если go ф е, то возьмем такой элемент r G R, что ГоГ ф 0, и рассмотрим ненулевой элемент а ■ r g(J-1 Gif) RGA. Поэтому будем считать, что до = е.

(m \ k

jj С (gi)), где С (gi) = {gi,j}jZ_y Нетрудно убедиться, что H — нормальная подгруппа в G конечного индекса п. Заметим, что Сс(дг)/П — подгруппа в G/H индекса ki и

п

ICcj(gi)/H\ = тт- Пусть G = (J XiH. Возьмем такие элементы r, r1 G R, что r'ror ф 0. Тогда имеем

i * г=1

n m ki

а' = ^ r'Xi ■ а ■ гх~1 = пг'гог + ^ ^

tvi

i= 1 i= 1 j=1 Согласно лемме 2, элемент а' является G-центральным. При этом а' ф 0, так как пг'гог ф 0. Теорема

доказана.

Наконец получим еще один важный результат, касающийся колец с большим центром. Теорема 7. Если G — FC-группа (в частности, если группа G или факторгруппа G/Gc конечна) и R IIC-кольцо нулевой хара,кт,ерист,ики, то RG — IIC-кольцо.

Доказательство. Пусть 0 ф I<\RG. Обозначим через Iq множество всех ненулевых элементов I с минимальной мощностью носителя. Пусть a G /о - Если a G R°G, то a G Cen(RG) и lP\Cen(RG) ф 0. Иначе найдется такой элемент r G R, что аг ф 0 или га ф 0. Без ограничения общности считаем, что аг ф 0. Тогда ar G /о и supp(ar) = supp(a), поэтому ci(a,g) ■ г ф 0 при всех g G supp(a). Если е ^ supp(a), g G supp(a), то e € supp(a • rg~l), где a ■ rg~l G Iq. Будем считать, что e € supp(a). По теореме 2 найдется элемент a' G /о П RCG, при этом е € supp(a'). Будем считать, что a G /о П RCG и гго = ГоГ ф 0, где Го = ci(a, е). Если ar G R°G, то /П Сеп(ЕС) ф 0. Иначе найдется такой элемент r' G R, что г'ГоГ ф 0 или ггог' ф 0. Проделав те же действия, что и при доказательстве теоремы 6, получим ненулевой G-центральный элемент a' G I. Согласно лемме 3, I П Cen(_RG) ф 0. Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Armendariz Е.Р., Birkenmeier G.F., Park J.K. Idéal intrinsic extensions with connections to Pi-rings // J. Pure and Appl. Algebra. 2009. 213. 1756-1776.

8 ВМУ, математика, механика, №3

2. Залесский А.Е., Михалев A.B. Групповые кольца // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Т. 2. М.: ВИНИТИ, 1973. 5-118.

Поступила в редакцию 07.09.2015

УДК 517; 514; 519.2

ШАР, СФЕРА И ВСЁ-ВСЁ-ВСЁ В. А. Зорич1

Памяти

Андрея Александровича Гончара

Описана связь многомерной геометрии со статистической термодинамикой и законами больших чисел.

Ключевые слова: многомерная геометрия, статистическая термодинамика, законы больших чисел.

We describe the relationship of multidimensional geometry with statistical thermodynamics and with laws of large numbers.

Key words: multidimensional geometry, statistical thermodynamics, laws of large numbers.

Механико-математическому факультету МГУ в 2013 г. исполнилось 80 лет, как и его кафедре математического анализа, где мне довелось пересечься и работать с Андреем Александровичем Гончаром.

У кафедры с момента ее образования в 1933 г. были последовательно четыре заведующих: Михаил Алексеевич Лаврентьев, Александр Осипович Гельфонд, Александр Яковлевич Хинчин, Николай Владимирович Ефимов, которых, к сожалению, уже нет в живых, но которые не ушли из нашей памяти. Сейчас кафедрой заведует Виктор Антонович Садовничий. При Николае Владимировиче я, например, только пришел на кафедру и впервые читал курс математического анализа математикам. Александра Яковлевича я застал, будучи студентом; он нам читал курс анализа, причем это было его последнее чтение (дочитывал нам этот курс Сергей Борисович Стечкин). Александр Осипович читал нам комплексный анализ. Михаила Алексеевича я в МГУ не застал, но судьба сложилась так, что, когда он уже командовал не кафедрой, а наукой в Сибири, я решил одну его задачу, и по его приглашению наша первая научная встреча состоялась в Новосибирском академгородке в Институте гидродинамики.

Когда я пришел на кафедру, Андрей Александрович (который позже перешел в Математический институт и на кафедру теории функций) уже вовсю читал лекции по анализу существовавшему тогда на мехмате инженерному потоку, а лектор и докладчик он был прекрасный, о чем уже писали многие. Его коронный прием и тогда, и много лет спустя состоял, как мне кажется, в том, что он находил простейшую ситуацию и давал идеальную постановку задачи, в которой суть вопроса обнажалась полностью, не будучи обремененной случайными обстоятельствам и отвлекающими деталями. Многие обобщения после этого уже представлялись упражнениями.

Но первое знакомство с Андреем Александровичем произошло много раньше, когда он пришел к нам в студенческую группу первого или второго курса в качестве аспиранта-куратора группы. Потом был научный семинар Алексея Ивановича Маркушевича, на котором не раз выступал Гончар. Перескакивая через очень многое, замечу, что, хотя я сам не занимался непосредственно тематикой Андрея Александровича, помню что один из первых публичных докладов в Москве о решении задачи М.А. Лаврентьева был сделан как раз на семинаре A.A. Гончара в отделе комплексного анализа Математического института Стеклова. И тогда, и до самого конца на семинаре А. А. Гончара могла присутствовать разная тематика.

1 Зорич Владимир Антонович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vzorQmccme.ru.