CC BY
4Об инвариантности строго наследственных радикалов относительно эндоморфизмов
о ы
а
s
«
а б
Мушруб Владимир Александрович,
к.ф.-м.н., доцент кафедры экономико-математических методов РЭУ им. Г.В. Плеханова, e-mail: mushrub@yandex. ru
Сухорукова Ирина Владимировна,
д.э.н., профессор кафедры высшей математики, РЭУ им. Г.В. Плеханова, suhorukovaira@yandex.ru
Беляев Александр Афанасьевич
к. ф.-м. н., доцент Департамента анализа данных, принятия решений и финансовых технологий Финансового университета при Правительстве Российской Федерации, e-mail: al_al_belyaev@mail.ru
Павловский Владимир Владимирович,
старший преподаватель кафедры экономико-математических методов РЭУ им. Г.В. Плеханова, e-mail: vlpavl2000@mail.ru
Данная статья является важным этапом работы авторов по развитию теории инвариантности радикалов ассоциативных алгебр под действием эндоморфизмов. В данной работе найдены условия на алгебру К и ее эндоморфизм ^ достаточные для того, чтобы строго наследственный радикал был ^идеалом.
Следует напомнить, что согласно определению в классе всех ассоциативных алгебр над полем Крадикал алгебр должен быть инвариантен только относительно сюръективных гомоморфизмов алгебры. В то время как любой радикал в категории модули, в отличие от радикалов алгебр, инвариантен относительно всех гомоморфизмов модулей. В частности, следует, что радикал (М) любого модуля М является инвариантным при любом гомоморфном отображении модуля М в себя. Таким образом, естественно возникает следующая проблема.
Проблема. Найти условия на алгебру Ки ее эндоморфизм ^ которые обеспечивают инвариантность радикала р(К) относительно эндоморфизма Г В настоящей статье мы решаем эту проблему для строго наследственных радикалов р и эндоморфизмов f с р-радикальным
ядром (Кег / ср(Я)).
Проблема определения, является ли данный радикал алгебры инвариантным относительно ее эндоморфизмов некоторого специального вида, называется проблемой инвариантности радикала относительно эндоморфизмов. Эта проблема носит чисто познавательный интерес, но имеет при этом различные приложения в теории колец косых многочленов и косых полугрупповых колец. В случае первичного радикала данная проблема приобретает особую актуальность. Ключевые слова: инвариантность, эндоморфизм, наследственные радикалы, ассоциативные алгебры
Идеал I алгебры Я называется инвариантным относительно эндоморфизма / : Я ^ Я, если
/(I) СI Идеал I называется /-идеалом
(см. [1]), если / I) = I. Идеал I называет/ -замкнутым (см. [2]),
ся
если
I = / (Я/ (I)Я) для всех целых положительных чисел п .
Напомним одно из возможных определений радикала в классе всех ассоциативных К-алгебр. Радикал р - это отображение класса всех К-алгебр в себя, сопоставляющее каждой алгебре Я некоторый ее идеал р( Я ) и обладающее тремя свойствами:
(1) если / : Я ^ £ - сюръективный гомоморфизм алгебр, то /(р(Я)) С р(£) ;
(2) во всякой алгебре А выполнено равенство р(р(А)) С р(А) и идеал р(А) является
наибольшим среди всех идеалов I, для которых р(I) = I;
(3) р( А/ р( А)) = 0.
В определении радикал т в категории Я -модулей вместо условия (3) имеется более сильное условие: если / : М ^ N - любой
гомоморфизм левых Я -модулей, то / (т(М) ст( N).
Поэтому представляется интересным следующая проблема. Найти условия на алгебру и ее эндоморфизм, при которых тот или иной радикал алгебры является / -идеалом,
/ -инвариантным идеалом, / -замкнутым
идеалом. В статье [3] по поводу этой проблемы приведен следующий результат: первичный радикал N инвариантен относительно всех эндоморфизмов алгебры Я с радикальным ядром, если каждая нильподалгебра алгебры Я ниль-потентна и алгебра Я удовлетворяет условию максимальности на правые аннуляторы.
Напомним, что кольцо R называется кольцом Каша справа (right Kasch ring) если каждый максимальный правый идеал этого кольца является аннулятором некоторого непустого подмножества элементов данного кольца.
В работе [4] авторами настоящей статьи получен следующий результат.
Теорема. Пусть R - кольцо Каша справа, 3 - его радикал Джекобсона и f - инъективный
эндоморфизм кольца R. Предположим что выполнены следующие условия:
1) кольцо R удовлетворяет условию максимальности на правые аннуляторы;
2) 3 = П мepM для каждого бесконечного множества максимальных правых идеалов кольца R ;
3) f (R)R = R .
Тогда f (3) = 3.
Напомним, что радикал р называют строго наследственным (или сильно наследственным), если каждая подалгебра р-радикальной алгебры является р-радикальной. Примерами строго наследственных радикалов могут служить следующие классические радикалы: первичный радикал, ниль-радикал, радикал Джекобсона, ло-кально-нильпотентный радикал Левицкого.
Лемма 1. Пусть р - строго наследственный радикал в классе всех К-алгебр и / : Я ^ £ -
гомоморфизм алгебр с ядром Кег / С р(Я).
Тогда /-1(р(£)) с р(Я)
Доказательство: Введем следующие обо-
значения:
A = f "1(р( S)),
I = Кег / П / 1(р(£)). Как известно, если
обе алгебры, идеал I и фактор-алгебра по этому идеалу АI, обе р-радикальны, то и сама
алгебра А будет р-радикальна. Поэтому достаточно доказать, что алгебры I и
/-1(р(£))/1 - обе р-радикальны. Алгебра
/ (/-1(р( £))) = р( £) П 1т / будет
р-радикальной как подалгебра алгебры р(£) , а вместе с ней р-радикальна и фактор-алгебра
/-1(р( £))/1 = р( £) П 1т /
Кроме того, идеал I также р-радикален как подалгебра в радикале р(Я). Поэтому прообраз радикала / 1(р(£)) является р-радикальной алгеброй. Лемма доказана.
Пусть X = | / е N } - счетный набор формальных переменных и А = -
свободная алгебра над полем к, свободно
порожденная множеством X. Элементы этой алгебры естественно называть полиномами над
полем К . Если ¥ е А - ненулевой полином и / - целое положительное число, то обозначим через А/ (¥) сумму всех мономов м , входящих в стандартную запись полинома ¥ таких, что хI участвует в записи монома М и хк не
участвует в записи монома М при к < /. Если не существует ни одного входящего в полином ¥ монома, обладающего указанными свойствами, то положим А/ (¥) = 0.
Определим, проводя индукцию по степени, понятие упорядоченного полинома.
a). Всякий ненулевой полином нулевой степени X е К \ {0} считается упорядоченным.
b). Если п - целое положительное число, то
ненулевой полином ¥е А степени п является упорядоченным в том и только том случае, когда для любого целого положительного числа / такого, что А/ (¥) Ф 0 , справедливо либо равенство А/ (¥) = X/ • 0/ ьлибо равенство
А/ (¥) = 0/ • X/, где 0/ - некоторый ненулевой упорядоченный полином, степень которого меньше числа п.
Моном ц = X х^ Х/2 ■ • • Х/к , где X е К, будем называть правоупорядоченным, если ¡1 > ¡2 ^ ■■■ ^ /к . Ясно, что любая сумма конечного числа правоупорядоченных мономов является упорядоченным полиномом.
Определение 1. Ненулевой полином
Р = Р(Х1,..., хп ) назовем правильным, если
либо он является упорядоченным, либо представим в виде
р = ф(х1,..., хп) + ¥(хт+1,..., хп) , где т - некоторое целое положительное число, 1 <т < п, ¥(хт+1,...,хп) - ненулевой упорядоченный полином и в записи каждого мо-
О 55 I» £
55 т П
о ы
а
а
«
а б
нома, входящего в полином Ф(Л^,..., хп) , участвует хотя бы одна из переменных
xl, х2,..., хт .
Пусть Ь - алгебра с единицей над полем К и а?!, а2,..., а, ... - счетная последовательность элементов алгебры Ь. Тогда существует единственный гомоморфизм алгебр л : А ^ Ь такой, что л : х! ^ а! для всякого целого положительного числа I и л(1) = 1. Если ^ = ^(Х1..., хп) е А , то положим ^(а 1,..., ап ) = л(^). Будем говорить, что
полином ^ е А обращается в ноль на последовательности а1, а2,...,а^,..., если
я(¥) = 0 .
Если Л е А - полином положительной степени, то обозначим символом тахтЩ Л) целое неотрицательное число, наибольшее среди всех
индексов I переменных х^, участвующих в записи хотя бы одного монома, входящего в Л. Если Л е К \ {0} , то положим
тахтЩ Л) = 0 .
Определение 2. Алгебру Ь назовем псевдоалгебраической над полем К, если для любой счетной последовательности элементов этой алгебры существует ненулевой правильный полином над полем К, обращающийся в ноль на этой последовательности.
Пусть (а£) = а1, ...,а£ ,... - счетная последовательность элементов К -алгебры 1-. Ненулевой правильный полином Р е А назовем минимальным правильным полиномом последовательности (а£) если он обращается в
ноль на этой последовательности и для всякого другого правильного полинома
Л(х1,..., хт) е А такого, что
Л (а1,..., ат) = 0, либо
тахтЩ Л) > тахтЩ Р), либо одновременно справедливы равенство
тахтЩ Л) = maxind( Р) и неравенство
deg(Л) > deg(P).
Теорема 1. Пусть Ь - алгебра с единицей над полем К. Тогда алгебра Ь является псев-
доалгебраической в каждом из следующих случаев 1) и 2):
1) алгебра Ь является алгебраической над полем К;
2) нижняя размерность Гельфанда-Кириллова алгебры Ь над полем К конечна.
Доказательство. 1). Заметим, что любой
многочлен Р(х 1) от одной переменной х 1
является согласно определению выше упорядоченным и, следовательно, правильным. Пусть
а1, ...,а£ ,... - счетная последовательность
элементов алгебры Ь . Так как Ь является алгебраической над полем К , то Р(а 1) = 0 для
минимального многочлена
Р(х1) е К^х^ с А элемента а1.
2). Пусть р - нижняя размерность Гельфан-да-Кириллова алгебры Ь и N > р + 1. Ясно, что число всех правоупорядоченных мономов от N переменных степени не выше п равно числу всех унитарных одночленов кольца многочленов К[У1,..., УN], степень которых не
превосходит п, где У1,...,УN - коммутирующие между собой переменные. Как хорошо известно, это число равно числу сочетаний из N по п с повторениями
п (п + N)!
)=(( ,N1 ))=(п у )=
n!•N!
. За-
метим,
что
N!
здесь и далее с =
д(пN) = N ■ (п +1) —(п + N) > с • п* , где
1 N!.
Пусть а1, а2,..., ак ,... - счетная последовательность элементов алгебры £ и п - целое положительное число. Введем следующие обозначения:
П(п,N = {МХ,...,х*) е Цъ,...,х*):
: М(х1,. ., хN )
- унитарный правоупорядоченный моном степени не выше п }; Ж(п, N) = л(П(п,*))
= {ц(аь..., а*): ц(х1,...,х*) е П(п,*)};
О(п) = X К •ц; V = Ка1 +... + Ка* ;
цеЖ (п, N)
^(V) = К + V + V2 +... + Vn.
Очевидно, что G(n) С Fn (V) . Выберем целое положительное число m таким образом, чтобы для любого целого числа n > m было
p+1 N
справедливо неравенство w < c • n .
С каждым конечномерным подпространством алгебры L можно связать функцию dv : Z + ^ Z + такую, что
dv (n) = dim Fn (V) и действительное неот-
'ln dv (п)л
рицательное число liminf
ln n
обо-
значаемое GKdim(K[V]) . Напомним (см., например, [5]), что нижняя размерность Гель-фанда-Кириллова алгебры L над полем K определяется как
GK dim(L) = sup{GK dim(K[V]): V -
конечномерное подпространство
K -алгебры L}. Из определения нижней размерности Гельфанда-Кириллова вытекает существование сколь угодно большого целого числа n, для которого
np+1 > dy (n) > dimK G(n). Мы можем полагать, что n > m и поэтому
q(n, N) > cnN > np+1.
Из определения числа q(n,N), пространства G(n) и неравенств
q(n, N) > np+1 > dimK G(n) следует, что образы мономов из множества Q(n, N) линейно зависимы в алгебре L . Поэтому существует ненулевой упорядоченный полином
P = X ^ц • Ц(х1,..., XN )такой, что
цеЖ (n, N)
P(«1,..., On ) = 0. (Тот случай, когда
Ц1(оь..., On ) = Ц2(01,..., On ) для двух различных правоупорядоченных моно-мовЦ1(х1,...,Xn) и ц2(X1,...,Xn) степени не выше n, рассматривается как частный случай линейной зависимости образов эти двух мономов.) Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть р - строго наследственный радикал в классе всех K -алгебр. Пусть R -алгебра над полем K, J = р(R) и g - унитарный эндоморфизм алгебры R такой, что
Кег g С J. Предположим, что факторалгебра Я^ является псевдоалгебраической областью целостности. Тогда g^) С J .
Доказательство. Положим Ь = Я^. Если
г е Я , то элемент г + J е Ь будем обозначать Г . Предположим, что найдется элемент ао е J такой, что /(ао) € J и покажем, что это предположение приводит к противоречию.
Положим ак = gk(ао) при к > 1 и заметим, что ак € J при к > 1, поскольку а1 € J
и g-1( J) С J. Поэтому ак Ф 0 при к > 1 и
Пусть
а0 = 0.
р( X1,..., хп) = Ф (x1,..., хп) + ¥(хт+1,...,хп) - минимальный правильный полином последовательности ^1, а2, ..., ^к, ..., где п, т, Ф и ¥ обозначают то же, что и в определении 1, причем п = тахтЩ Р). В случае, когда многочлен Р(х1,..., хп ) = ¥(хт+1,..., хп ) упорядоченный, будем полагать т = 0 и Ф = 0 . Тогда в любом случае п > т > 0 .
Так как Р(а1,..., ап) = 0, то Р(а1,..., ап ) е J. Поэтому
р(а0,...,ап-1) е g-1(р(al,...,ап)) С .
Отсюда Р(0, «1, ..., ап-1) = 0. Повторяя эту процедуру т раз получим равенство Р(0,..., 0, а1,...,ап-т) = 0. Заметим,
т нулей
что Ф(0,..., 0, а1, ..., ап—т) = 0, так как согласно определению каждый моном в Ф содержит хотя бы одну из первых т переменных. Отсюда вытекает, что разность
¥(хЬ ..., хп-т ) = Р(0, ..., 0, хЬ ..., хп-т ) — Ф(0, ..., 0, х1, ..., хп-т) является упорядоченным полиномом, обращающимся в ноль при подстановке элементов а/ вместо переменных х/. Так как Р(х1,...,хп) - минимальный правильный многочлен последовательности а1,02,..., ак,..., то т = 0 и
р(xl,..., хп) = ¥ (xl,..., хп).
О
55 I»
55 П П Н
Предположим
сейчас,
что
О ы
а
s
«
а б
P(xi,..., xn ) Ф Ai(P). Как показано выше,
P(0, Оь ...,an_l) = 0. Тогда
P(0, Xi,...,xn_i) - ненулевой упорядоченный полином, обращающийся в ноль на последовательности ai,a*2,..., üfc-,.... Это противоречит
минимальности полинома P(xi,...,Xn) . Таким образом, P(Xi,..., xn ) = Ai(P) и, следовательно, P(xi,..., xn ) = xQ(xi,..., xn ) или P( xi,... , xn ) = Q(xl,..., xn )xi, где
Q (xi,..., xn) - некоторый упорядоченный полином.
Предположим для определенности, что
P( xi,..., xn) = Q( xi,..., xn) xi. Тогда
P(ai,..., an) = Q (ai,..., an )ai. Так как a Ф 0 и алгебра L не содержит делителей нуля, то Q(ai,..., an) = 0 , что противоречит
выбору полинома P(xi,...,xn) как минимального правильного полинома последовательности О}, ^2,..., ak,....
Итак, предположив, что g(J) ( J , мы пришли к противоречию. Следовательно, g(J) ( J . Теорема доказана.
Литература
1. Мушруб В.А., Иванкова Г.В., Мочалина Е.П. О свойствах f-колец частных первичных колец // Наука вчера, сегодня, завтра. 2016. № 7 (29). С. 20-26.
2. Мушруб В.А., Иванкова Г.В., Мочалина Е.П. О существенных правых идеалах расширения Кона-Джордана // Наука вчера, сегодня, завтра. 2016. № 7 (29). С. 26-33.
3. Мушруб В.А., Сухорукова И.В. О решетке f-замкнутых правых идеалов // Естественные и математические науки в современном мире. 2016. № 7 (42). С. 118-125.
4. Сухорукова И., Мушруб В. The Jacobson radical and ring en-domorphisms // Уральский научный вестник. 2016. Т. 4. С. 155-164.
5. Белов А.Я. Размерность Гельфанда-Кириллова относительно свободных ассоциативных алгебр// Математический сборник. 2004. том 195, № 12, С.3-26
On the invariance of strictly hereditary radicals with respect
to endomorphisms Mushrub V.A., Sukhorukova I.V., Belyaev A.A., Pavlovsky V.V.
Russian Plekhanov University of Economics, Financial University under the Government of Russian Federation Throughout this paper all algebras are associative and contain a unity. Consider an associative algebra R over a field K together with an endomorphism f of R and let p be a radical in the class of all associative algebras over K. We say that the
radical p(R) of the algebra R is invariant under the action
of f or with respect to f if f (p(R)) < p(R). The radical
p(R) is called an f-ideal if f - !(p(R)) = p(R) article
is an essential stage in authors' work on development of the theory of invariance of radicals of associative algebras under the action of endomorphisms. In this paper we find conditions on the algebra R and its endomorphism f which is sufficient for a strictly hereditary radical p( R) of R to be an f-ideal.
It should be recalled that in the class of all associative algebras over a field K the radical of algebras according to its definition obeys to be invariant only with respect to surjective homomorphisms of algebras. While, in contrast, any radical in the category of modules is invariant with respect to all homomorphisms of modules. In particular, it follows that a radical t(M) of any module M is invariant if the module M is homomorphicaly mapped into itself. So, the following natural problem arises:
Problem. Find some conditions on the algebra R and its endo-morphism f which force that the radical p(R) is invariant with respect to f.
In the present paper we solve this problem for strictly hereditary radicals p and endomorphisms f with the p-radical kernel (Ker f < p(R) ). We recall that classical radicals: the Ja-
cobson radical, the prime (Baer) radical, the nil-radical, the locally nilpotent Levitzki radical, the locally finite radical and the algebraic kernel are strictly hereditary radicals. The problem determining whether a given radical of algebras is invariant under their endomorphisms of some special kind is called as the problem of invariance of the radical with respect to endomorphisms. This problem is of purely cognitive interest, but has various applications in the theory of skew polynomial rings and skew semigroup rings. In the case of the prime radical this problem becomes of particular relevance.
References:
1. Mushrub V.A. , Ivankova, G. V., Mochalina E. P. On
properties of f-rings of quotients of prime rings // Science yesterday, today and tomorrow. 2016. No. 7 (29). P. 20-26.
2. Mushrub V.A., Ivankova, G. V., Mochalina E. P. On essential
right ideals of the Cohn-Jordan extension // Science yesterday, today, tomorrow. 2016. № 7 (29) , P. 26-33.
3. Mushrub V.A., Sukhorukova I.V. On the lattice of f-closed right
ideals // Natural and mathematical Sciences in the modern world. 2016. No. 7 (42). P. 118-125.
4. Sukhorukova I.V., Mushrub V.A. The Jacobson radical and
ring endomor-phisms // Ural scientific Bulletin 2016. T. 4., P. 155-164.
5. Belov A. Ya. The Gel'fand-Kirillov dimension of relatively free
associative algebras// Sbornik: Mathematics, 2004, volume 195:12, P. 1703-1726.
