Алгебраичность радикала в локальных кольцах Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №6

23

УДК 512.552

АЛГЕБРАИЧНОСТЬ РАДИКАЛА В ЛОКАЛЬНЫХ КОЛЬЦАХ

И. О. Качковский1

В настоящей работе автор продолжает исследование алгебраичности подмножеств некоммутативных локальных колец. (Подмножество кольца называется алгебраичным, если существует унитарный многочлен с коэффициентами из кольца, обращающийся в нуль на этом подмножестве.) В частности, доказывается теорема о том, что радикал Джекоб-сона локального кольца является алгебраичным подмножеством, если и только если он является ниль-идеалом ограниченного индекса.

Ключевые слова: косые многочлены, некоммутативное локальное кольцо, корни многочленов, алгебраичность подмножеств, радикал Джекобсона.

In this paper we continue the study of algebraic subsets of noncommutative local rings. (A subset of a ring is said to be algebraic if there exists a monic polynomial with coefficients from the ring vanishing on the subset.) In particular, we prove that the Jacobson radical of a local ring is an algebraic subset if and only if it is a nil ideal of a bounded index.

Key words: skew polynomials, noncommutative local ring, roots of polynomials, algebraicity of subsets, Jacobson radical.

1. Введение и необходимые определения. В работе автора [1] впервые изучается понятие алгебраичности подмножеств локальных колец и получены первые результаты в этом направлении. В настоящей работе продолжается исследование алгебраичности, начатое в [1], в частности доказывается гипотеза об алгебраичности радикала (гипотеза 1 в [1]).

Рассматриваются кольца косых многочленов над (вообще говоря) некоммутативными локальными кольцами. Основной объект — кольцо R[t, в] косых многочленов с коэффициентами в локальном кольце R, обычным сложением и умножением, определяемым согласно правилу ta = e(a)t. Здесь в — фиксированный эндоморфизм кольца R с условием в(1) = 1. Удобно также использовать экспоненциальное обозначение в(а) = a®. На протяжении всей работы J означает радикал Джекобсона кольца R. Отношение (в, J)-сопряженности в R определяется как

а ~ b Е R \ J, j Е J : а = x®bx-1 + j.

Оно разбивает R как множество на классы эквивалентности — классы сопряженности.

Значение многочлена f (t) = ^*=o cit% в точке а Е R определяется следующим образом:

n

f (а) = ^2 егЩг(а), i=0

где

Щ0(а) = 1, Nq,г(а) = а®-1 ... а®а, i ^ 1.

Элемент а называется (правым) корнем многочлена f (t), если f (а) = 0.

Определение 1. Подмножество А локального кольца R называется в-алгебраичным, если найдется ненулевой многочлен f (t) = tn + cn-itn-1 + ... + cit + Co Е R[t,e],Ci Е R, обращающийся на А в нуль. Наименьшая степень n таких многочленов называется рангом множества А, приведенный многочлен наименьшей степени называется минимальным многочленом множества А.

2. Алгебраичность радикала. При изучении тел большую роль играет алгебраичность классов сопряженности. Эта проблема исследовалась многими авторами, получено большое количество результатов — от классических теорем Веддерберна и Диксона до работ Лэма и Леруа (см. [2, 3]).

1 Качковский Ивам Олегович — асп. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ivan.kachkovski@gmail.com.

24

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №6

При рассмотрении алгебраичности классов в локальных кольцах в первую очередь возникает вопрос об алгебраичности класса сопряженности нулевого элемента — радикала Джекобсона.

В следующей теореме предполагается, что в = idR — тождественный автоморфизм кольца Я, и мы будем говорить просто об алгебраичности. Теорема доказывается для произвольного ассоциативного кольца с единицей, алгебраичность подмножества при этом понимается в смысле определения 1, дословно переформулированного без предположения о локальности кольца.

Теорема 1. Если радикал 3 кольца Я алгебраичен, то он — ниль-идеал ограниченного индекса. Доказательство. Рассмотрим сначала случай п = 4, который проиллюстрирует общую идею. Пусть радикал алгебраичен и его ранг алгебраичности равен 4. Минимальный многочлен для 3 имеет вид

/ (г) = г4 + а3 г3 + а2г2 + а1г + а0.

Поскольку 0 — корень /, то ао = 0. Также заметим, что для всякого 3 £ 3 элементы 3, 32 и 33 являются корнями /. Доказательство теоремы в нашем случае проведем в четыре этапа. Первый этап. Для всякого 3 £ 3 справедливы следующие равенства:

/ (3) = 34 + аз]3 + а232 + а1 3 = 0, (1.1)4

/ (3 2) = 38 + аз36 + а234 + а1 з 2 = 0, (1.2)4

/ (3 3) = 312 + азз 9 + а236 + а13 3 = 0. (1.3)4

Второй этап. Наша цель на этом этапе — избавиться от а3 определенным образом: рассмотрим равенство (1.2)4 - (1.1)4 ' 33 = 0. Имеем

38 + а336 + а234 + а32 - 37 - а336 - а235 - а134 =

= 38 - 37 - а2(35 - 34) - а1 (34 - 32) = 37(3 - 1) - а234(3 - 1) - а32(3 + 1)(3 - 1) = 0.

Сокращая последнее равенство на обратимый элемент 3 - 1, получаем

37 - а234 - а133 - а132 = 0. (2.2)4

Рассмотрим также равенство (1.3)4 - (1.1)4 ' 36 = 0. Имеем

312 + а339 + а236 + а33 - 310 - а339 - а238 - а137 = = 312 - 310 - а2(38 - 36) - а 1(37 - 33) = 310(32 - 1) - а^2 - 1) - а^Ц2 + 1)(32 - 1) = 0.

Сокращая последнее равенство на 32 - 1, получаем

310 - а236 - а135 - а133 = 0. (2.3)4

Третий этап. На этом этапе будем избавляться от а2 с помощью равенств, полученных на предыдущем этапе. Рассмотрим равенство (2.3)4 - (2.2)4 • 32 = 0. Имеем

310 - а236 - а135 - а133 - 39 + а236 + а35 + а134 = 310 - 39 + а1(34 - 33) = 39(3 - 1) + а133(3 - 1) = 0. Сокращая последнее равенство на 3 - 1, получаем

39 + а133 = 0. (3.3)4

Четвертый этап. Подставив 32 в (3.3)4, получим 318 + а36 = 0. Отнимем из полученного (3.3)4 • 33:

318 + а136 - 312 - а136 = 318 - 312 = 312(/ - 1) = 0.

Сокращая на 36 - 1, окончательно получаем 312 = 0.

Таким образом, мы доказали, что если радикал алгебраичен ранга 4, то любой элемент радикала в двенадцатой степени равен нулю.

Приведем схему доказательства в общем случае. Пусть радикал алгебраичен ранга п, его минимальный многочлен / (г) имеет вид

/ (г) = гп + ап-1гп-1 +... + а1 г.

Доказательство теоремы проводится в п этапов.

Первый этап. Заметим, что для всякого ] £ Л справедливы следующие равенства:

/ (] )= Г + ап-гГ-1 + ... + 0,1] = 0,

/ (32)= 32п + 0п-1]2п-2 + ... + о] = 0

■2п

•2п-2

2

(1.1) (1.2)

/ (3

п—1\

+ Оп-1]

•п — 2п+1

+ ... + 01]

п1

0.

(1.п — 1)

Второй этап. Получим п — 2 уравнения, в каждом избавившись от оп-1 определенным образом:

(2.2) получается из (1.2) — (1.1) • ]п-1 = 0 сокращением на ] — 1,

(2.3) получается из (1.3) — (1.1) • ]2(п-1 = 0 сокращением на ]2 — 1,

(2.п — 1) получается из (1.п — 1) — (1.1) • ](п-2)(п-1) = 0 сокращением на ]п-2 — 1. Третий этап. Получим п — 3 уравнения, в каждом избавившись от оп-2:

(3.3) получается из (2.3) — (2.2) • ]п-2 = 0 сокращением на ] — 1,

(3.4) получается из (2.4) — (2.2) • ]2(п-2) = 0 сокращением на ]2 — 1,

(3.п — 1) получается из (2.п — 1) — (2.2) • ](п-3)(п-2) = 0 сокращением на ]п—3 — 1. Продолжая процесс, на (п — 1)-м этапе получим одно уравнение, а именно

3(п-1)(п+2)/2 + (—1)п о1]п—1 = 0. На заключительном этапе подставив ]2 в (п — 1.п — 1), получим

(п — 1.п — 1)

](п-1)(п+2) + (—1)п о1 ]

п 2п 2

0.

Вычитая из последнего равенства (п — 1.п — 1) • ]п 1, будем иметь

] (п-1)(п+2) — ] (п-1)(п+4)/2 = 0,

откуда следует, что ](п-1)(п+4)/'2 = 0 для любого элемента ] £ Л. Теорема доказана. □

Теорема 1 доказана без предположения о локальности кольца Я, но при этом только для случая в = idR. В дальнейших работах будет проведено распространение и обобщение утверждения теоремы на случай локального кольца и нетождественного эндоморфизма, при этом для справедливости теоремы на эндоморфизм необходимо будет наложить достаточно жесткие ограничения. Другими словами, для локального кольца и произвольного эндоморфизма утверждение теоремы неверно, соответствующий пример приведен в работе автора [1].

В случае, когда Я — алгебра над полем нулевой характеристики, доказательство теоремы значительно упрощается, более того, можно точно найти степень нильности идеала Л и, применив теорему Нагаты-Хигмена, получить нильпотентность Л.

Предложение 1. Пусть Я — алгебра над полем нулевой характеристики, в — произвольный эндоморфизм Я (с условием в(1) = 1). Тогда радикал Джекобсона Л = Л (Я) алгебры Я в-алгебраичен ранга п, если и только если многочлен Ьп £ Я[Ь, в] обращается в нуль на Л.

Доказательство. Достаточность очевидна, докажем необходимость.

Рассмотрим случай в = idR. По условию найдется многочлен / (Ь) = Ьп + 0п-1Ьп-1 + ... + 01 Ь + 00 £ Я[Ь, в], такой, что /(]) = 0 для всех ] £ Л. Из того, что /(0) = 0, следует, что 00 = 0.

Рассмотрим произвольный элемент ] £ Л. Имеем

/ (])= ]п + 0п-1]п-1 + ... + 01 ] =0,

/ (2]) = 2п]п + 2п-10п-1 ]п-1 + ... + 201] = 0.

Рассмотрим многочлен /1(1) = 2пЬп + 2а-10п-\£а-1 + ... + 201 Ь. Согласно предыдущей формуле, /1(Л) = 0. Далее, многочлен /1 — 2/ обращается в нуль на Л, а следовательно, и многочлен

Р1 (Ь) =

1

2п 2

(/1(Ь) — 2/(Ь))

]

обращается в нуль на J. Многочлен Fi имеет степень n, его старший коэффициент равен единице, и

коэффициент при t равен нулю.

Таким образом, Fi имеет вид Fi (t) = tn + bn-itn-1 + ... + b2t2, Fi(J) = 0. Аналогичным образом,

рассматривая равенство Fi(2j) =0 и многочлен ¡2(t) = 2ntn + 2n-ibn-itn-i + ... + 22b212, построим

многочлен F2(t) = tn + cn-itn-i + ... + 0313, обращающийся в нуль на J.

Продолжая процесс, получим многочлен Fn-i(t) = tn, при этом Fn-i(J) = 0, что и требовалось.

В случае произвольного эндоморфизма в доказательство не изменяется, только в подсчетах значений

k лт / \ ûk— 1 û многочленов в точках r G R вместо rk появляются нормы Ng,k(r) = rû ■ ■ ■ rû ■ r, что никак не отражается

на построениях, так как Ng,k(2r) = 2kNg,k(r). □

Следствие. Если R — алгебра над полем нулевой характеристики, то радикал J = J (R) idR-алгебраичен тогда и только тогда, когда он нильпотентен.

Доказательство. Из предложения 1 следует, что J — ниль-идеал индекса n. По теореме Нагаты-Хигмена (см., например, [4]) ниль-идеал ограниченного индекса алгебры над полем нулевой характеристики нильпотентен. □

3. Алгебраичность всего кольца. В этом пункте эндоморфизм в предполагается тождественным. Теорема 2. Локальное кольцо R алгебраично (как множество в смысле определения 1), если и только если 1) тело D = R/J конечно и 2) радикал J алгебраичен.

Доказательство. Необходимость. Алгебраичность R означает существование такого многочлена f (t) = tn + an-itn-i + ... + ait + ao G R[t], который обращается в нуль на всем R. Образ этого многочлена при естественном эпиморфизме R[t] ^ D[t] есть ненулевой многочлен, обращающийся в нуль на каждом элементе D. Таким образом, тело D алгебраично в смысле определения 1 и, следовательно, является конечным полем (см. [5, теорема 16.7]). Необходимость второго условия очевидна.

Достаточность. Условие 1 означает, что D = R/J — конечное поле. Значит, D = GF(pn) для некоторых p,n G N. Многочлен tp — t G D[t] обращается в нуль на D. Рассмотрим многочлен g(t) = tp — t G R[t]. Для каждого элемента r кольца R имеем g(r) G J. При этом из условия 2 по теореме 1 получаем, что существует такое N G N, что tN обращается в нуль на J. Рассмотрим теперь многочлен h(t) = g(t)N. Для любого элемента r G R верно равенство h(r) = g(r)N = 0, и, таким образом, R алгебраично в смысле определения 1. □

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Качковский И.О. Алгебраичность множеств в локальных кольцах // Фунд. и прикл. матем. 2007. 13, вып. 5. 161-170.

2. Lam T.Y. A general theory of Vandermonde matrices // Exp. Math. 1986. 4. 193-215.

3. Lam T.Y., Leroy A. Hilbert 90 theorems over division rings // Trans. Amer. Mat. Soc. 1994. 345, N 2. 595-622.

4. Жевлаков К.А., Слинько А.М., Шестаков И.П., Ширшов А.И. Кольца, близкие к ассоциативным. М.: Наука, 1978.

5. Lam T.Y. A first course in noncommutative rings. Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1991.

Поступила в редакцию 06.04.2009

УДК 515.124.55, 517.518.85

КАНТОРОВО МНОЖЕСТВО И ИНТЕРПОЛЯЦИЯ О. Д. Фролкина1

В 1998 г. И. Беньямини получил интересные результаты об интерполяции последовательностей с помощью непрерывных функций R ^ R. В частности, существует такая непрерывная функция R ^ R, которая в некотором смысле "единообразно" интерполирует все последовательности (xn)nEz & [0,1]Z. В 2005 г. Р. Наулин М. и К. Узкатегуи объединили и обобщили результаты Беньямини. В данной работе для топологических пространств

1 Фролкина Ольга Дмитриевна, — канд. физ.-мат. наук, ассист. каф. общей топологии и геометрии мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: odfrolki@mail.ru, olga-frolkina@yandex.ru.