О центральной предельной теореме Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1.Вып.4.2001

УДК 519.2

О центральной ПРЕДЕЛЬНОЙ теореме 1 А.Н. Тихомиров

Получены простые достаточные условия применимости центральной предельной теоремы к последовательности случайных величин и выписана оценка скорости сходимости без явных предположений о независимости и моментах выше первого порядка. В качестве применения основных результатов приведены более простые доказательства известных теорем для сумм и квадратичных форм от независимых и слабо зависимых случайных величин, а также получены условия применимости центральной предельной теоремы для обобщенных {"-статистик и приведена оценка скорости сходимости в терминах сумм моментов образующих не выше четвертого порядка.

Введение. В 1970г., в докладе на V Берклеевском симпозиуме Ч. ('теин ([<)]) предложил новый подход к изучению близости распределений к нормальному закону. Этот подход основан на применении дифференциальных неравенств к исследованию близости'функций распределения к нормальному закону. Метод Стейна получил широкое распространение, и благодаря ему был достигнут, в частности, существенный прогресс в исследовании скорости сходимости в центральной предельной геореме для слабо зависимых величин.

В 1976г. Тихомиров А.Н. [7] вместо уравнения Ч. Стейна использовал для оценки близости к нормальному закону уравнение /'(£) = —/ /(/). /(0) = 1, описывающее характеристическую функцию нормального закона. Это позволило существенно упростить доказательство и снизить ограничения на моменты по сравнению с работой Ч. Стейна. В дальнейшем подход, изложенный в работах Тихомирова [6], [7], получил также широкое распространение. См., например, работы Булине кого ([2|), \oshihara ([10]). Сунклодаса ([5]) и других. Следует

'Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ №99-01-001]2

"с) Тихомиров А.Н.. 2001.

отметить, что почти все применения относились к исседовашпо скорости сходимости в центральной предельной теореме. Во многих задачах требуется установить лишь сходимость к нормальном)' закону. Одно из исключений представляет работа Н.К. Бакирова ([!]).

Подход, описанный в работе [6], позволяет сформулировать простые достаточные условия применимости центральной предельной теоремы без явных предположений о характере зависимости случайных величин и ограничений на моменты. Мы дадим также оценку близости к' нормальному закону без использования явных предположений о зависимости и моментах случайных величин. Формулировке и доказательству этих результатов посвящен п. 1. В п.п. 2-6 мы рассматриваем различные применения основных теорем. В частности, мы приведем доказательство теоремы Линдеберга , доказательство центральной предельной теоремы для сумм стационарно связанных случайных величин. удовлетворяющих условию сильного перемешивания (п.2), доказательство центральной предельной теоремы для квадратичных форм от независимых величин (п. 3), центральной предельной теоремы для обобщенных {/'-статистик второго порядка (п. 4), а также оценку скорости сходимости в центральной предельной теореме для обобщенных I/-('татистик (п.5).

1. Основные результаты. Пусть на. вероятностном пространстве {И.Ш,Р) дана, последовательность ст-алгебр С Ш я случайных величин £'„, имеющих конечное математическое ожидание, Е|Стп| < оо. Положим И'*п = Е(6'„|^г„). Для любой последовательности И'* случайных величин с конечным математическим ожиданием определим

= Щг — И'* И фуНКЦИИ

где

л(0 = ЕС;пеггИЯ

.2(0 = Е| Е{ ( Сп(еиА» - 1) - ЕСп(еи*» - 1) ) Тп) }

Теорема 1. Пусть

с„(*)->о и <5п(0-»о

(1.2)

равномерно в любом конечном интервале. Тогда

гЛ.фИ = _£_ / е-г1Чу. —

Ниже мы приведем оценку близости к нормальному закону в терминах функций ¿п(/) и £„(/). Положим

1,(Т) = яир

' М<Т

Теорема 2. Для любого 7. О < 7 < 1, и любого Т > 0 такого, что ('. I Т) < 7, имеет место неравенство

Т ,2 4

.ОМ, . / '' , ЯП

sup! Р{11'„ < .г} - ф(.г) < - + -i—i- + — / -- / \£{u)\e-dudt,.

■r * J - 1 - 1 J t J

0 0

• (J-3)

Доказательство Теоремы 1. Рассмотрим характеристическую функцию случайной величины fn(t) = EeitWn. Поскольку Е|И7„| < E;G'„| < ос, производную функции /„(/) молено записать в виде

/:(/) = г'ЕИ^е''"« = iEGneitW". Продолжая это равенство, мы получим £(/) = iEGneilW" + /Еб'Л 1 - с~,чд" )е'ж"

= tEGne'tlV" + ?:Е6'П(1 - е~'лЛ" )E(.itWn + /E;G,.(I - )

-EG;i.(l - (1.4)

= /EG',,е-'"1" + /'EG„( 1 - e.-UA»)fn(t) + E[E(G'„(1 - e-'<A") -EG'^l-r-1''^))!^]^'"''.

Эподу в дальнейшем символом в(-) с индексом или без будем обозначать функции аргументов, указанных в скобках, такие что |0(-)| < 1, а символом С с индексом или без будем обозначать абсолютные константы, необязятельно одни и те же. С учетом сказанного, используя шюозначегпш, введенные ранее, перепишем равенство (1.4) в виде

№) = -1(1-8п(-1))Ш + 0﹄(-1). (1.5)

Считывая, что /„(0) = 1. перепишем равенство (1.5) в интегральной рме

,(<) = е.гр| + у iibn(v)du J

о

i и

х (l + j в( и)гп(и) ехр{ а2 ¡2 - I u8n{z)dz J А/). (1.6)

Поскольку по условию и епЦ) равномерно в любом конечном интервале стремятся к 0, (1.6) влечет

Ш^е-Т,

„. I

что и доказывает теорему 1.

Доказательство теоремы 2. Заметим, что для |»| < \1\ < Т имеет место неравенство

1.8

Из соотношений (1.6) и (1.8) следует, что в области Щ < Т справедливо равенство

I

ш = ехр{ -~+в(1)ЫТ)^ }+0(О I к„(»)|ехр{ }с1и

о

(1.9)

.Равенство (1.9) немедленно влечет оценку разности характеристических функций

Ш-е-т \ < 6п('Г)?ех

И

+ / |«г„(и)|ехр{--

(/2-»2)( 1-0)

> Ну.

Применяя неравенство Ессеена (см. [4, гл. 5, с. 154]). мы получим, что

Теорема 2 доказана.

Поскольку многие приложения связаны с суммами случайных величин, переформулируем теорему 1 для случая схемы серий. Рассмотрим схему серий случайных величин А'„1п = 1,2.... Будем предполагать, что БА'„/0 = 0, к = 1,..., кп, п = 1,2..... Положим

к п

В1 = Е 81

к=1

Для произвольной последовательности ,!>„,• положим

= ( 3„ ,Ь„, )ВП ■

Имеет место следующая

Теорема 3. Пусть для любого п > 1 сущест.вует последовательность случайных величин $„;, J — 1,.... кп,такая, что равномерно по I в любом, конечном интервале

1)

2)

У! .

^=1

О при п

эо

:;=1

II

I к-п

- 1 5 ЕХП](е

./ = 1

О при п

ос.

Тогда,

Р{-3'п! В,, < .г} —>• Ф(.т) при п —>■ с».

Заметим, что в сформулированной теореме делаются лишь минимальные моментые предположения.

Доказательство теоремы. Пусть 1п случайная величина, рав-г-дмерно распределенная на множестве {1 Положим Оп =

Ж:%кпхп1„. Тогда В~*$п = Е^ Оп\рп ^ , где Тп «т-алгебра, порожденная

тгучаиными величинами Хп\Хпкп. Далее положим IV* = В~[3П1п. .^трудно видеть, что во введенных обозначениях имеет место равен-

гзо

" 3=1

е а

.¡'¡И'*

Тп

•■Отсюда следует что условия 1), 2) и 3) теоремы 2 эквивалентнтны усло-лззм теоремы 1. 1'еорема 3 доказана.

2. Суммы независимых и слабо зависимых случайных ВеЛИ-

ЧПН.

Сначала рассмотрим доказательство теоремы Линдеберга для неза-"~тмых в каждой серии случайных величин. Пусть ХП1, ] = 1,. .. . кп. = 1,2,... образуют схему серий независимых в каждой серии слу-:3ных величин с нулевым средним, ЕА"П)- = 0, и'конечной диспе-= ЕА"'2;. Пусть 5' и В* означают как и выше сумму

"зиеп. а

•К)

об

Тихомиров А Н.

и дисперсию суммы случайных величин в п-ой серии, а символом РП](х) обозначим функцию распределения случайной величины

Рп1(х) = Р< Хп} < х [. Для любого т > 0 определим дробь Лпндеберга

а-„

(2.1;

\г\>тВ„

Теорема 4. Пусть для любого т > 0 Ьп(т) —► 0 при и —> оо. Тогда

р{ н;\чп <;г| ->Ф(.г). Доказательство теоремы. Покажем. что в этом случае выпол-

цены условия 1) 3) теоремы 3. Рассмотрим = У; А„а-. ] =

к=\,кф]

1_____ кп. Условие 1) выполнено в силу независимости и центрированности случайных величин. Рассмотрим условия 2) и 3). Заметим, что = ХП1В~1. Условие 2) имеет вид

В

1 £Е.\\,(-----: 1 • 1

3 = 1

И

(2.2)

Заметим, что В\ = поэтому условие 2) эквивалентно тому.

что

_ еихп]вп 1 _ _ ИХ,,, В:1

¡1

) —> 0 при и —> ос. (2.3)

I >2

Далее, используя неравенство |е,х — 1 — гх\ < тт{2|ж|, мы получим

Е¥ ■

Сихп]/В„ _ 1 11 Xп : / Н:

и

<

2вг

Ь-Л/К,+ I

|:г| <тВ~ ''

г

в,

П >тВ„

х2с1РП](.с)

п,

|а'„;|>гВ„

Отсюда следует, что

д

й

<тЩ + 1п(т). (2.4)

Из (2.4) следует (2.3), а значит и условие 2) теоремы 3. Рассмотрим условие 3):

- 1) - - о) | — 0 при

ТГЕ| Л><Ле"""'""" ~ 11 - ¡с.....-1)1 -► и при п оо.

(2.5)

Положим = {Хп^[сиХ^Вп - 1) - ЕЛ',.//'*"-'/«» _ 1)). Заметим, что независимы и Е|£„,-|2 < оо, ( < 2(|Х,У | + Е|А'„,-| ). Следовательно,

п кп

Далее.

Ек%|2<4 У ЛИ-..,-.,-) •! (2.7)

М>г 8П

Из (2.6). (2.7) следует, что

1/2

(Х"> (C"X"J/В" -1) ~ ЕА"«-> (е'"'А'^/Вп - 1)) | < ( ¡/- И + С7

(2.8)

Очевидно, ч го (2.8) влечет (2.5), а. следовательно и условие 3). Теорема доказана.

Теперь рассмотрим приложения к суммам слабо зависимых случайных величин. 11усть Л'|, Л'2,... - стационарная в узком смысле последовательность случайных величин с нулевым средним, ЕЛ"; = 0, удовлетворяющая условию сильного перемешивания с коэффициентом

о(//) = sup ¡Р(.4В) - Р(/1)Р(£)| —> 0 при и оо. лея ¡i,Vi

1зесь и далее Шьа означает сг-алгебру, порожденную случайными великанами Xj. когда j £ [а, 6].

Докажем следующую известную теорему

Теорема 5. Пусть для некоторого 6 > 0 выполнены условия

(a) ¿[«(fc)]2+' < ос

k= I

2+А

Ц>) E|A"i | ■ < ос., (с) lim Bin'1 = а2 > 0.

Тогда к последовательности применима центральная предельная т.еорема, т.е.

Р| $пВ~1 < .г | —> Ф(.г).

См.. например, Ибрагимов, Линии к [3, гл.17].

Доказательство теоремы. • Мы воспользуемся известным неравенством для оценки ковариации '"далеких'" случайных величин. Если £ измерима относительно сг-алгебры Шьа. а Т] измерима относительно сг-алгебры и Е|^|2+й < сю, Е|т/|2+г < ос. то

Е& - Е£Е/,

(2.9)

(См. [3. теорема 17.2.2]). Если в дополнение случайная величина. £ ограничена, т.е. < Со- тогда

Е£// - ЩЕ'Г] < СС'о[о(?7?)] Е|г/12+л.

(2.10)

Пусть 0 < 7 < 1. Конкретным выбором 7 распорядимся позднее. Положим 3П} = £ Хк- Тогда Ап/ = В~1 Хк Из неравенства. (2.10)

\к—.Ц>т |А'-./|<»'

следует, что условие 1) теоремы 3 выполнено, если

1 + А

\/?г[о'(т)]2+* —> 0, при и

ОС.

2.11

Не умаляя общности мы можем считать, что 6 < 1. Неравенство (2.10) влечет, что условие 2) теоремы 3 будет выполнено, если

К'Т.

Е

к=\ —А-|>ж

- />')]2+' —+ 0, при

л

" , ¡ЛАгчВп] __ I _ , / А ./3-1 3 = 1 1

'ОС.

0.

2.12)

(2.13)

Поскольку а(п) монотонная последовательность, и выполнено усло-

£

вие (а), мы имеем п[сфг)]2+* —► 0 при п —> ос. Отсюда следует, что

условия (2.11) и (2.12) будут выполнены, если выбрать 7 пользуя известное неравенство |ег'и — 1 — ;'.г| < С|.р|1+4, получим, что

2 + 2^

Ис

>1ЛП1ВП' _ I ,/д .п-1

а

< СВ^^ПХзИ^;,

3 = 1

< Сп~6'2т2Е\Х\2+5.

1 +.5

В силу выбора. 77? имеет место соотношение п~д^2гп2 -> 0. Следовательно. условие 2) выполнено. Покажем, что в условиях теоремы выполнено условие 3) теоремы 3. Положим = Л'г-(е,<Ап-' — I) — КЛ'д/ л' ' 1). Заметим, что < 2(|А?| + Е|Аг|). Следовательно, Е|(,!'! < ("Е|А";|2+|\ Обозначим символом о комплексно сопряженное к числу а. Имеет место следующая цепочка неравенств.

2\ 1/2

1/2

/с'Е< (а;2еЕ^

i

./=1

<

j = l k:\k-j\>3m j = í k:\k-;¡\<3m

В силу условия (с) теоремы и неравенства. (2.9) для всех достаточно больших /г справедливо неравенство

ВА Е Е ^Е Е м* --

= 1 а::|а--./'|>3/н ./'=1 а:|а-./|>зш

Последнее в свою очередь влечет, что

j=J k:\k-j\>3m k>m

0 при н —> ос. (2.14)

Кроме того, имеет место следующее неравенство

Eí/fi-

Е

.1= 1 k:\k-j\<3m

<fíñ2Y, Е El/%¡2Et/2^i2

4=1 a:¡a--j|<3ro

Очевидно, что для любого j = 1,.. ..п справедливы неравенства.

Efo-I2 < Cfl,75E|A¿|2|Anjf < С В ~s mE\X ¡ |2+,s. Отсюда следует, что для достаточно больших п

в~2Е Е - г'

./=1 k:\k-j\<3m

(2.15)

Как уже отмечалось выше, п й!2т2 —► 0. Соотношения (2.14) н (2.15) доказывают условие 3) теоремы 3. а следовательно и теорему в целом.

3. Центральная предельная теорема для квадратичных

форм. Рассмотрим условия применимости ЦПТ для квадратичных форм. Пусть Хх, Л2, • • • последовательность независимых случайных величин с нулевым средним, ЕЛ"/,. = 0, и дисперсией а2 = ЕЛ"^, к = 1,2,.... Будем предполагать, что последовательность Л ¡\ Л|,. . . равномерно интегрируема, т.е.

тахЕЛ"21/у >л/) —► 0 при М —> оо. (3.1)

Рассмотрим квадратичную форму вида

И

Яп = ^ а^Х^Х,.

3-1=1

где матрица коэффициентов Л'71' = предполагается симме-

тричной и диагональные элементы а'"' = 0. Относительно матрицы коэффициентов А^ предположим также, что

— 0 при, - ос, (3.2)

где под || понимаем спектральную норму (в силу симметрии ма-

трицы Д'") - это модуль максимального по абсолютной величине собственного числа), а под ||,4'п'||2 - норму Фробениуса. Заметим, что

а2„ = ЕЯ1 = 2<т4\\ЛМ\& (3.3)

Условие (3.2) эквивалентно условию

^К1 —»0прип->оо, (3,1)

где Х\п) максимальное по абсолютной величине собственное число матрицы д(™'.

Теорема 6. Пусть выполнены условия (3.1). (3.2). Тогда

Я

( — < X } -> Ф(;г) при п —> ОО.

I СГп J

Доказательство теоремы. Не умаляя общности будем считать, что ||Д(«)||2 = 1 и а4 = 1/2. Положим

п

М = max If/;?'I, Lj = У laj'^P, С = max С,.

l<k,j<n 1 jK " 3 1 0 1 ' l<7<n J-

- J- 1=1

Известно, что

М <С< ¡!,4('0||., (3.5)

Условия (3.2) п (3.5) в предположении, что ||Л'"'||2 = 1, влекут, что

М — 0. С — 0, при п — ос. (3.6)

Введем в рассмотрение величины

П /) 11

V- V л . + V алХ1Х. = 2.x, 41>х'- (3-7)

/=! /=! I-1

Нетрудно виде I I). что

I

В качестве >',,, рассмотрим последовательность

- ^ ] = 1...., п.

Очевидно, что Л„; = V,.

Сначала рассмотрим случай, когда случайные величины Л'?, = -.2.....ограничены, т.е.

< м. . (3.8)

Рассмотрим условия 1)-3) теоремы 3. Условие 1) выполнено, по-••чольку

II /=1

&егь и далее Т3п = сг(Л'ь .... .\j-_i, Л'/+1......\'„). Заметим, что при

их п ре д 11 о ложен и я х

Ллпользуя равенство (3.9). мы перепишем условие 2) в виде

7 = 1

В силу известного неравенства |е"' — 1 — гт| < ||х|2 мы получим, что

3 = 1 .7 = 1

Применяя неравенство Розенталя (см. [4], гл.З, стр.99), мы получим

3.10)

/=1

1*з

+ CEWrm?)'*

В силу условия (3.2) и предположения о норме матрицы имеет место

Е (Е + (ЕЙ?')2)3'2)) <М+С-,0 при

Неравенство (3.10) и последнее соотношение влекут условие 2). Рассмотрим теперь условие 3) теоремы 3. Заметим, что

Е

.7 = 1

£ÜYj

+

3 = 1

1)

(з.и;

< /-

ЕВД3

3 = 1

Как было показано выше, первая сумма в правой части (3.11) стремится к нулю. Второе слагаемое в правой части (3.11) представим в виде

к - Elf) = Ywfyt - Ev:-Ev^ + DEV' -E*'>

\, = 1 ' j*k 3 = 1

2v2,

j '

Последняя сумма стремится к 0 в силу условия (3.2) и неравенства Розенталя. Действительно,

i=i

Е|У?-14 < < сл/в(х;и?)14+(х; и

1=1 1=1

Отсюда следует, что

п

Е|У} I4 < СМ* ( М2 + С2) 0.

(п)|2 \2

Л I )

3 = 1

Рассмотрим первую сумму. Заметим, что

п 2 п ЕУ?У*2 , ЕХ]Х1 <ЫХ,) акзХ.

1=1 5=]

Продолжим это равенство следующим образом

где

г = 1

5'

5

■'(2)

]к

(3)

д-

оН)

(5)

'-фк ■ Ч.-7.:

1фк

Е

1фк

У" аьЛ"5 );

3

,к

.V = а

к]1

(8)

Д"

^1фк

4^x1

- С (6) с(8) А

'•32!1СТИМ, ЧТО = Ь:к = и.

О при 77. —» "v .

п п

Е С ^ *%£>)< С С* — О при н оо.

3,к= 1 ),к=1

— О при п оо.

3,к .¡,к

—> опРи"

3,к 3

Е \sfjl < С С2 -у 0 при п —> оо.

3,к

У] |,5д?| < С С —> 0 при п —> -оо.

3,к

Наконец, представим в виде

где

];> = ЕХ^Е^мУ^Л

1фк вф)

= Е Е ЕЕ ЕЛ'Л''!

1фк Ьфк яфз Slфj

- ,/,(!) + 7'Я 4-

— *р]к + У]к + ^зк '

,-2

I I ф

Зк ~ °

I я

Заметим, что

ЕУ/Е1/ = ЕЛ^ЕЛ"! Е Е =

I э

Следовательно,

Е Е( - ШУ? ЕП») I < Е Е +Е + Е И?|-

3,к Г=2 J.k зк .¡.к-

Е < СС2 —► 0 "Ри «• ^ 00"

и. наконец.

ЕИ^ЕЕ^^м1"1^.

],к I л

В силу неравенства ||(.4(,1')2||2 < ¡Л'/'^ЦА'"')^, условия (17) и равенства || || 2 = 1 имеем

Е -

- м-

Таким образом, из теоремы 3 следует, что для последовательностей квадратичных форм от ограниченных случайных величин имеет место центральная предельная теорема.

Теперь перейдем к общему случаю. Пусть

X?1 = Л'Д{|х,|<л/} - ЕЛ^1{|л0|<м};

X™ = - ЕА"Д{|Д^|>м}.

Очевидно, что < 2М и А", = Х^ + X*1. Представим (]„. в виде

Яп = Я1! + Яп +

где

вГ-ЕацХУХ?.

Заметим, что если выполнено условие (3.10), то

Е(Й')2 - 2<2 Е — 0 при М - х-

л,г

равномерно по п > 1. Аналогично

ЩЯп? = 2<т"3 £ «2лЩХ? )2Е(ХП2 — 0 при М^оо равномерно по п > 1. Отсюда следует, что

равномерно по п > 1. В силу леммы

Р{Яп{М)/ап(М) < х} —+ Ф(.г) при » -> сс для любого (фиксированного М. Выбирая М столь большим, чтобы

а2

- 1

< f для всех п > 1;

P{\Qn(M)/an\ > £} < s/2 для всех п> 1: P{\Qn(M)/an\ > е} < s/2 для всех п > 1. мы получим, что для всех п > N(e)

\Р{Яп/сГп<х}-Ф(х)\<£.

Т.е.

P{Qn/*n < —► Ф(-г-) при и оо.

Итак, теорема доказана полностью.

4. Центральная предельная теорема для обобщенных U-статистик.

Рассмотрим статистики вида,

' г'*= £ giA^.x,).

1<1Фз<кп

Относительно функций дц{Х\, Xj) будем предполагать, что

(«) gij{XhX.,) = g:,i (Xj, Xi);

(b) Е((/ л Л';. .V, i Л ;) • 0:

(c) <?fj = Egfj(Xl,Xj)<oo, ^ = 2£

1:1

Ф

(¿0 max alj2'Egij(Xi,Xj )I{\aiAXl,x3)\>M} —► 0 при \1 •• :v:

____ „_. \2

a:2

£ E | £ gik (x,, .V;, )</,..i .V .•. хк) I —>0 при n oo;

A: -

( /') <7„ 2 max / u2k —► 0 при n —> oo.

к

Имеет место следующая теорема

Теорема 7. Если выполнены условия (а) -(/), то

Р{и2/ап < —> Ф(;г) при п ОС'.

Доказательство теоремы. Для применения теоремы 3 определим последовательность

кфз ¡Фз

Положим

к п к=1

Нетрудно видеть, что

^ = Д«, = УХ1.

Покажем, что выполнены условия 1)-3) теоремы 3. Проверим условие 1). Имеет место очевидное равенство

к-„

1=1 к„

1= I

Последнее равенство очевидным образом влечет условие Г). Рассмотрим теперь условия 2) и 3). Предположим сначала, что

< М-

Как и в случае квадратичных форм, введем обозначения

кп

С; = > сг,2;. С = тах £,.

¿-*1 1<7<Г!

Применяя неравенство Розенталя к суммам условно независимых величин, получим

¡Фз

к

3/2'

а

и

.¡=í '

7 = 1 4 1ф]

3/2

Заметим, что в силу равенства а2 = и уювин (/)> мы имеем

к,1

соотношение

к„

7 = 1 I

3 ЕЕ ^ ап1 тах ( > " ) = 1 —+ 0 при П ОО.

1/2

О",

-3

7 = 1 4 ¥7

3/2

7 = 1 кп

77

¥7

= о-,.

7 = 1

кп

Е Е3/4 Е Е е (4- № • ) 1Л0)Е (, х,)! л-

1фз кф]

3/4

1- г/., ад

кп Г- -1 3/4

^ о /о ■) л. 'v x 4 v ^ о -1

3/4

лг"Ч5£ ЕЕ

^ = 1 кф.7 к л

-3

7 = 1

< Мз12а~1 С —► 0 при п —оо.

С ледовате.1 н>но,

сг

;3 £ Е|У}|3 —► 0 при п — оо,

и условие 2) выполнено. Совершенно аналогично показывается, что

-'^ТЕД-д.1' >0. при п- сю. (4.1)

з,к

<7„

Перейдем теперь к проверке условия 3). Рассмотрим

- .V

Е

кп

- е1 = £(еу/у;2 - еп2еу,3) + - (еп2)2).

А.-1

В силу соотношения (1) вторая сумма в правой части последнего равенства стремится к нулю, и нам достаточно исследовать только первую сумму. Представим Ук и У] в виде

VI = Уы + 2дк1(Хк,Х,), Ук1 = 2 ]Г Л".,);

У = V/;.. + 2дк;{Хк.Х}). У1к=2^91г(ХиХг).

гфк

Используя эти обозначения, мы получим равенство

еу^У;2 = ЕУ^У;2 + и1,

где

3=1

1% = 2Е</и(Хк.Х1)Ук1\]1. (:112 = Е^ДЛ;,., Л'/)Уц., /;2,з = 2Е У^ды (Хк, Л";) У)к, £'¿,4 = ЛДУыУк-,

Заметим, что

/Г:, < С Мои Е1 /2 У^2 Е1 ^2 < ак1СкС1 (4.2)

Далее,

"1.2 < М2°Ы-

(4.3)

Аналогично неравенству (4.1) получим, что

Uli3<CMakl£fX,. (4.4)

Для величины Uh 4 получим неравенство

и2к1л < С M2 Е1 ^2 Ykl Е1 ^2 У,2 < С M2 crhCk Ci. (4.5)

Кроме того имеют место неравенства

'*/.« < СМэа3ыС,, U2tJ < ('Мла:уС; (4.6)

Очевидно, что

Utlfi < M2aih l "L < • (4.7)

Поскольку

k,l

неравенства (4.2)-(4.7) влекут, что

EE^-û..

r=l k,l

Рассмотрим теперь

EY2Y2 = £

3,31 зФ1 пф1

3,4 зф1

дфк

+ 2 J2 E9ki{Хк,Xj)дкч{Хк, )gu{Xi, Xj)giq(Xl, Xq

3,4 дфк

ЗФ1

2Е

Е 9к}{Хк,Х,)ди(Xh Xj) + Y^ alpiq ~ vu

3,4

где

= E alA + E

Г-зф1 ч-чфк

Поскольку

-ЕЕ«-

ч

то в силу условия (Г) и полученных выше соотношений

кп

"пЕ

4=1

О при ?}.—>• оо.

Теорема доказана для случая < Мо]к, Общий случай

доказывается совершенно аналогично доказательству для квадратичных форм. Введем в рассмотрение функции

д[м\т у) = ¡9зк{х,у), если \д]к\ < М<т]к :'к 1 0, в противном случае

Далее, положим

У) = у) - д)к'{х, у).

и

- е(^(АлА,)|А,) +ЕдМ(Х;,Хк).

Заметим, что

}(А„ А,) \Х3 ) = Е(^Г(А.?, А„) |А,) = 0.

Положим и = хк) И (<т1м))2 = Е и2. В силу доказанного

для любого М > 0 имеет место

,(М)

ЛМ)

<т„, при М —> оо,

равномерно по п > 1. Кроме того,

кп

0Ш) = £ 0, ./.¿=1

7<Л/)

.¡,к= 1

равномерно по п > 1 при М —► оо. Поскольку

и = и{М) + и(м) - и{М\

выбирая М с толь большим, что отличается от на сколь угодно малую величину, (/(м) и сколь угодно малы и переходя к пределу по п, мы получим, что

Теорема доказана полностью.

Замечание 1. Различные условия применимости центральной предельной теоремы для обобщенных ('-статистик были получены в работе Йонга ([8]).

Замечание 2. Нетрудно видеть, что в случае квадратичных форм, gjk{X;,Xk) = ajkXjXk условие (е) эквивалентно условию (3.2).

5. О скорости сходимости в центральной предельной теореме для ( '-статистик. Введем дополнительные обозначения:

6n(t) = ----1.

j=i U кп

en(t) = a^E-j^Y^"1 -1)-ЕУ}(еш>"1 - 1) ,

3 = 1

Г'1' = a,;3 jr Elgki(Xk, X3)\\ Г«2' = a"4 £ E|gkj(Xk, X,)\\ j,k=l ¿*=i /cri кп

з,к=i /=i к к

j=i fc=i Имеет место следующая теорема.

Теорема 8. Найдется постоянная С > О, такая что

sup |р{ <7-^ < X } - Ф(*)| < С^Г*1' + Г<3> + Г?) +

Доказательство теоремы. В пункте 4 было показано, что

'№)\ <с|<К3]Ге|П|3< СИГ!,1'.

к=1

Далее,

к'г,

>(01 < + Е^/-®^2)

.7 = 1

.7 = 1

Будем теперь оценивать величину

3=1

Очевидно, что

где

П2 < П2 4- Л2

= Е ЕУ>- = Е(ЕУ'^;2 -

.7 = 1 3*1

Применяя неравенство Розенталя, мы получим

к к

.7 = 1 к= 1

к-п

Аг= 1

Продолжая это неравенство, мы получим, что

кп кп

3 = 1 кг I

.7 = 1 ¿=1

(5.1)

(5.2)

(5.3)

(5.4)

(5.5)

Для оценки В12 воспользуемся представлением, описанным в предыдущем пункте:

к*1 кф1

Заметим, что

кц

Е [

k,i=1

кп

Е Е Е№ ^ (Хк 1^'Лр ^ (Х' 'Л'' (л"' ' л"г )

к,1=1 рф1,чфк,тфк

кп

= ЕЕ E9ki(Xk, Xt)gk4,(Xk, ХР)91(Х, Хр). к,1 = 1 рф1

Используя неравенство \ab\ < 4/2(а2 + Ь'2) получим, что

ЕГш ^ ijr^EgUXk.X^fjXt.X,,)

kj=1 ' к,1=1 рф1

^ = (5.6)

i=i Р=1 Аналогично получим, что

I

кп

Е и13 < СТ<<>.

к,1=1

Далее, нетрудно видеть, что

кп

£ Eg2kt(Xk,Xt)Y? = Е Е -^Ш-Аь А",.) < СГ<4). (5.8)

к,1=1 /с, I -г

Неравенство (5.8) влечет, что

k,i

Поскольку

|Е^,№,Л0)УЫУ№| < ЕдЦХ^Х^У2 + + X,).

(5.9)

Кроме того,

Egh(Xk, Xi)Yli = EgltYik = 0. (5.10)

Неравенства (5.6) - (5.10) влекут, что

Г=: 1 А:,/

Перейдем теперь к оценке величины

кф1

В предыдущем пункте было показано, что

¡К, < = 2Г^>. (5.11)

к,1 3

Соотношения (5.1)-(5.4) и неравенства (5.5) и (5.11) влекут, что

Не умаляя общности будем считать, что Г^ < 1. В противном случае

результат верен, поскольку sup^ \P{a~lU2 < ж} — Ф(;г)| < 1. Выберем

"/ fn \ 1/2

Т = ( Г,\ J и применим теорему 2. Тогда мы получим, что

' sup |р{ a:H -¿ < х } - Ф{х)\ < С\ ( Г<" + Г<2> + Г<3> + Г<<> )1/2.

'Георема до казана.

Литература

1. Бакиров Н.К. Центральная предельная теорема для слабо зависимых величин// Mam. заметки. 1987. Том 4Т N 1. Стр. 104-109

2. Булинский A.B. Скорость сходимости в центральной поредель-ной теореме для полей ассоциированных случайных величин// Теория вероятн. и применен. 1995. Т.40. Вып.1. Стр. 165-174

3. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. // М.: Наука, 1965. 524с.

4. Петров В.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. // М.: Наука, 1987. 318 с.

5. Сунклодас Й. Аппроксимация распределений сумм слабо зависимых величин нормальным распределением// Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. 1995. Т. 81. С. 140-183

6. Тихомиров А.Н. О скорости сходимости в центральной предельной теореме для слабо зависимых величин// Теория вероятн. и примен. 1980. Том 25, вып.4. Стр.800-818

7. Тихомиров А.Н. О скорости сходимости в центральной предельной теореме для слабо зависимых величин// Вестник ЛГУ. Сер. Математ.., механ., астроном. 1976. т.2. С.158-159

8. P. de Jong A central limit theorems for generalized quadratic forms 11 Probability theory, related fields. 1987. V. 75. P. 261-277

9. Stein Ch. A bound for the error in the normal approximation to the distribution of a sum of dependent random variables// Proc. Sixth Berkeley Symp. Math. Stat. Probab. 1970. V. 2. P. 583-602

10. Yoshihara K.-i. The Bcrry-Esseen theorems for [/-statistics generated by absolutely regular processes// Yokohama mathemat. J. 1984-V. 32. P. 89-111

Summary

Tikhomirov A.N. On the Central Limit Theorem

We give simple conditions, sufficient for the Central Limit Theorems for sequences of random variables to be valid, and also obtain a bound for the rate of convergence. These conditions do not include any explicit assumptions about independency or moments (only finiteness of means is required). As an application of the main results, we give simpler proofs of some known results for the sums and quadratic forms of independent and weakly dependent random variables. Also, we obtain sufficient conditions for the Central Limit Theorems for generalized [/-statistics, and give a bound for the rate of convergence in terms of sums of moments of generating functions.

Сы кт ы.в карский ун иверс и те т

Поступила 01.10.2000