Скорость сходимости в центральной предельной теореме для слабо зависимых величин Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1.Вып.2.1996

Скорость сходимости в

центральной предельной теореме для слабо зависимых величин 1

А. Н. Тихомиров

В работе получены оценки скорости сходимости в нейтральной предельной теореме для стационарных последовательI]остей случайных величин, удовлетворяющих условию перемешивания по Розен-блатту, при существовании у слагаемых не болеетрех первых моментов. -.Приведенные оценки уточняют известные результаты для скорости сходимости в центральной предельной теореме при степенном убывании коэффициента сильного перемешивания и наличии минимального числа моментов.

1. Введение. Формулировка результатов

Пусть А'ь А'г,... —5 стационарная в узком смысле последователь-ь случайных величин. Будем предполагать, что величины Х} еют нулевое среднее и конечную дисперсию, ЕХ] = О, ЕХ? < оо.

п

пожим а\ = Е Л^)2 и составим сумму ¿=1

1

п

сть

•гожим

А„ = 8ир - Ф(г)|.

г

'Работа поддержана РФФИ. Грант № 96-01-00672

Тихомиров А. И., 1996.

В настоящей работе мы исследуем скорость, с которой Д„ стремится к нулю для последовательностей со слабой зависимостью.

Будем предполагать в дальнейшем, что последовательность удовлетворяет условию сильного перемешивания:

а(п)= вир |Р (АВ) - Р (А)Р (В) | -» О,

при п —> оо, где верхняя грань берется по всем А £ ГО^оо, В 6

означает сг-алгебру, порожденную случайными величинами когда ] е [а, Ь])

Нас будет интересовать скорость убывания Дп в зависимости от ограничений, налагаемых на коэффициент а(п) и моменты случайных величин Ау Скорость убывания Д„ к 0 для слабо зависимых величин изучалась многими авторами. Один из первых существенных результатов принадлежит Филиппу [13]. Им была получена оценка порядка 0(п~для случайных величин, удовлетворяющих условию перемешивания по Ибрагимову с коэффициентом, убывающим экспоненциально быстро. Затем существенный прогресс был достигнут в 1972 г. в работе Стейна [16]. В случае, когда последовательность удовлетворяет условию перемешивания по Ибрагимову с коэффициентом, убывающим экспоненциально, и конечен восьмой момент у слагаемых, была получена оценка Дп = 0(п~1/'21§3 п). Стейн предложил в своей работе новый метод исследования скорости сходимости в центральной предельной теореме для слабо зависимых величин. Существенно модифицировав этот метод, Тихомиров в 1980 г. получил оценки для Д„ в случае последовательностей с сильным перемешиванием. В частности, при конечном третьем моменте и экспоненциальном убывании коэффициента а(т) была получена оценка

Д» = 0(п-У2.182п), ' (1)

и при степенном убывании коэффициента сильного перемешивания,

б ¡}{,2-{г+б){1+5)

Ап < Сп 2 ^+(2+4X1+5), (2)

В работе 1986 г. [11] была доказана лемма 3, в которой приводились оценки для характеристической функции суммы случайных величин с перемешиванием. Применение этой леммы позволяет уточнить приведенные выше результаты.

Метод, предложенный в работе [10], получил весьма широкое распространенно. Так, Richanlson и Guy он [12] использовали этот метод для оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме для /«-зависимых полей. Позднее Сунклодас использовал «го также в исследовании скорости сходимости для /«-зависимых :лучайных полей.. Булинский рассматривал скорость сходимости оя полей при различных условиях перемешивания (см. [1]-[3]). В: 1995г. в работе [3] он распространил этот метод на ассоциирование величины. Зуев [6] использовал метод работы [10] для оценки орости сходимости в центральной предельной теореме для rri(d)--псимых случайных величин. Сунклодас Й. использовал технику, санную в работе [10], для ///-зависимых случайных полей со знаниями в Rk, получая оптимальные по порядку зависимости от чи-слагаемых оценки скорости сходимости. В обзорной статье [9] умклодас приводит подробное, описание трех наиболее распростра-шх методов исследования скорости сходимости в центральной -дельной теореме для слабо зависимых величин:

— метод, предложенных! L.Heinrich'oM;

— метод Ch.Stein'a;

— метод, предложенный А.Н.Тихомировым. Из уточнений результатов, приведенных в работе [10] для ста-"яарных последовательностей с перемешиванием по Розенблатту,

шо отметить результат Грин я, получившего оценку

An^Oin^lo^n),

условии, что Е |Xi|4+£ < оо и а(т) < Ä'exp{—ßm). В многочисленных работах, посвященных исследованию скоро-сходимости в центральной предельной теореме для слабо зави-величин рассматриваются, как правило, более жесткие огра-ния на зависимость (абсолютная регулярность, полная регуляр-равномерно сильное перемешивание, /«-зависимость и т.п.). гресно отметить работу Зупарова [7], получившего оценки ско-сходимости An = 0(n~s^ log п) для 0 < s < y/l -f 20/(9 + 1) -< 1, когда коэффициент равномерно сильного перемешивания

ет степенным образом, <р(т) < Сп~°. Выдающийся результат в области оценок скорости сходимости "тральной предельной теореме для слабо зависимых величин л в 1995 году Rio [15]. Он доказал оценку скорости сходи-в центральной, предельной теореме при степенном убывании

коэффициента равномерно сильного перемешивания (р(т) для ограниченных случайных величин.порядка 0{п~11'2) без логарифмического множителя! E.Rio использовал метод Линдеберга. В случае последовательностей с сильным перемешиванием из результатов Rio, приведенных в работе [14], следует, что для ограниченных слагаемых при убывании а(т) ~ пß > 1, скорость сходимости будет Д„ ~ если ß < и Ап = 0(гГг/3), если ß >

В настоящей работе предлагаются некоторые уточнения результатов работы Тихомирова [10] для случая величин, имеющих не более трех первых моментов.

В случае степенного убывания а(п) нами получен следующий результат.

Теорема 1 Пусть для последовательности A'i, А'2,... и для некоторого 0 < 8 < 1 существуют такие постоянные К > 0, ß > 0, что для всех п > 1 выполняются неравенства

а(п) < Кп'0

и

Е |A'i-|2+ä < 00.

Тогда

ос

о2 = EA,2 + 2^EA1A¿ < 00, - " '

k=2

и если а2 > 0, то для любого, сколь угодно малого £ > 0 найдется такая постоянная А\, зависящая от К, ß, е и 8, что

У 5 0-ф

An < Atn . ,

В случае экспоненциального убывания а(п) оценка Д„ будет оптимальной с точностью до логарифмического множителя.

Теорема 2 Предположим, что существуют такие постоянные К > 0, ß > 0, что для всех п > 1 выполнено неравенство

a(n)<Ke~ßn и для некоторого 8, 0 < 8 < 1,

E|A!|2+ä <00.

Тогда найдется такое Ач, зависящее только от К, /3, 8, что

&п<А2п-"2\ёФ(п + 1).

2. Доказательство теоремы 1

На протяжении всей дальнейшей работы нам понадобятся оценки озарнации случайных величин через коэффициент перемешива-■я.

Предложение 1. Пусть случайная величина £ измерима от-::жтелъно о -алгебр ы. Ш?^, а случайная величина у — относи-:..:ьно Тогда имеют место следующие неравенства

1} если |£| < С\ и |-//| < С2 п.н., то

21 если |£| < С п.н. и Б |£|р < оо для некоторого, р > 1, то

если Е |£|р < оо и Е |'//|9 < оо для р > 1 и <7 > 1 таких, что г — 1, то •

I::-:азательство неравенств 1)-3) можно найти в книге [8, стр.139]

¡Е{т/-Е£Е?/1 < 16С\С2а{п);

Е^у - Е^Б /;] < В{и{п)У~[/11 Е

р^-соте [5],

:дем следующие обозначения

п

Бп — X/, а2 — ЕДр

Ш = Ее'75», /,-„(*) = Ее''^>,

Предложение 2. Справедливо следующее представление

fn(t) = Qn(t)m+Rn(t),

где

Qn(t) Q{:\t)

R'n(t)

Rll)(t)

e Wit),

¡/=2 n

V- 1

j=i. /1=1

£>$,(<), г = 2,3.

u-l n

v-i

i=l

(2)

i=i /<=i 3

j=i

' (5) (6) (7)

i/-i ■■ -

-/,>(<)). (8)

гг функции pj v(t) и (lj,v(i) v — 1,..., г определяются рекуррентно следующими равенствами

(9)

«,>(*) = + e vwoe - -

"=! (10)

/i-1

x iji^1 - vv+/(*))i,>+/i(0, v — l,...,r — 1, /=1

(П)

рм = Е^+л^и - - *>+/(*))

я-1 . ■ /-1

х(е«%,+м _ /,>+Д/)) + Е (1 - гр^Цу1^)

V—V ' г —и

/=1 ¿/ = 1 хе(1 - ъКце*»)

(12)

Доказательство. Имеет место очевидное равенство

,гг5п

(13)

эодолжим это равенство, прибавляя и вычитая в правой части псение вида

м*) = е - ^ = 1,2,... ,г.

з=1 . -

придем к равенству

1/-1 '

ш = е е ^ - ^ ок^ ; = 1 ¡/=1 ^=1 п г

¿=1

пишем равенство (14) в виде

п г и— 1

/пм = ее^^е^п^'"-^^))/^)

.7=1 и= 1 /¿=1

п Г 1/—1

+е е - ^>(0)

п г

+ее п(вйал> -

>=1 »/=1

(14)

fjjAt).» ■= 1,..., г нетрудно получить следующее

л>(*) = фт1(*)Ш+Е (1 - Ф^У'Ч

/'-1

/i-i

X _ nv+l{t})fjiU+l(t)

1=1 ----

/1=1 /»-i

ы

'.-1 5,-

(16)

П(

г—и

;. i . -

Из равенства (16) для функций /j>(i), z/ = 1,..., г, следует представление

(17)

где gj>(i) и pj,v{t) — функции, определенные в равенствах (8)-(10). Подставляя (17) в (15), получим требуемое равенство. Предложение доказано.

Введем следующие обозначения

a(ty = max max |v?j>(f)|,

' b(t) = max max

1<7<п 1<г/<г •" '

p2(t) = max max(l -- |v?,>(i)|?),

l<J<rl<f<r

c/2(i) = max тах(\ф^)\~2 - 1). ,

1 <J<U 1 <!/<r

Пусть p — 2~k, где к > 2. Существует постоянная 7(р), зависящая от /о, такая что в области

выполнены неравенства

и < 7(p)Vn/^mr

max(p(t),d(t)) < /9 98

(18)

злее вы

b(t) < n/2.

га так, чтобы выполнялось неравенство [a(m)]^2r <

(21)

Лемма 1. Имеют место следующие неравенства для и .., г — 3 и ц — 3,..., г — и

и-1

IE (1 - </>;;,- tpjMm <

/= 1

rii±il_fiil

< I(d2(i) + + ma{rn)^{t)

+(d'2{t) + 4))2tf],

(22)

0 = 2 и 7/ = 1,..., г,

Vi-l

Е 1 " - | < -(d2(i) + p2(i)), (23)

/=1

-П /4=1,----г

¡Ъ^тЛе^' -ыт < 2Е1/2|Л-1|У'"1(*)

+С[а{т))Ш Е 1/(2+Й)|Л'1|2+Й2"-1 (24)

+СЕ1/2|Х1|2а<(т)2г.

. 1'казательство. Разобьем множества индексов, входящих взведение, на два подмножества -— четные ([7') и нечетные I — и применим неравенство Гельдера. Тогда сомножители в ! группе будут "почти" независимы, и их ковариацию можно щенить с помощью коэффициента сильного перемешивания

леняя неравенство Гельдера, мы получим, что

¡х-1

<

ы

- il>jl{t)eu6*\2

I l

Последовательно применяя неравенство для коварнации ограниченных случайных величин с перемешиванием (предложение 1, неравенство 2), мы получим, что

Е |1 - - <

I

1 + 16а<(т)(2Ь2(/) + £(1)) р12^-1 (26)

/=о

< ¿2(ф2%) + 16а(т)(262(г) +

и

Е - ^>+/(*)|2-< /т + 16а(т)22^.' " (27)

Из неравенств (25)—(27) и неравенства аЬ < следует неравенство (22). Неравенство (23) очевидно. Доказательство неравенства (24) совершенно аналогично доказательству неравенства (22) с той лишь разницей, что надо использовать неравенство (3). предложения 1. Лемма доказана.

В силу выбора тп, г и t (неравенства (18)-(21)) мы имеем следующие оценки:

<Ь{1) ^ (28)

И ДЛЯ V — 1,..., г — 1

Ы<)1 < + (29)

Лемма 2. Решением рекуррентной системы неравенств

' > 0, -

г—и

ги < &(*) + 2 и — 1,..., г

является неравенство

" " 6(<)1- (2а(<) + 1)р- ' <31>

Доказательство. Переобозначим последовательность := Тогда неравенство (30) перепишется в виде

¡1=1

(32)

иределим последовательность для и = г + 1,... с помощью зй части (32). Поскольку > 0, то решением рекуррентного ~енства'(мажорантой 2^) будет последовательность, обращаю-неравенство (32) в равенство. Найдем эту последовательность, ачпв ее %.

С этой целыо введем в рассмотрение производящую функцию

//--О'

:матривая равенства вместо неравенств (32), мы получим, что

(33)

получим,что

Щх) =

1 — х- 1 — рх

ьт-рх)

(1 - ж)<1 — (2а(0'+

функцню Н(х) в ряд по степеням ж, мы получим, что 1 _ р _ 2а(*М(2а(*) + 1)>]

(34)

г„ = ь{гу

1 - (2ф) +1 )р

(35)

р < 1/4 и а(*) < 1, то (2а{Ь) + 1 )р < 3/4 < 1 и нера-|ЗЭ| следует,из определения последовательности Лемма

2 следует, что

Ы01 <

(36)

** ... .г и всех t, удовлетворяющих неравенству (18). теперь функции Из определения функций £>_,• „(£)

следует, что

'Ы*)1 < од,

(37)

а для и — 1,— 1 -

г—и г—и _

/1=1 /1=1 В силу неравенства (21) неравенство (38) можно переписать в виде

1^)1 < + (39)

/1=1

Лемма 3. Решением системы неравенств

г—и

+ (40)

/,.=1

является неравенство

ги<2р\Ър$)у-\ 1/ = 1,2.....г. (41)

Доказательство леммы 3 совершенно аналогично доказательству леммы 2.

Из леммы 3 следует, что для V — 1,2,..., г

1Ы01 < ЩтйГ"- (42)

Перейдем теперь к оценкам функций ф„(£) и 7?„(/). Оценка д!,1^)

В силу леммы 1 (неравенство (31)) и выбора т, г и I (неравенства (18)—(21), (23), (24), (28)) имеет место неравенство

• (43)

Оценка и = 3,..., г

В силу неравенства (31) для функций при V > 3 справедливы

оценки

п V— 1

¿=1 ¡1=\ ^

В силу неравенства (44) и определения p(t) мы получим, что

и5

m

: Оценка Rnl(t), и = 1,..., г

(2)

[Из определения функций Rn,l{t) мы получим, что

' j=1 ц=1

отменяя к последнему неравенству лемму 1 и неравенство (21), зуд но получить оценку

^„v-л < C\fnpr. :»да (неравенство (20)) следует, что

(46)

(47)

функций /©(*), и — • • •»г

зуя оценку для ковариации слабо зависимых величин (пред-1е 1, неравенство 3), мы получим, что

I/-1

?нства (48) следует, что

|д?>(*)| < С\а{г)\^пГ[а{т)р. в силу выбора т, мы немедленно получим, что

|43)(*)1 < су«Рг.

(48)

Интегрируя уравнение (59), мы получим, что в области |¿| <

. , í.jití 7min(n2 - 25 ,

nh~Kl2jy/r) имеет место соотношение

Используя неравенство Эссеена, мы получим, что

Д„ < + + С\\рпргт.

Выберем г так, чтобы

или

р Г X п

-кг + log2 г х - ~ 1) + \ J bg2 п.

Положим

г = \ - !) + 0 log2 п + i log2(log2 гс).

Тогда

где запись а„ х Ьп означает, что существуют постоянные С\ > О, С2 > 0, такие что С\ап < Ъп < С'2ап. Мы выберем т — пК из условия

Откуда

или

1 + 8 k +1 / <5 1\

2[f3(2k-8) + (2 + 8)(k + l)} 106

При таком выборе к оценка примет вид

6, .1+1 ■ (¿¿-р+а'ЩН-!) _

Ап< + С-2П )+(2+«)(*+1Н.

В силу выбора к (равенство (60))

к

Р

2 + 8

- 1

к + 1

/38 - (2 + 8)

2 Р(к - 8) + (к+ 1){2 +8) '

(61)

Кроме того,

8

- + к 2 2

1 + 8 8р(к-8)-Щк + 1)^

2 р(к - 8) + (к + 1)(2 + 8) ' [Сравнивая (61) и (62)' мы видим, что для достаточно больших к

(62)

(1-У 2

2 + 8 " 2 /3(к^8) + (к + 1)(2 + 8) ' [Кроме того, для любого е > 0 мы можем выбрать к(е) так, чтобы

ГЛ 6 п 5 «■[Ртг—ь - !] = о

2+6 6

2 + 8

2Р+2+8

шэтому окончательно получим оценку

з-Ш

Теорема 1 доказана. 3. Доказательство теоремы 2

Отличие доказательства теоремы 2 от доказательства теоремы 1 эит лишь в выборе га, г и р и вытекающих отсюда оценок для зтков в представлении характеристической функции (1). Прежде всего, положим р = 1/4 (в обозначении предыдущего >аграфа к = 2). Положим

г = [ск^(п + 1)], шрая постоянную с так, чтобы выполнялось неравенство

рг <п\

(63)

а т выберем так, чтобы выполнялось неравенство (21). Для этого достаточно выбрать

т = [С\ log it], (64)

где константа С\ зависит от Ь и Р. При таком выборе г, т и р в области определяемой неравенством (18):

И < Tv/n/bgn (65)

будут справедливы следующие оценки:

- в силу неравенств (43) и (63)

|ДМ(*Я < Сп-3; (66)

- в силу неравенства (44) и неравенства (63)

г

Е 1^)1 < Cm*3 + CaHV^logn; (67)

v=3

- в силу неравенств (47), (49), (63)

\R^\t)\<Cn-3 (68)

\R^(t)\<Cn-\ (69)

Кроме того, соотношение (57) примет вид:

Qn(t) = -t + Ql(t)C\t\l^n^lg1^n + Q2(t)C2\t\n~\ (70)

Из соотношений (66)-(70) следует, что в области, определяемой неравенством (65), справедливо равенство

fn{t) = -t/n(t) + e^oc^r+V? + ig^ nfn{t) + e2(t)c2(\t\ + i)n~3.

(71)

Интегрируя уравнение (71), мы получим, что в области (65)

fn(t) = е-1'1'2 + 0,(i)|f+Vf Ig^ ne-t2'A + Q2(t)C2\t\2n~3. (72)

I

Из представления (72), используя неравенство Эссеена, мы получим требуемую оценку. Теорема 2 доказана.

Булинекий A.B. Об условиях перемешивания случайных полей// Теория вероятн. и ее пргшенен. 1985. Т.30.Вып.1.С. 200-201.

Булинекий A.B. О различных условиях перемешивания и асимптотической нормальности случайных полей//ДАН СССР, 1988. Т.299.Вып.4.С.785-789.

Булинекий A.B. Скорость сходимости в центральной предельной теореме для ассоциированных величин// Теория вероятн. и ее примеч. 1995.Т.40.Вып.1.С.165-176.

Гринь А.Г. Предельные теоремы для слабо зависимых величин: Дис...д-ра ф.-м.нпук. Омск, 1995.

Давыдов Ю.А. О сходимости распределений, порожденных стационарными процессами// Теория вероятн. и ее примен. 1968.Т. 13.Вып.4.С.730-737.

Зуев Н.М. О скорости сходимости в центральной предельной теореме для т((/)-зависимых случайных величин//Весцг АН БССР. Серия с|лз.-мат. наук.1986.№4.С.28-32.

Зупаров Т.М. О скорости сходимости в центральной предельной теореме для слабо зависимых величин// Теория вероятностей и ее применен. 1991.Т.36.Вып.4.С.635-644.

Петров В.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. М.: Наука, 1987.

О

Сунклодас И. Аппроксимация распределений сумм слабо зависимых случайных величин нормальным распределением // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. 1991. Т.81.C.140-200.

Тихомиров А.Н. О скорости сходимости в центральной предельной теореме для слабо зависимых величин// Теория вероятн. и ее примен. 1980.Т.25.Вып.4.С.800-818.

Тихомиров А.Н. О распределении максимальной суммы слабо зависимых величин//Теория вероятн. и ее примен. 1986. Т.31.Вып.4.С.829-834.

12. Guyon X., Richardson S. Vitesse de convegence du theireme de la limit.e central pour des champs faiblement dependants//^. Wahrsch. undverw. Geb. 1984.Vol.66.№2.P.297-314.

13. Pliilipp W. The remainder in the central limit theorem for mixing stochastic processes//Ann. Math. Statist. 1969.Vol.40. №2. P.601-609.

14. Rio E. About the Lindeberg method for strongly mixing sequences// Prepublication mathematique de I'universite' de Paris-Sud 1993. 93—81. 25 p.

15. Rio Б. Sur le theoreme de Berry-Esseen pour les suits faiblement dependantes//Prepublication mathematique de I'universite' de Paris-Sud 1995.95 02.29 p.

16. Stein Gli. A bound for the error in the normal approximation to the distribution of a sum of dependent random variables// Proc. Sixth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability. 1972.Vol.2.P.583-603.

Summary

Tichomirov A. N. The rate of convergence in the central limit theorem for weakly dependent random variables

Let A'i,X2, ..., A" n be a stationary sequence of random variables with the strong mixing coeffitient a(n).

Supose that Е|А'|2+г < oo for some 0 < б < 1, and that a(n) = o(n_/?), where (3 > Ц^-. Then for any small e > 0 we prove that

/

Дп = sup \Fn(x) - Ф(х)| = о f n 2 where Fn(x) is the distribution function (d.f.) of normalized sum Sn =

n

and Ф(х) is the standart Gaussian d.f. l ~

Also we prove that when a(n) = o(e~^n) for some 0 > 0, then

Сыктывкарский университет Поступила 20.OS.96