Предельные теоремы для вейвлет-статистики от независимых случайных величин 1 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вест-ник Сыктывкарского университета. Сер.1.Вып.4-2001

УДК 519.234

Предельные теоремы для вейвлет-статистики от

НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 1 В.А. Юрченко

В статье рассматривается асимптотическое поведение линейных и нелинейных вейвлет-статистик. Получены оценки моментов вейвлет-коэффициентов. Получена центральная предельная теорема для линейных и нелинейных вейвлет-статистик.

Вейвлет-анализ, недавно выделившийся в самостоятельную область математики, стал одним из основных средств представления функций в функциональных пространствах. Основополагающими работами в этой области стали работы [2], [4], [14]. В них авторы развивают теорию построения ортонормальных базисов с заданными свойствами гладкости, которые строятся с помощью сдвигов и растяжений генерирующих функций У'.

В 90-ые годы появилось множество приложений вейвлет-анализа в теории вероятностей и математической статистике. В большинстве утих приложений аппарат вейвлет-анализа используется для описания поведения случайных величин, процессов через их функциональные характеристики. В этих работах используется как дискретное, так и непрерывное вейвлет-преобразование.

Различными авторами были предложены методы применения вейвлет-анализа, в задачах непараметрического оценивания плотности случайной величины, оценивания минимаксного риска, оценивания спектральной плотности и функции регрессии.

1 Работа частично поддержана грантом РФФИ 99-01-00247 и грантом Министерства образования РФ "Предельные теоремы для квадратичных форм. Изопериме-трические задачи-;”

(с) Юрченко В.А.. ‘2001.

Задачу непараметрического оценивания плотности случайной величины с помощью вейвлет-анализа впервые рассматривали Kerkvachar-ian. Picard и Walter в работах [13] и [17]. Авторы рассматривали статистику

.п

/м(;г)= 4fc'(/v,*'(-r), . (i)

fc=-oo j=jo А;=-оо

где c;o.fc = 1/n £”=1 <Pj0lk(Xi), dj,k = - эмпирические

вейвлет-коэффициенты, ji = ji(n) - уровень аппроксимации. Статистика (1) использовалась для непараметрического оценивания плотности распределения из класса функций Бесова В* , s > 0,р > 1. Была получена оценка среднеквадратичной ошибки в Lp порядка n~sp^2s+l\ В [18] рассматривались классы плотностей Липшица и плотностей с полиномиальным порядком убывания. Нелинейные вейвлет-оценки рассматривались в работах [5], [6], [9], [12]. В [12] для шара в пространстве Бесова J9* была получена оценка 17 -минимаксного риска порядка

lno- п \ (s-1/p+l/?^J/(l + 2(s-l/p)) I

— ) , S> -.j/ >(1 + 2s)p,

n J p

были описаны условия оптимальности минимаксного риска для шара в 'пространстве Бесова, условия оптимальности ’линейной и нелинейной вейвлет-оценок плотности. В работе Gotze [8] исследуется минимаксный риск в предположении негауссовости коэффициентов dj,k в (1).

В [15] Neumann исследовал нелинейные вейвлет-оценки спектральной плотности на классах Бесова. Были получены асимптотические свойства эмпирических вейвлет-коэффициентов и оценка /Ариска. спектральной плотности / Е B™q: р > 2 порядка п-2тп/('2т+1) При ограничениях на кумулянты. В [3] вейвлет-оценки рассматривались для определения параметров процесса авторегресии. В [16] вейвлет-анализ использовался для оценивания дисперсии локально стационарных процессов по эволюционному вейвлет-спектру.

Задачу регрессии обсуждали Antoniadis [1], Hall и др.[10], [11]. Для оценивания искомой функции / по зашумленным данным I V.}

Y = / г = 1, ...,п.

применяется статистика (1) с эмпирическими коэффициентами

В то же время при всем многообразии литературы по теме вейвлетов практически отсутствуют работы, в которых рассматриваются задачи. связанные с доказательством предельных теорем для вейвлет-статистик. В нашей статье мы рассматриваем асимптотическое поведение линейных и нелинейных вейвлет-статистик. Была получена предельная теорема для линейных и нелинейных вейвлет-статистик в случае оценивания плотности распределения случайной величины.

Статья разбита на 3 параграфа. В первом параграфе мы формулируем основные результаты. В втором параграфе в виде лемм мы получаем некоторые свойства эмпирических вейвлет-коэффициентов.

В третьем параграфе мы получаем центральную предельную теорему для линейных и нелинейных вейвлет-статистик.

1. Формулировка основных результатов

Рассмотрим (17,^, Р) - вероятностное пространство. Пусть последовательность - независимых одинаково распределенных слу-

чайных величин, заданных на (О,.?7,Р), принимающих значения в (Л.,#(11)) и имееющих плотность распределения /(I) € 1,2(11).

- Рассмотрим пару функций-вейвлетов {^р,ф} и определим следующую систему функций

*/,*(*) = - А’), Ф3,к{х) = '2:'/2Ф(21х - к), 1,к € Ъ.

Будем предполагать также, что система функций {сPj,k,Фj,k}jм^~ образует ортонормальный вейвлет-базис.

Для /(£) и для любого фиксированного ; 6 2 мы можем записать следующее разложение

ОО

1\х) = ^ сз^],к(х) + ^ 51 с11*Ф1,к(х)1 (2)

к£Ъ 1=] к£Х

где коэффициенты с(1^к определяются следующим образом

С].к = < /, 9],к > = / ■•!.!■ )</.!• , (3)

./я

4/с = < 1,ф1,к > = [ 1(х)ф1'к(х)<1х . (4)

Jк

Ряды в разложении (2) сходятся в Х2(Н). Определим вейвлет-статистику /л(£) как эмпирическую оценку /(£)

■СО 3 1 ОО

/л(-т)= 5^ ГЛ-‘ЛХ] 1 ^2 Аа<:>!•<•). (5)

к=--уо :1=Зо к= — оо

где Cj0 k = l/n£"=i 4>j0,k{Xi), dj'k = 1/п^=іФ:>АХг) - эмпирические вейвлет-коэффициенты, jі = ji(n) - уровень аппроксимации.

Кроме коэффициентов dhk мы будем рассматривать сглаженные версии вейвлет-коэффициентов. Процедура сглаживания ’’soft-” и "hard-thresholding”, введенная в [6] (см. также [5], [12]), позволяет улучшить асимптотические свойства вейвлет-оценки в нерегулярном случае. Далее мы будем рассматривать три случая:

1. dhk - эмпирические вейвлет-коэффициенты,

2. с/д. = {\dj'k \ — ^)+sign{dj,k) ~ сглаженные, посредством процедуры "soft thresholding’',

3. </»,. = djMdj, > Л} - сглаженные, посредством процедуры ’’hard thresholding”.

Статистики с такими вейвлет-коэффициентами будем обозначать, соответственно, /„(.г),

Нас будут интересовать условия применимости центральной передельной теоремы к последовательностям линейных и нелинейных вейвлет-статистик. Основные результаты представляют следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть f(t) ограничена и существуют функции jP] Є L2 и F2 Є L1 f]L2 f]L3, такие, что F^x — у) < \К(х,у)\ < F2(x — у). Тогда для любого t такого, что f(t) > О

(/.„(О-ЛоСО) _ Л-(0,1),

ОШ

где jo = о log2 п. О < а < 1.

Теорема 2. Пусть f(t) ограничена и существуют функции Fx € L2 и F-2 Є L1 f]L2f]L3, такие, что Fi(x — у) < \К(х}у)\ < F2(x — у). Если кроме того YIJLjoYlk сЧь = 0(n~s). 6 > 0. Тогда, для любого і т.акого, что f(t) > 0

f?(t) - Eff*(i)

1 л -> Л (0,1), п оо,

сходится по распределению, где j о = alog2n, j і = /Hog2??, 0 < cv < l3 < 1. /3 < l/2tain(l, 6).

Поведение сумм вида

3=3ъ

исследовалось во многих работах (см. например [12], [18]). Скорость сходимости к нулю такой суммы напрямую связана с гладкостью функции и свойствами генерирующих вейвлетов 9?, ф.

Теорема 3. Пусть /(£) ограничена и существуют функции ^ € I2 и Р-2 € I1 р| I2 р) I/3, т.акие, что /\(.т — у) < \К(х,у)\ < Р2{х — у). Если кроме того = 0(п~6), 6 > 0. Тогда для любого Ь

такого, что /(/) > 0

/£(*)-Е/?№

=Ё:---► А (0,1),п —► оо, (6)

сходится по распределению, если а + т' > 1, где — о к^2 п,

~jQ = /3\о£2п: т' — 1/‘2тт(1 — а + т,2г), г = д((3,5,\) определяется из верхней оценки дисперсии сглаженных вейвлет-коэффициентов.

Далее и везде мы будем придерживаться следующих обозначений: С - абсолютная константа, С/ = эир4 /(<),

^ I Лх = j <1х, || £ ||*= £*(<) (И) , || £ ||оо= эир |£(*)|.

к к— — оо ’ ^

2. Предварительные леммы

Далее и везде мы будем предполагать, что выполняются условия:

(А1) А1 имеет плотность /(£) такую, что эир; /(^) < С'/ < оо;

(А2) вир^^) < < оо.

Лемма 1. Для любых фиксированных j,k € Ъ и dj^ -несмещенные оценки коэффициентов вейвлет-разложения и являются асимптотически нормальными с дисперсией <т^к/п, где а2^к — и если выполняется (А1), то

а

3,к

<С), (Г)

если выполняет,ся (А2), то

Доказательство.

Для любых 7, к £ Ъ верно

(=0

Так как Л', независимы, то

Щ,к = ^ 5^ ЕФ;,АХг) = I Ф]Ау)Лу) <1у =

Используя ортонормальность семейства и (А1), получаем

Для доказательства асимптотической нормальности воспользуемся теоремой Леви. Проверим выполнение условий теоремы. Фиксируем ;] и к. Рассмотрим последовательность У;,,',А- = ^'^(А»), г — 1, ...п. Величины к являются одинаково распределенными и независимыми. Положительность (т^ = вытекает из следующих рассужде-

ний. Пусть это не так и а = 0, тогда

А это выполняется, если - вырожденная случайная величина, что противоречит предположению о существовании плотности распределения А']. Также очевидно, что для любого целого I > 1

и 5:11 / 112• Последнее неравенство следует из равенства (см. [18])

В случае выполнения (А2) очевидно

^•(А*) = Е^л-(Аг) = с,д. п.н.

Е|^,і(.їі)|' < 2‘('-2,/2 ] у-2{Уу - к)ШУ)/<.У) ‘‘у £ ^-тс^гс,

(91

/

Тогда, объединяя (9) и оценку |с^.|, получаем, что

Е|Кг,.;,,-ЕУ^3 < 2§^С/.

Абсолютный третий момент последовательности У^к конечен, следовательно, выполняются все условия теоремы Леви и

~3'к1 ДГ(0,1).

°1,к

Для доказательства асимптотической нормальности заметим, что ф удовлетворяет уравнению

где {кк} € /2 И 52к !гк ~ ^ (см. [12], с. 43), а это означает, что ф ограничена. Повторяя выкладки проведенные ранее для с^к получаем, что

\/^~( ^hk dj k )

N( 0,1).

Лемма доказана..

Лемма 2. Пусть f и кр - непрерывные функции на R, тогда

inf f{t)

UCjtk > -------<

п

если Nt = {t : f(t) > 0} Pi Slippy*. Ф 0.

Доказательство.

Для доказательства используем неравенство Рао-Крамера (см. [19], с.206). Фиксируем j.k. Мы оцениваем параметр с^к € [0, || / ||г] Пусть f(t) = f{t,Cjtk)-- Тогда в силу линейности вейвлет разложения /с (t, Cj к) = ^j.k{t)- Информация Фишера в нашем случае представляется в виде

Т< \ [ ,,

Ii4t)=L ~ш *•

где подынтегральная функция определена и непрерывна на Nt = {t : f(t) > 0}. Заметим, что из Леммы 1 chk несмещенная оценка с^, следовательно условия неравенства Рао-Крамера выполнены и

Оценим значение /(с,-,*) сверху. В силу нормальности семейства {-Рм- получаем

Цс,„) < /^(*) Л < -щ-} I< —у (»)

Используем (11) в неравенстве Рао-Крамера, получаем

гг

п

.! 1ем ма доказан а.

Лемма 3. Пс1*к < (2'С1(^+('^)^-, где Сх = 4С^ЧбС/2 + С2бУ

Доказательство

Оценим значение 0<Ж. сверху. Используя неравенство Коши-Буня-

ковского, получаем

Р(&*1>А) <=#■ (13)

Бй» < Е (г^НКі-І > Л}] <^Ейу>(Ы>Л). (12)

Используем неравенство Чебышева для оценки Р ("|^,,/с| > А

Е%

Л2

Оценим значение Ес[*к. В силу оценки (7) получаем, что

Е</^<^ + 4д- (14)

п

Используем оценку (14) в (13). Получаем, что

р(|4*|>а) < Л-2 . (15)

Оценим значение Ей* к. Очевидно равенство

е<'м = І;(Ее^(л'-> + 4 Е Е^№>/’^(Л',,)+

/=1 І<.І[<І2<П

.+6 53 Еф1,(Хч)ф1„{Х,г)). (16)

1 <іі <г-2

Так как Л'?; независимы и одинаково распределены, выражение (16) можно оценить сверху

+ £ (ЕФЦХ,)У- (17)

Учитывая оценку (9) и то, что Ефjtk{Xl) < 2^2СфС/: в последнем неравенстве получаем

УС2С; 2 ЧС2С2 + 6С2 21

^ ^ +--------—3--------1 < ~Си (18)

г

что

де (?1 = 1С ’/*.( у + 6С2 + СфС}. Подставим оценку (18) в (12). Получим,

(УС^С/п-1 + <£*))1/2 т"к < . (19

п\

Лемма доказана.

Замечание: Пусть 1 — /3 log2 п, (3 < 1, А = 7у 7 > 0- Тогда

< О-'^Ос^ »Г1/2 (^ + 4л) / • (20)

Допустим, что 52Т=к ~ 0{п~6), 8 > 0. Тогда если 6 < 1, то

Ы1к<Сп-х-512+р{\о%2п)-1/2, (21)

Если 8 > 1, то

<Сп-:^+-3(1о82п)-1/2. (22)

Нас будут интересовать оценки порядка п~т, где т > 1. Такое

условие выполняется в случае, если /3 < |тт(6,1).

Лемма 4. Ш1к < ^ (^ + 4^) 7 + (^ + 4к) •

Доказательство.

Оценим значение ТУс1^к сверху. Получаем

< Е (|<У - а)2 1{|^л-| > Л}2 < > А}2+А2Е1{|<Ы > А}2

(23)

Используем неравенство Чебышева, (13) и (18) в (23), получаем

/------------------— / 2-і1 ^7 Ей?2

ОІІІ < ^Е|4і|‘Р(|4к| > А) + А*Р(|4»| > А) < у —-Т^ + в<§» <

п2 А2

1/2

+

Лемма доказана.

Замечание: Как и в предыдущем замечании, мы интересуемся

Ш1к < Сп т, где 0 < т < 1, г = д((3,8, А). Такое представление мы будем использовать далее при доказательстве теоремы -3.

Лемма 5. Вейвлет-ст.атистика /л(£) является асимптотически несмещенной оценкой /(2), представима в виде ядерной и проективной оценок.

Доказательство.

Покажем последовательно выполнение свойств вейвлет-статистик.

1. Вейвлет-статистика является асимптотически несмещенной оценкой f{t)■ Свойство непосредственно следует из Леммы 1:

сходимости смещения к нулю в различных функциональных пространствах рассматривалась, к примеру, б [12], [18].

2. Вейвлет-оценка представима в виде ядерной оценки плотности. Используя уравнение маски (см. [12])

где функцию К(х, у) — ^(‘т — ^^{'У ~ к) ~ назовем вейвлетным

ядром. К](х,у) = 2^К(2-7ж,2■’у).

оценками порядка п т, где г > 1. Однако из леммы 4 следует,

что г < 1 при условии, что А = у Представим оценку (24) в виде

ОО

к

С ростом —► схэ смещение х) —* 0 п.в. на К. Скорость

р(х) = У' кк<р(2х - к), ф(х) = к^к^>{2х - к)

I чин/ 4тшщв^

к

к

где {кк} £ /2, характеризует пару {<р,ф}, получаем,

л-1

/л (х) = ^2 Чок<р]0к(х) 4-^5^ ^кф3к(х) = ^ сп,кЧ>н,к(х)

к

к

к

3. Вейвлет-оценка представима в виде проективной оценки плотности. Если {^3,к}кеъ - ортогональное семейство функций, то вейвлет-оценка представима в виде проективной оценки плотности на пространстве V,,.

.71 -1

к (*) = X Ч0кЧ>кк(х) + X X сЪкФ]к{х) = X Чик<Рь,к(х)-

к j=jo к к

Лемма доказана.

Лемма 6. Пусть /(£) такая, что существует, тГ/(£) = с/ > О и вир/(£) = С/ < оо. Пусть далее существуют ^ € Ь1, £ Ь1 (~)Ь2

такие, что

-у)< \К(х,у)\ < Р^х - у). (25)

Тогда для любого / выполняется

Ш*) = о (:.

Доказательство.

Рассмотрим представление в качестве ядерной .оценки (см.

Лемма 5).

/»(') = А',),

! = 1

где А^0(^.А'г) - последовательность независимых случайных величин. Получим верхнюю оценку для О/го (г). В силу независимости и одинаковой распределенности {А/} очевидно равенство

от = 1-(шцг,х,)-/1т). (26)

Воспользуемся равенством (26), учитывая верхнюю оценку в (25) и делая замену переменных, имеем

1 22-70 С

П/,„(() < -Е/Г? ((,*,) <------ / ^(2»(< -у))Пу) <1у =

п п ]

Получим оценку для дисперсии снизу. Оценим снизу значение ЕЛ'|о {і, А'і). Как и в случае для верхней оценки, воспользуемся нижней оценкой в (25) и, делая замену переменных, получаем

ЕА'2(і, X,) > 2» І Р*(г)1 (і + іу > 2>‘с, || Р, |Ц . (28)

Оценим сверху значение Согласно Лемме 5 Е/\ ?0 (/, А-!) = /,-„(2).

Используем верхнюю оценку (25), после замены переменных мы получаем

/2 (<) = (ЕА'„((,Х,))2 < 22» (7 Г2(2»(< - »))/(») < С; || ||?.

(29)

Объединяя (27), (26), (28) и (29), имеем

т>Ш > ^ (с/1| д ||2 -С/ ^ ||?) . (зо)

Откуда очевидно следует результат Леммы.

Рассмотрим функцию #,0,л(г) = Е*

Лемма 7. Существует Сг такая, что

®'Язо ,л (0 < (іі - Іо)2 тах .

к,з=зо-л

Доказательство.

Воспользуемся очевидным неравентсвом 0(Х + У) < (\/М +

Тогда

(<) < £ ^Щ,кФзА*)] < к тах^ Ш* * X 1^(01

\І=Іо к / ХІ^Іо А: /

(31)

Используя неравенство Е* І^і.*(0І — С в (31), получаем результат леммы.

3. Основной результат

Теорема 1. Пусть f{t) ограничена и существуют функции Р\ Є Ь2 и Р2 Є Iі П^2П^3» такие, что Рі(х — у) < \К(х,у)\ < Р2(х — у). Тогда для любого і такого, что /(£) > 0,

(4(0-/„(*» ^((М)]

где j0 = а 1с^2 п, 0 < а < 1.

Доказательство.

Рассмотрим представление /;„(£) в качестве ядерной оценки (см. Лемма 5).

4М = ,((,->{>)<

71 .

?=1

где К^{Ь,Х1) - последовательность независимых случайных величин. Для доказательства асимптотической нормальности необходима асимптотическая малость элементов последовательности К^{Ь,Х{)

тахР(|Кк(^Хг) - ЕК]0(1,Хг)\ > е) < (32)'

% £

Согласно Лемме 6 при выборе ]о = «к^2 п, 0 < о < 1 мы получаем асимптотическую малость элементов последовательности А^0(£,Х*) так как е можно выбрать так, чтобы (32) стремилось к нулю. Легко показать также, что для любого

Е(#Л(*,Х;) - ЕК»(г,Х{))3 < 2?»С < оо,

где С - некоторая константа. Для этого необходимо повторить рассуждения, которые мы использовали при оценке ЕК20(1, ХЛ ). Осталось показать, что

пк]0(г,х1)>о.

Пусть это не так и 1)К:1о(1, Х±) = 0. Тогда

К3^Х1) = ЕКк{^Х1) (п,н.)

Это выполняется в случае вырожденного закона, что противоречит предположению о существовании плотности распределения. Следовательно, /3о(Ь) асимптотически нормальна. Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть /(£) ограничена и существуют функции ^ € Ь2 и Г2 € Ь1 р| Ь2 П Ь3, такие, что ^(ж — у) < \К(х,у)\ < Е2(х — у). Если кроме того Е£=?0 ^к^.к = 0(п~5)> <5 > 0. Тогда для любого I такого, что f(t) > 0,

/?(*.) ~ Е/л

сходится по распределению, где = а1°ё2п> Д = /?к^2п, 0 < а < 0 < I, 0 < 1/2гшп(1, £).

(<)

^(0,1),

п

оо,

Доказательство.

Представим статистику

в следующем виде

/"(*) - Е/л (О = Л>(0 - Е/,0(«) \Д>А,(<) + Д)о.л(0-ЕЯд,„(і)

\Л>/л(') У13*"!') \Л>/л«>

(34)

Обозначим первое слагаемое через Т^^і), второе - Разобъем

доказательство на 2 шага:

1. Покажем, что для любого Ї Т,0,л(£) —>■ Л/^О,1) по распределению.

2. Покажем, что для любого Ї и є > 0 Р(Ю/о.л(01 > £) ~0> 11 00

Тогда, воспользовавшись [21] Т.15., получаем результат теоремы.

1. Представим Гіол(і) в виде Ткл(Ґ) = Г|™(()Г/0Л((), где

„,т„, Ш-ЩМ Т. \1°Ш

Зо Vе/! / ; ; 1Зо,зЛ > I-7~----

Лемма 8. Если j0 — а log2 п, її = (3 п, тогда

1°/л (*) - °/л(()1 £

Если 6 >1 и Р — а < 1/2, тогда т = | — |(/3 + а).

Если 6 < 1 и 0 — а < 6/2, тогда т = 1 + 6/4 — |(/3 + а).

Доказательство.

Воспользуемся результатом Леммы 7 и Замечанием к Лемме 4, получаем, что если 6 < 1, то

С1°82"

^1+тіп(£/2,1/2)—/3 1

/З < 1/2тіп(^, 1). Далее воспользуемся линейностью оценки /^(£) = Ш + Язо,л(0, получаем

Воспользуемся Леммой 5, откуда Dfj0(t) = 0(п_1+"). Пусть 8 > 1. Далее, если (3 — a > то это противоречит условию (3 < 1/2.

Пусть 8 < 1, если (3 — a > 8/2, то очевидно, что это противоречит

условию /3 < 8/2.

Остальные случаи проверяются с помощью (35). Лемма доказана. Можно легко показать, что из Лемм 7 и 8 следует

< Cnl~a~T log2 п —> 0, те —► оо, (36)

если [3 — Q < 1/2 min(l, 6). Это эквивалентно тому, что Т*(t) —» 1,п —*■ оо. Для доказательства пункта 1 осталось воспользоваться (Т.1.) для

г*"(г).

2. Оценим P(|Qj0,ji(OI > £)- Очевидна следующая цепочка неравенств с использованием неравенства Чебышева и результатов Леммы 8

> <0 < ^§7™ < Cn—lofene~*. (37)

e2D/"(<)

Согласно (36) полученная оценка стремится к нулю в случае /3 — ос < 1/2 min( 1,6), следовательно, теорема доказана.

ТРе®р®ма 3. Пусть f(t) ограничена и существуют функции € L2 и F2 G L1 р) L2 П ^3) такие, что Fi(x — у) < \К(х,у)\ < F2(x — у). Если кроме того ШкЩм = 0(n~S)t 8 > 0. Тогда для любого t

такого, что f(t) > 0

/?(<)- Е/* W

сходится по распределению, если а + т' > 1, г<?е jo = jo = /?log2n, т' — l/2min(l — а + т, 2т), т — g(f3,8, А) определяется в замечании к лемме 4-Доказательство.

Доказательство теоремы аналогично Т. 2. Представим статистику

(38) в следующем виде

/лОТ-Е/лМ = Ш - Е Щ . уН.(<) + R„,M-ER-ыМ

VD$« л/»Ш) Jnfffi) firn

N (0,1), п

оо,

(38)

Обозначим первое слагаемое через 7j0jl(2), второе - QJ0,л (^)-1. Представим Tj0ijl(t) в виде Tjaih(t) = T£n{t)TfoJl(t), где

Ш -ЕШ т. л/рЛ.(0

,?о vv — /—;--- ’ jjojiv4— /——-------

y'D/i.ti) VD/^(,)

Аналогично Лемме 8, воспользовавшись Замечанием к Лемме 4, можно показать, что

|D/?(0-DA,(<)|<£^, (40)

J IV

где г' = l/2min(l — а + т, 2т), т = д(/3,8, А) определена в замечании к лемме 4.

Тогда из (40) следует, что

< Сп1-"-г log2n —*• 0, /г —► оо, (41)

выполняется по условиям теоремы. А это эквивалентно тому, что Т*о п (t) —»• 1,п —> оо. Для доказательства пункта 1 осталось воспользоваться (Т.1.) для Tj*"(f).

2. Оценим P(|0jo,ji(01 > £)• Очевидна следующая цепочка нера-венств с использованием неравенства Чебышева и (40)

р(|<г«, (01 > «о < < cni"“'',iogjne*2. (42)

Согласно (41) п1~а~т' —► 0. Теорема доказана.

Литература

1. Antoniadis A. Smoothing noisy data with tapered coiflets series// Scand. Journal of Statistics, V.23, P. 313-330.

2. Chiu K. An introduction to wavelets. Academic Press, 1992.

•3. Dahlhaus R., Neumann М., von Sachs R. Nonlinear wavelet estimation of time-varying autoregressive process//Bernoulli 5(5), P. 873-906.

4. Daubechies I. Ten lectures on wavelets//CBMS-NSF. Regional conference series on applied mathematics. SIAM, 1992.

‘ 30,3\

(t)

5. Donoho* D.L., Johnstone Kerkyacharian G., Picard D.

Density estimation by wavelet thresholding//.Ann. Statist., V.24(2), 1996, P.508-539.

6. Donoho D.L. De-noising by soft-therholding///£'jB,£t Transaction on information theory, V.41, N.3, P.613-627.

7. Donoho D.L., Jofmstone I.M. Ideal spatial adaptation by wavelet shrinkage //Biometrika 81, P.425-455.

8. Gotze F., Zalesky B.A. Nonparametric Wavelet based Minimax Estimation in non Gaussian Models.

9. Hall P., Kerkyacharian G., Picard D. Block threshold rules for curve estimation using kernel and wavelet methods//Annals of Statistics, V.26, N.3, P.922-942.

10. Hall P., McKay I., Turlach B. Perfomance of wavelet methods for functions with many discontinuites/zMnnata of Statistics, V. 24, P.2462-2476.

11. Hall P., Patil P. On the choice of smoothing parameter, thersh-old and truncation in nonparametric regression by nonlinear wavelet methods///. Roy. Statist. Soc., Ser. B 58, P.361-377.

12. Hardle W., Kerkyacharian G., Picard D., Tsybakov A.

Wavelets, Approximation and Statistical Application. Springer, 1997.

13. Kerkyacharian G., Picard D. Density estimation in Besov Space//Statistics and Probability Letters 13, P. 15-24-

14. Mallat S. Multiresolution approximation and wavelets// Trans. AMS, V. 315, P. 69-88.

15. Neumann M, Spectral Density estimation via nonlinear wavelet methods for stationary non-gaussian time series// Journal of time series analysis, V.17, N.6, P.601-633.

16. Nason G.P., von Sachs R. Wavelet in time series analy-sis//Phil. Trans. R.Soc.Lond. (Submitted).

17. Walter G.G. Approximation on the Delta Function by Wavelet//,/. Approx. Theory, V. 71, P. 329-34 3.

18. Тихомиров А Н., Юрченко В.А. Вейвлет-оценки плотностей и В-силайны//йлеббри, дифф ^уравнения и теория вероятностей КНЦ УрО РАН. 2000. С. 84 1 07.

19. Боровков А.А. Математическая

ст&гтсгтк&. Новосибирск. :Наука, 1997. 772 с.

20. ВйЛЯИНГСЛИ И. Сходимость вероятностных мер,М.:Наука, 1977. 352 с.

21. Петров В.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. М.-.Наука, 1987. 320 с.

Summary

Yurchenko V.A. Limit theorems for wavelet-statistics

We consider linear and nonlinear wavelet-statistics of independent random variables. We obtain the limit theorem for linear and nonlinear wavelet-statistics. Some statistical properties of wavelet coefficients are proved.

Сыктывкарский университет

Поступила 29.09.2000