CC BY
34
12 января 2012 г. 16:16
ТЕХНОЛОГИИ
Асимптотика оценки риска при вейглет-вейвлет разложении наблюдаемого сигнала*
Ключевые слова;
вейвлеты, пороговая обработка, рисх оценки сигнала, асимптотическая нормальность, линейное однородное преобразование, устойчивый базис.
Рассматривается задача оценки функции сигнала после прохождения через линейный однородный преобразователь в модели с аддитивным шумом. Исследуются асимптотические свойства оценки риска при пороговой обработке коэффициентов вейглет-вейвлет разложения сигнала. Приводятся условия, при которых имеет место асимптотическая нормальность оценки риска.
Кудрявцев АА,
Московский государстве»««* университет имени М. В. Ломоносова, факультет ВМК,
пиЬ*9епаС“+ю«та11.сот
Шестаков О.В.,
Московский государстве»«ый университет имени М. В. Ломоносова, факультет ВМК,
Введение
Во многих прикладных задачах анализа телекоммуникационного трафика, физики плазмы, компьютерной томографии, астрономии и других областей дон»ые (гредставгюкхцие собой некоторый сигнал) измеряется не напрямую, а после прохождения через некоторый линейный преобразователь (например, через некоторый линейный фильтр). Кроме того, в измерениях всегда присутствует шум, обусловленный несовершенством оборудования и различными случайными помехами
Таким образом, рассматривается следующая модель:
(1)
где индекс (обозначает номер отсчета измеряемого сигнала, X — наблюдаемые данные, К — некоторое лтейное преобразование, f — истинная (неэашум-ле»*юя) функция сигнала, а Г — случайные погрешности измерения. Будем предполагать, что все С независимы и имеют одонаковое гауссово рас преде-ле»*4е с нулевым средним и дисперсией а2.
В последние десятилетия значительно возросла популярность нелинейных методов обработки сигналов и изображе»*1й с помощью аппсрата вейвлет-анализа Объясняется это тем, что вейвлет-анализ позволяет гораздо более эффективно исследовать нестационарные сигналы, чем традиционный Фу-рьоанализ. В задачах удаления шума обычно используется процедура пороговой обработки вейвлет-коэффициентов, которая обнуляет коэффициенты, не превышающие заданного порога В палучое-мой таким образом оценке сигнала иш изображения неизбежно содержаться погреиности. Асимптотические свойства оценки этих погрешностей (риска) исследовались при разгмчных условиях измерения сигнала в работах [ 1 -9). В чостности, в работе [2] до казывоется состоятельность и асимптотическая нормальность оценки риска в задаче компьютерной томографии при использовании так называемого
вейвлет-вейглет разложения сигнала (\Mavelel-\taguelette [)есотро5Йюп). В данной работе мы предполагаем, что линейный преобразователь К, через который проходит сигнал, является однородным с показателем О, т.а
Л'[/(о(х - .Го))| = «-"(Л /)[«(х - Хо)! (2)
для любого и любого а > О, рассматриваем алыер нативный метод предгтаелег«« сигнала, предложен м>й в работе [ 101 полу*1Вший назеоние вейлет-вейв-лет разложение (\Ъдие1е«е-'ЛЬие1е* Оесолпро«*оп). Примерами однородных линейных преобразований! служат оператор интегрирования, преобразование Абеля, некоторые виды операторов свертки и (при соответствующем выборе системы координат) преобразование Радона (см. [10-12]).
Оказывается, что три выполнена определенных условий глсщкости наблюдаемого сигнала и анализирующего вейвлета, оценка риска также является осимгтготтески нормальной. Это обстоятельство позволяет строить асидлттотические доверительные интервалы для оценки риска, не используя значений истинных ненаблюдаемых отсчетов сигнала.
Замечание. Везде в работе мы будем пользоваться следующими стандартными обозначениями:
— математическое ожидание случайной вегичины С,;
1(.4) — индикатор события А ф( х) — стандартная нормальная функция распределения; ф(т) — плотность стандартного нормального 1 распределения;
/(-»*) — преобразование Фурье функции #х);
(/. у) — скалярное произведение функций Ыд,
— наибогыше целоечисло, не превоовэдящвеу
=> — слабая сходимость (сходимость по
распределению);
Л, — сходимость по вероятности.
2. Разложение сигнала. В работе [ 12] предложен метод вейвлет-вейглет разложения сигнала, идея которого заключается в представлении функц ш сиг нала / €/.(//?) в виде ряда из сдвигов и растяжений некоторой вейвлет-функции \|/
/=51 </»*м)^м- (3)
М€*
где \|/11(х)"21/2«|г(2,х-к) (семейство '.V ,*!,*«* образует органорм*^хэвснньй базис в 12(№)). 14*де»<с / в (3) назьвается масштабом, а идасс (с — сдасом. Функц« у должна удовлетворять огредале»**йм требованием (см. (13]), сдеако ее можно выбрать таким образом^ чтобы она обладала некоторыми полезными свойствами,
например имела компактный носитель, была дифференцируемой нужное число раз и имела заданное число М нулевых моментов (см. [ 1 4]), ТА
J Ar » 0. k = 0...............А/ - I.
Поскольку набл»одоется не сигнал і а его линейное преобразование Kf, коэффициенты разложения в (3) вы'вк^тить напрямую нельзя. В работе (12| предлагается использовать последовательность функций 4 k (получивших название 'вейглеты') таких, что
(/•»",Л> = <*/.<*»>•
Если преобразование К однородно, то функцш С t теж же представляют собой сдвиги и растяжения некоторой функции ^ (см (12]). При этом семейство уже не обладает свойством ортонормирован-ности, однако образует устойчивый базис, т.а существуют такие константы О < А < В < , что
гМ
(4)
для всех квадратично суммируемых последовательностей {с-к). Иногда свойство (4) называют 'почти ортогональностью' (см. [11]).
Подробное исследование асимптотических свойств риска (среднеквадратичной ошибки) и оце»*-ки риска при использовании этого метода проведено в работах (2) и (12). В работе (10) гредпожен альтернативный метод получавший назевгие вейглет вейвлет разложения сигнала. В этом методе в рад по функциям , раскладывается не функция сигнала а ее линейное преобразование К/.
К/ = 1С (*•’/.*>)»’>.*• (5)
Здесь для удобства мы не изменили обозначения для функций нов общем случае они отличаются
от функций у , в разложена (3). Заметим, что если преобразование К од нородно, то К 1 тоже однородно. Действительно, пусть К однородоо с показателем (X, та выполнено (2). Положим д ■ тогда
А ’И«*' -АрН! - К - #»»;! -
- •"/(ей - /»)) - - А)].
Откуда К однородоо с показателем -ЧЛ
Далее, пусть В ЦК’1 V ,||.Тогда
^ J (а—Ч-*)])* rf.rj
(Т'^К'ор’г-к])1 rfj-j
* Работа поддержана министерством образования и науки РФ (государстветый контракт кП779| и РФФИ (проекты 080700152-а, 110700112 и 110100515).
54 T-Comm #2-2011
А
У
ТЕХНОЛОГИИ
- (| А- »[*ж - *])' ./х| -
= 2"' ((К \'ШУ Фу'! - 2“'^л.
Функция (представляется в виде ряде
/ ” ^ ...
где (по аналогии с предетушим ме-
тодом функции и, 1 также назывзотся 5вейглетами1). Последовательность {и 4) не образует ортонорми-рованную систему,однако если выто/мены некоторые условия гладкости на К Ц/ иК~у,то последова-телыюсть {а;} образует устойчивый базис, о чем свидетельствует следующее утверждение
Лемма 1. Пусть существуют такие константы А > 0, а > О и Ь > 1 (/= 1, 2), что
К ‘Фіи)<Л,ІиГЧ + Мг)-
17)
іРіКи) < .4, М" (1 4 М’) (Г)
для всех 0)€ ІЯ, тогда последовательность {и образует устойчивый базис в 12(/Я).
Доказательство. В [11 ] показсио, что условие устойчивости базиса (4) эквивалентно существованию констант О < А < В<°° таких, что для произвольной функции / є I (//?) выполнено
ЛКЛ’< Е 1(/-”М>1’< В»/«* |8)
)МХ
Имеем
А/ - 51 (*/» ‘- л У. ' *
м*/ )мг
/ V».
ІАС*
Следовательно,
В/І* - (/•/> - £ </.*Чд><А Ч м./). (9)
імг
Покажем, что преобразование К однородно. Введем обозначения
9іМ*д(*/°+(з)и ^(1)*/|а('-(з))-Для произвольной функции ді?) имеем
|{А'7)Ц|-МЫПЛ / |А'*ЛИ« (- +<•) 7 -» у п‘1{К'/У\г]а,[г) л» ш ••*'(/.к»і) •
" • * / /(')*' [*(" * *»)] *** п •""* / Л*МА‘у) [* * *«] ** •
- а- у /ДО - *.))<А»>!1| Л * ✓</,.*» -Откуда получаем У |А~ЯМ' - <в)Ы>> * - / •"<>•[/(«(' - М)Ы0 ■»
Поскольку д(/) произвольна,
А-[/(«(г - <0))| = «-(*7)М< - ь)|.
та К* однородно с показателем.
Обозначим
■м<о
В силу (9) и леммы 6.2.3 из [11) вместо (8) достаточно доказать существование таких констант С и
С2, что
Т-Согпт #2-2011
£ К/.*м>1*£С,|Л‘ (Ю)
и
Е |</.<*>Г <с,|л*• И»)
)**г
Поскольку К'1 и К’ однородны.
Ч,Л«1 - » У ’О* ’СЮ'» - »1 = !”•№* - *:
“М»'1 - *•**»*•<•„<О - г* Чл(А"ч[2'| - Ч - - *)
где И = Й;|,А V И « =й..ЛV
Джажем (10). Имеем
1ЧЛ- Е к/.«*.)!*- £ I / =
/X* /Х*Цс
*•*</ и.
Воспользовавшись равенством Парсеваля (см. [15Ц, получаем
IV)
£ / /(и>2 *>.
***14
'гх||{ -2т«~*2 М я(2‘0) <Ц
£2 • І тр{>3»ыМ-'} £ * т) А,-
/>ОГ «41
Поскольку функция
£ /(*’ + т’У)й(2 Л*г+ т)
тб/
периодич« с периодом 2', имеем
ІЧ/І • V І Е ^ - »УійглГГІТ^ *.
Е/Е /<-• • «Уінг • «Е/'- • ■ .і*.
я/* -«
- Е / /I-1/1- • І"'-' '-)ї(2 - "1 *-
Обозначь
С.1*Г)-£|0(ГМ|*
г<п< Е ("(»< / ІА--ІҐ ■!-) ('’і-») / 1Л«»Г ■*-■) -і і/і,Еу,я<»И,,',і-")-
Следовательно,
Л к/.•»/>)!’< В/Г' (-урС.И ^ £ V13(иК,,/,(-«)]
»к» \ - ->о /
В работе (11] показано, что если выполнено [7), то найдется такая констсита С(, что
Следоватетьно, справедливо (10). Производя аналогичные выкладки для и*^, получаем (1 СУ). Лемма доказана. Далее будем рассматривать метод разложения сигнала, основанный на формуле (6).
В дальнейшем будем предполагать выполнение некоторых условий гладкости. Будем считать, что функция К/ є I. (//?) задана на конечном отрезке [а, Ь] и равномерно регулярна по Липцццу с некоторым параметром у > О, т.е. (см. (13]) существует константа [> Ои полююм степени п = | у | тской, что для любого у є [а./>| и любого дг є Ш
|А7(х)-Г,(х)|<Х.к-|,Г.
Для таких функций известно (см. (13)), что если вейвлет-функц ия М раз непрерывно дифференцируема (М > 7), имеет М нулевых моментов и быстро убывает на бесконечности вместе со своими производными, т.е для всех 0 < к < М и любого те У найдется константа что при всех х є Ш
то найдется такая констдата С > 0, что
с
(А/.фу*) < 2;(■,+ »/•/! •
п/) - НЕ / /и')/и--мі2»)і(2^)«(2 >-■ ♦ п) »<*■
ш<ІО,.Х'ж
Следовательно,
<'(/) - Е 1(/.«,>)|! - / |/МрС.(ы) *» + !>(/)
І.М2 .*
Пусть СО' = СО + л2'. Воспользовавшись неравенством Ксхш-Буняковсхого (см. (15)),получаем
'ч/іїЕеД/ |/мГ|*<гмв(г>«> +1.)| А.| »
/7 \'л
» І / |/(^|,|й(2"/і/)»(Г'й' - п)| 4/1 <
* и'1 •<-) »
\К^-^ /
/ ♦» ч •Л
*1Е / («і*- ■і~,і
Обозначим
С» - мЧ>Е|5(2 Мй(2-'- + п)|.
Имеем,
по
Причем, как правило, в рассматриваемых задачах линейное преобразование К обладает тем свойством, что функция К/ оказывается более гладкой, чем функция (. Таким образом, ограничения на тонкость / могут быть менее жестки**!.
При практической реализации метода в представлении (5) вместо ряда функция ^аппроксимируется коне^мой суммой следующего вида J- 1 2>-1
л / = (А'/. т?од))й1Д1 + 53 51
Ы1
гдеф0 0 так назьаиземая дласштабирующая функция, которая фактически описьеает среднее значение измеряемых донных (см (151).
Соответственно, вместо формулы (6) функция сигнала задается формулой
I (Л/- г»||)А 1 уРпр + Е 5- /• ^|.*)мМ-
I о
(12)
Ошибка, возникающая из-за такой аппрокси-мацк«. носит неслучайный характер, и рассматривал» ее ьы не будем
3. Пороговая обработка. Поскольку в измерениях присутствует шум, необходимо использовать некоторые процедуры для его удаления Мы рассмотрим процедуру пороговой обработки (см. (13)). Смысл пороговой обработки вейвлет-коэффи1**ен-тсв измеряемого сигнала заключается в удалении достаточно маленьких коэффиц иентов, которые считаются шумом Будем использовать гак называемую
55
Л
Y
ТЕХНОЛОГИИ
мягкую пороговую обраболсу с порогом Т , зависящим от мосияаба /. К каждому вейвлвт-коэффициен-ту за исключением коэффициента при фс 0 грименя-етсяфункция Р^(х) ■ 5дп(х) (|х| - ТУ. При тсжсй пороговой обработке коэффициенты, которые по модулю меньше порога Т , обнуляются, а абсолютные величины остальных коэффициентов уменьшаются на величну порога В результате функция сигнала (в разложении (12) оценивоется следуюицм образом
/- хДа-'л*+£ Е ^рг.іхХк
)-0 ы>
где представляет собой зашумленный коэффициент при К~ — зашумленные вейвлег-ко-
эффициенты из разложения (12). Коэффициент 0 обычно не подвергается пороговой обработке, так кск входит в ту часть оценки, которая описывает среднее значение измеряемое данных (см. (15)), и д исперсия шума в этом коэффициенте много меньше его абсолютного значения, поэтому мы не будем рассматривать его влияние, полагая, что Х^0 = = <Кі, ф00 >, те, что не содержит шума. Такое предположение не влияет на асимптотические свойства оценки риска, рассматриваемые в данной работе. Риск (среднеквадрати^ая ошибка) оценки ^ определяется как
г. = Е |/- /||* 113)
Так как система функі#ій {и ^} не является орто-норм>^юва»юй, риск нельзя представить в виде суммы вкладов погрешностей отдельных коэффициентов, однако в силу устойчивости базиса {и,) найдутся такие константы А и В, зависящие от К и \|/, что Аг <га< Вг; где
г - Е Е &є((к/. *>*) - лі<*5))*. (И
/»О 4—41
тл. с точностью до множителя ветчина гг асимгтто-шчески ведет себя так же как г. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать асимптотическое поведение !
4. Дискретное вейвлет-разложение. На
практике измеряемые данные всегда заданы в дискретных отсчетах на коне^юм отрезке Не ограничивая общности, будем считать, что это отрезок (О, 1)и функция Кі (и /) задана в точках \/М (і * 1 ,...Л/, где N * 2і для некоторого 1): (К/) ж (Щ‘/2]) (и Іш Ці/2І)). Дискрелюе вейвлет-преобразование представляет собой умножение вектора значений функі*іи КІ на ортогональную матрицу УУ, определяемую вейвлет-функцией \|/ (см. [13)). При этом дискретные вейвлет-коэффиг^екты приближенно равны непрерь»*.ім вейвлет коэффициентам умноженим на 2" (та на т.е коэффициеты выглядят следующим образом: V ■> при разложена ^или 2^2<К( у к>
при разложении (см, например, (10) или (1^1). Это приближе»іе тем точнее, чем больше і Мы не будем обсуждать методы борьбы с краевыми эффектами, связанными с использованием вейвлет-разложения на конечном отрезке. Познакомиться с этими методами можно, например, в [ 15]. Таким образом, в сипу ортогональности матрицы преобразования, дискретные вейвлет-коэффициенты наблюдаемых донных (1), которые мы обозначим через У -к, описываются следующей моделью:
гдвЦ(. = 2J//2<KÍ, у , > а случайные погрешности независимы и имеют одинаковое гауссово распределение с нулевым средним и дисперсией О2. В рамках донной модели вместо выражения (14) риск определяется следующим образом (см (13]):
і-О к О
116)
>(1п + 1)>1/2.
Г|риэталдлЯ|т</£..1-1 всипуО 11 справедливо
/|,Л < СГ* (20)
для некоторой константы С Имеем
Qiü- J) - Z Е
Е Z '»Л- ^ *?> *<*’f > т?)-
-Е<УД - #*)»(!£ < TJ) - С(^ ♦ 77)І(ГД > туи
Z Z - £ £ ^{>Л -
Для каждого масштаба / будем выбирал» порог Т, = >¡2.1л 2'а Такой порог получил название 'универсальный'’ , тх он не зависит от наблюдаемых донных. В работах [3] и [4] было показано, что при выборе этого порога риск г. близок к минимальному.
В выражении (16) присутствуют неизвестные ве-ЛИЧ№#4Ы Ц|к, поэтому вычислил, значение Г, нельзя - Ч- ! 4 4
Одиако его можно оценил». В каждом слагаемом ес ли | У^| > Т;, то вклад этого слагаемого в риск составляет р2ь(а2 -*• Г2), а если | У. 4| < I, то вклад составляет Р2к Ц 2.. Поскольку ЕУ2к * О2 + М2, величи- Найдем дисперсию первой суммы:
нуЦ^можнооирнитъразиостъюУ^-С2.Т<жимс6- ^ 7 ц Ы , ч;ч_
разом, в качестве оценки риска можно использовал» С* •
следующую величину. *-|
> 71 - £
' ГГ, Г1Г, ‘1 11 Везде далее нас будет интересовать максималь-
И, X) г - <г*)|( 7 < Г,) ■ <п3 Г/)1(|»; • 7^). мьйпорцдок по./ (или рассматриваемыхецххке-
(17)
ний Будем использовать символ ' " для олределе-
П . и« порядка возраста»«« вьражонш п™ 7 >
Для так определенной оценки риска спраеедли- _/опТТ!..«« ,
во следующее утверждение (см [ 13]).
Лемма 2. Г - = г , те. г является несмещенной 0 у*1 у? , х
оценкой ДЛЯ Гу. ¿-¿-ММ 10
5. Асимптотическая нормальность оценки
риска. В работах (2) и (7-9) исследовалось поведе-
Поскольку выполнено (20), имеем
j-i »>-1 ;•!
'II
І'-Іш k+Л
2(i».dj _ ¿і
'*"4.- г*...
Введем обозначения
Имеем
0liw>*e4>5-
H Dj в?*”'™1.
ние оцэиси риска при прямом наблюдении отсчетов сигнала и при использовании метода вейвлет-вейглет разложения в задачах компьютерной томографии. В частности, показано, что при определенных требованиях гладкости оценка риска является асимптотически нормальной. В данном разделе будет покаэзю асимптотическая нормальность оценки риска в методе вейглет-вейвлет разложения сигнала.
Замечание. Далее через С с индексом или без Д ля того чтобы нормированная сумма S,(jm,
будут обозначаться некоторые константы, вообще была асимптотически нормальной достаточно, что-
говоря, каждый раз разные, которые могут зависел» бы выполнялось условие Линдеберга (см ( 16)). Для
от некоторых параметров,но не зависят от г и/ этого достаточно показать, что
Теорема 1. Пусть преобразование К однородно с показателем а > 0, вейвлет-функция V удовло- ^ *' К* ^ ~ *'?»! -
творяет условиям леммы 1,афункция К/ є L ( IR) задана на отрезке (0; I] и равномерно регулярна по длялюбогоб >0при J -
Лтшицусл
- !)-«
Y>(8a +2)~\тогда
Л'(0.1) при J-*x
08)
Рассмотрим фуны#1Ю распределения Имеем при достаточно больших J
(15)
Д о к а з а т е л ьс те о. В силу лем*л>< 2
-г. -£ А/- £ ВДЬ.0$) Е«»,'»ЛИ -
- III ^!Лг,(УД) - еаг.о'ЛЯ - Е Е з
■</.(!-»
Здесь /т определяется из следующих соображе-
Таким образом, используя соотношение .12 - 1/2);. • •» и ¿п - 1/2)7 - (2л *• 1 -ф(х)х^(х)/х фи достаточно больших х
(19) (см (16]), получаем Выполнение этих соотношений можно обеспечить, поскольку в силу условий теоремы
"'‘j
l’-vWnk + vTCî-^i j х 2Ф - І
56
Т-Сошт #2-201
Y
* I'Ц - Г\ж)Ц* ж 3 I (| - ♦(^0|<)) Л* - ^ У (I - ♦ОгЦ^г*
- Ь/" - ’ Д ^ *
*С>уОс яи> ^ - х
Таким образом, все нормированные 0) слагаемые в условен Лнндеберга стремятся к нулю быстрее, чем О"), те. вся сулмла (нормированных слагаемых) имеет порядок по ) не выие, чем 2( /2-2аУ. С учетам того, что после нормировки слагаемых вся сумма нормируется величиной 0] = 2[2а,] /2}■,, получаем, что условие Линдаберш выполняется при любам« > О
Учитывая (20), полупим еще несколько оценок в предположении, что / изменяется от /т до .У - 1. Так как У , имеет гауссово распределение,
Р(И'^| > т,) * -11-~-1 + ■ * _ - >
•* 1Х
Поскольку
имеем
Р||У„| > Г,) ж ^
Далее
, -<г, »*.,*»/•
е»"Д1(т*1 >г.» ^
/ л,,,,£г+
* (Г.
*(Г.
/ І€'"ІЛх*г^ í "■'r‘tr4 ■* (Г»-**»!/*
;/Ч ♦(' /м
^(♦(-ІЦ^) + і-*(*Цй±))х
xCt/j2 ‘ tC¿¿.xCy[,2 l
Используя эти оценки и неравенство ||а| - |Ь||
< тах{ I а| - I Ь|} покажем, что
г
Dj
- (I, t)|MI J —• ъс
Имеем для любого Ô > 0
р иъ - > Гііі > л s
< Ь У.'.І П..1 > Г,)1 .
- iDj 5
< Я » -£Е;УД-^:1.»УМ|>Г,) _
5 -
< ^Р?.чіПіі>г,) tízLzZf&tfT'
AD. ' 5Ь.*і/иі
Полностью аналогично доказывается сходимость к нулю по вероятности при ./—»<» нормированных сулил 4/0.,»= 3, 4, 5:
Осталось доказать, что О, Ц^/ О, —> 0 при
3 —» оо. Имеем
<*•<*■) Е £ &(*»,<>£> - ЕЛг,07>)! -
II £ Л\Д>Л «’ним < г,м («’ * г><!>,, • !,) )■* *•«
-ео$ - ^)1(1П*1 < П) - {0і + 7^)Р(|);>| > гу)| <
i2ïïw+ff1-
/9в Ьв
*С, £
,*в
при достаточно больших J
QiU~) ^
Dj * 2<*~' tnJ
Поскольку условие ( 19) обеспечивает стремление правой чости последнего неравенства к нулю,
Q,ü~) р
Oj
• 0 при J — X.
Ввиду асимптотической нормальности нормированной суммы Sj (/^ J)/D} (а следовательно, и ОД, fl/Dj) мы палучоем требуемое утверждение. Теорема доказана
Замечание. В доказанной теореме нормировка оценки риска отличается от традиционной нормировки дисперсией, используемой в различных видох центральной предельной теоремы (см. (16)). Такая нормировка выбрана для того, чтобы левая часть (18) не зависела от ненаблюдаемых истинных отсчетов сигнала и, таким образам, можно было стро-
ить асимптотические доверительные интервенты для оценки риска
Литература
1 Donoho D, Johnstone LM Adoping to Unknown Smoothness vio Wavelet Shrinkage //J. Ame». Slot Assoc., 1995. Vol. 90 P 1200-1224
2 Мсрким AB, Шестсков OB. Асюилтотики оценки риска при пороговой обработке веі-влет-вейглет коэффициентов в задаче томогрофии // Информатика и ее применения, 2010. — Т 4 Выл. 2. — С 36-45
ТЕХНОЛОГИИ
3 Donoho D4 Johnstone LM. Ideal Spatial Adaptation via Wavelet Shrinkage // Biomelrika, 1994. Vol. 81. №3 — P 425-455.
4 Donoho D.L, Johnstone LM, Kedcyacharicri G., Picard D.
WcNelei Shrinkage: Asymptopta?//J R. Statist Soc Ser B.. 1995. - Vd. 57 N»2. - P 301-369
5 MarTonJ-S^ Adak S, Johnstone LM, Neumann M.K,
P. Exact Risk Anc^yss of Wavelet Regression // J. Comput Graph Stat, 1998.—Vol.7. — P278-309
6 Antontads A, Far J. Regularization of Wavelet Approximations//J Amer Statist Assoc., 2001 — Vbl96. — N«455.-P 939-967.
7 Маркин AB., Шестаков O.B. О состоятел^ости оценки рисха три пороговой обработке вейвлвт-ксоффи-циентов// Вести. Моас. ун-та. Сер. 15. Вычисл матем и ки-берн., 2010.-N»1-026-34.
8 Маркин AB. I (редельное распределение оценки риска при пороговой обработке вейвлет-коэффициентов // Информатика и ее применений, 2009. — 13. Выл 4. —
С 57-63
9 Шестсксв О.В. Аппроксимаии« распределения оценки риаса пороговой обработки вейвлет-жоэффициен-тов нормальным роспредвпением при использовании выборовой дисперсии // Информсттжа и ее применения,
2010.-Т4 Вып.4.-С73-81.
10. Abramovich F., SSverman B.W. Wavelet Decomposition Approaches to Statisbcal Inverse Problems // Biometika, 1998. -VW. 85, N»1.- PI 15-129
11 Lee N. Wavelet-vagueiette decompositions and homogenous equations: PhD dissertrtion Purdue University. 1997
12. Donoho DJ. Norinear soluiicn of linear inverse prob-
lems by wavelet-vaguelete decomposition // Applied and Computational Harmonic Analysis. 1995. — Vol. 2. —
P 101-126.
13. Malal S. A wavele* tour of signal processing Academic Press. 1999.
14 Добеам И. Десять лекций по вейвлетам Ижевск НИЦ зРегулярная и хаотуыеагая декзммса^ 2001.
15. BoggessA, Naricowich F. A First Course in Wavelets wHh Fourier Anolysis. PrenSce Hal, 2001
16. Фелпер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. — М.: Мир, 1967 — Т. 1.
The average risk assessment of the wavelet decomposition of the signal.
A.A. Kudryavtsev O.V. Shestakov
This arlide describes problems dt assessing function of iie signal. Signal b presented after it has passed through a homogeneous linear transducer with an additive Gaussian noise. Conditions of asymptotically normal estimate of risk ore gran.
Key words: wavelet transform, the threshold processing, signal risk assessment, the asymptotic normality, linear homogeneous Iransformalion, sustainable BASIS.
при J -
T-Comm #2-2011
57
