CC BY
20
УДК 519.22, 517.521, 53.088
А. А. Ерошенко1, О. В. Шестаков2
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ НОРМАЛЬНОСТЬ ОЦЕНКИ РИСКА ПРИ ВЕЙВЛЕТ-ВЕЙГЛЕТ-РАЗЛОЖЕНИИ ФУНКЦИИ СИГНАЛА В МОДЕЛИ С КОРРЕЛИРОВАННЫМ ШУМОМ*
В работе рассматривается задача оценки функции после применения однородного линейного оператора в модели с коррелированным шумом. Исследуются асимптотические свойства оценки риска при пороговой обработке вейвлет-вейглет-разложения сигнала. Приводятся условия, при которых имеет место асимптотическая нормальность несмещенной оценки риска.
Ключевые слова: вейвлеты, линейный однородный оператор, пороговая обработка, несмещенная оценка риска, коррелированный шум, асимптотическая нормальность.
1. Введение. В работе рассматривается следующая модель наблюдаемых данных:
Yi = {Kf)i + zi,
где г — номер отсчета измеряемого сигнала, К — однородный линейный оператор в L2 с показателем однородности /3 > 0 [1], / — искомая функция, Zi — коррелированный гауссовский шум с нулевым математическим ожиданием.
Этой моделью описываются такие прикладные задачи, в которых данные наблюдаются косвенно и содержат шум, например анализ телекоммуникационного трафика, физика плазмы, компьютерная томография. Пороговая обработка коэффициентов вейвлет-вейглет-разложения наблюдаемых данных в таких задачах позволяет "очистить" целевую функцию от шума, наличие которого приводит к погрешностям. Свойства оценки таких погрешностей (риска) в модели с независимым шумом исследовались в работах [1-14]. Показано, что при определенных условиях оценка риска обладает свойствами состоятельности и асимптотической нормальности.
В данной работе мы исследуем асимптотическое поведение оценки риска в модели со стационарным коррелированным шумом. Для простоты изложения рассматриваются одномерные сигналы.
2. Вейвлет-вейглет-разложение и восстановление функции. Пусть вейвлет-разложение функции / имеет вид
f = ^2(f,ijjk)ijjk, (1) j,k
где ifrjkit) = 2^2ф(2Н — к), a 'ip(t) — некоторая материнская вейвлет-функция (семейство {'ipjk}jkez образует ортонормированный базис в Ь2(Ш)). Индекс j в (1) называется масштабом, а индекс к — сдвигом. Функция ф должна удовлетворять определенным требованиям, однако ее можно выбрать таким образом, чтобы она обладала некоторыми полезными свойствами, например была дифференцируемой нужное число раз и имела заданное число М нулевых моментов [15], т. е.
сю
J tki/j(t)dt = 0, к = 0,...,м- 1.
—сю
В дальнейшем будут рассматриваться функции сигнала / € L2(K) на конечном отрезке [а,Ь], равномерно регулярные по Липшицу с некоторым параметром j > 0. Для таких функций известно [16], что если вейвлет-функция М раз непрерывно дифференцируема (М ^ 7), имеет М нулевых
1 Факультет ВМК МГУ, асп., e-mail: aeroshikQgmail.com
2 Факультет ВМК МГУ, доц., д.ф.-м.н.; ИПИ РАН, ст. науч. сотр., e-mail: oshestakovQcs.msu.su
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 11-01-00515).
моментов и достаточно быстро убывает на бесконечности, т. е. существует такая константа С а > О, что
сю
Г (l + |i|7)|^(i)| dt^CA, то найдется такая константа А > 0, что
(1Фзк) < 2Л7+1/2)- (2)
На практике функции сигнала всегда заданы в дискретных отсчетах на конечном отрезке. Не ограничивая общности, будем считать, что это отрезок [0,1] и функция / задана в точках i/2J, i = 1,..., 2J, следующим образом: fi = f (i/2J). Дискретное вейвлет-преобразование представляет собой умножение вектора значений функции / (обозначим его через /) на ортогональную матрицу W, определяемую вейвлет-функцией ф-. р1 = W/ [14]. При этом дискретные вейвлет-коэффициенты связаны с непрерывными следующим образом: /Д и 2J/2(f,4>jk) (см., например, [16]). Это приближение тем точнее, чем больше J. Мы не будем учитывать краевые эффекты, связанные с использованием вейвлет-разложения на конечном отрезке. Методы борьбы с такими эффектами обсуждаются, например, в [17].
Поскольку оператор К линеен и однороден, существуют такие функции (вейглеты, см. [1]), что
[Kf,tjk] = (Mk).
Вейглеты — это "вейвлетоподобные" функции, которые также представляют собой сдвиги и растяжения некоторой функции Вейглеты {Cjfc} не обладают свойством ортонормированности. Однако нормированные вейглеты Ujk = 2"^Cjfc образуют устойчивый базис [1].
3. Модель данных с коррелированным шумом. Пусть {г,-. г € Z} — стационарный гаус-совский процесс с ковариационной последовательностью гк = cov(z.j, Zi+k). Модель выборки длины п =
2J со стационарными ошибками имеет вид
Yi = Kf(i/n) + Zi, i = 1,... ,п. Для t G [0,1] определим наблюдаемый процесс
[nt] [nt] [nt]
Yn(t) = — Yi = KFn(t) H— Y^ Zi, KFn{t) = -J^Kfii/n), i= 1 i= 1 i= 1
где KFn(t) — "суммарный сигнал". Далее, пусть гк убывает со скоростью гк ~ Ак~а, где 0 < а < 1. Положим г2 = 2А/(1 — а)(2 — а) и H = 1 — а/2 G (1/2,1). Определим дробное броуновское движение Вjj(t) — гауссовский процесс на Ж с нулевым средним и ковариационной функцией
r(s, t) = ^Y (|«|2Я + \t\2H - 11- 5|2Я) , S,te Ж, ^я = 0(Вя(1))=^Г(2^2Я)СО8(7ГЯ)
тг//(2// - 1)
Из [18] следует, что
па^(¥п(г) - крп(г)) гВя(*), I € [о, 1].
Таким образом, полагая е = т1/"п-1/2! можно аппроксимировать наблюдаемый процесс Уп{Ь) с помощью для £ € [0,1], где
г(г) = ад + с" вя(г).
Применяя к процессу вейглет-разложение, имеем
= [А'/<'.<,,,] + [Г.<,,,] = +
где б = т11а2~,712, г — параметр масштаба и без ограничения общности г = 1. Далее, переходя к дискретному вейглет-преобразованию, по аналогии с дискретным вейвлет-преобразованием получаем модель дискретных вейглет-коэффициентов
X,-* = Н,к + Н,к = 2 у>1,к = &к] = I (¡Вя.
Дисперсии коэффициентов Х^ не зависят от к и равны [19, 20]
а) = Вя| = гЧк ёВя| = С^-7"^1"^2«,
где Сар — константа, зависящая от параметров а и ¡3. Для ковариации сау{Х^к^Хц) при ] ^ 'I имеем
соу(Х1к,Хц) = -!-2/п "'2-' г2' г [2-1е*к*2~'й(2->г)2-*еи!12-*й(2-*г)\г\-(1-а) йх = 2тх J
где А = ] — г.
Замечание. Далее будем рассматривать вейвлет-вейглет-разложение на основе вейвлетов Мей-ера [16], удовлетворяющих перечисленным выше требованиям. Для вейвлетов Мейера с Мо нулевыми моментами справедливо: \ф(ио)\ < С'м \
0-^и)£зирр(?/1) ^0]. Также потребуем выполнения аналогичного неравенства для вейглет-функций: |й(го)| ^ Смг |го|М11и,£8ирр(й) с некоторой константой М\ > 0. Данное неравенство справедливо для многих линейных однородных операторов, например для оператора Рисса, оператора интегрирования, преобразования Абеля и преобразования Гильберта. Помимо этого, выбирая соответствующие вейвлеты Мейера, можно добиться, чтобы функция й{ш) |ш| была дифференцируема нужное число раз. Имеем
27Г ]
Потребуем, чтобы М\ > 1 — а, М\ > ¡3 и функция й(ио)была М раз дифференцируема (см. замечание). Тогда
((72-/(1-»)-т-^1-»)2(й+а)^2-ам1 1 ;,м, \к2~А - 1\ > 1,
\соу(Х1к,Хи)К < А 1 1 (3)
\С2Л1-а)-%-Ц1-а)2(Ш+АЩ-АМ^ \к2~А ^ 1\ ^ 1,
где С — некоторая положительная константа. Соответственно при г = ] и \к\ ^ 1
|соу(Х,-0,^)1 < (4)
1*1
4. Пороговая обработка и оценка риска. Смысл пороговой обработки коэффициентов вейвлет-вейглет-разложения заключается в удалении достаточно маленьких коэффициентов, которые считаются шумом. Мы будем рассматривать так называемую мягкую пороговую обработку с порогом Т,-, зависящим от уровня К каждому коэффициенту применяется функция рт^(х) = в§п(ж) (|ж| — т. е. при такой пороговой обработке коэффициенты, которые по модулю меньше порога Т^-, обнуляются, а абсолютные величины остальных коэффициентов уменьшаются на величину порога. Погрешность (или риск) мягкой пороговой обработки определяется следующим образом:
.7-1 2^ — 1
ДЛЯ = Е Е Чнь-РтЛХзк))2 . (5)
з=о к=а
В [21] предложено использовать порог Т^ = \[2Ъ\21оз, названный "универсальным". В дальнейшем будет использоваться именно такой вид порога. В выражении (5) присутствуют неизвестные величины
/х^, поэтому вычислить значение нельзя. Однако его можно оценить. В качестве оценки риска
используется следующая величина [2]:
,7-1 2^-1
ад) Е Е п-Ч-ь^А- (6)
3 = 0 к=О
где Е[х,Т, сг] = (ж — а2)1(\х\ ^ Т2) + (а2 + Т2)1(|ж| > Т2). Величина является несмещенной
оценкой для [16]. В работе [9] исследовались асимптотические свойства оценки (6) в модели
с независимым шумом. Было показано, что при определенных условиях гладкости эта оценка является состоятельной и асимптотически нормальной. Далее будет исследовано асимптотическое поведение оценки (6) в модели данных с долгосрочной зависимостью.
5. Вспомогательные результаты. Введем обозначение для последовательностей: aj ~ hj. если
lim = i.
J-i-oo bj
Лемма 1. Пусть а + 2/3 > 1/2 и у > (4(а + 2/3) - 2)"1, тогда Dj = DRj(f) ~ C2J(1+4^, где константа С зависит от а и /3, но не зависит от функции сигнала f.
Доказательство. При выполнении условий леммы (2у + I)-1 < 1 — (2а + 4/3)-1. Выберем р", такое, что (2у + I)-1 < р" < 1 — (2а + 4/3)—1 и р" J — целое число. Тогда в силу (2) ßjk —> 0 для всех j: р" J ^ j < J при J ^ оо. Разобьем выражение (6) на две суммы:
р" J 2j-l J-1 2^—1
ад) = Е Е + Е Е
j=0 к=0 j=p"j+1 fc=o
Так как существует такая константа Ср > 0, что l4'[.X'jh.7). <ту-] ^ для первой
суммы имеем
р" J 2j-l p"J2j-l
Е Е /•l-Vji,.7).fTJ] <С CF Е Е ß(J~m~a)^2ßj < (7^J2J(1-a+(a+2^") (7)
j=0 fc=0 i=0 fc=0
с некоторой константой C^ > 0. Далее,
J-l 2j -1 J-l 24-l 2j -1
DRj(f) = E E D/'l-Vj,.-/).^] + E E E covCF^2,^,^]2,^^,^,^]2). (8) j=o fc=o i,j=о г=о fc=o
Рассмотрим сумму дисперсий
J-12j-l p"J 2j-l J-l 2j-l
E E D/'l-Vj,.'/).^] = E E D/'l-Vj,.'/).^] + E E D/'l-Vj,.'/).^].
j=0 fc=0 i=0 fc=0 j=p"J+l fc=0
В силу (7) первая сумма не превосходит CpJ222J(1~a+(a+2^i> ), где Ср >0 — некоторая константа, итак какр" < 1 ^ (2а + 4/3)-1, имеем 2(1^а + (а+2/3)р") < 1 + 4/3. Учитывая вид порога Tj и принимая во внимание, что а + 2/3 > 1/2, для второй суммы имеем
J-l 23-1 J-1 2^—1 J-l 23-1 J-1 2^—1
4 3
Е Е ED*J*= Е Е Е^.
j=p"J+l fc = 0 j=p".7+l fc = 0 j=p".7+l k = Q j=p"J+l k=Q
■J~l 2^ — 1 02J(l-ot)
j=p"J+l fc=0
Таким образом,
EED/'I-Vj,.-/-,^]^ £ EDX2^^1^), (9)
j=0 fc=0 j=p"j+1 fc=o
1 Е Е Е ™v2(xihxjk) = Е ЕЕ Е соу2№г,хг+д,,к
i,j=p"J+1 1=0 к=0 i=p"J+1 1=0 А=0
k_,l+1, Д = 0;
где С" — положительная константа. Рассмотрим теперь сумму ковариаций в (8). Аналогично сумме дисперсий имеем
J — l 2i — 1 2^ — 1 J-1 2^ — 1 2^—1
Е Е Е F[Xjk,Tj,<7j]) ^ E E E
¿,j=o г=о fc=o ¿,j=p"j+i г=о k=o
Известно, что если вектор (X, Y) имеет двумерное нормальное распределение, то
<:ov( A'2. Y2) = 4EXEFcov(X, Y) + 2cov2(X, Y). (10)
Используя (3), (4) и (10), получаем
J-1 2i-12i-l J-1 2* —1 J—i — 1 2i+A-l
2
j,j=p"j+i г=о fc=o i=p"j+1 г=о д=о i
^o, д > o.
J-l 2*-l ,2*-I
< ^ E(Ef*''^ -jmi i)ii ,l)2i/ >' + ¿=p"j+i г=о J ъ 1 2 * 1
V^ £<2q2( J—i)( 1—a)o — A(l-j-2Mi) 2(4г+2Д)/? 1{|fc2-A-?|>1}
Z^ Z^ |fc2"A - Л2М
Д=1 fc=o 1 1
J—j-12i+A-l ч
+ E E (:'J-JiJ ,H1 ")2 л /кп) <
a=1 fc=0 '
j-i 2*-i —г—i
^ El E C2<5_2M22('7_i^1_a)24i|S +
¿=p"j+i г=о ^ ¿=i
J-i-l ,T ' 4 1 1 NN
Д=1 V k=о \k2~A^l\2M //
J-l , J-i-l
< (:^2JiJ i)il / //¡,2"' "' г) + + 2^1+4^2^~2Ml^Aff2>) I <
i=p"J+1 ^ Д=1 '
< E С222(-7-)(1-а)2^1+4^(Яо + Я3) -ff^^, (11)
где Hq, Hi, I/•_>. //3 и //1 — положительные константы, зависящие от а и /3. Аналогично с учетом (2)
J-l 2i-12i-l
Е ЕЕ NiHkCOv(XihXjk) <: HaPJ2J{-l-a+i-a+2r^"\ (12)
i,j=p"J+1 1=0 к=0
где //,, ; — константа, зависящая от а и /3. Объединяя (9), (11) и (12), получаем, что DRj(f) ^ ~ С2j(1+4@K Лемма доказана.
Докажем еще одно свойство эмпирических вейглет-коэффициентов. Говорят, что последовательность случайных величин {У^}?^ обладает свойством р-перемешивания, если для функции
р(т) = sup corr(Yj,Yj)
i,j:\i-j\>m
справедливо p(m) —> 0 при m ^ oo.
Лемма 2. Последовательность {Р[Х?к, Т,-, о^]}, ] = 0,..., «7 — 1, к = 1,... ,2^, обладает свойством р-перемешивания. Причем для некоторой положительной константы Ср имеем
р(т) sg
(та+i)2M для элементов на одном уровне (i = j),
с
2(т+1)(2М1+а)
для элементов на разных уровнях.
Доказательство. Рассмотрим функцию перемешивания между элементами с номерами I и к на одном уровне г, г = 0,..., «7 — 1. Для некоторой константы Ср > 0 имеем
— 2М
р(т) = sup . 4 ^ gup --i- ''- <c
k,l:\k—l\>m k,l:\k — l\>m
22(J-»)(l-e)24^|A._i|-2A/ j
< SUP -- < SUP Cp
k,l:\k — l\>m k,l:\k—l\>m
Далее, рассмотрим функцию перемешивания для элементов /-'[.Vj). "¡).а,\. l4'[X'jh.7). <ту-] на разных уровнях i, j: j > i, j — i = A > 0. Рассмотрим случай |&2_Л — /| > 1:
cov(F[Xg2,Tj, p-j], F[X|fc,Tj, q-j])
p(m) = sup —. - ^
J ' л>'»- . jDF[Xfl.Ti.ai\DF[XlrTi.ai\
22(/-г)(1-а)2-А(1+2А/1)2(4г+2Д);3|^2-А _ Ц~2М
< sup Cp-==- <
j-i=A>m, \hivf
^ г-t ^ Cp
^ sup 6p —
Случай |&2~Л — 11 ^ 1 рассматривается аналогично. В итоге
(та+1)2М на °ДН0М уровне i = j,
р(т) <
При т ^ оо функция р(т) ^ 0, что и доказывает утверждение леммы.
с„
2(m+i)(2M1+a) на разных уровнях.
6. Основная теорема. Докажем теперь асимптотическую нормальность оценки риска. Теорема. Пусть а + 2/3 > 1/2 и функция / равномерно регулярна по Липшицу с параметром 7 > (4(а + 2/3) - 2)"1. Тогда при пороговой обработке с "универсальным" порогом Т^ имеет место сходимость по распределению
*Л/)~ДЛ/)=>ЛГ(0,1), «7^ ос, (13)
где I)2 = (72,7(1+4'3\ а константа С зависит от параметра распределения а, показателя однородности /3 и выбранного вейвлет-базиса.
Доказательство. Из леммы 1 следует, что ОДЛЯ ~ I)2 = С'2,7(1+4'3). Разобьем выражение в (13) на две суммы, как это было сделано в лемме 1:
для - для =
ад -ш^х^ад) £ -
_ 3=0 /г=0__/г=0_
" Ж, Ж, '
гдер" > (27+1)-1. Поскольку7 > (4(а + 2/3) ^2)-1, имеем (27 + 1)-1 < 1 — (2а + 4/3)-1. Следовательно, можно выбрать такое р", что (27 + I)"1 < р" < 1 - (2а + 4/3)"1. Отсюда 1 - а + (а + 2/3)р" < 1/2 + 2/3, и из (7) следует, что первая сумма стремится к нулю п. в. Далее, действуя как в лемме 1, нетрудно показать, что
•7>0 3 к=О •7>0 •т З=р".1+1 к=О
Из леммы 2 следует, что последовательность {Р[Х2к, Т^, о^]}, = 0,..., </ ^ 1, & = 1,..., 2-?, обладает свойством р-перемешивания, и, следовательно [22], обладает свойством «-перемешивания. Наконец, выполнено условие Линдеберга: для любого е > О
3 j=p"J+l к=о
х 1(\Е[Х?к,Тз,(Гз] - Ш[Х2к,Т^а^\ > е£>/) О, 3 ^оо. (14)
Действительно, так как 1-[Х]к.Т).а)\ < С^-7"^1""^2« = СР](см. лемму 1),
а В2 = С2'т(1 + 4/3), то при а + 2/3 > 1/2, начиная с некоторого </, все индикаторы в (14) обращаются в ноль.
Таким образом, выполнены все условия теоремы 2.1 из работы [23] и справедлива сходимость по распределению (13). Теорема доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Donoho D. Nonlinear solution of linear inverse problems by wavelet-vaguelette decomposition // Applied and Computational Harmonic Analysis. 1995. 2. P. 101-126.
2. Donoho D., Johnstone I. M. Adapting to unknown smoothness via wavelet shrinkage // J. Amer. Stat. Assoc. 1995. 90. P. 1200-1224.
3. Donoho D., Johnstone I. M. Ideal spatial adaptation via wavelet shrinkage // Biometrika. 1994. 81. N 3. P. 425-455.
4. Donoho D., Johnstone I.M., Kerkyacharian G., Picard D. Wavelet shrinkage: asymptopia? // J. R. Statist. Soc. Ser. B. 1995. 57. N 2. P. 301-369.
5. Lee N. Wavelet-vaguelette decompositions and homogenous equations. PhD Dissertation. Purdue University, 1997.
6. Marron J.S., Adak S., Johnstone I.M., Neumann M.H., Patil P. Exact risk analysis of wavelet regression // J. Comput. Graph. Stat. 1998. 7. P. 278-309.
7. Маркин А. В. Предельное распределение оценки риска при пороговой обработке вейвлет-коэффициентов // Информатика и ее применения. 2009. 3. № 4. С. 57-63.
8. Маркин А. В., ШестаковО.В. О состоятельности оценки риска при пороговой обработке вейвлет-ко-эффициентов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2010. № 1. С. 26-34. (Markin А. V., Shestakov O.V. Consistency of risk estimation with thresholding of wavelet coefficients // Moscow Univ. Comput. Math, and Cybern. 2010. 34. N 1. P. 22-30.)
9. Маркин А. В., Шестаков О. В. Асимптотики оценки риска при пороговой обработке вейвлет-вейглет-коэффициентов в задаче томографии // Информатика и ее применения. 2010. 4. № 2. С. 36-45.
10. Шестаков О. В. Аппроксимация распределения оценки риска пороговой обработки вейвлет-коэффициентов нормальным распределением при использовании выборочной дисперсии // Информатика и ее применения. 2010. 4. № 4. С. 73-81.
11. Шестаков О.В. О точности приближения распределения оценки риска пороговой обработки вейвлет-коэффициентов сигнала нормальным законом при неизвестном уровне шума // Системы и средства информатики. 2012. 22. № 1. С. 142-152.
12. Шестаков О. В. Асимптотическая нормальность оценки риска пороговой обработки вейвлет-коэффициентов при выборе адаптивного порога // Докл. РАН. 2012. 445. № 5. С. 513-515. (Shestakov O.V. Asymptotic normality of adaptive wavelet thresholding risk estimation // Doklady Mathematics. 2012. 86. N 1. P. 556-558.)
13. Шее так о в О. В. Завиеимоеть предельного распределения оценки риска пороговой обработки вейвлет-коэффициентов сигнала от вида оценки дисперсии шума при выборе адаптивного порога // T-Comm — Телекоммуникации и Транспорт. 2012. № 1. С. 46-51.
14. Шее так о в О. В. Центральная предельная теорема для функции обобщенной кросс-валидации при пороговой обработке вейвлет-коэффициентов // Информатика и ее применения. 2013. 7. № 2. С. 40-49.
15. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001.
16. Mall at S. A Wavelet Tour of Signal Processing. N.Y.: Academic Press, 1999.
17. Boggess A., Narkowich F. A First Course in Wavelets with Fourier Analysis. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2001.
18. Taqqu M. S. Weak convergence to fractional Brownian motion and to the Rosenblatt process // Z. Wahrsehein-lichkeitsth. Verw. Geb. 1975. 31. P. 287-302.
19. Johnstone I.M., Silverman B.W. Wavelet threshold estimates for data with correlated noise // J. R. Statist. Soc. Ser. B. 1997. 59. P. 319-351.
20. Johnstone I. M. Wavelet shrinkage for correlated data and inverse problems: adaptivity results // Statistica Sinica. 1999. 9. N 1. P. 51-83.
21. Kolaczyk E. D. Wavelet methods for the inversion of certain homogeneous linear operators in the presence of noisy data. PhD Dissertation. Stanford University, 1994.
22. Bradley R. C. Basic properties of strong mixing conditions. A survey and some open questions // Probab. Surveys. 2005. 2. P. 107-144.
23. Peligrad M. On the asymptotic normality of sequences of weak dependent random variables //J. Theor. Probab. 1996. 9. N 3. P. 703-715.
Поступила в редакцию 29.01.14
asymptotic normality of risk estimate for wavelet-vaguelette decomposition of signal function in the model of data with correlated noise
Eroshenko A. A., Shestakov O. V.
In the present paper we consider the problem of estimating function after applying linear homogeneous operator in the model of data with correlated noise. We study asymptotical properties of risk estimate of thresholding method for wavelet-vaguelette decomposition of a signal. We give the conditions under which the unbiased risk estimate is asymptotically normal.
Keywords: wavelets, linear homogeneous operator, thresholding, unbiased risk estimate, correlated noise, asymptotic normality.
