CC BY
25
14 декабря 2011 г. 2:02
ТЕХНОЛОГИИ
Асимптотическое распределение оценки риска пороговой обработки вейглет-коэффициентов сигнала при неизвестном уровне шума
Ключевые слово: вейвлеты, пороговая обработка рисх оценки сигнала. асимптотическая нормальность, линейное однородное преобразование, устойчивый базис
Изучаете* оценка функции сигнала, пропущенного через линейньй однородный преобразователь в «подели с аддитивным шумом. Исследуются асимптотические свойства оценки риска процедуры пороговой обработки коэффициентов вейглет-вейвлет разложения сигнала в предположена, что дисперсия шума неизвестна. Рассматриваются ситуации оценки дисперсии по независимой выборке и по вейвлет-коэффмдомтам сигнала. Прюадпся условия, при которых оценка риска аси^ттатически нормалша
'Робою выполнена при финансовой продержке министерства образования и науки РФ (государственный контракт N9 14.740.11.0996).
Кудрявцев АА,
МГУ имени М.В. Ломоносова, факультет ВМК, пиЬдепа^іюІглаіІсот Шестаков О.В.,
МГУ имени М.В. Ломоносова, факультет ВМК; Институт проблем информатики РАН, [email protected]
1. Введение.
В последние годы методы обработки сигналов и изображений, использующие аппарат вейвлет-анализа стали применяться во многих прикладных задачах физики плазмы, компьютерной томографии, анализа телекоммуникационного трафика, астрономии и тд. Объясняется это тем, что вейвлет-анализ позволяет гораздо более эффективно исследовать нестационарные сигналы, чем традиционный Фурье-анализ. Часто данные (представляющие собой некоторый сигнал) измеряются не напрямую, а после прохождения через некоторый линейный преобразователь (например, через некоторый линейный фильтр). Кроме того, в измерениях всегда присутствует шум, обусловленный несовершенством оборудования и различными случайными помехами. Таким образом, измеряемые данные описываются следующей моделью
X, ш(К/)4 (1)
где индекс / обозначает номер отсчета измеряемого сигнала, Д' -наблюдаемые данные, К - некоторое линейное преобразование, f - истинная (иеэашумленноя) функция сигнала, а с “ случайные погрешности измерения. Будем предполагать, что все е независимы и имеют одинаковое гауссово распределение с нулевым средним и дисперсией <т*. В данной работе мы также предполагаем, что линейное преобразование К является однородным с показателем а, т е.
АГ[/(о<*-дг0))) = в (21
для любого ЛГ0 и любого а > 0 Примерами однородных линейных преобразований служат оператор интегрирования, преобразование Абеля, некоторые виды операторов свертки и (при соответствующем выборе системы координат) преобразование Радона (см. [1 -3]).
В задачах удаления шума обычно используется лроцедуро пороговой обработки вейвлет-коэффициентов, которая обнуляет коэффициенты, не превышающие заданного порога В получаемой таким образом оценке сигнала или изображения неизбежно содержатся погрешности. Асимптотические свойства оценки этих погрешностей (риска) исследовались при различных условиях измерения и различных методах представления сигнала в работах (4-131. В частности, в работе [9] рассматривается метод представления сигнала, получивший название вейглет-вейвлет
разложение ( Vaguelette-Wovelet Décomposition), и доказывается, что при выполнении определенных условий гладкости наблюдоемого сигнала и анализирующего вейвлета, оценка риска является асимптотически нормальной. При этом предполагается, что дисперсия шума гг известна. В данной работе рассматривается ситуация, когда <г неизвестна, и ее также необходимо оценивать. Обычно дисперсия оценивается по выборке сигнала, одиоко ее можно оценить и по независимой выборке. Для этого следует произвести измерение пустого сигнала, тогда наблюдения будут представлять из себя чистый шум, по которому и оценивается <т:. Мы рассмотрим оба случая и покажем, что при выборе наиболее популярных оценок дисперсии свойство асимптотической нормальности оценки риска сохраняется.
Замечание. Везде в роботе мы будем пользоваться следующими стандартными обозначениями:
Е 4 1(Л)
Ф(д)
iH-v)
/<«>)
</•*>
Ы
математическое величины ;
случайной
дисперсия случайной величины индикатор события А,
нормальная функция
нормального
стандартная распределения, плотность стандартного распределения,
преобразование Фурье функции /(дг); скалярное произведение функций (ид; наибольшее целое число, не превосходящее
Г*
слабая сходимость (сходимость по распределению);
сходимость по вероятности.
Замечание. Будем использовать символ « — » в случае, когда две последовательности случайных величин имеют одинаковый предел (по распределению) при ./->*.
24
T-Comm #5-2011
ТЕХНОЛОГИИ
2 Представление сигнала. В роботе [1] предложен метод представления сигнала, получивший название «вейглет-вейвлет разложение». Идея этого метода заключается в представлении функции в виде ряда из сдвигов и растяжений некоторой вейвлет-функции {¡/ :
кг= (3>
М«/
ГД® у,л{х)-2лу(2'х-к) (семейство образует
ортонормировонный базис в Лг( 1К >). Индекс у в (3) называется масштабом, а индекс к - сдвигом. Функция 1(/ должно удовлетворять определенным требованиям (см. [14]), и ее можно выбрать таким образом, чтобы она обладала некоторыми полезными свойствами, например имела компактный носитель, была дифференцируемой нужное число роз и имела заданное число М нулевых моментов (см. [15]), т.е.
J*У(*) dx * 0, к = 0.....М-\.
Функция (представляется в виде ряда
/= L м
(-»i
где *м=хум/£м. О А.-И Ум| Заметим, что если
преобразование К однородно с показателем и, то К 1 однородно с показателем - а Следовательно, р к - 2а Д,(см [ 1 ] и [9]). Функции
и л называются «вейглетами» При этом семейство {им| уже не
обладает свойством ортонормировоиности, одноко при выполнении определенных условий, образует ток называемый «устойчивый» базис. Справедливо следующее утверждение (см. [9]).
Лемма 1. Пусть существуют такие константы Л >0# и >0 и
Ь,>\ (| = 1,2). что и
для всех тогда последовательность {# ) образует
устойчивый базис в т.е. существуют такие константы
0 < А < В < оо, что
(5)
Замечание. Иногда свойство (5) называют «почти ортогональностью» (см. (2]).
В дальнейшем будем предполагать выполнение некоторых условий гладкости. Будем считать, что функция Ак/*€Л:(1Ю задана но конечном отрезке [а./>] и равномерно регулярна по Липшицу с некоторым параметром ^>0, т.е. (см. [14]) существует константа Л > 0 и полином /» степени п = \./} такой, что для любого у е [а.Ь\ и любого д € 1К
|К/(.г)-/>,<фЛ[дг-^'.
Для токих функций известно (см [14]), что если вейвлет-функция
Л/ раз непрерывно дифференцируемо (Д/ £ у), имеет Л/ нулевых моментов и быстро убывает на бесконечности вместе со своими производными, т.е. для всех 0 <, к < А/ и любого т € М найдется константа Ст, что при всех .у е 1К
(6)
то найдется такая константа С > 0, что
Причем, как провило, в рассматриваемых задачах линейное преобразование К обладает тем свойством, что функция К/ оказывается более гладкой, чем функция /. Таким образом, ограничения на гладкость / могут быть менее жесткими.
При практической реализации метода в представлении (3) вместо ряда функция К/ аппроксимируется конечной суммой следующего вида 1
где - так называемая мосштабирующая функция,
которая фактически описывает среднее значение измеряемых данных (см. [16]). Соответственно, вместо формулы (4) функция сигнала задается формулой
/=(К/.<ри)К Ч.+II/' , <*У> . • <7>
I 0 1-й
Ошибка, возникоющоя из-за такой аппроксимации, носит неслучайный характер, и рассматривать ее мы не будем
3 Пороговая обработка вейвлет-коэффициентов.
На практике измеряемые данные всегда задоны в дискретных отсчетах на конечном отрезке. Не ограничивая общности, будем считать, что это отрезок [0,1] и функция /(/ (и /) задана в точках UN (/ = \,...N, где N m2J для некоторого J\i (A/)t =(Kf)[ií2J\ (и f = f(i/2J)) Дискретное вейвлет-преобразование предстовляет собой умножение вектора значений функции А’/ на ортогональную матрицу И', определяемую вейвлет-функцией у (см. [14]). При этом дискретные вейвлет-коэффициенты приближенно равны непрерывным вейвлет-коэффициентам, умноженным на 2/‘ (т.е на -у/Х ), т.е. коэффициенты выглядят следующим образом: 21°*' например, [1] или [14]). Это приближение тем точнее, чем больше J. Таким образом, в силу ортогональности матрицы преобразования, дискретные вейвлет-коэффициенты наблюдаемых данных (I), которые мы обозначим через У/Л • описываются
следующей моделью:
ЪI8)
T-Comm #5-2011
25
где ц л = 2Л(К/.Ф 4). а случайные погрешности независимы и
имеют одинаковое гауссово распределение с нулевым средним и дисперсией ст;.
Поскольку в измерениях присутствует шум, необходимо использовать некоторые процедуры для его удаления. Мы рассмотрим процедуру пороговой обработки (см. [ 14]). Смысл пороговой обработки вейвлет-коэффициентов измеряемого сигнала заключается в удалении достаточно маленьких коэффициентов, которые считаются шумом. Будем использовать так назывоемую мягкую пороговую обработку с порогом 7^, зависящим от мосштаба К каждому вейвлет-коэффициенту за
исключением коэффициента при (рао применяется функция
Р, и)"5дп(д')(|л1-Г,). ПРИ такой пороговой обработке
коэффициенты, которые по модулю меньше порога Т , обнуляются, о
абсолютные величины остальных коэффициентов уменьшаются на величину порога. В результате функция сигнала у (на самом деле ее масштабированная версия) оценивоется следующим образом:
/ = >...А 00.0 + ^ * * /-0 *-0
где }'в* предстовляет собой зашумленный коэффициент при д; ^.
Коэффициент обычно не подвергается пороговой обработке,
так как входит в ту часть оценки, которая описывает среднее зночение измеряемых данных (см. (16]), и дисперсия шума в этом коэффициенте много меньше его абсолютного зночения, поэтому мы будем полагать, что он не содержит шума. Такое предположение не влияет но асимптотические свойства оценки риска, рассматриваемые в данной работе.
4 Оценка риска. Риск (среднеквадратичную ошибку) оценки ( в рамках модели (К) определим так же как в роботе [9]:
О * -А,<>',> »’■ *9*
,-Ы-С
В работе [9] величина сг: предполагается известной. В этом случае для каждого масштаба J выбирается порог т ^21п2 ст
Такой порог получил название «универсальный», т.к он не зависит от наблюдаемых данных В работах (51 и (61 было показано, что при выборе этого порога риск гу близок к минимальному.
В выражении (9) присутствуют неизвестные величины ^ д, поэтому вычислить значение Г, нельзя. Однако его можно оценить. В каждом слагаемом если то вклад этого слагаемого в
риск составляет /^(¿г + 7/). ° «ел* Г . то вклад составляет
• Поскольку Е)'^ = аг +//?, # величину ^^ можно оценить разностью уД - а1 -
Таким образом, в качестве оценки риска можно использовать следующую величину:
но)
где Н, (х) = (г-гт' )К|.г| 5Г;) + (<Т: + Т) )К|.<1 > Г/).
Для так определенной оценки риска справедливо следующее утверждение (см. (14))
Лемма 2. Ег/шгу, т.е. гз является несмещенной
оценкой для Г,.
Введем обозначения:
А.,0 .. г» _ (1 1)
24а.._,
В работе (9] показано, что при выполнении некоторых
условий гу также является асимптотически нормальной. Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Пусть преобразование К однородно с показателем а > 0, вейвлет-функция у удовлетворяет условиям леммы I, о функция К/ задана на отрезке (0.11 и равномерно регулярно по Липшицу с показателем у >(8а +-2) тогда
► ЛЧО.И при 7
(12)
Зачастую дисперсия шума ст не известна и ее также необходимо оценивать с помощью некоторой оценки а1. При этом выражения (10) принимают вид
к о .).
/-в*-в
где
л, (г) = (х-<т;)1([л|<Т;) + (<т'+ Т;)К|дг| > Г/),
а Г, = ^2\пГ а .
Обычно дисперсия о' оценивается по выборке сигнала, одноко ее можно оценить и по независимой выборке Для этого следует произвести измерение пустого сигнала, тогда наблюдения будут представлять из себя чистый шум, по которому и оценивается аг. В следующем разделе будут рассмотрены оба случая.
5 Асимптотическая нормальность оценки риска при неизвестной дисперсии шума. В этом разделе мы покажем, что если оценко дисперсии <т~ асимптотически нормальна и не зависит от выборки сигнала, то оценка риска в методе вейглет-вейвлет разложения является асимптотически нормальной. Кроме того, в ситуоции, когда дисперсия оценивается по сомой выборке сигнала, мы рассмотрим несколько популярных оценок а' и покажем, что в этих случаях оценка риска также является асимптотически нормальной.
Теорема 2. Пусть преобразование К однородно с показателем а > 0, вейвлет-функция удовлетворяет
условиям леммы 1, а функция К/ задана на отрезке |0.1 ] * равномерно регулярна по Липшицу с показателем у > (8бг + 2) 1 • Пусть а3 - не зависящая от ун оценка
дисперсии ст2, для которой выполнено У2(¿Г -от )=ЭЛХ0£:). Тогда
26
Т-Сотт #5-2011
^-^=>л{о.и -Л- '-Т —г] при 1,31
О, {' 2(2 -1) <т у '
Доказательство Введем обозночение:
М1..1.) о/^Хл.н»’;,вг. «т»к|»г)«
• (*’ + Г/)К|>", .!>/■ I-Е(I ', - «т: )Ц|>-„ | > Т. I - «в* ♦ г;|К|Г ,| > Г, )| Замети м, что
= Д(0,7 -1). Р/
Разобьем Д(0,7 -1) на два слагаемых
Д(0../ - I) = АСО.у^. -1) + Л(7,.У - I).
Здесь, кок и в работе [9], у определяется из следующих соображений для достаточно малых >0 и & >0
Л2-{у+\ПУт<6^ и (2* + 1/2У-(2а+1)У.><и-(Ы1
Учитывоя (14), можно показать, что Д(0,ув - I) сходится к нулю по вероятности (см (91), поэтому долее будем рассматривать только
Определим
(-/VI ¿А:,1(>•;.Е(>-<7;>1.
М>гд
Заметим, что
Д(ув,У-1) = Л^,(<т7) + Л, +£, + ¿5.
Обозначим
'•< о; 1)-к|),,|>г,)(.
/V* *•*
I П 11/'.);,к|>;,|>г,)-егдк|)-,,|>г/)|.
/•У.Н
Имеем
В доказательстве теоремы 1 в роботе [9] показано, что Ц стремится к нулю по вероятности. Обозначим
/•. о;11а.г к|»-,,|>г).
. А).
Имеем
¿4 £
Воспользуемся формулой полной вероятности и неравенством Маркова. Поскольку ^: = 21п2<т:у • Д"* любых <5 >0 и р >0
Р(^ ><У) = Р(Л6 >><т: + р)+ Р(Л* + />)£
¿-I ¿-I
5Р([<т <г|>р)+21п2<* «г’ + руо;^^Р(|км|>Г,).
'*/. **•
Первое слагоемое сходится к нулю для любого р > 0 при ./ -* ао, поскольку из условия теоремы автоматически вытекает состоятельность оценки а2 параметра а', о сходимость к нулю второго слагаемого было показоно при доказательстве теоремы 1 в [9]. Таким оброзом I ->о при 7 -► оо.
Долее для любых ¿>’>0 и р > 0 имеем Р(Х, >3) - >6.Т, >(1 - + >6%Т, <(1 -рУГ,)^
^Р^21п2^т .//) т. > (| ,<|+ПТ; 5(1-/МГ)-
<21п2,>' сгм;1 X Р(|>- ,| >( I-Р)Г) + Р(<г -1<г|:г.(ГС-Р- Р!)1
/Ч.4Ч»
Из асимптотических оценок для хвостов нормального распределения, аналогичных приводимым в доказательстве теоремы 1 в работе (9], получоем для некоторой положительной константы С
Р( > <?) < — + р|<7г - <т!| г<т:(2р - р2)) (15)
откуда видно, что при 2р- р1 <\!2 (например для р-1/4) правая часть (15) стремится к нулю, ввиду
состоятельности <7*. Таким образом, ->() при У ->ж.
Долее заметим, что поскольку Т - а ^2\п2.
и 520,’ £ ¿/7;,Г;К|К,,| > Г, И 2^
1Чи»0 °
Поскольку а' является состоятельной оценкой а', о
г
стремится по вероятности к нулю, имеем /_, —>0 при
7 -► ос. Наконец, сходимость /_ по вероятности к нулю докозана в работе (91.
Теперь рассмотрим /У,(<т:). Введем следующие обозначения:
*:(/• -о;еХ/»:лг:. к>м1.
/*■/. * -о
Заметим, что Л’,(<т;) = Л’г(У-1)-Л', и что \:(У |)
и Д'г независимы.
Сотосно теореме 1, ДГ,(У-|)=>^(0,1). Исследуем V,-
¿„(<т:-<т:) 2“***"-2Р*'1’4,
ЛГ,
£242в<,:'7
Т-Сотт #5-2011
27
ТЕХНОЛОГИИ
12(2 -I) <т 1
Таким образом, при
выполнении
условия
2 *(<т* - а ) =э Л'(0.1 ) имеем
11 ' I, 2(2—'-!)• ег*/
Поскольку, как мы показали, Д(0,./— I)-Л^,(<тг). теорема доказана.
Если дисперсия оценивается по выборке сигнала и функция К/ удовлетворяет требуемым условиям регулярности, то в силу (6) обычно ее оценивают по половине всех вейвлет-коэффициентов на уровне I а J — I, так как эти коэффициенты фактически содержат только шум. Мы рассмотрим несколько популярных видов оценки а'. Начнем с выборочной дисперсии:
V Т Цб)
2*-' **-\л I ^ I гJ-и I •
Справедлив аналог теоремы 2.
Теорема 3. Пусть преобразование К однородно с показателем а > О, вейвлет-функция {¡I удовлетворяет условиям леммы I, а функция К/ задана на отрезке [0.1 ] и равномерно регулярна по Липшицу с показателем у > тах{(8аг + 2) \1/4). Пусть оценка дисперсии а1 определяется по выборке сигнала выражением (16) Тогда
► ас.07)
Доказательство. Дополнительно к обозначениям, используемым в доказательстве теоремы 2, введем обозначения:
р У)
- /; : „-..у.* Н О, ЛАЛ~ О,' 2***‘ -I
^ DJ 21в'-\ [271 ~
2^ ’’¿'Я.ж.хл
^ О, 2^'-\ к о, ¿(2 |вв,-!)0/
При доказательстве соотношения Л(0, У -1) - ^,(<т2) • теореме
2 мы не пользовались независимостью У л и поэтому
А(0. У-1)~ Л'Да;2) и 8 дальнейшем нам будет достаточно рассматривать лишь асимптотику №(£•). Заметим, что
)» \2и -2) + N. ♦ /, ♦ и
Так же, как при доказательстве теоремы 1 в работе [9], можно показать, что
-2) ^(в-рЦ
Рассмотрим / . Учитывая (6) и (8), имеем для некоторой положительной константы С
и*
2 а1.
В{2и'' - |) •y^laA'гu^2ЪJ и
— ‘У Е*
1
XVI
Г-» -г* '>П«?-2г*7
•;-итиг* •
В силу определения случойных величин первое слогоемое
стремится к нулю по вероятности. Следовательно, /_ —>0 при ^ > |/4. Долее, поскольку ЕУ/ м * о* * /£и, ДЛ» некоторых констант С;>0иСо>1) выполнено
2^,
Наконец,
Следовательно,
Лг
г5*“-! (2^** -1 )£>,
«С. 2":
♦ 0 мри у >1/4.
С. г“-1-! 1
=> л о.—------------¡г [
^ 2*—’(2г—1 -1^ /
И ток как Л\(7-2) и V независимы,
I
Л,«т;)=>\ о.
2**'1 -I | -1)Г /
Теорема доказана.
Далее мы рассмотрим случай, когда в качестве оценки 6 используется соответствующим образом нормированный иитерквартильный размах и
абсолютное медианное отклонение от медианы аи. Преимущество использования таких оценок заключается в их робастности, т.е нечувствительности к выбросам (см.
[17] и [18]), и в полной мере проявляется, когда дисперсия оценивается по выборке сигнала. Оценки и аи определяются следующим образом: у - У
тс(11 Г, м - тсс! |
, М** КЬУ
4»
(18)
(19)
где и Уу-тм» - выборочные квантили порядка 1/4
иЗ/4, построенные по набору вейвлет-коэффициентов на уровне j = J -1, 4у 4 ~ теоретическая квантиль порядка 3/4 стандартного нормального распределения ( а 0.6745 Ь ° тес1 обозначает выборочную медиану. Сначала рассмотрим оценку оК ■
Теорема 4. Пусть преобразование К однородно с показателем а> 0, вейвлет-функция у удовлетворяет условиям леммы ?, а функция К/ задана на отрезке (0,1) и равномерно регулярно по Липшицу с показателем у> | /2 - Пусть оценка дисперсии (Т‘ определяется по выборке сигнала выражением (18). Тогда
I), { Ч2 -1 -1)!{;М4>,)Г 2- 42-1)^
При J -¥ЧО.
28
Т-Сотт #5-2011
Доказательство. Обозночим через ¿л(.г) и плотность и квантиль порядка р нормального закона с нулевым средним и дисперсией а2. Основную роль в доказательстве этой теоремы игроет разложение Бохадура для выборочных квантилей (см. [19]), которое для величин с* , , выглядит следующим образом
121)
где е^Ыг, “ выборочная квонтиль порядка р, построенная по выборке из случайных величин ¿** ^,
* I г1>г<
Т7Т X <«г>-
‘ 1*0
а остаточный член /?( стремится к нулю, причем |/М¿С#/142*^ для некоторой константы Ся> 0 (см. [17]). Заметим, что ф (им) = фЛн| *) = ^ и «,4 = , Кроме того, в [13] показано, что
в силу (6) для любого 0 < р < I и некоторой константы Сж > О справедливо ' Следовательно, при у>\12
оценку СТК можно заменить следующим выражением:
+ 3/4 ~ К"** > - 4»\ 4 - I Н + А«. * ) _
-у*
Обозначим
V = V У* А + * у41'1 Р] м1^У-и ~ и 1
5 клк о, к о,
Как и при доказательстве теоремы 3 достаточно рассмотреть только асимптотику последовательности Л ,(<т;):
Лг|(<г;) = Л';(7-2)^Лг5.
Величина ^;(7-2) уже исследовано в предыдущей теореме. Для имеем
Я2:'2Л гг в(2 — I)
Представим о-'-а; = (2<т + <т,-о-К<»-ст,)- Заметим, что
Г
(Т-0я->0. о величина 2^(<т,-<т) асимптотически нормально. Следовательно,
(20) для некоторой константы С, > О
М, У [Г; и - Е)-; „1+^Г 1"~ _
“ М 7-М» #(^ — I)
Поскольку , где £*х имеют распределение
Л^СО, <т") ♦ имеем
' '¡рйГ^п X к"-и ) _ ) ]+
2А & 2о^,2^[ст-<у.|
Н2 1 к л ' " Жг*'"*'-!) '
Заметим, что в силу (6) и определения случайных величин ¿Г*
2<тД;02'>-<7,|
2/Ь .
л _
В2"2
при у >0. Таким образом, учитывая (22), при у > |/2
Дй 'У [(с- у-Ие" )!1| 2{ТР‘"~'~1<т-^»1 В2:'2Л 1 ' и ’ ] В(2:‘"' -1)
V
/'
Е(с',,):]+
2^5.4 2*4,2'1 йг
Далее
Е(^и)?=<т;. Е(*,гм)4 =ге\
Е1(-«ц ¿с’ и <и,,) » Е(1(-н14 4с" ,, <«,.,))' -1/2.
Е(еГ и ):1( и,, 5 с" и < ) “-- ^-н,,с\р
Следовательно,
яг’-г" я й(2ь”,-1)
I
1
2<г;Г
2<Ь,,-И/2]. 2^,, ]
В [2:-' 2^,(2'" '-1) '
■у у 1 * «. , * < .
' - п 2 2#иВ(2'' ‘-1)2' 1 ' ‘ ' " ]
о I
'« [21-' 2^,(2^*'-!
■ Л-..
Для Л",, имеем
ЕЛ' 0 и П\„
^‘А‘„ 2а:Д;,,
" В:2‘-’ 4Я:(2:-'-1)У£< 2>/2<т:д;ои14ехр|- "ч| ‘ ^В:2;"(2;“"-1^с!, '
Таким оброзом, учитывая, что иыай4<Т| и
вспоминая определение В * ф, имеем
( I '>4"*1 _ | 2«**' .1 \
V 0.1- — +------у , ‘ ; 1 --------г-;■*; V , -- I
» ^ 2 4(2 -1 )41»(Ф(4и» 2 (2 -I)/
Поскольку и \:(У-2) независимы,
/ 24-*'-1 24***1 -1 ^
Л,«т.) =. Л|°.1 + 4,2=*-._|)5^д^)()): ' 2* '(2=*" -|,}
Теорема докозана.
Аналогичное утверждение справедливо при
использовании оценки .
Следствие. Пусть выполнены условия теоремы Л и оценка дисперсии (т: определяется по выборке сигнала выражением (19). Тогда
Т-Сотт #5-2011
29
2ТГ'__________г-.Г'-.1 ) 123)
О, I. 4(2а*,‘-1)1&<*£„))’ 2 (2 — 1) ^ 141
при 7 -► ».
Доказательство этого утверждения следует из того, что для случойных величин справедливо (см. [18])
:
•J ЦИ> «•-/ 1.П «.
— - mod ! Cj.tJ - mcd є* и \ ->0.
med I У,.м - mcd Yj.u | - mcd ! c" u - mcd I £Cv2 y
|IU*V Wv,v Ittfjv Ib/sV
некоторой константы Cu >0 (см. [13]).
Замечание. В доказанных теоремах нормировка оценки риска отличается от традиционной нормировки дисперсией, используемой в различных видах центральной предельной теоремы (см. [20]). Токая нормировка выбрана для того, чтобы левая чостъ в (13), (17), (20) и (23) не зависело от ненаблюдаемых истинных отсчетов сигнала ц л и,
таким образом, можно было строить асимптотические доверительные интервалы для оценки риска.
Литература
I Abramovich F., Silverman B.W Wavelet Decomposition Approaches to Statistical Inverse Problems // Biometriko, 1998 Vol 85. No. I P. 115-129.
2. lee N. Wavelet-vaguelette decompositions and hon>ogenous equations: PhD dissertation Purdue University, 1997.
3 Donoho D.l. Nonlinear solution of Itneor inverse problems by wavelet-vaguelette decomposition // Applied and Computational Harmonic Analysis, 1995. Vol 2 P 101-126.
4 Donoho D., Johnstone I.M. Adapting to Unknown Smoothness via Wavelet Shrinkage // J. Amer Stot. Assoc., 1995. Vol. 90. P. 1200-1224.
5. Donoho D., Johnstone I.M. Ideal Spatial Adaptation vio Wovelet Shrinkage // Biometriko. 1994. Vol. 81. No. 3. P.425-455
6 Donoho D.L., Johnstone I.М., Kerkyocharian G., Picard D. Wavelet Shrinkage: Asymptopia? // J. R Statist. Soc. Ser В, 1995. Vol. 57. N2. P 301-369.
7 Antoniadis A., Fan J. Regularization of Wovele»
Approximations//J. Amer Statist. Assoc., 2001. Vol. 96. No 455. P.939-967.
8 Marron J. S., Adak S., Johnstone I. М., Neumann М. H., Patil P. Exact Risk Analysis of Wovelet Regression // J. Comput. Graph. Slot., 1998. Vol 7 P. 278-309
9 Кудрявцев А.А., Шестаков О.В. Асимптотико оценки риска при вейглет-вейвлет разложении ноблюдаемого сигнала // T-Comm — Телекоммуникации и Транспорт, 201 1 N2. С. 54-57.
10. Маркин А.В., Шестаков О.В. Асимптотики оценки риска при пороговой обработке вейвлет-вейглет коэффициентов в эадоче томографии // Информатика и ее применения, 2010. Т 4 Вып 2. С. 36-45
11. Маркин А.В., Шестаков О.В. О состоятельности оценки риска при пороговой обработке вейвлет-коэффициентов // Вести. Моск. ун-та. Сер. 15 Вычисл. мотем. и киберн., 2010. N1. С. 26-34.
12. Шестаков О. В. Аппроксимация распределения оценки риска пороговой оброботки вейвлет-коэффициентов нормальным распределением при использовании выборочной дисперсии // Информатика и ее применения. 2010. Т 4. Вып. 4. С. 73-81
13. Маркин А.В. Предельное распределение оценки риско при пороговой оброботке вейвлет-коэффициентов // Информатика и ее применения, 2009. Т.З. Вып 4 С. 57-63.
14. Mallot S. A wavelet tour of signal processing Academic Press, 1999
15. Добеши И. Десять лекций по вейвлетом Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотической динамика», 2001.
16. Boggess A., Narkowich F. A First Course in Wavelets with Fourier Analysis. Prentice Hall. 2001.
17. Serfling R. Approximation theorems of mathematical statistics, John Wiley ond Sons. 1980.
18. Hall P., Welsh A.H. Limits theorems for median deviation // Annals of the Institute of Statistical Mothemotics, 1985. Vol. 37. No. 1. P. 27-36.
19 Bahadur R.R. A note on quanfiles in large samples // Ann Statist., 1966 Vol. 37. No. 3 P. 577-580
20. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.. Мир, 1967. — Т. 1.
Компания ЫХР представила лучший в своем классе стабилизатор ЮО в миниатюрном корпусе \Л/1С5Р
Компания NXP Semiconductor* объявила о выпуске LD6806CX4 — стабилизаторов сультрамапым всего60мВ пад ением напряже»*« (Ь»м<ісроиІ LDO} — ино-**1нальным током 200 мА. Благодаря сверхмн*юпормому (0,76 х 0,76 х 0,47 мм) корпусу WICSP (wafer-levd chip-scale pockoge — корпус на уровне пластины, размером с кристалл) стабилизатор LD6806CX4 требует минимального места на плате и потому идеально подходит для огрсличенных по размерам схем в мобильных телефонах, где еще од ни« важным фсктором для успеха являє тся ресурс батареи. В мэбилшых телефонах батареи разряжаются практически по линейному эскону, a UX) компенсирует этот эффект, поддерж>вая постоянное сгабилизцх>-ванное выходное напряжение. Даже еаы напряжение батареи смартфона o*f жается например до 3,0 В, стабилизатор LD6806CX4 благодаря малому падению напряже»*« все еще способен поддерживать приложения для SD-карт, требующие стабильного напряжения гитания 2.9 В. LD6806CX4 входит в новое семейство NXP LD6806стабилизаторов LDO, которые уже можно приобрести у основных дистрибуторов.
Ключевые характеристики серии LD6806
• Стабилизаторы IDO новой серии NXPLD6806 имеют очен.низкий уровень шума — среднеквадратичное значеніе составляет 30 м*В; это исключает нестабильность выходного напряже«« и потребность в спеївюпьном шумопододляю-щем конденсаторе
• Продукция ЗГОЙ серии ПОДХОД и для устройств с питс**юлл от батареи блстсда-ря низкому току в дежурном режиме (0.1 мсА тигмчно), пазеогкюшему снизить энергопотребление и повысить эффекту» ностъ испагъэова»*« заряда батарей.
• Серия LD6806 имеет превосходную защиту цепей от электростатического разряда — 10 кВ (модель человеческого тела), функцию отключения при перегреве, а также ограничитель тока
• Имеются мод ели в следующих корпусах LD6806F в м^вюпорном бессвин-цовом корпусе DFN1410-6 (SOT886) размерами всего 1,45 х 1,0 х 0,5 мм LD6806TD в 5-выводном корпусе общего назначения SOT753 стандартного размера 2,9 х 1,5 х 1,0 мм
• Помимо моделей в этих корпусах портфель стабилизаторов с низким падением напряжен« включает также LDO с высоким коэффициентом под авления шумов источннса питания (PSRR) 75 дБ, например, LD6805K в сверхминиатюрном 6ессвн**эвом корпусе QFN (SOT 1194) площадью 1,0 х 1,0 мм и высотой 0,55 мм (мсжсимально).
ВО
T-Comm #5-2011
