Ядерные оценки базовых функционалов по зависимым наблюдениям Текст научной статьи по специальности «Математика»

7. Petruccelly J.D., Woolford S.W. A threshold AR(1) model // J. Appl. Prob. - 1984. - V. 21. - P. 270-286.

8. Борисов В.З., Конев В.В. О последовательном оценивании параметров дискретных процессов // Автоматика и телемеханика. - 1977. - Т. 5. - № 10. - С. 58-64.

9. Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., Flannery B.P. Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing. - 2nd edition. -Cambridge: Cambridge University Press, 1992. - 994 p.

10. Feigin P.D., Tweedie R.L. Random coefficient autoregressive processes: A Markov Chain analysis of stationary and finiteness of moments // Journal of Time Series Analysis. - 1985. - V. 6. - № 1. - P. 1-14.

11. Lai TL., Siegmund D. Fixed-Accuracy Estimation of an Autoregressive Parameter // The Annals of Statistics. - 1983. - V. 11. -№ 2. - P. 478-485.

Поступила 26.01.2009г.

УДК 519.2

ЯДЕРНЫЕ ОЦЕНКИ БАЗОВЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ ПО ЗАВИСИМЫМ НАБЛЮДЕНИЯМ

А.В. Китаева*, Г.М. Кошкин

'Томский политехнический университет Томский государственный университет Отдел проблем информатизации ТНЦ СО РАН, г. Томск E-mail: [email protected]

Рассматриваются свойства оценок базовых функционалов, построенных по наблюдениям, удовлетворяющим условию сильного перемешивания. Показано, что порядок скорости сходимости в среднеквадратическом оптимальных ядерных оценок базовых функционалов для слабозависимых наблюдений такой же, как и для независимых. Определен также порядок скорости сходимости в среднеквадратическом четвертых моментов отклонений оценок базовых функционалов.

Ключевые слова:

Функционалы от плотности распределения, процессы сильного перемешивания, ядерное оценивание, сходимость в среднеквадратическом.

1. Постановка задачи

Огатья продолжает работу [1], где поставлена задача оценивания характеризационного функционала (1) [1], являющегося функцией от базовых функционалов, и предлагается оценка подстановки, элементами которой являются рекуррентные ядерные оценки базовых функционалов с векторным параметром размытости, построенные по независимым наблюдениям. Предположение о независимости наблюдений существенно сужает область приложения модели, поскольку в стохастических динамических системах выходные переменные являются, как правило, стохастически связанными. Как отмечено, к примеру в [2. C. 102], «...the assumption of independence is not acceptable in many economic and financial models...». Зависимость наблюдений сильно усложняет анализ свойств оценок, поэтому в данной работе мы отказались от рекуррентной структуры оценок с масштабированием по каждой компоненте, положив hk^hn. Далее будут использоваться обозначения, введенные в [1].

Будем считать наблюдения Z,=(XhY,), 1=1,n строго стационарным эргодическим процессом, удовлетворяющим дополнительно условию сильного перемешивания (a-перемешиванию) с коэффициентом перемешивания

a(k) = sup sup \P(AB) - P(A) P(B)|,

t A<=-FllB<=J,+k^

где ст-алгебра Fab=o(Zha<,<b) порождена случайными величинами Za,...,Zb. Сильное перемешивание

(с. п.) означает, что a(k)^0 при к^<». Асимптотическая среднеквадратическая ошибка (СКО) оценки Надарая-Ватсона функции регрессии для с. п. наблюдений была найдена только в 1999 г. [3]. Заметим, что a-перемешивание относится к слабому типу зависимости наблюдений и следует из других обычно рассматриваемых типов перемешивания: в-перемешивания и р-перемешивания [4]. Условию с. п. удовлетворяет устойчивый процесс авторегрессии; оцениванию характеристик процессов такого типа посвящены, например, работы [5, 6].

В качестве непараметрических ядерных оценок базовых функционалов a(x)=d°')(x) и их производных dll)(x) (формулы (2), (3) в [1]) в точке xвозьмем статистики, аналогичные статистикам (6) в [1] при h^h;

аП \ x) = -

1

nh:+r =i

ï g (Y )K( r

r = 0,1,

где последовательность чисел (h„)^0,

:

K(0 J\u) = K (u) = П K (u t ),

K(1 j)(u) =

dK (u ) du..

= K (ul)...K J K (ï>(uj ) K (uJ+i)...K (u: ),

(1) dK ( u : )

K <1)(ui ) =----------.

J du..

/=1

2. Асимптотические свойства ядерных оценок базовых функционалов для зависимых наблюдений

Нетрудно видеть, что при доказательстве лемм 1-3 из [1] зависимость выборочных значений не играет роли, поэтому результаты, связанные с несмещенностью оценок а„(й(х) и скоростью сходимости смещений, остаются справедливыми и в нашем случае. Заметим только, что при кц^кп соотношение (12) в [1] будет тривиально выполняться при £(у)=1, и для скорости сходимости смещений в лемме 3 [1] будет справедливо равенство

(1)

|Ь(а« Ч x)) -а? Ч xWn\ = o(hvn ).

xf [а (г)]1 dr + o

Если дополнительно

6) t<1/2;

1

nh

m (1+t)+r+q

(2)

7) sup a+a+T)tp (x,y) < ж, а^21+(z) - непрерывна в точке л,

x y

2 +

sup a'p21 (x) <ж, то

1

B^( x)

СОУ(аПЛ(x), aPqnk)(x)) - nhm+r+q

= o

1

nhm+r+q

(3)

Все асимптотические результаты получены, очевидно, при n—ж, и далее это подразумевается.

Найдем главную часть ковариаций оценок alf)(x) для с. п. наблюдений.

Обозначим

ai+a+T),tp (x> y) = fR 21 g, (v)gp (q) 1 fi^xv> y> q) dvdq>

где f41+T)(z,p) - 2(т+1)-мерная плотность распределения выборочных величин (Z1,Z1+t), т>1. Заметим, что для любого j,k=1,m

f m K(1 j)(u) du = f m K(1 k) (u) du = f m K (1)(m) du

J R J R J R

в силу мультипликативности ядра.

Нумерация лемм продолжает нумерацию статьи [1]. Лемма 5 (ковариация оценок alf(x) и a‘tqi)(x) для с.п. наблюдений). Пусть для fi=t,p,y=r,q:

1) (Z) - с. п. последовательность, I [а(х)]1йт<ж для

некоторого Ае(0,1); 0

2 +

2) функции atp(z), ae(z), а'^ (z) - непрерывны в точке x;

3) sup ав (x) < ж, sup а^(x) < ж;

4) f|^(r)(u)|du <ж, fK(u)du =1, sup |KY)(u) |<ж;

ueR1

sup | K(u) |< ж, при m > 1, r = 1 или q = 1;

ueR1

5) lim(hn +1/(nhm‘+r+q)) = 0.

n—— ж

Тогда

| С0<аП)(aP П)(x))| <

24 ^+ ^+

< nhm(1+t)+r+q[a1" (x) ^ (x)] x

x[f |k(r>(u)|* du| |k(q)(u)|* du]1tX

и, в частности, при t=p Da«)(x) ~

Bt , r)(x).

nh"

Теорема 1 (CKO оптимальных оценок базовых функционалов для с. п. наблюдений). Если выполнены условия леммы 3 [1], условия 1-4 и 6, 7 леммы 5 при q=r, e=t=p=i и дополнительно a,r)(x)^0, то имеют место формулы (14) [1].

Теорема 1 следует из теоремы [1] и леммы 5. Согласно теореме 1 порядок скорости сходимости оптимальных непараметрических оценок базовых функционалов для с. п. наблюдений, равный

----—-------, при больших v как и для независимых

m + 2(v + r)

наблюдений, приближается к обычному порядку скорости сходимости параметрических оценок, равному 1. Напомним, что целочисленный параметр v>0 вводится в лемме 3 [1]; он связан со свойствами ядра K(u): показывает минимальный порядок момента ядра, отличного от нуля:

t f0, j <v,

I uJK(u)du = < ; и отвечает за ско-

J [const ф 0, j = v

рость сходимости смещения оценок anj)(x) (см. (1)).

При доказательстве сходимости в среднеквадратическом оценок подстановки функции (1) [1] нам будут нужны следующие результаты, связанные со сходимостью четвертых моментов оценок a{mj)(x). Сформулируем и докажем эти результаты сразу для с. п. последовательностей.

Введем обозначения: fmxmm+jmx)(z,s,u,w) -плотность распределения выборочных величин

[ Z1, Zi+1, Zi+j+1, Zi+j +k+1 J

ящ+m +j+1)(i +j +k+1),, (XУ;x';У') = = fR4 I gt (V) g, (S) g, (V>) g, (S,)IX xfn i+1)(i+j+1)(i+j+k+1)(X; V; У; - x'; v'; Уs’)dvdsdv 'ds \ а1(^)+1+j+k ),t(X; У; x,) =

= fR I gt (v) gt(s) gt(v,) Г+г f10+j )0+j+k)(X; V; У; - v')dvdsdv

aw+ft(x x,) = fR I gt(v)gt(s) |2+г f1(1+j)(X; V; x'; s)dvds;

1 < i, j, k < n, i + j + k < n -1;

M4(a^nrj)=Е[а!п) (x) - а!”) (x)]4,

SinJ) = а1п )(x)-Ea^)(x).

1

Лемма 6 (порядок сходимости четвертых центральных моментов оценок ajx) для с. п. наблюдений). Пусть для r=0 (или 1):

1) (Zj) - с. п. последовательность, и

i<Xi 2 5

т [a(r)]2+8dr <ж для некоторого 0<8<2;

2) sup| K(;)(м)|<ж, f| K(r\u)\du <ж;

ueR1

3) lim(hn +1/(nhnm+2r)) = 0;

n—ж

4) sup ate+ (x) <ж, в =0,4;

x

5) sup a1+(i+1)( i+ j+1)( i+ j+k+1), t (X; X; X; x) < Ж;

sup a1

(2+8)+

1(1+j)(1+j+ k),

t (x, x, x) < ж,

sup arn+1), t (X; x) <ж

X

Тогда для r=0 (или 1)

E (S{nr))4 = O

v n2h2(m+2r)

(4)

Лемма 7 (порядок сходимости четвертых моментов отклонений И^а^) для с. п. наблюдений). Если для г=0 (или 1) выполняются условия лемм 3 [1] и 6, то

м мП )) = о

1

n2h2( m+2r)

(5)

к

V hn У

Воспользуемся методикой доказательства теоремы 3 из [8]. Представим ковариацию в виде

cov( an)( x), apnk)( x)) =

1

= -2 ZZcov(^t(rJ)( x),zpqk)( X)) =

n i=1 l=1

= 1cov(^tirJ)(xupqk)(X)) +

-X(n -T)cov(£i rJ)( x),%Pqj%( x)) =

r = 1

= An (x) + Rn (x).

(6)

По лемме 4 [1] для слагаемого An(x) имеем

An (X) -

1

b, (p,q)(x)

m+r +q t ,P

= o

(7)

Обозначив ^^(х), Г=^,((Т+1)(х) оценим слагаемое Д,(х). Применив утверждение при г=(1+5)/5, р=#=2+5, где 5>0 - любое, получим

| соу(и, V)| < 12[а(т)]*[Е | и |2+5 Е | V |2+5]25 (8)

Так как

Е | и |2+5 =

И_ f

r)(2+8) Jr

h(m+r)(2+5) JR

(z )K

(rj )

V hn У

f (t,z) dtdz,

то, выписав неравенство, аналогичное последнему неравенству в лемме 1 [1], и рассуждая, как при завершении доказательства леммы 1 [1], получаем при 2+5=2/(1—Я)

Е | и |2+5 = а(2+5)+ (х) х

1 1 Ь (т+г)(2+5)-т ^ ^ '

x| m |k(r)(z)| dz + o

1

h (m+r)(2+5)-m V n

E | F |2+8 =

h(m+q)(2+8)-m p

n

,(2+8 )+

(x)>

i* I i \ 12+5

<Jr: |k(q)(z)| dz + o

3. Доказательства лемм 5-7

Нам понадобится один из результатов работы [7]. Пусть

¡Х\\р = (Е | X | ру.

Утверждение. Если случайные величины X и У измеримы относительно ст-алгебр /¿‘', и ^+т, т>0 соответственно, для них выполняется условие с. п., 1<р,д,г<(х>, р-1+^1+г1=1, то

\ЕХ¥ - ЕХЕ71< 12а'1 (т)| Х\\РЩ[ •

Доказательство леммы 5. Обозначим

^Чх) = тт+7& Я) Кг >

h(m+q )(2+5)-m

V n у

(9)

Принимая во внимание, что а(т)^0 и Я=5/(2+5), 0<Я<1, имеем:

X [а (т)] 2+5 <| [а (т)] 2+5 йТ +1 [а (т)] 2+5 &т +— =

т=1

= | [а(т)]Я&т < ю. (10)

Привлекая соотношения (8)—(10), выражая 5 через Я, получаем

I R„ (x)|= —

X(n - т) c°v(^irJ)(x), ^pqTt+)1)(x))

24

-[ a,(2+5)+ ( x) a p2+5)+ (x)p:

" nhK2m+r+q)(2+5)-2m]/(2+5)

<[fm K(r)(z)| dzj m |k<q)(z)| dz]~X[а(т)]28 +

1

+o

nh[(2 m+r+ q)(2+ 5)-2 m]/(2+8)

24

nh.

m(1+t)+r+q n

[аГ (X) a(x)]_

x[J m K(r)(u)| 1-t duf m |k(q)(u) 1-t du

xf [a(T)]Adr+ of---------------I.

J0 L пН:(1+t)+r+q )

Неравенство (2) доказано. Докажем (3). Из (6) следует

X

х

т =1

ю

X [сочечхЪ^их)) = Jx + J1.

' т=с(п)

с(п) „ -XI,

1 пк2пт+г+ч т=1 ^2<"+”

Яр (У) К(чк) [х-

|/1(1+т)(м,2 > V, У) -

-/(и, 2)/(V,у)|ЙиЙ2(Ь(&у <

2 с( п)

< ,2т+г+ч ХШР а1(1+т), 1р (х. х) + ШР «!+ (х) ШР (х)] :

ппп т=1 х х х

К

(Г] )

Пп

К

(Чк)

п.

< -С X | т |К(г) (и ) Йи | т |К(ч) (и )| Йи =

пПп Ч т=1 Д К

Сс(п) = о I А"с(п ,= 0

пй''

пй"

пйт

Здесь и далее через С будем обозначать константы, не обязательно одинаковые даже в пределах одного рассуждения.

Возьмем 5=4Я/(1—2Я), 0<Я<1/2. Тогда аналогично (11) получаем 24

--------1а^'“'' (х)/

^2 < пй[(2т+г+ч)(2+5)-2т]/(2+5)

■[а,(2+5)+ (х) а (2+5)+ (х )рх

х

<[]Дт |К(г)(2)|2+5(г|дт |Ксч)(2)|2+5(2]12+¥ X [аСО]1^ ' 1

+ о

пй[(2 т+ г+ ч)(2+5)-2 т]/(2+5)

24 2 , 2 + 1-2 Я

= пАт(1+2Я)+Г+ч [а>2Я (х) аР Я (х)] 2 х

<[]Дт К(г) (2)|^^Я(2]Дт |к(ч) (2)|1^<(2]^

X [а(т)]2

Т=С (п )

Далее, J2 <

<

+ о

С

1

пй

т (1+2Я)+г+ч

с(п)пк1

т(1+2Я)+г +ч

X с(п)[а(т)]2Я <

т = с( п)

С

с(п)пИт1+2Я)+г+ч С

^т(1+2Я)+г +ч

X т[а(т)]2Я <

т = с( п)

ю

Xт[а(т)]2Я.

следует, что

Xт[а(т)]2Я =

Пусть с(п) — положительные целые числа такие, что с(п)йпт^0, с(п)НЩтЯ^ю (например, можно взять с(п)~йпт(е—1), 0<е<1—2Я, 0<Я<1/2). Тогда

= XX[а(,)]2Я <XКг)^ [а(,)]Я <

у=1 ,=у 7=1 г=у

ю

< [X[а(т)]Я]2 <ю.

Таким образом,

J 2 = о

1

= о

с(п)пА 1

т(1+2Я)+г+ч

= о

1

пАт

КпИ^с (п)АГ, ,

Лемма 5 доказана.

Доказательство леммы 6. Воспользуемся приемами из доказательств леммы 4 [9. С. 239] и леммы 1 [9. С. 270]. Обозначим

П, = 8, (^ )К

« )

( х - X 1

V Ап /

- Е

(Г )К

Г)

( х - X Л

V Ап /

Последовательность (I) является стационарной, поэтому

Е [ 5/ г] ) 1 = 4!п

____1____Е\xn

и4Аи4(т+г) £

4й4( т+г )

X | ЕП1гП(,+1)гП0+]+1)гП(,-

:+] +к+1)г

(12)

с(п)пкпп т=1

Так как а(т) не возрастает, т. е. 1>а(1)>а(2)>..., то из

ю1

X [а (т)]Я <ю, 0 < Я < —,

т=1 2

где сумма берется по гу,к>1, г+у+к<п—1. По утверждению при г=(2+5)/5, р=^=2+5, с учетом условия 2 леммы и того, что Ец1г=0, после замены переменных в интегралах получаем неравенства

Ип (П0-+1) гП0-+]+1) гПс+]+ к+1) г )}| <

^1 |2+5 I 12+5 _±_

< 12[а(/)]2+5[Е| ^1^ Е| 1(1+1)Г10+]+1)Л0+ ]+к+1)^ ]2+5 <

< С[а(/)]¥+5А25(|^т |К(г)(и)|2+5(и)2+5 х х sup[a(<2+5:l+ (х) а^'5))+1+]+к),, (х,х,х)]^+5 < СА^аО')]*

и |Е{(П1гП0-+1)гП0-+] + 1)г )П(, +] +к + 1)Г } [а

Аналогично находим

|E{(nlгn<,+1) г )(П(,+]+1) Л(+]+ к+1) г )}| =

= | Е{(П1гП(,+1)г)(П,+]+1)гП(,+ ]+ к+1)г)} -

-Е (П1г%+1) г ) Е П,+ ]+1) гП(,+ ]+ к+1) г ) +

+Е (ПД,-+1) г) Е (п,+]+1) гП( ,+ ]+ к+1) г ) |

< + |Е (П1Д,+1)г)Е(П2гП(к+2)г )| >

|Е (П1гП(,+1) г ) | < СА? Ш)]*, | Е (П2 гП(к+ 2) г ) <

2т 5

<| СА2+5 [а(к)]2+5 . (13)

т = 1

т =1

х

Подставляя последние два неравенства в (13), имеем

| Е{(П1Г%+1)гХЛ(,+]+1)П( г + ] +к+1)г )}|<

< СА^ \[а<i)]5![а<k)]* + [а(])]

Итак,

X| ЕП1гП(1+1) ГЩ + ]+1)Л;

,, ], к п ,

< 2XX [а(,)]2+5 +X X [а(/)]2+5[а(к)]2+5 <

г=1 ], к=1 ] =1 , ,к =1

п ю ю

< X, 2[а(,)]2;5 + nX [а(/)]í^X [а(к)]^5 <

^г2[а(,)]2+5 + п| X [а(,)]

|*ю . 5 лю _5

<11 т [а(т)]2+5(т+ п(11 [а(т)]2+5(т) , (14)

где учтено, что 1>а(0)>а(1)>а(2)>....

Из (12) и (14) вытекает

4! пСАп

4 П^^т+Г )

г X [а (г)]2+5 + 3X к 2 [а (к)]2+5 <

V ‘ =1

-2 СА-1

2, 2( т+2 г)

п А,

СА“

Л 2

п2й2(т+2 г) пА:

X [а(0Г

,=1

ю

- X к2 [а (к)]

(15)

АГ

п2а2 т+2 г)

- 2 т5

Ап 2+5

X [аО')]1

,=с (п )

пх-^щг) 1,|, c<n)[а<, »’

С

пА т+2 г )с2(п)А;

1

п2й2} т+2 г)

Теперь покажем, что

СА-

X [а(, )Г

V п2 а*-+2г )

п2А2(т+2г) V и Учитывая условия 2 и 5 леммы, находим

|Е (Пг (П(,+1)гП(,+]+1)гП(, +] +к + 1)г )}| <

< СА4пт(||К(г) (и)(и)4 х

х SUР а1+(,+1)(,+]+1)(,+]+к+1),, (х> х> х> х) < САп4,"а<(■■),,

|Е((П1гП(,+1)гП(,+]+1)г )П(,- +] +к+1)г }| < САп4та(..')к,, , |Е((П1гП(,+цг Хщ+]+1)гП( г + ] +к+1)г

)}| < СА:та,) ] 0,

где

т1‘^Х SUp а1(,+1)(,+]+1)(,+]+к+1),, 1,к х

(х, х, х, х),

а(- ■ )ктах 8ир а1(,+1)(,+]+1)(,+] +к+1),, (х, х, х, х),

г’ ] х

а (■ ) ] (■ ),, = maxsup а.

!(/+!)(/+]+1)(,+] +к+1),,

(х, х, х, х).

Аналогично неравенствам (14)

X | ЕП1гП(,+1)гП(,+]+1)гП(,

г+] +к+1)г

г, ], к

< 3СА4т XX а,.» <

г=1 ] ,к=1

< 3СА4т X к:

ак ,1 =

\с( п)-1

= 3Сйп

Л

X к2 ак,, + X к2 ак,,

к=1 к=с (п) у

(16)

где а,,, = тах(а,(■■ ),,,а^у,,,а( ,о,).

Второе слагаемое в правой части равенства (16) 1

(

имеет порядок о

V п2 п2( т+2 г)

а для первого слагаемо-

с(п)-1

го справедливо неравенство X к2ак,, < Спс2(п).

Рассмотрим первое слагаемое в правой части неравенства (15). Возьмем последовательность целых положительных чисел с(п): с(п)=о(п), с(п)=0(к-т). В

2 2т5

этом случае, учитывая с <n)Аn2+г ^ ю, получаем

Поскольку 11т с(п)йп = о (1), то

Е18(]) 14 < пСс (п)А,

+ о

п4й4п(т+г)

= о

1

2. 2(т+2 г)

Чп Ап

V п2й2( т+2 г)

Лемма 6 доказана.

Доказательство леммы 7. Привлекая при р=4 и т=2 неравенство

/ \Р

I т \ т

X \ аг \ < тР-1 X \ аг \Р ’ Р > 1

получаем

М4(ап(г])) = Е[^п ) + Ь (ап1 ))]4 <

< 8[ЕV5п(г])^ + Ь4 \ а(г7')

Лемма 7 доказана.

В следующей (завершающей) работе будут рассмотрены оценки подстановки 1п(х)=И(а(^)(х)) и их кусочно-гладкие аппроксимации.

х

к=1

к=1

2т5

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Китаева А.В., Кошкин ГМ. Полурекуррентные ядерные оценки базовых функционалов по независимым наблюдениям // Известия Томского политехнического университета. - 2008. -Т. 312. - № 2. - С. 8-12.

2. Chen G., Choi Y.K., Zhou Y. Nonparametric estimation of structural change points in volatility models for time series // Journal of Econometrics. - 2005. - V. 126. - P. 79-114.

3. Bosq D., Cheze-Payaud N. Optimal Asymptotic Quadratic Error of Nonparametric Regression Function Estimates for a ContinuousTime Process from Sampled-Data // Statistics. - 1999. - V. 32. -P. 229-247.

4. Bosq D. Non-parametric statistics for stochastic processes. (Lecture Notes in Statistics. V. 110). - N.Y.: Springer-Verlag, 1996. - 184 p.

5. Huang J.Z., Yang L. Identification of non-linear additive autoregressive models // J. R. Statist. Soc. - 2004. - V. 66. - Part 2. -P. 463-477.

6. Wang L., Yang L. Spline-backfitted kernel smoothing of nonlinear additive autoregression model // Ann. Statist. - 2007. - V. 35. -№ 6. - P. 2474-2503.

7. Давыдов Ю.А. О сходимости распределений, порожденных стационарными случайными процессами // Теория вероятностей и ее применения. - 1968. - Т. 13. - Вып. 4. - С. 730-737.

8. Masry E. Probability density estimation from sampled data // IEEE Trans. Inf. Theory. - 1983. - V. IT-29. - № 5. - P. 696-709.

9. Билингсли П. Сходимость вероятностных мер. - М.: Наука, 1977. - 352 с.

Поступила 16.01.2009 г.

УДК 621.01

К ВОПРОСУ О КЛАССИФИКАЦИИ МЕХАНИЗМОВ

Л.Т. Дворников, А.В. Степанов

ГОУ ВПО «Сибирский государственный индустриальный университет», г. Новокузнецк E-mail: [email protected]

Описан вариант развития структурной классификации кинематических цепей, предложенной академиком И. И. Артоболевским. Рассмотрен механизм разбиения пяти семейств механизмов на подсемейства, основанный на применении в качестве отличительного признака подсемейств совокупности используемых кинематических пар.

Ключевые слова:

Структурная классификация, семейства механизмов, кинематические цепи, кинематические пары,

Введение

Известно [1], что механизмом называют кинематическую цепь, в которой при заданном движении одного или нескольких звеньев все остальные звенья совершают однозначно определяемые движения.

В общем случае степень подвижности механизма Ж определяет число его степеней свободы и может быть найдена по формуле, предложенной профессором Томского технологического института А.П. Малышевым. Впервые эта формула была опубликована в 1923 г. в его статье «Анализ и синтез механизмов с точки зрения их структуры» [2]. В современных обозначениях формула Малышева имеет вид

Ж = 6п - 5р5 - 4р4 - 3Рз - 2р2 - рх, (1)

где п — число подвижных звеньев механизма; рь р2, Рз, Р4, Р5 — число кинематических пар первого, второго, третьего, четвертого и пятого классов.

Применение этой формулы возможно лишь в том случае, если на движение звеньев механизма не наложено никаких общих ограничений. При наложении ограничений на движения звеньев, образующих механизм, используется универсальная формула подвижности кинематической цепи, предложенная профессором В.В. Добровольским [3]. Эта формула имеет следующий вид

Ж = (6 - т)п -X (к - т)рк. (2)

5

В формуле (2) параметр т определяет число общих связей, наложенных на движение всех звеньев кинематической цепи, т может принимать значения т=0,1,2,3 и 4; к — класс кинематических пар, определяемый числом связей, накладываемых на относительное движение соединяемых звеньев. Как следует из (1), класс пар может принимать значения к=5,4,3,2,1.

Семейства механизмов

В зависимости от числа общих связей т, накладываемых на кинематическую цепь, академиком И.И. Артоболевским было предложено относить все цепи к одному из пяти семейств: нулевому, первому, второму, третьему и четвертому Если на кинематическую цепь не накладывается никаких общих связей, то она относится к нулевому семейству. Формула подвижности для цепей нулевого семейства записывается в виде (1) при подстановке в формулу (2) значения т равного нулю.

Первое семейство описывается формулой, в которой коэффициенты всех членов (1) уменьшаются на единицу