Последовательная идентификация пороговой авторегрессии Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.233.22

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПОРОГОВОЙ АВТОРЕГРЕССИИ

А.С. Марков

Томский политехнический университет E-mail: markovalexander@mail.ru

Для оценивания параметров пороговой авторегрессии предлагаются последовательные оценки по методу наименьших квадратов. Получено совместное асимптотическое распределение ошибок оценивания. Приводятся результаты численных экспериментов.

Ключевые слова:

Пороговая авторегрессия, метод наименьших квадратов, последовательные оценки, асимптотическое распределение.

=

Введение

Идентификация вида зависимости между наблюдениями за стохастической динамической системой является одной из актуальных проблем в задачах, связанных с управлением, фильтрацией, прогнозированием. Как в технике, так и в экономике широкое применение получили линейные модели авторегрессии [1-5]. Однако на практике ограничение линейной зависимости не всегда позволяет отследить динамику реального процесса. Так в последние годы представляет интерес модель пороговой авторегрессии, функция динамики которой является кусочно-линейной. Рассмотрим модель пороговой авторегрессии первого порядка вида

Э1Хк-1 + ек > при Хк-1 < О,

[в2Хк_1 +ек, при Хк-1 > (1)

где {Хк}к>0 - наблюдаемый процесс; Х0=0, {ек}кг1 -шумовая последовательность; в1, в2 - неизвестные параметры модели.

Рассмотрим задачу оценивания неизвестных параметров в1, в2. В работе [6] показано, что оценки параметров по методу наименьших квадратов (МНК) являются состоятельными тогда и только тогда, когда в1<1, в1<1, а в работе [7] показана совместная асимптотическая нормальность оценок в области, где процесс Хк является эргодическим {(в1, в2):в1<1,в2<1, в1в2<1}.

В данной работе для восстановления неизвестных параметров в1, в2 предлагается использовать последовательную процедуру на основе метода наименьших квадратов, когда число наблюдений при построении оценок не фиксировано, а определяется согласно некоторому правилу остановки.

Основные результаты

Будем предполагать, что последовательность шумов {ек}ы - это последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с непрерывной всюду положительной плотностью, причем Е^=0, ^е12=1.

Для построения процедуры оценивания неизвестных параметров в1, в2 для каждого Н>0 введем моменты остановки

т, (Н) = М{и: £ у1-^ > Н},

при Д1=(Хк)-, Д2=(Хк)+, где (х)-=шт(х,0), (х)+=шах(х,0). Пусть 0<а1(Н)<1 такие, что

т, (н )-1

X у*2-1., +а,(Н) у2(н )-1,, =н • к =2

Обозначим

Рк,(Н) = х{к<т,(н)} +а(Н)Х{к=т,(н)}> к>2 (3)

где Хм - индикаторная функция. Запишем последовательные оценки МНК

Т, (н )

X Рк,(Н)Ук-1,Хк

в,(Н) = .к=2 =

1

= H X ßkj(H)Ук-иXk.

H к =2

(4)

При этом ошибка оценивания параметра в] записывается в виде

1

Tj (H )

вj(H)-dj = — X ßk,j(H)Ук-1.

H k =2

-i, isk •

(5)

Выбор коэффициентов вк(Н) сделан, как и в [8], для того, чтобы оценки (4) в отличие от обычных оценок МНК обладали свойством несмещенности, т. е. Ев](Н)=в].

Недостаток обычных оценок МНК состоит в том, что их асимптотическое распределение зависит от моментов процесса Хк в стационарном режиме (см. [4]), которые не вычисляются аналитически. Это затрудняет построение доверительных интервалов для неизвестных параметров 1, 2.

Следующая теорема показывает, что оценки 91(Н), в2(Н асимптотически независимы, а их предельное распределение является стандартным гауссовым.

Теорема 1. Для любого компактного множества Ке©

lim sup sup

H(01,02)eZi,,i2eÄ

p(4h (e 1(h ) - e1) < x1,

4и (в 2() h - e2) < x2) -

-Ф( Х1)Ф( x2)

= 0,

(здесь и далее /=1,2),

(2)

где Ф(х) - функция распределения стандартного нормального закона. Доказательство теоремы вынесено в приложение.

k=2

k=2

Замечание 1. Теорема 1 устанавливает, что оценки (4) обладают свойством равномерной по параметрам совместной асимптотической нормальности, когда параметры вь в2 принимают значения в области ©={{(01,02):01<1, 02<1, 0102<1}. Известно, что для обычных оценок МНК данное свойство не выполнено.

Замечание 2. Теорема 1 позволяет строить доверительную область для неизвестных параметров вь в2 с заданным коэффициентом доверия.

Результаты численного моделирования

Для применения предложенных оценок на практике, необходимо определить при каком уровне порога Н найденное в теореме 1 асимптотическое распределение может быть использовано для построения доверительных интервалов неизвестных параметров. Кроме того, представляет интерес поведение распределения оценок на границе допустимой области параметров. Поэтому было проведено имитационное моделирование процесса (1) с гауссовыми шумами. Для генерации псевдослучайных величин {ек}ы использован алгоритм из [9], а для построения величин {Хк}ы - рекуррентная формула (1) с Х0=0. Полученные наблюдения использовались для построения оценок (4). На рисунке приводятся оценки плотностей распределений нормированных уклонений

4Й (в у (Н )-ву ),

построенные по 10000 повторений процедуры оценивания при Н=50 для внутренней точки в=0,2, 02=О,85 (рисунок, а и б) и точки в=0,8, 02=1,25, ле-

жащей на границе области © (рисунок, в и г). Непрерывная линия показывает теоретическую предельную плотность, прерывистая - оценки плотностей нормированных уклонений.

Из графиков видно, что оценки плотностей распределений ошибок достаточно хорошо аппроксимируют теоретическую предельную плотность, как для внутренней точки, так и для точки на границе допустимой области значений параметров.

Рассмотрим задачу построения доверительной области неизвестных параметров, когда ширина доверительной области по каждому параметру одинакова. Для этого при заданном уровне доверия а необходимо найти х такое, что

Р(4Н(в 1(Н)-в) <х,у/Н(в2(Н)-в2) <х) = а.

Тогда доверительная область будет иметь вид

{(01Д):0у(Н)--НЩ <0у(Н) + -Н>У = 1,2}.

Согласно теореме 1

Р(*Ш(в 1(Н)-в) <х,*М(в2(Н)-в2) <х) * (Ф(х))2,

поэтому х«Ф-1(^а). При Н=100 для уровня доверия 0,9 получаем область

{(в, в2) : в у (Н) - 0,16322 < в 1 < в у (Н) + 0,16322, ] = 1,2}. Заключение

Предложена последовательная процедура оценивания неизвестных параметров пороговой авторегрессии. Показано, что в отличие от обычных

а 0.4р ; р(х) б о,у ■ Р(Х)

/6,з - \ Р(х) ,/0,3 - Ч Р(х)

/ 0,2 - / 0,2 -

I 0,1 - 7 °’1 ' Л

о 0

-3 -2 -1 ( ) 1 2 3 -3 -2 -1 ( ) 1 2 3

в 0,4* . - Р(х) Г 0,4> , ----- р(х)

,/0,3 - \ Р(х) Л /0,3 - Д Р(Х)

/ 0,2 - / О.2 -

/ 0,1 - / 0,1 - Л

0 0

-3 -2 -1 ) 1 2 3 -3 -2 -1 3 12 3

Рисунок. Теоретическая предельная плотность р(х) (непрерывная линия) и ее оценка р(х) (пунктирная линия) для: а) 50(в(50)~0,2); б) ■50(ё2(50)~0,85); в) <50(ё1(50)~0,8); г) ■5б(ё2(50)~1,25)

МНК оценки (4) обладают следующими свойствами:

• несмещенность;

• независимость предельного распределения от моментов процесса в стационарном режиме;

• равномерная по параметрам совместная асимптотическая нормальность.

Последнее свойство может быть использовано для построения доверительной области неизвестных параметров с заданным уровнем доверия. Представлены результаты построения плотностей нормированных уклонений оценок, полученные путем имитационного моделирования процесса (1).

Приложение

Для доказательства теоремы 1 потребуется следующая лемма.

Лемма 1. Для любого компактного множества Же© и любого 5>0

lim sup р \3п > т : у2 > S£у2к_х 1 = 0, (5)

(0,,02)еХ ' 1

lim sup Р(уи2 > а) = 0, для любого n>2. (6)

а^” (0,,02)eK ’

Доказательство леммы 1. Поскольку К компактное множество, то его можно покрыть конечным числом прямоугольников, каждый из которых содержится в одной из областей

©1 = {(01;в2): 0 <01 < 1, 0 <в2 < 1},

©2 = {(вр в2): в1 <0, 02 <0, 002 < 1},

©3 = {(0рв2): в1 < 0, 0 < в2 < 1},

©4 = {(01, 02): 0 < 01 < 1, 02 < 0}.

Поэтому достаточно рассмотреть случай, когда К={( 0;, 02):а1<01<Ь1, а2<02<Ь2} и целиком содержится в одной из этих подобластей.

Случай Ке01. По индукции можно показать, что для всех ( 9Ь 02)еК ¥к<Хк<ик при Гк=тах(Ь1,Ь2)(Гк_1)-+бк, ик=тах(Ь1,Ь2)(ик_1)-+ек, где (^к)-=тт(^к,0), (ик)-=т1п(ик,0), ^=и0=0. Обозначим

Чи+V,2, ук 1=и)-, н 2=(V)+,

тогда ^¡.^¡.^и2^ для любых ( 01,02)еК и всех к, }. Поэтому при т^(х>, а^х>

sup Р\3п > т: у2j >S£у2к_

(0,,02)eK (

< P

3n > m : -^n~ >—s£i

k-i, j

sup P(yn j > a) < P(un j > a) ^ 0 для всех n,

(0],02)eK

поскольку с вероятностью единица

„.2

11

n k=2

т. к. процессы Vk, Uk являются геометрически эрго-дическими (см. [4]).

Случай K<z©2. Как и в первом случае, для всех (0j,02)eK можно показать, что

V < X < U,

при Vk = a2(UkJ+ + ек, и, = ai(Vk-J + К .

Пусть uk U2k, vk V2k, ^k~S2k , Vk~S2k-1. Тогда uk = ai(a2(uk-1) + +П Г +^k >

У, = a2(ai(Vk_i)~+Vk )++Zk •

Согласно теореме 1 из [10], процессы uk, vk будут геометрически эргодическими, если существуют непрерывная функция g(x), S>0 и компакт A ненулевой меры, такие, что g(x)>1 для любого xeA и E[g(uk)/uk-1=x]<(1-S)g(x) для любого xeAc. Пусть g(x)=1+|X|. Тогда

Е[ g (uk )/ uk-i = x] =

1 + E[a1(a2( x) + +e1)- +e2] < 1 + (1 -a) |x| + C,

где a=1=aa2>0, С=(1-а1)Е|е|<да. Положим S=a/2, тогда для xeAc

1 + (1 -a) |x| + C =

= (1 - S)g(x) + S(1 -1x|) + C < (1 -S)g(x), если A = {x: x < 1 + C/S}.

Эргодичность vk проверяется аналогично. Далее воспользуемся неравенствами

У2k+1,j < V2k+1 + U2k+1 < a2Uk + a1 Vk + 2S2k ,

y2k, j < V2k+и2k < u2k + Vk2,

У2k,1 > (U2k )-= (Uk )- , У2k ,2 > (Vk )+= 0k )+ •

Следовательно yk,j < a1r + (1 + a1 + a2)(U[k /2] + Vk/2]) + 2sk = 0k •

Поэтому в силу геометрической эргодичности uk, vk, при m^(x>, a^-(x>

sup p | 3n > m: y2n1 > SY yk-11 | <

(01.02)eK ^ k =2 J

( Z 1 [(n-1)/2] N

< p| 3n >m: ^ >-S У ((uk)-)2 1^ 0,

^ n n k=1 J

suP p \3n > m: yla >5У yh^ |<

(01.02)eK ^ k =2 J

( Z 1 [(n-1)/2] N

< Pi 3n >m : zn >s У ((vk)+)2 1^ 0

^ n n ti J

sup P(y2n j > a) < P(Zn > a) ^ 0 для всех п.

(01,02)gK

Случай Ke©3. Покажем по индукции, что для всех (01,02)gK

k

ek < Xk < nk-1 +sk. гДе П = (b2- a1)EК lb2k-j• (7)

j=1

При k=1 Xl=sl, поэтому (7) выполнено. Пусть это неравенство выполнено при k=p. Покажем, что (7) выполнено при k=p+1. Выполнение левого неравенства очевидно. Для проверки правого неравенства рассмотрим оценки

х,+1 =0() -+02()++ар+1 <

< ai(Xp)-+ Ь2(ХрУ+ер +, <

' p-i .

< ai(Sp)- + Ь2 (Ь2 - ai)ХК- \br1J +SP

V j=i

p-1

< (Ь2 - ai)Zkfp- j + ai(£p )- + Ь2(КР )+ + К +i <

+К +i <

< (Ь2 - ai)^^ Iе j I Ь:Р- j j=i

2 +ep+Г

1 n n

lim - £ ((Пк-i +ek)-)2 > lim S 2 £ X{Vl,+

n^w n rr n^w k"T 1

ek<S} :

<p+1} >

>S n^mj££x{ek <S-p}X{ p<^-i

k=i p =0

M n

£ nim^e <s- p}X{ p<nr-i< p+i}-

>S2£PК <s -p)x

{ p <n< p+i}

> 0.

p=0

В силу (7) и последнего неравенства при m^w

sup р 13n >т: уПд > s £ ук-i i I <

(0l02)ek V к =2 J

' 'К 2 , 2ч Л

3n>m: 2(nn-i +е“> >'

< Р

> £ ((Vk-2 +ek-i) )

V n k=i

Используя (7), имеем оценки

< P

Таким образом (7) выполнено. Для некоторого целого M и 5>0 рассмотрим предел

Отметим, что с вероятностью единица существует предел limnk =n < w, например, по теореме

к ^да

Колмогорова о «трех рядах». Кроме этого по усиленному закону больших чисел для любых S и p

n

lim £ х{е <S-p} = P(ei > S - p) > 0. Поэтому по лем-

n^w^^ { k p}

к=i

ме Теплица с вероятностью 1 для любых S и p

n

nimW£X{er<S-p}X{p<nk-i<p+i} = P(ei <S - p)X{p<n<p + i}. к=i

Используя последнее равенство при M^w, получаем оценку

1 n

lim - £ ((л к-i +ек) - )2 >

n^w n к:i

suP P !зп > m: _уП,1 > S£ yk2-1,11 <

0.02)eK V k =2 J

(3n > m : ^ +Sn2) >1У ((Sk-1)+)2^

4 n n k=1 ,

sup P(уП,j > 2(nn2-1 +sn2)) <

(0],02)gK

< P(2(nn-1 + s2) > a) ^ 0.

Случай Ke©4 показывается аналогично рассмотренному случаю. Лемма 1 доказана.

Доказательство теоремы 1. Пусть v=(v1,v2)r - некоторый вектор, такой, что v12+v22=1. Рассмотрим линейную комбинацию нормированных ошибок оценивания

2 ___ л 12 т,(И)

У vt4H(Qi(H) -0) = — У У VPki (H)у, -1iк.

i=1 — i =1 k= 2

Введем следующие случайные величины gk(H) и момент остановки t(H)

2

gk-1(— ) “ У ViA, k (H ) yk-1,i X{k<Ti( H)},

т(H) = inf |n: У^—))2 > — j.

Используя (2), (3), получаем

t(H ) = max(r1( H ),t2( H)),

t( H )

У (gk-1(H ))2 = H,

k =2

t( H) 2 т (H)

У gk-1(H К =У У v- A ,i(H) у,-1,i к . k=2 i=1 k=2

Утверждение теоремы 1 будет выполнено, если показать, что для любого вектора v (v12+v22=1) справедливо предельное соотношение

lim sup sup

P

i т(Я )

nr £ *-i< h

£к < x |-Ф(x)

= 0.

Я (0i,02)gK xeR

Введем множество QH = {m : gn(Я) = ,^n(Я) для любого n < т(Я)},

где gn (H ) = gn (H )X{gn(H)SS2H } +^^HX{gn(H )>s2h }.

Лемма 2.

lim sup P(QH) = 0.

0i ,02)eK

Доказательство леммы 2. Имеем включение

ПH = {gn (H) ^ gn (H)

для нек. n < т( H)} = {•, n < p} +{•, n > p} с

e un:;{g2( h ) >s2 h } u{gn2( h ) >

> S"£n=2g*-i(H) Для нек. p < n < h)},

где

/=i

{&и2 (Н) > 52Н} с Ц2=1{у2п1 > 52Н /2},

{&П(Н) > 52£п=2яА2-1 (Н) для нек. р < п <т(Н)} с

с Ц2=1{(уи2,.) > 52 /2£П=2(У*-1,-) для нек п> р}.

Отсюда, в силу леммы 1, следует утверждение леммы 2. Лемма 2 доказана.

Рассмотрим равенство

1 ТН) 1 т(Н)

£ ёк-1(НК =-^ £ &-1(Н)ах{он}+Д(Н). \ Н к=2 “Ч/Н к=2

где А(Н) = -Н £Т=Н2)&к-1(НК!{ПН}. Используя

это равенство и определение множества 0.н, получаем

1 т(Н) 1 Т (Н)

-7= £ &к-1(Н )е = ^ £ &-1(Н )ах{о н}+а(н ),

\Н к=2 л/Н к= 2

где Т(Н) = М{п: £(^к4(Н))2 > Н}.

к =2

Для каждого 5>0 рассмотрим разложение еп =а'п - Ее' +е" - Ее”

п п п п п -

где

1 Г (H)

^h /=;— У gk-1(н Ж “ ЕК),

n—

1 Г (H )

= У gk -1 (H Ж" - ЕК)+А (H).

По теореме о равномерной сходимости мартингалов (см. [11], лемма 2.1)

( 2/

< г» — (I) _____ < Г\

-DH ,S

sup

(01,02)eK

P(£— ,s< t) -Ф

1

<P

VH

+¿s/ \А( H

<■7H Sup lE (£gk-1(H)(ek - ЕК) I ^ +

7 H (01,02)eK l I k =2

+ sup P(Q—) <-(1 + S2)(1 -De[) + sup P(Q—).

(01,02)eK 7 (01,02)eK

Далее получаем оценку

Г (H )

P

1 Г (H) N

у gk-1—к < t !-ф(о

, 1 Г(н)

P| 7H У gk-1(H К < t |-P($H ,S< t)

P(£h,s <t) -Ф

( t N

De[

1

Ф

( t N

De[

-Ф(t)

1

<ffl(F, ;R,7) + P(|n— * l> 7) +

+P

( 2^ VH

где e" =enX{|enи^/},£П'=£пX{|e„|>vs}. Используя это разложение, получаем равенство

1 т(—)

~H У gk-1(H )ek = £— ,S +nH ,S ,

+ sup

teR

Ф

( t N

De1

-Ф(t)

1

< ю

Ф

t

+3 p

De[

2^8 4—

\

,R, 7

V 4v--1 J (л /FN

+ sup

teR

Ф

+ P(| n— ,S |>7) + N

t

-Ф(t)

Здесь ю(.) - модуль непрерывности функции, который задается равенством

ю(/; Е,7) = sup |/(x’) - f( x")\.

x' ,x" eE, [x'-x" <7

Таким образом, получаем

( 1 Г (H) N

PI У gk-1(нК < t |-Ф(/) <

sup sup

(01,02)eK teR

где функция p(x)^0 при x^<». Для некоторого 7>0 оценим вероятность

sup P(|n—,s |>7) <

(01,02)eK

( 1 г (—) iN

< sup P \^=£ gk-1(H)(ek- EeD > - +

(01,02)eK ^H k =2 2 J

< ю (Ф(t); R, 7) + 3 sup

teR

Ф

( N

-Ф(t)

+3 p

( 2VZN чН

+ -(1 + S2)(1-De1) + sup P,(Q—).

7 0eK

Переходя к пределу при H^<», затем при 5-^0, и окончательно при Я^0, получаем утверждение теоремы 1. Теорема 1 доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. - М.: Мир, 1976. - 755 с.

2. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. - М.: Мир, 1974. - Вып. 1. - 406 с.

3. Корнфельд И.П., Штейнберг Ш.Е. Оценивание параметров линейных и нелинейных стохастических систем методом ос-редненных невязок // Автоматика и телемеханика. - 1986. -Т. 18. - № 1. - С. 1651-1672.

4. Фетисов В.Н. Аппроксимация случайного процесса процессом авторегрессии в задачах стохастического управления // Автоматика и телемеханика. - 1994. - Т. 22. - № 4. - С. 1917-1930.

5. Тырсин А.Н. Идентификация зависимостей на основе моделей авторегрессии // Автометрия. - 2005. - Т. 41. - № 1. -С. 43-49.

6. Pham D.T, Chan K.S., Tong H. Strong Consistency of the least squares estimator for a non-ergodic threshold autoregressive model // Statistica Sinica. - 1991. - V. 1. - P. 361-369.

7. Petruccelly J.D., Woolford S.W. A threshold AR(1) model // J. Appl. Prob. - 1984. - V. 21. - P. 270-286.

8. Борисов В.З., Конев В.В. О последовательном оценивании параметров дискретных процессов // Автоматика и телемеханика. - 1977. - Т. 5. - № 10. - С. 58-64.

9. Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., Flannery B.P. Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing. - 2nd edition. -Cambridge: Cambridge University Press, 1992. - 994 p.

10. Feigin P.D., Tweedie R.L. Random coefficient autoregressive processes: A Markov Chain analysis of stationary and finiteness of moments // Journal of Time Series Analysis. - 1985. - V. 6. - № 1. - P. 1-14.

11. Lai TL., Siegmund D. Fixed-Accuracy Estimation of an Autoregressive Parameter // The Annals of Statistics. - 1983. - V. 11. -№ 2. - P. 478-485.

Поступила 26.01.2009 г.

УДК 519.2

ЯДЕРНЫЕ ОЦЕНКИ БАЗОВЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ ПО ЗАВИСИМЫМ НАБЛЮДЕНИЯМ

А.В. Китаева*, Г.М. Кошкин

'Томский политехнический университет Томский государственный университет Отдел проблем информатизации ТНЦ СО РАН, г. Томск E-mail: kit1157@yandex.ru

Рассматриваются свойства оценок базовых функционалов, построенных по наблюдениям, удовлетворяющим условию сильного перемешивания. Показано, что порядок скорости сходимости в среднеквадратическом оптимальных ядерных оценок базовых функционалов для слабозависимых наблюдений такой же, как и для независимых. Определен также порядок скорости сходимости в среднеквадратическом четвертых моментов отклонений оценок базовых функционалов.

Ключевые слова:

Функционалы от плотности распределения, процессы сильного перемешивания, ядерное оценивание, сходимость в среднеквадратическом.

1. Постановка задачи

Отатья продолжает работу [1], где поставлена задача оценивания характеризационного функционала (1) [1], являющегося функцией от базовых функционалов, и предлагается оценка подстановки, элементами которой являются рекуррентные ядерные оценки базовых функционалов с векторным параметром размытости, построенные по независимым наблюдениям. Предположение о независимости наблюдений существенно сужает область приложения модели, поскольку в стохастических динамических системах выходные переменные являются, как правило, стохастически связанными. Как отмечено, к примеру в [2. C. 102], «...the assumption of independence is not acceptable in many economic and financial models...». Зависимость наблюдений сильно усложняет анализ свойств оценок, поэтому в данной работе мы отказались от рекуррентной структуры оценок с масштабированием по каждой компоненте, положив hjph„. Далее будут использоваться обозначения, введенные в [1].

Будем считать наблюдения Z,=(XhY,), 1=1,n строго стационарным эргодическим процессом, удовлетворяющим дополнительно условию сильного перемешивания (a-перемешиванию) с коэффициентом перемешивания

a(k) = sup sup \P(AB) - P(A) P(B)|,

t AeF1jtBeFt+k.n

где ст-алгебра Fab=o(Zha<,<b) порождена случайными величинами Za,...,Zb. Сильное перемешивание

(с. п.) означает, что а(к)^0 при к^<». Асимптотическая среднеквадратическая ошибка (СКО) оценки Надарая-Ватсона функции регрессии для с. п. наблюдений была найдена только в 1999 г. [3]. Заметим, что а-перемешивание относится к слабому типу зависимости наблюдений и следует из других обычно рассматриваемых типов перемешивания: в-перемешивания и р-перемешивания [4]. Условию с. п. удовлетворяет устойчивый процесс авторегрессии; оцениванию характеристик процессов такого типа посвящены, например, работы [5, 6].

В качестве непараметрических ядерных оценок базовых функционалов а(х)=ё°')(х) и их производных ё11)(х) (формулы (2), (3) в [1]) в точке хвозьмем статистики, аналогичные статистикам (6) в [1] при й;к=й„:

аП \ х) = -

1

nh:+r ,=i

Ё g (X )K

r = 0,1,

где последовательность чисел (h„)^0,

:

K(0 j )(м) = K (и) = П K (u, ),

K(1 j)(u) =

dK (и )

du..

= K (Ui)...K (Uj-i) K (1)(Uj ) K (Uj+i)...K (u: ),

(1) dK (U: )

K (1)(U,. ) =---------.

j dU..

,=1