Научная статья на тему 'Последовательная идентификация пороговой авторегрессии'

Последовательная идентификация пороговой авторегрессии Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
260
64
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
пороговая авторегрессия / метод наименьших квадратов / последовательные оценки / асимптотическое распределение

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Марков Александр Сергеевич

Для оценивания параметров пороговой авторегрессии предлагаются последовательные оценки по методу наименьших квадратов. Получено совместное асимптотическое распределение ошибок оценивания. Приводятся результаты численных экспериментов.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

In order to estimate parameters of threshold autoregression the sequential estimators by the least-squares method have been proposed. Joint asymptotic distribution of errors of estimation was obtained. The results of numerical experiments are given.

Текст научной работы на тему «Последовательная идентификация пороговой авторегрессии»

УДК 519.233.22

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПОРОГОВОЙ АВТОРЕГРЕССИИ

А.С. Марков

Томский политехнический университет E-mail: markovalexander@mail.ru

Для оценивания параметров пороговой авторегрессии предлагаются последовательные оценки по методу наименьших квадратов. Получено совместное асимптотическое распределение ошибок оценивания. Приводятся результаты численных экспериментов.

Ключевые слова:

Пороговая авторегрессия, метод наименьших квадратов, последовательные оценки, асимптотическое распределение.

=

Введение

Идентификация вида зависимости между наблюдениями за стохастической динамической системой является одной из актуальных проблем в задачах, связанных с управлением, фильтрацией, прогнозированием. Как в технике, так и в экономике широкое применение получили линейные модели авторегрессии [1-5]. Однако на практике ограничение линейной зависимости не всегда позволяет отследить динамику реального процесса. Так в последние годы представляет интерес модель пороговой авторегрессии, функция динамики которой является кусочно-линейной. Рассмотрим модель пороговой авторегрессии первого порядка вида

Э1Хк-1 + ек > при Хк-1 < О,

[в2Хк_1 +ек, при Хк-1 > (1)

где {Хк}к>0 - наблюдаемый процесс; Х0=0, {ек}кг1 -шумовая последовательность; в1, в2 - неизвестные параметры модели.

Рассмотрим задачу оценивания неизвестных параметров в1, в2. В работе [6] показано, что оценки параметров по методу наименьших квадратов (МНК) являются состоятельными тогда и только тогда, когда в1<1, в1<1, а в работе [7] показана совместная асимптотическая нормальность оценок в области, где процесс Хк является эргодическим {(в1, в2):в1<1,в2<1, в1в2<1}.

В данной работе для восстановления неизвестных параметров в1, в2 предлагается использовать последовательную процедуру на основе метода наименьших квадратов, когда число наблюдений при построении оценок не фиксировано, а определяется согласно некоторому правилу остановки.

Основные результаты

Будем предполагать, что последовательность шумов {ек}ы - это последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с непрерывной всюду положительной плотностью, причем Е^=0, ^е12=1.

Для построения процедуры оценивания неизвестных параметров в1, в2 для каждого Н>0 введем моменты остановки

т, (Н) = М{и: £ у1-^ > Н},

при Д1=(Хк)-, Д2=(Хк)+, где (х)-=шт(х,0), (х)+=шах(х,0). Пусть 0<а1(Н)<1 такие, что

т, (н )-1

X у*2-1., +а,(Н) у2(н )-1,, =н • к =2

Обозначим

Рк,(Н) = х{к<т,(н)} +а(Н)Х{к=т,(н)}> к>2 (3)

где Хм - индикаторная функция. Запишем последовательные оценки МНК

Т, (н )

X Рк,(Н)Ук-1,Хк

в,(Н) = .к=2 =

1

= H X ßkj(H)Ук-иXk.

H к =2

(4)

При этом ошибка оценивания параметра в] записывается в виде

1

Tj (H )

вj(H)-dj = — X ßk,j(H)Ук-1.

H k =2

-i, isk •

(5)

Выбор коэффициентов вк(Н) сделан, как и в [8], для того, чтобы оценки (4) в отличие от обычных оценок МНК обладали свойством несмещенности, т. е. Ев](Н)=в].

Недостаток обычных оценок МНК состоит в том, что их асимптотическое распределение зависит от моментов процесса Хк в стационарном режиме (см. [4]), которые не вычисляются аналитически. Это затрудняет построение доверительных интервалов для неизвестных параметров 1, 2.

Следующая теорема показывает, что оценки 91(Н), в2(Н асимптотически независимы, а их предельное распределение является стандартным гауссовым.

Теорема 1. Для любого компактного множества Ке©

lim sup sup

H(01,02)eZi,,i2eÄ

p(4h (e 1(h ) - e1) < x1,

4и (в 2() h - e2) < x2) -

-Ф( Х1)Ф( x2)

= 0,

(здесь и далее /=1,2),

(2)

где Ф(х) - функция распределения стандартного нормального закона. Доказательство теоремы вынесено в приложение.

k=2

k=2

Замечание 1. Теорема 1 устанавливает, что оценки (4) обладают свойством равномерной по параметрам совместной асимптотической нормальности, когда параметры вь в2 принимают значения в области ©={{(01,02):01<1, 02<1, 0102<1}. Известно, что для обычных оценок МНК данное свойство не выполнено.

Замечание 2. Теорема 1 позволяет строить доверительную область для неизвестных параметров вь в2 с заданным коэффициентом доверия.

Результаты численного моделирования

Для применения предложенных оценок на практике, необходимо определить при каком уровне порога Н найденное в теореме 1 асимптотическое распределение может быть использовано для построения доверительных интервалов неизвестных параметров. Кроме того, представляет интерес поведение распределения оценок на границе допустимой области параметров. Поэтому было проведено имитационное моделирование процесса (1) с гауссовыми шумами. Для генерации псевдослучайных величин {ек}ы использован алгоритм из [9], а для построения величин {Хк}ы - рекуррентная формула (1) с Х0=0. Полученные наблюдения использовались для построения оценок (4). На рисунке приводятся оценки плотностей распределений нормированных уклонений

4Й (в у (Н )-ву ),

построенные по 10000 повторений процедуры оценивания при Н=50 для внутренней точки в=0,2, 02=О,85 (рисунок, а и б) и точки в=0,8, 02=1,25, ле-

жащей на границе области © (рисунок, в и г). Непрерывная линия показывает теоретическую предельную плотность, прерывистая - оценки плотностей нормированных уклонений.

Из графиков видно, что оценки плотностей распределений ошибок достаточно хорошо аппроксимируют теоретическую предельную плотность, как для внутренней точки, так и для точки на границе допустимой области значений параметров.

Рассмотрим задачу построения доверительной области неизвестных параметров, когда ширина доверительной области по каждому параметру одинакова. Для этого при заданном уровне доверия а необходимо найти х такое, что

Р(4Н(в 1(Н)-в) <х,у/Н(в2(Н)-в2) <х) = а.

Тогда доверительная область будет иметь вид

{(01Д):0у(Н)--НЩ <0у(Н) + -Н>У = 1,2}.

Согласно теореме 1

Р(*Ш(в 1(Н)-в) <х,*М(в2(Н)-в2) <х) * (Ф(х))2,

поэтому х«Ф-1(^а). При Н=100 для уровня доверия 0,9 получаем область

{(в, в2) : в у (Н) - 0,16322 < в 1 < в у (Н) + 0,16322, ] = 1,2}. Заключение

Предложена последовательная процедура оценивания неизвестных параметров пороговой авторегрессии. Показано, что в отличие от обычных

а 0.4р ; р(х) б о,у ■ Р(Х)

/6,з - \ Р(х) ,/0,3 - Ч Р(х)

/ 0,2 - / 0,2 -

I 0,1 - 7 °’1 ' Л

о 0

-3 -2 -1 ( ) 1 2 3 -3 -2 -1 ( ) 1 2 3

в 0,4* . - Р(х) Г 0,4> , ----- р(х)

,/0,3 - \ Р(х) Л /0,3 - Д Р(Х)

/ 0,2 - / О.2 -

/ 0,1 - / 0,1 - Л

0 0

-3 -2 -1 ) 1 2 3 -3 -2 -1 3 12 3

Рисунок. Теоретическая предельная плотность р(х) (непрерывная линия) и ее оценка р(х) (пунктирная линия) для: а) 50(в(50)~0,2); б) ■50(ё2(50)~0,85); в) <50(ё1(50)~0,8); г) ■5б(ё2(50)~1,25)

МНК оценки (4) обладают следующими свойствами:

• несмещенность;

• независимость предельного распределения от моментов процесса в стационарном режиме;

• равномерная по параметрам совместная асимптотическая нормальность.

Последнее свойство может быть использовано для построения доверительной области неизвестных параметров с заданным уровнем доверия. Представлены результаты построения плотностей нормированных уклонений оценок, полученные путем имитационного моделирования процесса (1).

Приложение

Для доказательства теоремы 1 потребуется следующая лемма.

Лемма 1. Для любого компактного множества Же© и любого 5>0

lim sup р \3п > т : у2 > S£у2к_х 1 = 0, (5)

(0,,02)еХ ' 1

lim sup Р(уи2 > а) = 0, для любого n>2. (6)

а^” (0,,02)eK ’

Доказательство леммы 1. Поскольку К компактное множество, то его можно покрыть конечным числом прямоугольников, каждый из которых содержится в одной из областей

©1 = {(01;в2): 0 <01 < 1, 0 <в2 < 1},

©2 = {(вр в2): в1 <0, 02 <0, 002 < 1},

©3 = {(0рв2): в1 < 0, 0 < в2 < 1},

©4 = {(01, 02): 0 < 01 < 1, 02 < 0}.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Поэтому достаточно рассмотреть случай, когда К={( 0;, 02):а1<01<Ь1, а2<02<Ь2} и целиком содержится в одной из этих подобластей.

Случай Ке01. По индукции можно показать, что для всех ( 9Ь 02)еК ¥к<Хк<ик при Гк=тах(Ь1,Ь2)(Гк_1)-+бк, ик=тах(Ь1,Ь2)(ик_1)-+ек, где (^к)-=тт(^к,0), (ик)-=т1п(ик,0), ^=и0=0. Обозначим

Чи+V,2, ук 1=и)-, н 2=(V)+,

тогда ^¡.^¡.^и2^ для любых ( 01,02)еК и всех к, }. Поэтому при т^(х>, а^х>

sup Р\3п > т: у2j >S£у2к_

(0,,02)eK (

< P

3n > m : -^n~ >—s£i

k-i, j

sup P(yn j > a) < P(un j > a) ^ 0 для всех n,

(0],02)eK

поскольку с вероятностью единица

„.2

11

n k=2

т. к. процессы Vk, Uk являются геометрически эрго-дическими (см. [4]).

Случай K<z©2. Как и в первом случае, для всех (0j,02)eK можно показать, что

V < X < U,

при Vk = a2(UkJ+ + ек, и, = ai(Vk-J + К .

Пусть uk U2k, vk V2k, ^k~S2k , Vk~S2k-1. Тогда uk = ai(a2(uk-1) + +П Г +^k >

У, = a2(ai(Vk_i)~+Vk )++Zk •

Согласно теореме 1 из [10], процессы uk, vk будут геометрически эргодическими, если существуют непрерывная функция g(x), S>0 и компакт A ненулевой меры, такие, что g(x)>1 для любого xeA и E[g(uk)/uk-1=x]<(1-S)g(x) для любого xeAc. Пусть g(x)=1+|X|. Тогда

Е[ g (uk )/ uk-i = x] =

1 + E[a1(a2( x) + +e1)- +e2] < 1 + (1 -a) |x| + C,

где a=1=aa2>0, С=(1-а1)Е|е|<да. Положим S=a/2, тогда для xeAc

1 + (1 -a) |x| + C =

= (1 - S)g(x) + S(1 -1x|) + C < (1 -S)g(x), если A = {x: x < 1 + C/S}.

Эргодичность vk проверяется аналогично. Далее воспользуемся неравенствами

У2k+1,j < V2k+1 + U2k+1 < a2Uk + a1 Vk + 2S2k ,

y2k, j < V2k+и2k < u2k + Vk2,

У2k,1 > (U2k )-= (Uk )- , У2k ,2 > (Vk )+= 0k )+ •

Следовательно yk,j < a1r + (1 + a1 + a2)(U[k /2] + Vk/2]) + 2sk = 0k •

Поэтому в силу геометрической эргодичности uk, vk, при m^(x>, a^-(x>

sup p | 3n > m: y2n1 > SY yk-11 | <

(01.02)eK ^ k =2 J

( Z 1 [(n-1)/2] N

< p| 3n >m: ^ >-S У ((uk)-)2 1^ 0,

^ n n k=1 J

suP p \3n > m: yla >5У yh^ |<

(01.02)eK ^ k =2 J

( Z 1 [(n-1)/2] N

< Pi 3n >m : zn >s У ((vk)+)2 1^ 0

^ n n ti J

sup P(y2n j > a) < P(Zn > a) ^ 0 для всех п.

(01,02)gK

Случай Ke©3. Покажем по индукции, что для всех (01,02)gK

k

ek < Xk < nk-1 +sk. гДе П = (b2- a1)EК lb2k-j• (7)

j=1

При k=1 Xl=sl, поэтому (7) выполнено. Пусть это неравенство выполнено при k=p. Покажем, что (7) выполнено при k=p+1. Выполнение левого неравенства очевидно. Для проверки правого неравенства рассмотрим оценки

х,+1 =0() -+02()++ар+1 <

< ai(Xp)-+ Ь2(ХрУ+ер +, <

' p-i .

< ai(Sp)- + Ь2 (Ь2 - ai)ХК- \br1J +SP

V j=i

p-1

< (Ь2 - ai)Zkfp- j + ai(£p )- + Ь2(КР )+ + К +i <

+К +i <

< (Ь2 - ai)^^ Iе j I Ь:Р- j j=i

2 +ep+Г

1 n n

lim - £ ((Пк-i +ek)-)2 > lim S 2 £ X{Vl,+

n^w n rr n^w k"T 1

ek<S} :

<p+1} >

>S n^mj££x{ek <S-p}X{ p<^-i

k=i p =0

M n

£ nim^e <s- p}X{ p<nr-i< p+i}-

>S2£PК <s -p)x

{ p <n< p+i}

> 0.

p=0

В силу (7) и последнего неравенства при m^w

sup р 13n >т: уПд > s £ ук-i i I <

(0l02)ek V к =2 J

' 'К 2 , 2ч Л

3n>m: 2(nn-i +е“> >'

< Р

> £ ((Vk-2 +ek-i) )

V n k=i

Используя (7), имеем оценки

< P

Таким образом (7) выполнено. Для некоторого целого M и 5>0 рассмотрим предел

Отметим, что с вероятностью единица существует предел limnk =n < w, например, по теореме

к ^да

Колмогорова о «трех рядах». Кроме этого по усиленному закону больших чисел для любых S и p

n

lim £ х{е <S-p} = P(ei > S - p) > 0. Поэтому по лем-

n^w^^ { k p}

к=i

ме Теплица с вероятностью 1 для любых S и p

n

nimW£X{er<S-p}X{p<nk-i<p+i} = P(ei <S - p)X{p<n<p + i}. к=i

Используя последнее равенство при M^w, получаем оценку

1 n

lim - £ ((л к-i +ек) - )2 >

n^w n к:i

suP P !зп > m: _уП,1 > S£ yk2-1,11 <

0.02)eK V k =2 J

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(3n > m : ^ +Sn2) >1У ((Sk-1)+)2^

4 n n k=1 ,

sup P(уП,j > 2(nn2-1 +sn2)) <

(0],02)gK

< P(2(nn-1 + s2) > a) ^ 0.

Случай Ke©4 показывается аналогично рассмотренному случаю. Лемма 1 доказана.

Доказательство теоремы 1. Пусть v=(v1,v2)r - некоторый вектор, такой, что v12+v22=1. Рассмотрим линейную комбинацию нормированных ошибок оценивания

2 ___ л 12 т,(И)

У vt4H(Qi(H) -0) = — У У VPki (H)у, -1iк.

i=1 — i =1 k= 2

Введем следующие случайные величины gk(H) и момент остановки t(H)

2

gk-1(— ) “ У ViA, k (H ) yk-1,i X{k<Ti( H)},

т(H) = inf |n: У^—))2 > — j.

Используя (2), (3), получаем

t(H ) = max(r1( H ),t2( H)),

t( H )

У (gk-1(H ))2 = H,

k =2

t( H) 2 т (H)

У gk-1(H К =У У v- A ,i(H) у,-1,i к . k=2 i=1 k=2

Утверждение теоремы 1 будет выполнено, если показать, что для любого вектора v (v12+v22=1) справедливо предельное соотношение

lim sup sup

P

i т(Я )

nr £ *-i< h

£к < x |-Ф(x)

= 0.

Я (0i,02)gK xeR

Введем множество QH = {m : gn(Я) = ,^n(Я) для любого n < т(Я)},

где gn (H ) = gn (H )X{gn(H)SS2H } +^^HX{gn(H )>s2h }.

Лемма 2.

lim sup P(QH) = 0.

0i ,02)eK

Доказательство леммы 2. Имеем включение

ПH = {gn (H) ^ gn (H)

для нек. n < т( H)} = {•, n < p} +{•, n > p} с

e un:;{g2( h ) >s2 h } u{gn2( h ) >

> S"£n=2g*-i(H) Для нек. p < n < h)},

где

/=i

{&и2 (Н) > 52Н} с Ц2=1{у2п1 > 52Н /2},

{&П(Н) > 52£п=2яА2-1 (Н) для нек. р < п <т(Н)} с

с Ц2=1{(уи2,.) > 52 /2£П=2(У*-1,-) для нек п> р}.

Отсюда, в силу леммы 1, следует утверждение леммы 2. Лемма 2 доказана.

Рассмотрим равенство

1 ТН) 1 т(Н)

£ ёк-1(НК =-^ £ &-1(Н)ах{он}+Д(Н). \ Н к=2 “Ч/Н к=2

где А(Н) = -Н £Т=Н2)&к-1(НК!{ПН}. Используя

это равенство и определение множества 0.н, получаем

1 т(Н) 1 Т (Н)

-7= £ &к-1(Н )е = ^ £ &-1(Н )ах{о н}+а(н ),

\Н к=2 л/Н к= 2

где Т(Н) = М{п: £(^к4(Н))2 > Н}.

к =2

Для каждого 5>0 рассмотрим разложение еп =а'п - Ее' +е" - Ее”

п п п п п -

где

1 Г (H)

^h /=;— У gk-1(н Ж “ ЕК),

n—

1 Г (H )

= У gk -1 (H Ж" - ЕК)+А (H).

По теореме о равномерной сходимости мартингалов (см. [11], лемма 2.1)

( 2/

< г» — (I) _____ < Г\

-DH ,S

sup

(01,02)eK

P(£— ,s< t) -Ф

1

<P

VH

+¿s/ \А( H

<■7H Sup lE (£gk-1(H)(ek - ЕК) I ^ +

7 H (01,02)eK l I k =2

+ sup P(Q—) <-(1 + S2)(1 -De[) + sup P(Q—).

(01,02)eK 7 (01,02)eK

Далее получаем оценку

Г (H )

P

1 Г (H) N

у gk-1—к < t !-ф(о

, 1 Г(н)

P| 7H У gk-1(H К < t |-P($H ,S< t)

P(£h,s <t) -Ф

( t N

De[

1

Ф

( t N

De[

-Ф(t)

1

<ffl(F, ;R,7) + P(|n— * l> 7) +

+P

( 2^ VH

где e" =enX{|enи^/},£П'=£пX{|e„|>vs}. Используя это разложение, получаем равенство

1 т(—)

~H У gk-1(H )ek = £— ,S +nH ,S ,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

+ sup

teR

Ф

( t N

De1

-Ф(t)

1

< ю

Ф

t

+3 p

De[

2^8 4—

\

,R, 7

V 4v--1 J (л /FN

+ sup

teR

Ф

+ P(| n— ,S |>7) + N

t

-Ф(t)

Здесь ю(.) - модуль непрерывности функции, который задается равенством

ю(/; Е,7) = sup |/(x’) - f( x")\.

x' ,x" eE, [x'-x" <7

Таким образом, получаем

( 1 Г (H) N

PI У gk-1(нК < t |-Ф(/) <

sup sup

(01,02)eK teR

где функция p(x)^0 при x^<». Для некоторого 7>0 оценим вероятность

sup P(|n—,s |>7) <

(01,02)eK

( 1 г (—) iN

< sup P \^=£ gk-1(H)(ek- EeD > - +

(01,02)eK ^H k =2 2 J

< ю (Ф(t); R, 7) + 3 sup

teR

Ф

( N

-Ф(t)

+3 p

( 2VZN чН

+ -(1 + S2)(1-De1) + sup P,(Q—).

7 0eK

Переходя к пределу при H^<», затем при 5-^0, и окончательно при Я^0, получаем утверждение теоремы 1. Теорема 1 доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. - М.: Мир, 1976. - 755 с.

2. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. - М.: Мир, 1974. - Вып. 1. - 406 с.

3. Корнфельд И.П., Штейнберг Ш.Е. Оценивание параметров линейных и нелинейных стохастических систем методом ос-редненных невязок // Автоматика и телемеханика. - 1986. -Т. 18. - № 1. - С. 1651-1672.

4. Фетисов В.Н. Аппроксимация случайного процесса процессом авторегрессии в задачах стохастического управления // Автоматика и телемеханика. - 1994. - Т. 22. - № 4. - С. 1917-1930.

5. Тырсин А.Н. Идентификация зависимостей на основе моделей авторегрессии // Автометрия. - 2005. - Т. 41. - № 1. -С. 43-49.

6. Pham D.T, Chan K.S., Tong H. Strong Consistency of the least squares estimator for a non-ergodic threshold autoregressive model // Statistica Sinica. - 1991. - V. 1. - P. 361-369.

7. Petruccelly J.D., Woolford S.W. A threshold AR(1) model // J. Appl. Prob. - 1984. - V. 21. - P. 270-286.

8. Борисов В.З., Конев В.В. О последовательном оценивании параметров дискретных процессов // Автоматика и телемеханика. - 1977. - Т. 5. - № 10. - С. 58-64.

9. Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., Flannery B.P. Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing. - 2nd edition. -Cambridge: Cambridge University Press, 1992. - 994 p.

10. Feigin P.D., Tweedie R.L. Random coefficient autoregressive processes: A Markov Chain analysis of stationary and finiteness of moments // Journal of Time Series Analysis. - 1985. - V. 6. - № 1. - P. 1-14.

11. Lai TL., Siegmund D. Fixed-Accuracy Estimation of an Autoregressive Parameter // The Annals of Statistics. - 1983. - V. 11. -№ 2. - P. 478-485.

Поступила 26.01.2009 г.

УДК 519.2

ЯДЕРНЫЕ ОЦЕНКИ БАЗОВЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ ПО ЗАВИСИМЫМ НАБЛЮДЕНИЯМ

А.В. Китаева*, Г.М. Кошкин

'Томский политехнический университет Томский государственный университет Отдел проблем информатизации ТНЦ СО РАН, г. Томск E-mail: kit1157@yandex.ru

Рассматриваются свойства оценок базовых функционалов, построенных по наблюдениям, удовлетворяющим условию сильного перемешивания. Показано, что порядок скорости сходимости в среднеквадратическом оптимальных ядерных оценок базовых функционалов для слабозависимых наблюдений такой же, как и для независимых. Определен также порядок скорости сходимости в среднеквадратическом четвертых моментов отклонений оценок базовых функционалов.

Ключевые слова:

Функционалы от плотности распределения, процессы сильного перемешивания, ядерное оценивание, сходимость в среднеквадратическом.

1. Постановка задачи

Отатья продолжает работу [1], где поставлена задача оценивания характеризационного функционала (1) [1], являющегося функцией от базовых функционалов, и предлагается оценка подстановки, элементами которой являются рекуррентные ядерные оценки базовых функционалов с векторным параметром размытости, построенные по независимым наблюдениям. Предположение о независимости наблюдений существенно сужает область приложения модели, поскольку в стохастических динамических системах выходные переменные являются, как правило, стохастически связанными. Как отмечено, к примеру в [2. C. 102], «...the assumption of independence is not acceptable in many economic and financial models...». Зависимость наблюдений сильно усложняет анализ свойств оценок, поэтому в данной работе мы отказались от рекуррентной структуры оценок с масштабированием по каждой компоненте, положив hjph„. Далее будут использоваться обозначения, введенные в [1].

Будем считать наблюдения Z,=(XhY,), 1=1,n строго стационарным эргодическим процессом, удовлетворяющим дополнительно условию сильного перемешивания (a-перемешиванию) с коэффициентом перемешивания

a(k) = sup sup \P(AB) - P(A) P(B)|,

t AeF1jtBeFt+k.n

где ст-алгебра Fab=o(Zha<,<b) порождена случайными величинами Za,...,Zb. Сильное перемешивание

(с. п.) означает, что а(к)^0 при к^<». Асимптотическая среднеквадратическая ошибка (СКО) оценки Надарая-Ватсона функции регрессии для с. п. наблюдений была найдена только в 1999 г. [3]. Заметим, что а-перемешивание относится к слабому типу зависимости наблюдений и следует из других обычно рассматриваемых типов перемешивания: в-перемешивания и р-перемешивания [4]. Условию с. п. удовлетворяет устойчивый процесс авторегрессии; оцениванию характеристик процессов такого типа посвящены, например, работы [5, 6].

В качестве непараметрических ядерных оценок базовых функционалов а(х)=ё°')(х) и их производных ё11)(х) (формулы (2), (3) в [1]) в точке хвозьмем статистики, аналогичные статистикам (6) в [1] при й;к=й„:

аП \ х) = -

1

nh:+r ,=i

Ё g (X )K

r = 0,1,

где последовательность чисел (h„)^0,

:

K(0 j )(м) = K (и) = П K (u, ),

K(1 j)(u) =

dK (и )

du..

= K (Ui)...K (Uj-i) K (1)(Uj ) K (Uj+i)...K (u: ),

(1) dK (U: )

K (1)(U,. ) =---------.

j dU..

,=1

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.