О скорости сходимости к пуассоновскому процессу Текст научной статьи по специальности «Математика»

О СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ К ПУАССОНОВСКОМУ ПРОЦЕССУ

B. А. Егоров

C.-Петербургский государственный электротехнический университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]

Введение. Пусть £ь£2,--- — последовательность независимых одинаково распределенных ^-мерных случайных векторов, принадлежащих области притяжения строго устойчивого закона с показателем а > 0, и пусть Ьп — соответствующая последовательность нормирующих постоянных. С помощью этих объектов определим последовательность биномиальных точечных процессов вп = 5^П=1 ^(&/ьп), где $х —дельта-мера, сосредоточенная в точке х.

Известно (см. [1], предложение 3.21), что

вп ^ п■} (1)

где п — пуассоновский точечный процесс с мерой интенсивности т, которую можно рассматривать (в многомерных сферических координатах) как меру, заданную на Бх с помощью равенства т = а х в. Здесь а — спекральная мера предельного устойчивого распределения, заданная на (й — 1)-мерной единичной сфере Я, в — мера, заданная на луче К+ = (0, то) формулой йв/йЛ = аг-1-а, где Л — одномерная мера Лебега. Слабая сходимость в (1) является обычной слабой сходимостью в пространстве точечных мер (см. [1], раздел 3.4).

Известно (см. [1], раздел 3.3), что точечный процесс п в (1) а) является простым точечным пуассоновским процессом, т. е. в нем с вероятностью единица отсутствуют кратные точки, Ь) имеет с вероятностью единица лишь конечное число точек своего носителя вне любого шара с центром в начале координат, с) с вероятностью единица полностью определяется своим носителем, ^ с вероятностью единица имеет наибольший по модулю элемент.

Векторы, соответствующие носителю этого процесса, можно занумеровать в порядке убывания их модулей. Обозначим эти векторы х1,х2,.... Отметим, что в силу непрерывности распределения с вероятностью единица модули этих векторов не совпадают. Положив х^,п = £г/Ьп, получим

п Ж

/Зп = ^2 $(хъ,п) ^ п = ^2 5(х'.). (2)

3=1 1=1

Из этого соотношения можно получать сходимость в предельных теоремах для сумм случайных величин. Действительно, при а € (0, 2) и только при таких а с вероятностью

ЕОО /

г=1 х'ъ сходится, откуда следует, что

п ГГ ж

$п ^ ^ £г/Ьп I й$п I йп ^ ^ хг.

1=1 ^ 3 1=1

© В.А.Егоров, 2011

Последнее равенство является известным представлением устойчивых случайных векторов в виде степенных рядов [2].

Оказывается [1, 2], что последовательность \х[\,г = 1, 2,..., распределена так же, как последовательность

(Г1)-1/аа(8)1/а, (3)

где

I

=^2И ^ = 1, 2^...^

3=1

а ^3,3 = 1, 2,..., последовательность независимых стандартных показательных случайных величин. Последовательность е^ = х[/\х[\, I = 1, 2,..., не зависит от последовательности х[,г = 1, 2,..., и распределена так же, как последовательность независимых одинаково распределенных случайных векторов на единичной сфере с распределением а(Л)/а(Б),Л € Я. Отсюда следует, что, не изменяя распределения последовательности, случайные векторы х[ можно заменить векторами е^(Г^)-1/аа(Я)1/а.

В [3] соотношение (1) было обобщено до слабой сходимости относительно метрики 1р. Эта метрика в данной работе определяется следующим образом. Пусть имеется два конечных или счетных множества векторов У и Z из с несовпадающими нормами, имеющих максимальные по норме элементы. Упорядочим векторы из этих множеств по убыванию их норм. Если полученная упорядоченная последовательность конечна, то продолжим ее нулевыми элементами. Обозначим эти векторы У' = {у1,у2,...} и Z' = {^1,^2,...} соответственно. Для р > 1 положим

р'(У^) =

для 0 < р < 1 положим

Ж

р'(У^)=^ У — *г\Р, (5)

1=1

случай р = 1 не рассматривается.

Для двух простых точечных процессов в и п с носителями У' и Z' положим

р(в,п) = Р(У ',Я). (6)

Эти соотношения определяют /^-метрики (см. [3], [4], стр. 39) и топологии, относительно которых определяется новая слабая сходимость точечных случайных процессов. Отметим, что в рассматриемых нами случаях с вероятностью единица нормы случайных векторов не совпадают. Слабая сходимость относительно так определенной топологии более сильная, чем классическая слабая сходимость точечных случайных

процессов. Отметим, что введенные здесь метрики р определяют как расстояние меж-

ду точечными процессами, так и расстояние между случайными множествами, которые являются носителями соответствующих точечных процессов.

Начиная с известных работ А. В. Скорохода [5, 6], при исследовании в области предельных теорем для случайных процессов стали эффективно применяться так называемые методы одного вероятностного пространства. Суть этих методов заключается в том, что на некотором вероятностном пространстве строятся случайные процессы, эквивалентные исследуемым допредельному и предельному процессам. Построение проводится таким образом, что с вероятностью единица расстояние в некоторой метрике

1/р

1=1

(4)

между построенными процессами стремится к нулю с некоторой заданной скоростью. Подобные построения позволяют получать, например, оценки скорости сходимости в обычном и усиленном законах больших чисел.

Все это наводит на мысль о построении на одном вероятностном пространстве биномиальных точечных процессов вп и предельного пуассоновского процесса п таким образом, чтобы разность между [Зп и п в метрике р или, что то же самое, разность между их носителями в метрике р' имела бы известный порядок убывания. В данной работе мы решаем эту задачу лишь для простого частного случая и намерены продолжить эти исследования в последующих работах.

Основные результаты. Пусть £,£1,£2,... — последовательность независимых сферически симметричных одинаково распределенных ^-мерных случайных векторов, принадлежащих области притяжения сферически симметричного устойчивого закона с показателем а € (0,1) и(1, 2). В этом случае

где М(х) —некоторая медленно меняющаяся функция при х ^ж.

В дальнейшем мы не будем интересоваться исключительно сходимостью к устойчивому распределению, но условие (7) будем предполагать выполненным для некоторого произвольного положительного а = 0, возможно, не принадлежащему интервалу (0, 2). Для простоты рассуждений здесь мы будем предполагать, что

где х ^ ж, Ь > 0 — постоянная. В этом случае легко показать, что Ьа = а(Б). Поэтому, согласно соотношению (3), последовательность \х[\,г = 1, 2,..., представима в виде

В случае сходимисти к устойчивому распределению это предположение соответствует принадлежности области нормального притяжения соответствующего устойчивого закона. Будем предполагать, что функция О — непрерывна. Пусть О-1 (у) — функция, обратная к функции О. Тогда из (7), (8) следуют соотношения

Здесь Ь > 0 — постоянная.

Теорема 1. Пусть а > 0,а = 1,р > а, £1,£2,... — последовательность независимых й-мерных сферически симметричных случайных векторов, удовлетворяющих условию (10). Пусть п и вп,п = 1, 2,..., — пуассоновский и биномиальные процессы, определяемые соотношением (2), р-метрика, определяемая в соотношениях (4), (5), (6),

Тогда на одном вероятностном пространстве можно построить точечные процессы п' и вп ,п = 1, 2,..., эквивалентные процессам п' и в'п ,п = 1, 2,..., соответственно, таким образом, чтобы при р > 1 с вероятностью единица

Р(|£| >х) = О(х) = х-аМ(х),

(7)

(8)

(Гг)-1/а Ь, І = 1, 2,....

(9)

С-1(у) = у-1/аЬ(у), Ь(у) ^ Ь (у ^ 0).

(10)

(11)

р(вп ,П) = 0(п1/р-1/а + п-1/2(ЫЫ п)1/2),

а при 0 < р < 1 (см. 5)

р(вп ) = 0((п1-р/а + п-р/2(\п\п п)р/2)).

Доказательство. Пусть , г = 1, 2,...,п, — случайные векторы = 1, 2,...,п, расположенные в порядке убывания их норм. По теореме Смирнова (теореме об интегральном представлении), учитывая соотношение (7), случайные величины \£г,п\,г = 1, 2,...,п, без изменения распределения последовательности можно заменить случайными величинами

и-/ациг,п), г = 1,2,...,п, (12)

где и^п, г = 1, 2,...,п, — упорядоченные по возрастанию независимые стандартные равномерные случайные величины П^,г = 1, 2,...,п. Используя известные представления равномерных порядковых статистик через показательное распределение, заменим (12) на последовательность

ІСІ

Гі

п+1

-1/а

ь

Гі

п+1

1, 2,...,п.

(13)

Положим \х[\ = ЬГ- 1/а, г = 1, 2,... Оценим расстояние между биномиальным и пуас-соновским процессами, порожденными последовательностями \£[ п\,г = 1, 2,...,п, и \х[\,г = 1, 2,..., соответственно.

Для г < п имеем

Леї |_/| | Ґі | _ тг—^!0 1 ' Г;

А*,п — \х[\ — „| = ЬГг /а - —

Ьп \Гп+1

-1/С

ь-

1/а

п+1

Г

Гі

п+1

-1/а

Г

п+1

1/а

Г

1/а

п+1

ь Гі

^ У

1/а

Г

Г п+1 -1/а

= ъ_±_и7и<* (х _ ҐГп±і') 7 т,п)

ь

ь

Ті

■ п+1

Таким образом, при р > а с вероятностью единица

р/а п

■ п+1

1

1

Ь(и)

р/а п

+ |=М 1ХГ/С

Г

п+1

і=1

■ п+1

1/а

ь

1

+

Ср{1 + 11) (14)

Здесь Ср — постоянная, зависящая только от р.

В дальнейшем соотношение А = О (В) означает выполнение неравенства \А\ < СВ для некоторой, возможно случайной, постоянной С.

Оценим I и II по-отдельности.

Если

Г1 \1 - Ь(и)/Ь\р

,,Р/с

-Ли < оо,

(15)

1

п

р

п

то по усиленному закону больших чисел с вероятностью единица

, = 111г = °<^^>- (16)

Учитывая закон повторного логарифма, получаем

п = о((1)р/«|(£^±1)1/«_1|РЕ»=1г7г^“ =

= 0(п-р/“-р/2(1п1пп)р/2Е”=1(г^г)_“ =

= 0((п-Р/2)(1п1пп)Р/2 Г-р/а)).

Поскольку последний ряд сходится с вероятностью единица, II = 0(п-р/2 (1п1п п)р/2)).

Таким образом,

П

53 IAi.nlр = о(п1-~ +п-р/2(\п\пп)р/2^ .

1=1

Для г > п положим Аг,п = ЬГ- 1/а. Тогда

оо оо / ж \

53 \А,п\Р = Ьр 53 Г-Р/а = О 53 п-р/а\ = 0(п1-р/а).

г=п+1 г=п+1 \г=п+1 /

Из последних двух соотношений следует равенство

о

531 А,,„г = 0{п1-~ +п-р/2(\п\пп)р/2). (17)

1=1

Определим последовательность независимых одинаково распределенных случайных векторов ег,г = 1,2,..., независимую от первоначальной последовательности величин = 1, 2,..., на основе которой построены последовательности Г, Аг,п и другие функции, определяющие случайные величины \х'г\, \£г,п\, г = 1, 2,...,п,п = 1, 2,... Пусть ег имеет равномерное распределение на (Л — 1)-мерной сфере, т. е. имеет такое же распределение, что и £г/\£г\,г = 1,2,... . Тогда последовательности п = ег(Гг/Гп+1)-1/а Ь(Г г /~Г п+1), г — 1, 2,... ,п,п — 1, 2,..., распределены так ^ке, как после довательности случайных векторов ^1,п, С2,п,..., Сп,п, п = 1, 2,..., а последовательность хХг = егЬГ- 1/а, г = 1, 2,..., определяет носитель точечного пуассоновского процесса с мерой интенсивности т. Последнее утверждение является прямым следствием следующего результата ([1], предложение 3.8), которое мы приводим в упрощенной формулировке.

Лемма 1 [1]. Пусть Ег,1 = 1, 2, —два локально компактных пространства со счетной базой, Хг,г = 1, 2,..., — Е1 -значные случа,йные векторы, N = ^ г §х€ — точечный пуассоновский процесс с плотностью меры интенсивности ц, Уг,г = 1, 2,..., — последовательность неза,висимых Е2 -значных случайных векторов, независимая от последовательности Хг,г = 1, 2,..., с плотностью ра^спределения V.

Тогда N* = ^г ^(х^,У^ является пуа,ссоновским точечным процессом, заданным на Е1 х Е2, с плотностью меры интенсивности ц х V.

Приведенная лемма и соотношение (17) доказывают теорему, поскольку \^п — х'г \ = \Аг,п\. ’

Следствие 1. Пусть выполнены условия теоремы 1 и а € (0, 2). Тогда на одном вероятностном пространстве можно определить последовательность независимых случайных векторов С1, С2,..., эквивалентную последовательности С1,С2,..., и устойчивый случайный вектор п с показателем а и с равномерной спектральной мерой таким образом, чтобы при пп = 1/Ъп^п=1 Сг с вероятностью единица выполнялось соотношение

Доказательство следствия основано на известном результате Марцинкевича [7] (лемма 2) и аналогичном ему результате (лемма 3).

Лемма 2. Пусть Хі, X2, ..., Хп — последовательность независимых симметричных случайных величин, Бп = ^2П=і Хі,Тп = ^П=і |Х®|2.

Тогда с вероятностью единица

Ііт яир Б2 < 2Тп 1п 1п Тп.

Лемма 3. Пусть Хі, Х2, ..., Хп, ... — последовательность независимых симметрич-

Доказательство леммы 3 в значительной степени повторяет доказательство Марцинкевича леммы 2, поэтому оно приводится в кратком изложении.

Сначала оцениваются производящие функции:

Поскольку Тп { 0, то для любого 1 > 6 > 0 можно построить последовательность натуральных чисел пк такую, что справедливы неравенства Тпк > (1 — 6)к, Тпк+\ <

Используя соотношение (20) и максимальное неравенство (см. [8], с. 77), получим для достаточно малых е > 0 и 6 = 6(е) > 0

ІПп — ПІ = 0(п1/2 1/а + п 1/2(1п1п п)1/2)(\п\п п)1/2.

(18)

Тогда с вероятностью единица

Ііт яир Б2 < 2Тп 1п 1п Тп.

Из этих неравенств вытекает оценка

Для произвольного є > 0 определим х = (1 + є)у/2Тп 1п 1пТ„. Тогда получим

Р(Бп > (1 + б)л/2Тп1п1пТп) < (1пТ„)(1+<

(19)

(1 — 6)к. Тогда для любого к и для дюбого п Є (пк,пк+і] выполняются неравенства

(1 — 6)к+1 < Тп < (1 — 6)к.

(20)

Из соотношения (19) получаем, что правая часть неравенств (21) имеет порядок 0(к-(1+е)). Поэтому лемма 3 вытекает из соотношения (21) и леммы Бореля—Кан-телли.

Доказательство следствия 1. Из теоремы о трех рядах следует, что для а € (0, 2) ряд у:е^ЬГ- 1/а сходится с вероятностью единица. Сумма этого ряда является предельным устойчивым вектором п. Таким образом, для доказательства следствия 1 достаточно оценить выражение \ 2е-А-п\. Имеем

ЕєіА

І = 1

<

ь

г

1/а

п+1

Е“и.

І = 1

-1/а

1 -

ВД)

ь

+

+

(1 - (Гп+1 /п)1/а)

г

1/а

п+1

У^іПі

-1/а

ь

+

Е

І=п+1

1/а

. (22)

Рассмотрим сначала случай Л = 1. Положим в лемме 2 Х- = еИ- 1/а(1 — Ь(и-)/Ь), г = 1, 2,... . Это последовательность независимых симметричных случайных величин. Для всех этих величин при некоторой положительной постоянной С выполняется неравенство Р(1X^1 > гк) < С/гак. Поэтому при ак > 1 по лемме Бореля—Кантелли с вероятностью единица Х! = 0(г2к). Из этих соотношений вытекают равенства Тп = 0(и'2к+1), 1п1пТп = 0(1п1пп). Таким образом, применяя лемму 2, оценим первую сумму в (22) выражением

УІП 1ш

ь

1/а

г

Еи

-2/с

1

ад)

ь

1/2

(23)

п+1 \І=1

Точно таким же образом оценим вторую сумму в (22) выражением

/а 1/2 миітіТи-у^ш)

(24)

і=п+1

от:

1/а

. В силу леммы 3 симметрии слагаемых и рассуждений,

используемых при выводе оценок первых двух слагаемых выражения (22), получим

Е оіТ

І=п+1

-1/а

О ^л/іп ІІ1 п ^ ^ ГГ2/“^ ^ = о (уіпіп пп1/2~1/а) . (25)

2

Отметим, что выражения (23),(24) без множителя \/\п 1пп с точностью до постоянного множителя совпадают с первыми двумя слагаемыми правой части (14) при р = 2. Используя для их оценки соответствующие оценки из доказательства теоремы 1, получим следствие 1 для Л = 1.

При Л > 1 следствие 1 можно доказать точно так же. Для этого следует учесть, что, применив леммы 2 и 3 по-координатно, легко получить, что в условиях этих лемм с вероятностью единица |5П|2 = 0(Тп 1п1пТп). Отметим, что Тп в этих леммах определяется по-разному.

Выражаю признательность В. В. Петрову за постоянную поддержку моих исследований в области слабых и сильных предельных теорем теории вероятностей и Ю. А. Давыдову за полезные обсуждения тематики этой статьи.

Литература

1. Resnick S. I. Extreme values, regular variation, and point processes. Springer-Verlag, 1987. 320 p.

2. Samorodinsky G., Taqqu M. S. Stable non-gaussian random processes. Chapman&Hall, New York, London, 1994. 632 p.

3. Davydov Y., Egorov V. On convergence of empirical point processes // Statistics&Probability Letters, 2006. Vol. 76. P. 1836-1844.

4. Зигмунд А. Тригонометрические ряды, I. М.: Мир, 1965. 615 с.

5. Скороход А. В. Предельные теоремы для случайных процессов // Теория вероятн. и ее применен. 1956. Т. 1. P. 289-319.

6. Скороход А. В. Исследования по теории случайных процессов. Киев: Изд. Киев. ун-та, 1961. 212 c.

7. Zygmund A. Jozef Marcinkiewicz. Collected papers. Warshawa: Panstwowe wydawnictwo naukowe, 1964. 351 c.

8. Петров В. В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. М.: Наука, 1987. 317 c.

Статья поступила в редакцию 21 декабря 2010 г.