О ТРИ-ТКАНЯХ $W(1,n,1)$ С НУЛЕВЫМ ПЕРВЫМ СТРУКТУРНЫМ ТЕНЗОРОМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

IZVESTIA

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO

PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA

IMENI V.G. BELINSKOGO

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011

ИМ. В. Г. БЕЛИНСКОГО

ПГПУ

PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES

№26 2011

УДК: 514.763.7

2Тверской Государственный Университет, кафедра функционального анализа и геометрии e-mail: amshelekhov@rambler.ru

2

Дуюнова А. А., Ш^елехов А. М. — О три-тканях W(l,n, 1) с нулевым первым структурным тензором // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 82—88. — Рассматривается неголономная криволинейная три-ткань NW, связанная с заданной тканью W(1,n, 1), для которой первый структурный тензор ткани W(1,n, 1) является тензором неголономности. Показано, что в случае голономности соответствующая система ОДУ приводится к специальному виду, а многообразие ткани расслаивается двумерные ткани W. Выделен подслучай, когда, ткани W являются а) регулярными и б) регулярными и существует преобразование, которое одновременно уравнения всех тканей W приводит к каноническому виду.

Ключевые слова: неголономная криволинейная три-ткань, система обыкновенных дифференциальных уравнений

Duyunova A. A., Shelekhov A. M. — Three-webs W(1, N, 1) with The Zero First Structure Tensor // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 82—88. — We consider a nonholonomic сurvilinear three-web NW formed by the web W(1,n, 1), for which the first structure tensor of the three-web W(1, n, 1) is the nonholonomic tensor. It is showed, that in a case holonomic the corresponding ODE system is brought to a special type, and the manifold of the web to be fibred into two-dimensional three-webs W. We consider the case, when webs W are a) regular or b) regular and there exists a transformation by which simultaneously the equations of all webs W were brought to the canonical form.

Keywords: nonholonomic сurvilinear three-web, system of ordinary differential equations

Введение. Настоящая работа является продолжением статьи [1], в которой установлено соответствие между системами ОДУ и три-тканями W(1,n, 1), образованными слоениями размерности 1,n, 1 на многообразии размерности n + 1. В [1] найдены структурные уравнения ткани W (1,n, 1) и ее основные тензоры; компоненты основных тензоров и дифференциальные формы, входящие в структурные уравнения, выражены через функции, определяющие систему ОДУ; выяснен геометрический смысл обращения в нуль первого структурного тензора (см. ниже теорему 1).

В настоящей статье рассматривается неголономная криволинейная три-ткань ЖТУ, связанная с заданной тканью Ш(1,п, 1), и показывается, что первый структурный тензор ткани Ш(1,п, 1) является тензором неголономности ткани ЖШ. Показано, что в случае голономности соответствующая система ОДУ (она названа почти автономной) приводится к специальному виду. В этом случае неголономная ткань ЖШ расслаивается на обычные (голономные) криволинейные ткани, вообще говоря, нерегулярные. Описана система ОДУ в случае их регулярности.

1. Пусть М — гладкое многообразие размерности п + 1. Рассмотрим на нем три-ткань Ш (1,п, 1), заданную двумя семействами кривых Аі, Аз и одним семейством гиперповерхностей А2. Следуя [1], обозначим Тр(М) касательное пространство к многообразию М в точке р, а Тр(^а), а = 1, 2, 3, — касательные

пространства к слоям ткани Ш в этой точке. Рассмотрим в точке р многообразие реперов {е^, еп+і},

і, ^’,... = 1, 2,..., п, первые п векторов которых лежат в Тр(^2), вектор еп+і в Тр(^і), а вектор еп — еп+і в Тр(^З). В [1] было показано, что в описанном репере семейства Аа ткани Ш(1, п, 1) задаются следующими уравнениями Пфаффа:

Аі : ш“ = 0, = 0,

А2 : ш"+і = 0,

А3 : ш“ = 0, + ш"+і = 0,

где {шг,ш”+і} — двойственный корепер, а м,«,... = 1, 2,. .., п — 1. Введенные формы удовлетворяют следующим структурным уравнениям:

¿ш“ = ш" Л ш“ + м“ш" л ш”+і,

¿ш” = ш“ Л ш” + ш” Л ш”, (1)

¿ш"+і = ши+і Л ш”,

причем величины м“ образуют тензор, названный первым структурным тензором ткани Ш (1,п, 1). Первое дифференциальное продолжение этих уравнений имеет вид:

¿ш“ = ш" Л ш““ + м“ш” л ш”+і + к“ш” л ш”+і — ш" л ш“ш,

V ' ' " 1 г" '■"V ' ' 1 ' ' ' ' ""5

¿ш2 = ш“ Л ш” + ш” Л ш” + ^«ш” Л ш”+і — ш" Л ш“у, (2)

.,“, ,”+1 л , .V • ' “ * ” + 1 . і ” » ” + 1 ^ '

” М ш Л ш“

¿ш” = м^^1 Л ш” + і„ш“ Л ш”+і + ^ш” Л ш”+і, ¿М“ = —М" ш“ + 2м“ш” + к“ш" + ^ш” + к“-^1,

причем формы и симметричны по нижним индексам. Второе дифференциальное продолжение уравнений (1) приводит к уравнениям

¿ш“" + ш“Л ч™ — шЛ ш“ш — ш" Л ш“ — м“ш™ Л ш”+і =

= —к"ш” Л ш”+і — к“ш” Л ш”+і — ^ш” Л ш”+і + ш“шв Л ш8,

¿ш”у — ш“У Л ш” — ш" Л ш2у — ш”у Л ш” + ш“" Л ш" =

= — ¿Vш” Л ш”+і — і„ш” Л ш”+і — Ш„Уш” Л ш”+і + ш”„ш Л ши

— ¿V ш" — ¿„ш” — ^ш” + к" ш” = Ш„У шУ + ш^ш” +

+ ШИv+lШV+1 + м" ш”“,

— 2^” + к”ш“' = ш^ш“ + ш^ш” + Шvv+lШV+1,

гИ>“ _|_ »“ ¿*“, і” ОЪ“г і” _ /і“ , і /і“ , і

“к" + к" Ш" — к"ш" — к”ш" — 2к" ш” = ш + Л™ш +

І /,“ ,”+1 І ,“

+ hVV+1Ш + М шш",

к“ + к"ш“ _ 3к“ш” = Ь“ ш" + Ь“ ш” + Ь“ ,ш”+1

(3)

¿к“ + к” ш“ — 3kVшV = Ь^ш" + hVvШV + ^іш” ¿к“+і + к”+1Ш“ — 3к“+і ш” = 3М“М" ш” +

+ (^“”+1 — 2м“¿0 ш" + (^””+1 — 2м“^^ ш” + Ь”+1 ”+1 причем выполняются соотношения:

Ь“ — Ь“ ш — ш

V" — — n^JV

ш” = ш”

ш“ = ш“

Величины {к^}, {¿и, ки}, {^“,к”+1}, {^“,ки,ки}, {^“, ¿„, ¿и, к^, к”} являются геометрическими объектами, более того {ки}, {¿и, ки} являются относительными тензорами. Последний из них является вторым структурным тензором С-структуры, определяемой три-тканью Ш(1, п, 1) [2], и называется вторым структурным тензором этой ткани.

В [1] также показано, что уравнения (1) и (2) определяют на многообразии М аффинную связность без кручения в том и только том случае, если формы ш”, ш” и являются главными, то есть выражаются через базисные формы ш“, ш” и ш”+1. Формы связности в этом случае имеют вид:

/ “ и" м“и”+1 0

в“ = (и^и^и^1), в“ = ” и“ ” и” 0

\ 0 0 ”” и

Согласно [1], всякая система ОДУ однозначно определяет некоторую три-ткань Ш(1,п, 1). Компоненты тензоров соответствующей ткани выражаются через функции, определяющие эту систему. К системе ОДУ естественным образом присоединяется аффинная связность без кручения, которая названа канонической связностью системы. В частности, доказана

Теорема 1. Условие = 0 необходимо и достаточно для того, чтобы многообразие М ткани Ш(1, п, 1) расслаивалось на двумерные подмногообразия, несущее слои первого и третьего слоений этой ткани. Поверхности V являются многообразиями абсолютного параллелизма относительно канонической связности тогда и только тогда, когда выполняется еще и условие и” = 0. В последнем случае (и только в этом) соответствующая, система ОДУ является автономной.

2. Согласно п. 1, через точку р многообразия М, несущего три-ткань Ш(1, п, 1), проходят две линии ткани її и 1з из семейств Аі и Аз соответственно. Касательные векторы к її и їз (е„+і и е„ — е„+і) определяют двумерное подпространство Тр(М) в Тр(М), которое пересекает касательное пространство Тр(^2) ко второму слою ткани, проходящему через точку р, по одномерному векторному подпространству, определяемому вектором еп. Обозначим А2 семейство интегральных кривых, определяемых векторным полем еп. Пусть І2 — интегральная кривая этого семейства, проходящая через точку р многообразия М. Три семейства кривых Аі, А2 и А3 образуют неголономную три-ткань в смысле определения из [3], обозначим ее ЖШ.

Распределение двумерных подпространств (М) задается формами и“ (если £ Є Т^(М), то и“(£) =

0). Как видно из первого уравнения (1), система форм и“ не является вполне интегрируемой и будет

таковой тогда и только тогда, когда

М“ = 0. (4)

Следовательно первый структурный тензор три-ткани Ш (1,п, 1) является тензором неголономности ткани ЖШ.

3. Рассмотрим три-ткань Ш(1,п, 1) для которой выполняется условие (4). Уравнения (1) в этом случае примут вид:

¿и“ = и" Л и“,

¿и” = и“ Л и” + и” Л и”, (5)

¿и”+1 = и”+1 Л и”

а уравнения (2) перейдут в следующие:

¿и“ = и" Л и“,

¿и” = и“ Л и” + и” Л и” + ¿„и” Л и”+1 — и" Л и”", (6)

¿и” = ¿„и“ Л и”+1 + и” Л и”+1,

Ш

причем к“ = к“ = ки+1 = 0. Из уравнений (3) в этом случае получим:

^“ш + и“ Л и"ш — и" Л и“ш — иШ Л и“ = и“ш8 Л ^ _ иШ Л и” — иШ Л и” — и” Л и” + и” Л иШ

“V “V ' Ш “ Л ' Ш" “V Л ' ” 1 “Ш Л ' V

= -¿Vш” Л ш”+1 - ¿иш” Л ш”+1 - ш” Л ш”+1 + ш”„ш А шШ, (7)

- ¿Vш“ - ¿иш” - ¿„ш” = шищш" + шипш" + ти„+1ш"+1,

- 2£пш” = типш“ + тппш” + тпп+1ш"+1,

причем Л“ш = Л“” = Л“”+1 = = ^””+1 = Л”+1 ”+1 = 0. Из (7) видно, что величина {¿п} является

относительным инвариантом, а совокупность величин {¿и,^п} образует тензор.

В силу (4) система форм ш“ = 0 вполне интегрируема, так что многообразие М расслаивается на то”-1 двумерных подмногообразий V, на которых линии семейств А1, А2 и А3 образуют обычную (голономную) криволинейную три-ткань, обозначим ее Ш. Структурные уравнения ткани Ш получим из уравнений (5) при условии ш“ = 0:

¿ш” = ш” Л ш”,

¿ш”+1 = ш”+1Л ш”, ()

а из (6) получим

¿и” = ¿„и” Л и”+1. (9)

Сравнивая (8) и (9) со структурными уравнениями произвольной ткани [4], мы видим, что форма ш” есть форма кривизны три-ткани Ш и соответствующей ей канонической связности Черна, а — кривизна этой ткани (а также ее связности Черна).

Из уравнений (7) при условии ш“ = 0 находим, что

2^”ш” т””ш + т””+1ш ,

то есть величины т.”” и т”В+1 являются ковариантными производными кривизны относительно связности Черна. Таким образом, доказана

Теорема 2. Первый структурный тензор три-ткани Ш(1,п, 1) является тензором неголономности неголономной криволинейной ткани ЖШ, связанной с тканью Ш(1,п, 1). Три-ткань является го-

лономной тогда и только тогда, когда ^“ = 0. В последнем случае многообразие М расслаивается на то”-1 криволинейных тканей Ш, для которых величина , входящая в структурные уравнения (2), является кривизной, а Ш”” и т””+1 — ее ковариантными производными.

4. Выясним теперь, что означает обращение в нуль первого структурного тензора для соответствующей системы ОДУ. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

— = /* (¿,Х) (г,.?,... = 1, 2,..., п). (10)

С ней связана три-ткань Ш(1, п, 1), слоями которой являются линии ж* = сопв£, £ = еопв£ и интегральные кривые системы (10). Согласно [1], величины ^“ ткани Ш(1,п, 1) следующим образом выражаются через функции /*:

,“ = * “ * ” дії М * ді * ді ,

то есть условие (4) запишется в виде:

д 1п / ” д 1п / “

д£ д£

Такие системы будем называть почти автономными. Интегрируя уравнение ^“ = 0, получим

/ “(¿,ж* ) = / "(¿,Х )3“(жк),

то есть почти автономная система имеет вид:

-ж“

— =/" (t^gV ),

-ж"

ИГ =/” ^ж^

Последняя система эквивалентна следующей

dx“

dX- =•*<*>•

dx-

^ =™х‘>.

Напомним, что три-ткань W(1,n, 1) рассматривается с точностью до замены переменных — параметров на базах слоений ткани. Поэтому допустимы замены вида х* = X*(xj ) где X*(xj ) — локальные диффеоморфизмы. Как видно из последней системы, допустимой заменой переменных x“ = X“ (xj ) ее можно привести к виду:

dX“ =0,

dx- (11)

— =f-(t, X“, X-).

Уравнения X“ = c“ = const расслаивают многообразие ткани на то--1 двумерное подмногообразие, каждое из которых несет три-ткань W, образованную координатными линиями t = const, x- = const и интегральными кривыми последнего уравнения системы (11) ("наклонные" линии). При этом ткань W зависит от параметров c“, так что обозначим ее W(c“).

Таким образом получается

Теорема 3. Почти автономная система ОДУ, определяемая условием ^“ = 0, локально эквивалентна системе вида (11), в которой только одно уравнение содержит переменную t. При этом многообразие соответствующей три-ткани W(1,n, 1) локально эквивалентно прямому произведению R--1 x R2, двумерные слои которого несут криволинейные ткани W(c“), c“ G R--1, каждая из которых образована координатными линиями t = const, x- = const и интегральными кривыми полуавтономной системы

ОДУ.

5. Пусть ткани W(c“), рассмотренные в предыдущем пункте, являются регулярными. Тогда их кривизна равна нулю и в силу теоремы 2 получаем t- =0. В этом случае уравнения (5) не изменятся, а уравнения (6) примут вид:

dw“ = wW Л Л ,

-w" = w“ Л w" + w" Л w" + t“W" Л w"+1 - wv Л w"v, (І2)

-w" = t,,w“ Л w”+1.

Уравнения (Т) при условии t" = О примут вид:

-W“w + W“ Л Wvw - wv Л W“w - Ww Л W“ = W“ws Л ^

-W“v - W“v Л Ww - Ww Л Wwv - W“v Л W" + W“w Л Ww =

= -tv W" Л w"+1 - t“w” Л w"+1 - m“v w" Л w"+1 + wjvw Л ww

-t“ tvW“ t“W” m“vW + m“n+lW + ,

(ІЗ)

где т“И = Шпп = Шпп+і = 0. Из (13) видно, что величины {¿“} образуют тензор.

Рассмотрим соответствующую систему ОДУ. Согласно [1], величины вычисляются по формуле:

t =± (д!1 / + /дЛ_ “ д2/М д2/n

"-

/" у дж" 9t дж“ 9t дж“д^ дж"^

С учетом п. 4 условие =0 принимает вид

1 д/” д/” д2/”

или

/” дж” ді дж” ді

д / 1 д/

Интегрируя, получим

так что система (11) примет вид:

ді У/” дж” ‘

/ ” = в(ж“,ж”)7(і,ж“),

¿Ж“ =0,

¿ж” (14)

— =в(Ж“,ж”)7(і,Ж“).

Интегрируя, придем к уравнениям Ж“ = с“, А(Ж“,ж”) + В(Ж“,і) = с”. Последнее уравнение является уравнением криволинейной три-ткани Ш(с“) на двумерном слое Ж“ = с“. Допустимой заменой А(Ж“,ж”) = Ж” последнее уравнение сведется к более простому: Ж” + В (Ж“, і) = с”. Второе слагаемое при фиксированных Ж“ зависит только от і. Это соответствует тому известному факту, что уравнение любой регулярной ткани путем допустимой замены переменных можно привести в каноническому виду г = ж + у. Но поскольку функции Ж” + В(Ж“,і) = с” зависят от переменных Ж“, то уравнение ткани Ш(с“) нельзя привести к каноническому виду одновременно на всем многообразии М, а можно только в каждом слое Ж“ = с“ по-своему.

Если теперь вернуться к старым переменным ж“, то получится

Теорема 4. Почти автономные системы ОДУ, для которых относительный инвариант обращается в нуль, имеет первые интегралы вида Ж“(жг) = с“, А(Ж“(ж®), ж”) + В(Ж“(жг), і) = с”. При этом на каждом двумерном слое Ж“ = с“ соответствующая криволинейная три-ткань Ш(с“), образованная интегральными кривыми такой системы ОДУ, будет регулярной. Преобразование уравнения регулярной ткани Ш(с“) к каноническому виду зависит, вообще говоря, от слоя, несущего эту ткань.

6. Рассмотрим почти автономные системы ОДУ, для которых = 0 и такие, что уравнение регулярной ткани Ш(с“) приводится к каноническому виду одновременно на всем многообразии ткани Ш(1, п, 1). Для этого необходимо и достаточно, чтобы функции 7(і, Ж“) (см. (14)) не зависели от переменных Ж“. В этом случае по формуле (59) из [1]

” = 1 д/” Л и” = /” ~дГ ^

получаем, что форма и” зависит только от і, поэтому ¿и” = 0. Обратно, если ¿и” = 0, то форма и” зависит только от і. Из последней формулы (12) следует, что условие ¿и” = 0 эквивалентно условию і“ = 0. Таким образом, верна

Теорема 5. Пусть Б — почти автономная система ОДУ, для которой относительный инвариант

і” обращается в нуль, и Ш(с“) — соответствующая ей двумерная регулярная три-ткань. Следующие условия эквивалентны: а) тензор {і“} обращается в нуль; б) ¿и” = 0; в) уравнения тканей Ш(с“) приводятся к каноническому виду одновременно на всем многообразии М; г) существует допустимое преобразование, при котором система Б приводится к автономному виду.

Действительно, если 7(і, Ж“) зависит только от і и только в этом случае существует замена 7(£)Л = Л, в результате которой переменная і исчезает из правой части последнего уравнения системы Б. После этого преобразования форма и”” обращается в нуль и мы приходим к результату теоремы 1.

0

Замечание. Назовем ткани Ш(1, п, 1), для которых выполняются условия ^“ =0, ^“ = 0 и = 0, ^“ =0, =0 и ¿“ = 0 соответственно голономными, полурегулярными и регулярными. Тогда полу-

ченные результаты можно сформулировать так: тканям этого типа отвечают системы ОДУ почти автономные; почти автономные с регулярными двумерными тканями Ш(с“); системы, приводящиеся к автономным допустимыми преобразованиями.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Дуюнова А. А. Три-ткани, определяемые системой обыкновенных дифференциальных уравнений// Фундаментальная и прикладная математика. 2010. Т. 16. № 2. С. 13-31.

2. Акивис М. А., Гольдберг В. В. О многомерных три-тканях, образованных поверхностями разных размерностей// Тр. геометр. сем. (ВИНИТИ АН СССР) № 4. С. 179-204.

3. Верба Е.И. Неголономные три-ткани// Сборник трудов Геометрия погруженных многообразий. М.: МГПИ, 1978. С. 18-25.

4. Акивис М. А., Шелехов А. М. Многомерные три-ткани и их приложения. Тверь.: ТвГУ, 2010. 308 с.