CC BY
26
ИЗВЕСТИЯ
IZVESTIA
ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО
PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO
PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA
IMENI V.G. BELINSKOGO
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011
ИМ. В. Г. БЕЛИНСКОГО
ПГПУ
PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES
№26 2011
УДК: 514.16.8
О ТКАНЯХ БОЛА С ПОЧТИ НУЛЕВЫМ ТЕНЗОРОМ КРИВИЗНЫ
© М.В. АНТИПОВА Московский Педагогический Государственный Университет e-mail: khnmar@rambler.ru
Антипова М. В. — О тканях Бола с почти нулевым тензором кривизны // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 28—34. — Рассматривается многомерная средняя ткань Бола BmW с некоторым условием на тензор кривизны. Найдены структурные уравнения ткани BmW, рассмотрены некоторые подклассы, выделяемые естественными условиями на тензор кручения.
Ключевые слова: многомерная три-ткань Бола, тензоры кручения и кривизны, фактор-ткань
Antipova M. V. — About three-webs of Bol with almost null curvature tensor // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 28—34. — We consider multidimensional 3-Bol webs BmW with some curvature tensor construction. The structure equations of a web BmW are found and some subclasses of them are distinguiched.
Keywords: multidimensional Bol 3-web, torsion and curvature tensors, factor-web
В работе [3] была исследована шестимерная средняя ткань Бола (обозначим ее здесь B^), у которой отлична от нуля единственная существенная компонента тензора кривизны: Ь^з = b = const, найдены структурные уравнения этой ткани, затем ее конечные уравнения: :
Показано, что эта ткань является тканью Бола Вт, найденной ранее в [2]. В настоящей работе рассматриваются средние ткани Бола (обозначим их ВтШ) с таким же условием на тензор кривизны, но уже на многообразии размерности 2г . Рассмотрены некоторые подклассы тканей ВтШ и доказана
Теорема 1. Отруктурные уравнения ткани Бола BmW могут быть приведены к следующему виду:
dw1 = w2 A w° + 2a^ w1 A w2 + 2а2э^2 A w3 + 2a^w2 A wU + 2a3u^3 A wU + aUvwU A wv,
dw2 = 0, dw3 = 0,
l l
dwu = 2aU2w2 A w2 + 2aUvw2 A wv + 2aUvw3 A wV + 2aU3w2 A w3 + aUwwV A wW,
dw ^ w A wo — 2a-|2w A w — 2a23w A w — 2aoUw A w — 2aoUw A w — aUVw A w , (1)
2 2 2 22 2 2 23 2 2 2 2 2 2 2 2 ^ '
dw2 = 0, dw3 = 0,
22
dwU = - 2aU2w2 A w2 - 2aU,,w2 A wv - 2aU,,w3 A wv - 2aU3w2 A w3 - a“,wv A ww,
2 22 2 2 2 2 2 2 23 2 2 2 2
dwi = -(w2 A w3 — w3 A w2), da°o = -(w2 — w2),
2 1 2 1 ^ 23 2 1 2
г^е все величины а*й, кроме а\з, постоянны.
1. Структурные уравнения произвольной многомерной три-ткани на гладком многообразии М размерности 2г могут быть записаны в следующем виде [1]:
d(г = А (* + а!-к А (к,
1 1 ■ 7к 1 1
d(г = А (* — а*к А (к, (2)
2 2 ■ -/к 2 2
А (к + 6*йг (к А (^
здесь и далее *,^’, к = 1,2,3 ...г. Ковариантные производные тензоров кручения а*к и кривизны 6*^ определяются равенствами:
^а}к = —6ук]г ((1 — (О, (3)
V6jkг = ¿дат (т + ¿дат (т . (4)
Кроме того, эти тензоры удовлетворяют обобщенному тождеству Якоби:
6Ь'к£] = 2а[7к а|т|£], (5)
и выполняются соотношения
= 6* ар = — 6* ар = й*
1р'[к|£|т] 6jp¿аkm, !р'к[^т] ^кр^т^ 1ук]т£ 2Ь'К|к]т В7'к1т,
где обозначено В‘кгт = ар76р1т — арк6ргт + арк^
Класс средних тканей Бола (или тканей Вт) характеризуется следующим условием на тензор кривизны [1]:
6}(к0 = °.
Известно [1], что тензоры кручения и кривизны ткани Вт связаны соотношениями
6* ар — 6* ар = ар 6* — а* 6Р — а* 6Р (6)
67рк а1т 6кр7 а1т а^к 6р1т арк671т ajp6kгm, \ /
= 6* ар — 6* ар — 6* ар = (7)
рк1т !р'к1т 67ртак1 67рка1т 67р1атк — с7к1т.
На ткани Бола величины Д!да = 4 (6}кг — 2ат^-ат) образуют тензор кривизны Д связности без кручения 7 на базе третьего слоения и удовлетворяют тождествам Риччи Дуда] = ° и тождествам Бианки:
_____ pi DS _i_ DS pi _i_ ps pi _i_ ps pi _ A
2. Рассмотрим многомерную среднюю ткань Бола Вт Ш, у которой отлична от нуля единственная существенная компонента тензора кривизны
6223 = Ь = еопві.
(8)
Подставив (8) в соотношения (6), найдем
2 «1к = 0, «І3 = 0, 3 «13 = « 21 « 0, II = 0, « ьо ьо «
2 «3« = 0, £ 2« « = 0, 3 «1 « = « 13 « 0, II = 0, «« «1«
(9)
Далее находим внешние дифференциалы форм , подставив в (2) единственную ненулевую компоненту тензора кривизны. Если в (2) г = 1, ] = 2, то получаем
= 0.
(10)
Как видно из (10), система уравнений
(11)
вполне интегрируема (по теореме Фробениуса). Если г = 1, ] = 2, то получаем
= Ь(^2 Л ^3 — ^3 Л ^2).
2 4 1 2 1 2 '
Каждое из интегральных подмногообразий системы (11) является подрасслоением расслоения адаптированных реперов ткани ВтШ с базисными формами ^г, ^г, <^2, пусть Д1 одно из них. В дальнейшем будем рассматривать это интегральное подмногообразие, т.е. считать, что уравнения (11) выполняются.
Подставляя найденные значения из (9) и (11) в (3), найдем значения ковариантных производных компонент тензора кручения. Окажется, что все компоненты тензора кручения, кроме а^ = — а^, постоянны, а ненулевая компонента а2з удовлетворяют уравнению:
йа2з + «1з^2 = 2 (^2 — ^2). (12)
Продифференцировав внешним образом (12) с помощью структурных уравнений (1), придем к соотношению
а23(^2 Л ^3 — ^3 Л ^2) = а2„(^2 Л — ^2 Л ^“).
23 4 1 2 1 2 2 1 1 2 2
Отсюда в силу независимости базисных форм и с учетом (10)получим:
«1« = °.
(13)
Далее непосредственно находим, что в силу особого строения тензора кривизны при любых значениях индексов выполняются соотношения VЬjfcг = 0, поэтому из (4) в силу независимости базисных форм следует с*д,гт = 0. С учетом равенств (13) соотношения (7) дадут:
-2Ьа12 = 0, -2Ьа33 = 0, 2Ьа23 = 0, -2Ьа«2 = 0, -Ьа«^ = 0,
2Ьа:
«3
0, ЬаЧш = 0, —Ь«3« = 0 Ьа1« = 0, Ь(а2« + а«3) =0.
Так как Ь = 0, то из последних равенств получим:
23
0 «1« = ^ ««3 = 0, ««^
0, «2
■*3«,
«22 = 0 «23 = 0, ««V = 0, «3« = 0 ««2 = 0.
1
«
«
2
3
«
Объединив последние соотношения с (9) и (13), получим окончательный вид компонент тензора кручения в рассматриваемом репере:
«13 = 0, «1« =0, «2 =0, «3- =°> ««3 = 0, «3« = 0. (14)
В результате структурные уравнения (2) рассматриваемой ткани примут вид (1), и теорема 1 до-
казана.
В силу особого строения тензора кривизны для рассматриваемой ткани имеем = 0, так что обобщенное тождество Якоби переходит в тождество Якоби «mfc«*m|£] = 0 для тензора кручения. Записывая последние соотношения при различных значениях индексов, с учетом (14) получим:
«12««3 = 0 ««2 «uv = 0 «3v «12 + «23 «uv + «3v «u2 + ««2«и3 = 0
«3v «uv + «иш «м3 + «w3«uv = 0, «vw «12 + «2v «uv + «ira «м2 + «w2 «a» = 0,
«uw «iv + «vw «tu + «wu « tv = 0, « 1 2«i3 = 0, « 1 2«iv = 0, (15)
«w2 «tv
«23««^ + «3« ««2 + ««2««3 = 0 «2« ««ад + ««ад ««2 + «ад 2 ««V = 0,
~« і ~« і ~« _ п я п« \ п« \
«3« «3 + «^3«^ = 0, «яі + = 0.
3. Рассмотрим на многообразии М, несущем рассматриваемую ткань Вт^, вполне интегрируемую систему
^2 = ^3 = ^2 = ^3 = 0. (16)
112 2
Согласно [1], §1.9, (2г — 4)-мерные интегральные многообразия системы (16) являются трансверсально-геодезическими подмногообразиями многообразия М, пусть М1 одно из них. На М1 слои ткани Вт^ высекают подткань размерности 2г — 4, обозначим ее ^1(^1). Структурные уравнения последней получаются из уравнений (1) при условии (16):
1 - -1 ■•“*■•« ^.“ - -“ іШ м y ,
(17)
dY1 = «“, y“ Л Yv, A Y
dY1 = -a“,, y“ A yv , dY« = —«“,,, Yv A Yw
2 “v 2 2 2 2 2
= 0. (18)
Как видно из (18), уравнение =0 вполне интегрируемо на М1. Положим = 0, т.е. сузим семейство реперов Д1, выбрав в каждой точке многообразия М1 один репер. Поскольку компоненты тензора кручения в уравнениях (17) постоянны, то, согласно [1], три-ткань будет групповой три-
тканью, порожденную группой Ли ?1, ¿¿ш? = г — 2, причем структурные уравнения последней имеют вид
^ = а.1 (“ Л , ¿(“ = а“ Л
1 1 1 1 1 1
(первые два уравнения системы (17)). Форма (“ =0 вполне интегрируема на ^1, следовательно, она выделяет одномерную нормальную подгруппу Н1, для которой форма (1 является левоинвариантной базисной формой. Формы (“ будут левоинвариантными базисными формами фактор-группы ? = ^/й^, ¿¿ш? = г — 3. Ее структурные уравнения имеют вид ¿(“ = а“ш(^ Л .
Группе Н1 соответствует на многообразии М1 двумерная регулярная ткань Ш(НО со структурными уравнениями = 0, = 0. Фактор-группе С? соответствует групповая ткань Ш(?) со структурными
уравнениями ¿(“ = а“шЛ (ш, ¿(“ = —а“ш(^ Л на многообразии М2 размерности 2г — 6 с базисными формами (“, (“. С другой стороны формы ¿(2, ¿(3, ¿(2, ¿(3 удовлетворяют структурным уравнениям
¿(2 = 0, ¿(3 = 0, ¿(2 = 0, ¿(3 = 0. (19)
1122
Следовательно, в соответствии с [1], эти структурные уравнения определяют фактор-ткань Ш1 = Вт^/^1(С1). Как видно из (19), эта ткань является регулярной. Таким образом, доказана
Теорема 2. Рассматриваемая ткань ВтШ с единственной ненулевой компонентой тензора кривизны Ь223 = 0 расслаивается на то4 (2г — 4) -мерных нормальных групповых подтканей Ш^^), а ткань ВтШ представляет собой полупрямое произведение ткани Ш^^) на четырехмерную регулярную подткань Wl. Кроме того, ткань Ш^^) расслаивается на то2г-6 двумерных нормальных регулярных подтканей Ш(Н1), причем ткань Ш^^) представляет собой полупрямое произведение регулярной двумерной ткани Ш(Н1) на групповую ткань Ш(С?).
4. Система уравнений
^« =0, ^« = 0, (20) 12
не интегрируема, вообще говоря, на ткани ВтШ. Она будет интегрируема тогда и только тогда, когда выполняются соотношения
а“2 = 0, а“3 = 0. (21)
Ткани ВтШ, для которых выполняются соотношения (21), обозначим ВтШ1. В силу (21) структурные уравнения произвольной ткани ВтШ1 имеют вид:
й^1 = (2 Л (2 + 2а12(1 Л (2 + 2а23(2 Л (3 + 2а2“(2 Л (“ + 2а3“(3 Л (“ + а“,(“ Л ,
¿(2 =0, ¿(3 = 0, ¿(“ = 2а“,.(2 Л + 2а“,.(3 Л + а“ Л ,
1 1 1 2Щ11 3Щ11 11
й^1 = (2 Л ( — 2а]‘2(1 Л (2 — 2а1о(2 Л (3 — 2а1,,(2 Л (“ — 2а1“(3 Л (“ — а“,(“ Л ,
2 2 2 12 2 2 23 2 2 2 2 2 2 2 2
¿(2 =0, ¿(3 = 0, = —2а“„(2 Л — 2а“,.(3 Л — а1( Л ,
2 2 2 2^ 22 3^ 22 22
¿(2 = Ь(( Л ( — ( Л ( ), ¿а2о = — (( — ( ).
2 Ч 2 1 2 ' 23 2 1 2 7
В этом случае многообразие М ткани ВтШ расслаивается на трансверсально-геодезические шестимерные подмногообразия (20) (обозначим их М2), на каждом из которых система структурных уравнений (1) принимает вид:
= ( Л (2 + 2а-|2( Л ( + 2а23( Л ( , = 0, = 0,
1 1 2 12 1 1 23 1 1 1 1
= ( А (о — 2а12( А ( — 2а23( А ( , = 0, = 0,
= Ь(^2 А ^3 — ^3 Л ^2), = — (^2 — ^2).
Эти уравнения в точности совпадают с уравнениями шестимерной ткани Бола Ви, найденной в [3]. Таким образом, доказана
Теорема 3. Всякая три-ткань ВтШ1 расслаивается на то2г-6 шестимерных подтканей ВИ. Это свойство характеризует подкласс тканей ВтШ1 в классе тканей ВтШ.
5. Рассмотрим подкласс три-тканей ВтШ1, рассмотренных в предыдущем пункте, определяемых
соотношениями
а“2 = 0, а“3 = 0, а“, = 0. (22)
Обозначим такие ткани ВтШ2. В силу (22) структурные уравнения ткани Втимеют следующий вид: = (2 Л + 2а12(1 Л (2 + 2а23(2 Л (3 + 2а2“(2 Л + 2а3“(3 Л (“,
¿(2 =0, ¿(3 = 0, = 2а“„(2 Л + 2а“„(3 Л + а“,,Л ,
1 1 1 2-у 11 .те 11 «ад 11’
й^1 = (2 А ( — 2а]’2(1 А (2 — 2аоо(2 А (3 — 2а2“(2 А (“ — 2а1“(3 А (“,
2 2 2 12 2 2 23 2 2 2 2 2 2
dY2 = 0, dY3 = 0, dYu = -2au„y2 Л Yv - 2au„Y3 Л Yv - a“,Yv Л Yw
2 2 2 22 22 22
dY2 = -(y2 л y3 — y3 л y2), da^ = - (y2 — y2),
В этом случае система уравнений
y1 =0, y2 = 0, Y3 = 0, y1 = 0, y2 =0, Y3 = 0 (23)
lll222
вполне интегрируема и определяет расслоение многообразия M на шестипараметрическое семейство (2r — 6)-мерных трансверсально-геодезических подмногообразий (обозначим их M2). На каждом из последних слои ткани BmW2 высекают подткань, структурные уравнения которой получаются из (1) с учетом (22):
¿YU = aUwYv Л y“, ¿YU = —aUwYv Л y“, ¿Y2 = 0, da23 = 0.
Но это в точности уравнения групповой три-ткани W(G), определяемой группой G, см. п.З. Таким образом, доказана
Теорема 4. Многоообразие M три-ткани BmW2 представляет собой прямое произведение трансвер-сально-геодезических многообразий M2 и M2, а сама ткань BmW2 расслаивается на то2г-6 шестимерных подтканей , расположенных на многообразиях M2, и на то6 (2r — 6)-мерных групповых подтканей, определяемых группой G, расположенных на многообразиях M2. Указанные свойства характеризуют подкласс тканей BmW2 в классе тканей BmW.
б. На ткани BmW2 подткань W(G), выделяемая уравнениями (2З), не является, вообще говоря, нормальной подтканью, но будет таковой, если и только если выполняется условие более сильное, чем (22), а именно,
aU2 = 0 aU3 = 0 aUv = 0 a2u = 0 a3u = °. (24)
Обозначим такие ткани BmW3. В силу (24) структурные уравнения ткани BmW2 имеют следующий вид:
¿y1 = y2 Л y2 + 2al2Y3 A y2 + 2a23Y2 A Y3,
1 1 2 12 1 1 23 1 1
dY2 =0, dY3 = 0, dYu = 2au„y2 Л Yv + 2au„Y3 Л Yv + a“Yv Л Yw,
i i i 2v il 3v il il’
dY ^ y A Yo — 2ai2Y A y — 2a9oY A y ,
2 2 2 12 2 2 23 2 2
dY2 = 0, dY3 = 0, dYu = —2au„y2 Л Yv — 2au„Y3 Л Yv — a“ Yv Л Yw
2 2 2 22 22 22
dY2 = -(y2 Л y3 — Y3 Л y2), da23 = - (y2 — y2),
Ь
'! ' ' 2 I ' 2 " ~'~'23 2Т
В этом случае система уравнений (24) вполне интегрируема, следовательно, существует фактор-ткань ВтШ/Ш(С?). Для тканей -ВтШз справедлива теорема 4 с добавочным условием, что ткань Ш(С?) является нормальной подтканью.
7. На ткани ВтШ2 подткань , выделяемая уравнениями (20), не является, вообще говоря, нормальной подтканью, но будет таковой, если и только если выполняется условие более сильное, чем (22), а именно,
а“2 = 0, а“3 = 0, а“, = 0, а“, = 0, а“, = 0. (25)
зз
Обозначим такие ткани ВтШ4. В силу (25) структурные уравнения ткани Втимеют следующий вид: = ( Л (2 + 2а12( Л ( + 2а23( Л ( + 2а2“( Л ( + 2а3“( Л ( ,
dY2 = 0, dY3 = 0, dYU = a“ Yv Л Yw,
l l l il
j І __ 2 л І о^.І Д л ,2 о^.І ,2 л ,3 о^.І ,2 л ,u 0^.1 ,3 л ,u
dY — y A Y2 — 2ai2 y Ay — 2a23Y Ay — 2a2uY Ay — 2aou y A y ,
2 2 2 12 2 2 23 2 2 2u 2 2 3u 2 2
dY2 = 0, dY3 = 0, dYU = — a“ Yv Л Yw ,
2 2 2 2 2
dY° = -(y2 л y3 — y3 л y2), da33 = — (y2 — y2),
В этом случае система уравнений (20) вполне интегрируема, следовательно, существует фактор-ткань BmW/BL• Для тканей BmW4 справедлива теорема 4 с добавочным условием, что ткань BL является нормальной подтканью.
8. Ткани BmW, для которых выполняются следующие соотношения
a2u = a3u = auv = °J a12 = a2v = a“v = a23 = °j (28)
обозначим через BmW5. С учетом (28) структурные уравнения тканей BmW5 имеют следующий вид:
dw1 = w2 Л w1 + 2a12w1 Л w2 + 2a23w2 Л w3,
1 1 2 12 1 1 23 1 1
dw2 = 0, dw3 = 0, dw“ = a“ wv Л ww,
1 1 1 11
dw1 = w2 Л w^ — 2a12w1 Л w2 — 2a23w2 Л w3, (29)
dw2 = 0, dw3 = 0, dw“ = -a" wv Л ww,
2 2 2 2 2
dY2 = -(y2 Л Y3 — Y3 Л Y2), daio = -(y2 — y2).
2 23 2 l
Как видно из уравнений (29), ткань BmW5 представляет собой прямое произведение шестимерной средней ткани Бола В^ и групповой ткани W(G). При этом компоненты структурного тензора группы G связаны тождеством Якоби произвольного вида (15), следовательно, это произвольная группа Ли. Таким образом, доказана
Теорема 5. Ткань BmW5 представляет собой прямое произведение шестимерной ткани Бола В^ и групповой ткани, порожденной произвольной группой Ли. Это свойство характеризует подкласс тканей BmW5 в классе тканей BmW.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Акивис М.А., Шелехов А.М. Многомерные три-ткани и их приложения. Тверь: Твер. гос. ун-т., 2010. 308 с.
2. Федорова В. И. Шестимерные три-ткани Боля с симметричным тензором a¿j// Ткани и квазигруппы. Калинин.: Калининский гос. ун-т, 1981. С. 110-123.
3. Хныкина М. В. Об одном классе шестимерных тканей Бола// Материалы второй Российской школы-конференции с международным участием для молодых ученых. Тверь: Твер. гос. ун-т., 2010. С. 305-309.
з4
