О приведении системы ОДУ к каноническому виду Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011

ПГПУ

ИМ, В. Г, Б1ЛИНСК010

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA IMENI V.G. BELINSKOGO PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES №26 2011

УДК: 514.763.7

О ПРИВЕДЕНИИ СИСТЕМЫ ОДУ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ

© А. А. ДУЮНОВА Московский Педагогический Государственный Университет, кафедра геометрии и топологии e-mail: [email protected]

Дуюнова А. А. — О приведении системы оду к каноническому виду // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 76—81. — Системе обыкновенных дифференциальных уравнений соответствует три-ткань W(l,n, 1), образованная двумя п-параметрическими семействами кривых и однопараметрическим семейством гиперповерхностей. Рассматривается задача о приведении системы ОДУ к каноническому виду с помощью основного тензора ткани W (1,n, 1).

Ключевые слова: три-ткань, система обыкновенных дифференциальных уравнений

Duyunova A. A. — On the problem to reduce the system of ODE to a canonical form // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V.G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 76—81. — A three-web W(1,n, 1) consisting of two п-parameter families of curves and one-parameter family of hypersurfaces is corresponded to the given system of ordinary differential equations. We consider the problem to reduce the system of ODE to a canonical form using the so-called first structure vector of three-web W (1,n, 1).

Keywords: three-web, system of ordinary differential equations

Введение. Вопрос о приведении линейной системы ОДУ с постоянными коэффициентами к каноническому виду рассматривается, например, в [1]. Аналогично исследуется задача о приведении к каноническому виду системы линейных уравнений с частными производными первого порядка от двух независимых переменных [2]. Мы рассмотрим вопрос о приведении системы ОДУ к некоторому каноническому виду, используя геометрический подход.

Как показано в [3], с системой обыкновенных дифференциальных уравнений

dx*

— = fг (t,x\...,xn) , i,j,... = 1, 2,..., n, (1)

связан адекватный геометрический объект — три-ткань W(1, п, 1), образованная на гладком многообразии переменных x*,t размерности п + 1 двумя n-параметрическими семействами кривых и однопараметрическим семейством гиперповерхностей: x* = const, t = const и интегральными кривыми системы (1). В [3] были найдены структурные уравнения ткани W (1,п, 1) и было показано, что в первой дифференциальной окрестности этой ткани возникает некоторый вектор ^“, и = 1, 2,... ,п — 1, названный первым структурным вектором ткани W (1,п, 1) или соответствующей системы ОДУ.

Системы ОДУ (1) мы рассматриваем с точностью до гладких замен переменных вида x* = x*(xj), t = t(i). Легко проверяется следующее утверждение: если система (1) является автономной, то есть правые

части уравнений не зависят от і, то существует такая замена вида х® = х® (Х), после которой п — 1 уравнений системы примут вид ¿х® = 0. В этом случае первый структурный вектор тождественно равен нулю. В настоящей работе мы показываем, что если компоненты вектора некоторой не автономной системы не зависят от переменной і, то можно перейти к новым переменным х®, в которых одна из компонент тензора станет равной единице, а остальные будут равными нулю. При этом система ОДУ примет некоторый специфический вид, который назван каноническим.

1. Пусть М — гладкое многообразие размерности п + 1. Рассмотрим на нем три-ткань Ш (1,п, 1), заданную двумя семействами кривых Аі, Аз и одним семейством гиперповерхностей А2. Следуя [3], обозначим Тр(М) касательное пространство к многообразию М в точке р, а Тр(^"а), а = 1, 2, 3, — касательные пространства к слоям Та ткани Ш в этой точке. Рассмотрим в точке р многообразие реперов {е®, е„+і},

і,_?’,... = 1, 2,..., п, первые п векторов которых лежат в Тр(^2), вектор еп+і в Тр(^і), а вектор еп — еп+і

— в Тр(Р3). Согласно [3], в описанном репере семейства Аа ткани Ш(1,п, 1) задаются следующими уравнениями Пфаффа:

Аі : ши = 0, = 0,

А2 : ш"+і = 0, (2)

А3 : ши = 0, + ш"+і = 0,

где {и®, и”+1} — двойственный корепер, и, V, т = 1, 2,..., п — 1. Введенные формы удовлетворяют следующим структурным уравнениям:

¿и“ = и" Л и“ + Л ш"+1,

¿и” = и“ Л и” + и” Л и”, (3)

¿и"+1 = и”+1 Л и”.

Допустимы замены корепера, при которых сохраняется вид уравнений, определяющих слоения ткани (см. (2)):

и“ = а“и", и” = а”и" + аи”, ии+1 = аи"+1 ёе^а“) =0, а = 0.

При этих заменах величины ^и преобразуются по тензорному закону:

Ди = аГ2а>“. (4)

В соответствии с [4], величины у«и образуют первый структурный вектор ткани Ш (1,п, 1).

Первое дифференциальное продолжение уравнений (1) имеет вид [3]:

¿ш“1 = ш“ Л ш“ + миш? л ш”+і + Л ш”+і — ш“ Л ш. ¿ш” = ши Л ш” + ш” Л ш” + іиш” Л ш”+і — ш“ Л ш”,

¿ш” = ^ишИ+і Л ш” + іиши Л ш”+і + ¿„ш” Л ш”+і,

^и = — ^ ш“1 + 2Миш” + + к”ш” + ки+іш”+і,

(5)

причем формы и”" и и“ш симметричны по нижним индексам. Второе дифференциальное продолжение

уравнений (1) приводит к уравнениям [3]:

< л чл - ^wл ^ - л ч”+1 =

= -kw< л ч"+1 - k>w л ч”+1 - h^” л ч"+1 + <ws л 4s,

- л 4W - 4W л 4Wv - л + ^”w л 4W =

= -tv ч” л Ч-+1 - л Ч-+1 - m„„ ч” л Ч-+1 + <vw л 4w, dt„ - tv чи - i«^n - t„ ч” + kV ч” - , ч” = m„v +

+ m„„w" + m„„+iWn+1, dt„ - 2t”^” + k^” = m„„w“ + m„„w" + m„„+1Wn+1,

/7Zr*U I b,w. ,U _ ¿.U .w _ ¿.U. ,n _ OL.U. ,n _ ..w. ,U _ LU ,w I

dkv + kv 4w kw kn2kv 4n M 4wv hvw4 +

_|_ kU ,n I LU ,n+1

+ hvn4 + hvn+1w ,

(6)

dkU + k”wU - 3k>” = hU„wV + h”^” + hn„+14n+1, dkU+1 + kn+14U - 3kU+14n - 3,U, ч” =

(hUn+1 - 2MUtv) + (hn„+1 - 2MUt„) ч” + hn+1 „+1Ч"+1.

Здесь величины hUw, mUV, , 4Uws также симметричны по нижним индексам.

‘'vw "bUVi vws

В соответствии с [4], совокупность величин {tU, tn, kU, kU, kU+1} образует второй структурный тензор три-ткани W (1,n, 1).

Как было показано в [3], с системой ОДУ (1) связана три-ткань W(1, n, 1), заданная на многообразии переменных ж®,t, состоящая из семейств Аа:

А1 : ж® = const, А2 : t = const, А3 : F®(t, ж1,..., ж”) = c® = const.

Последнее семейство состоит из интегральных кривых системы уравнений (1). Обратное также верно: всякой три-ткани W (1,n, 1) отвечает некоторая система ОДУ.

Дифференциальные уравнения три-ткани W(1, n, 1), связанной с системой дифференциальных уравнений (1), можно привести к виду (2), если обозначить

dx”

^U = f”dxU - fUdx”, ч” = —, ч”+1 = -dt. (7)

Структурные уравнения такой ткани должны иметь вид (1), причем компоненты тензоров ткани W(1, n, 1) также должны выражаться через функции f ®, определяющие систему ОДУ. Соответствующие уравнения найдены в [3]. В частности, для компонент первого структурного вектора получено выражение:

, .U = f U f” ” f (8)

M = f ~дТ - f “дТ (8)

Этот тензор будем называть также первым структурным вектором системы ОДУ (1).

Геометрический смысл обращения в нуль первого структурного вектора выясняется в следующем утверждении.

Теорема 1. Условие ^и =0 необходимо и достаточно для того, чтобы многообразие М ткани Ш(1, п, 1) расслаивалось на двумерные подмногообразия, несущие слои первого и третьего слоений этой ткани. Поверхности V являются многообразиями абсолютного параллелизма относительно канонической связности тогда и только тогда, когда выполняется еще и условие ш” = 0. В последнем случае (и только в этом) соответствующая система ОДУ является автономной.

2. Лемма. Пусть система ОДУ задана в виде (1). В случае если величины ^и не зависят от і и только в этом случае, существуют локальные координаты х® и і, в которых первый структурный вектор этой системы имеет следующие компоненты:

/ = 1, = 0 и = 2, 3,.. ., п — 1. (9)

□ Система ОДУ и соответствующая три-ткань рассматриваются с точностью до замены переменных х® = х®(х5), і = і(ї), причем при этих преобразования вид уравнений ткани (2), (1), (2), (3) не изменится. Рассмотрим замену переменных хи = хи(х^), х” = х”, Ї = Ь, det = 0. Дифференцируя, получим:

¿хи дхи ¿х^ дхи

дх"“ дх"“'

Используя (8), находим выражения для компонент первого структурного вектора в новых координатах:

йи = /и / _ /” /и = дхи г/ _ г 1 ґдхи г М г дЬ г дЬ дх^г дЬ г дА дх^г

= дхи г д/П_ г дх“ / = дх“.« (10)

дх! д£ дх! дt дх!

Пусть теперь, в соответствии с (9), Д1 = 1, Д“ = 0. Тогда, дифференцируя (10) по £, получим

дг“

д! =0.

дх! ^

Так как матрица (§§т) является невырожденной, то отсюда следует

Д“ = 0, (11)

то есть величины д“ не зависят от ¿.

Обозначим через (§§¡7) обратную матрицу к матрице (§§т), тогда из последних уравнений находим

дх“

дхг = Д“(х). (12)

Таким образом, искомые функции х“ = х“(Х!) должны удовлетворять уравнениям (12), а эта система всегда имеет решение. Значит, найдется замена переменных х“ = х“(х!), приводящая вектор д“ к виду

(9). ■

Системы ОДУ, для которых выполняется условие (12), назовем предавтономными, а переменные х® и £, в которых первый структурный вектор такой системы имеет вид (9), назовем каноническими.

В силу (11) из (8) получим уравнения, определяющие предавтономные системы:

Продифференцировав по £, получим уравнение /“ /¿*4 — /п /“ = 0. Отсюда вытекает

Предложение. Система (1) является предавтономной тогда и только тогда, когда функции /® явля-

ются решениями дифференциального уравнения вида

/и = р(х,/ (14)

где р(х, £) — произвольная гладкая функция. В этом и только в этом случае каждая из переменных х®, системы (1) удовлетворяет дифференциальному уравнению третьего порядка

¿3х® ¿х®

■¿т = р(х.О (15)

3. Найдем вид предавтономной системы ОДУ (1) в канонических координатах. В силу условий = 1, =0 из (8) следует:

/ / — Г/1 = 1, Г /” — // = 0. (16)

Интегрирование второго уравнения (16) дает

fu(t,x\ ...,xn) = fn(t, x1,...,xn)gu(x1,... ,xn). Проинтегрируем первое уравнение (16). Положим f1 = afn, тогда имеем:

- fn (fn ^ = afnfn - fn (f + f = - (fn)2 % = 1,

откуда

Положим a = ctg y, тогда

at \/ at

причем

f 1 = ctg у = cos у = sin^ (17)

V(- ctg ‘¿Oí Vyí , Vyí ,

• 9 9-1

✓ ко , n 9 sin9 у cos9 у 1

(f1)9 + (fn)9 = —у +-------------у —. (18)

yt yt yt

Таким образом, в канонических переменных предавтономная система (1) имеет следующий канонический вид:

dx1 cos у

dt ’

Щг = ^5* (x), (19)

dt л/у*

dxn sin у dt

или

dx1 cos у

dt ’

dxu й -— = gu (x), dxn v A

dxn sin у

^ = / (x), С20)

dxn v h

dt '

4. Выясним геометрический смысл величины у входящей в уравнения (17). Будем считать, что пространство переменных х® и t является евклидовым с некоторым фиксированным ортонормирован-ным базисом £®, £„+1, г, j = 1, 2,... n. С другой стороны, с три-тканью W(1, n, 1) связан подвижной репер e®, en+i, дуальный базису форм w®, w„.

Лемма. Векторы фиксированного и подвижного репера связаны соотношениями

eu £u en f' ^, е„+1 е„+1. (21)

J

□ Произвольный касательный вектор Z в каждом из базисов записывается следующим образом:

Z = dx®£® + dte„+i = w®e® + wn+1e„+i. (22)

Пусть, например, Z касается линии первого слоения ткани W(1,n, 1). Так как первое слоение, с одной стороны, задается уравнениями х® = const, а с другой — уравнениями w® = 0 (см. (2)), то из (10) с учетом (7) получаем

С dt£n+1 w en+1 dten+b

откуда следует e„+1 = -£„+1.

n

Пусть теперь Z касается линии третьего слоения ткани W(l,n, 1) — интегральной кривой системы (1). Так как третье слоение, с одной стороны, задается системой (1), а с другой — уравнениями w“ = 0, w” + wn+1 = 0 (см. (2)), то из (10) получаем

С = dt(/*£¿ + £n+i) = w”+1 (—е„ + e„+i) .

С учетом (7) и уже найденного соотношения это равенство примет вид dt/= dten, откуда en = /. Аналогично, рассматривая второе слоение, получим равенства e„ = fn є„. □

Условия (11) означают, что базисный вектор ei совпадает с направлением основного структурного вектора ткани W(1,n, 1), то есть имеет инвариантное направление. Вектор en также имеет инвариантное направление, поскольку является проекцией касательного вектора к линии третьего слоения ткани W(1, n, 1) на касательное пространство к слою из второго слоения этой ткани. Из соотношений (21) вытекает, что эти инвариантные направления определяются также векторами Єї и /® є® соответственно. Далее, из инвариантности направления єї вытекает инвариантность ортогонального дополнения, определяемого векторами Є“, єп (и = 2, 3,..., n — 1). Проектируя вектор /® є® на это ортогональное направление, получим инвариантное направление /“ Єд + /” єп. Направление єп, не является, вообще говоря, инвариантным.

Рассмотрим вектор Z(/1,0,..., 0, /”, 0) — проекцию инвариантного вектора /® є® на подпространство, определяемое базисными векторами єї и єп. Пронормировав его, получим единичный вектор

С ( , / =, 0,..., 0 / ------, 0^ .

V V(/1)2+(/”)2 v(/1)2 + (/”)2 у

Следовательно, координатами этого вектора будут (cos а, 0,..., 0, sin а, 0), где а — угол между вектором Z и є1, то есть

/1 /” cos а = —, , sin а = —, .

V(/1)2 + (/ ”)2 V(/1)2 + (/ ”)2

Отсюда, используя (17) и (18), находим, что а = p. Доказано

Предложение. Пусть предавтономная система ОДУ приведена к каноническому виду (19), тогда адаптированный репер соответствующей ткани W (1, n, 1) выбран таким образом, что проекция инвариантного вектора /® є® на подпространство, определяемое базисными векторами є1 и єп, образует угол p с первым структурным вектором этой ткани.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / Под ред. Мыш-киса А. Д., Олейник О. А. М.: МГУ, 1984. 296 с.

2. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производным. М.: МГУ, 1961. 401 с.

3. Дуюнова А. А. Три-ткани, определяемые системой обыкновенных дифференциальных уравнений// Фундаментальная и прикладная математика. 2010. Т. 16. № 2. С. 13-31.

4. Акивис M. А., Гольдберг В. В. О многомерных три-тканях, образованных поверхностями разных размерностей// Тр. геометр. сем. (ВИНИТИ АН СССР) № 4. С. 179-204.