CC BY
8
УДК 514.563.7
DOI 10.21685/2072-3040-2018-2-4
Е. А. Оноприенко ОБ ОДНОМ КЛАССЕ СРЕДНИХ ТРИ-ТКАНЕЙ БОЛА
Аннотация.
Актуальность и цели. Средние три-ткани Бола (три-ткани Б^) занимают особое место в теории тканей. Их алгебраический аналог - многомерные гладкие лупы Бола - следующие после аналитических луп Муфанг по близости своих свойств к группам Ли. Поэтому важное значение имеет классификация средних три-тканей Бола. Цель данной работы - рассмотреть инфинитези-мальные свойства многомерных средних три-тканей Бола с ковариантно постоянным тензором кривизны и показать, что класс три-тканей Б^ с тензором
кручения ранга 1 совпадает с классом эластичных три-тканей E[ .
Материалы и методы. Применяются методы тензорного анализа, внешнее дифференциальное исчисление, теория связностей, теория групп Ли. Основным методом исследования является метод внешних форм и подвижного репера Э. Картана, адаптированный М. А. Акивисом, В. В. Гольдбергом и А. М. Шелеховым для изучения теории многомерных тканей. Основной используемый материал - структурная теория многомерных три-тканей, разработанная М. А. Акивисом, а также результаты научных исследований по теории многомерных три-тканей Бола.
Результаты. Доказано, что класс три-тканей Б^ с тензором кручения ранга 1 совпадает с классом эластичных три-тканей E( .
Выводы. Полученный результат показывает необходимость исследования три-тканей Бола Б^ с тензором кручения ранга р > 1.
Ключевые слова: многомерная три-ткань, средняя три-ткань Бола, три-ткань Б^.
E. A. Onoprienko ON A CLASS OF MIDDLE BOL THREE-WEB
Abstract.
Бackground. The middle Bol three-webs (three-webs Б^) occupy a special place in the theory of webs. Their algebraic analogue is the multidimensional smooth Bol loops - following the analytic Moufang loops in the vicinity of their properties to Lie groups. Therefore, the classification of middle Bol three-webs is of great importance. The aim of this paper is to consider the infinitesimal properties of multidimensional middle Bol three-webs with a covariantly constant curvature tensor and show that the class of three-webs Б^ with torsion tensor of rank 1 coincides with the class of elastic three-webs E[ .
© 2018 Оноприенко Е. А. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.
Materials and methods. The methods of tensor analysis, external differential calculus, the theory of connections, theory of Lie groups are applied in the article. The main method of investigation is the E. Cartan method of external forms and the moving frame, adapted by M. A. Akivis, V. V. Goldberg and A. M. Shelekhov for the study of the theory of multidimensional webs. The main material used is the structural theory of multidimensional three-webs, developed by M. A. Akivis, as well as the results of scientific research on the theory of multidimensional Bol three-webs.
Results. It is proved that the class of three-webs Bm with torsion tensor of rank
1 coincides with the class of elastic three-webs E{ .
Conclusions. The result obtained shows the necessity of investigating the Bol three-webs Bm with the torsion tensor of rank p > 1.
Key words: multidimensional three-web, middle Bol three-web, three-web Bm .
1. Три-тканью называют совокупность трех попарно трансверсальных гладких слоений коразмерности r на гладком многообразии M размерности 2r [1, 2]. Локально слоения три-ткани W всегда можно задать уравнениями
xi = const, yl = const и f (xj,yk) = const (здесь и далее i, j,k = 1,2,....,r ), поэтому локально три-ткань вполне определяется уравнением z = f (x, y), которое связывает параметры x, y, z слоев первого, второго и третьего слоений, проходящих через одну точку, и называется уравнением три-ткани W. В силу трансверсальности слоев уравнение три-ткани разрешимо (локально) относительно переменных x и y , поэтому оно определяет гладкую локальную квазигруппу, которая называется координатной квазигруппой три-ткани W. Следуя В. Бляшке [3], мы рассматриваем три-ткани с точностью до локальных диффеоморфизмов.
Систематическое изучение многомерных три-тканей положено работой Черна [4]. Используя подход Картана - Лаптева, М. А. Акивис создал эффективный метод для изучения многомерных три-тканей. Этим методом получены все существенные результаты по теории многомерных три-тканей [1, 2].
2. Средние три-ткани Бола (три-ткани Bm) занимают особое место в теории тканей. Их алгебраический аналог - многомерные гладкие лупы Бола - следующие после аналитических луп Муфанг по близости своих свойств к группам Ли.
Три-ткани Bm были введены Герритом Болом в [5]. Они обладают следующими свойствами [2]:
1) на три-тканях Bm замыкаются все достаточно малые средние конфигурации Бола, изображенные на рис. 1. Здесь слои первого, второго и третьего семейств три-ткани изображаются соответственно вертикальными, горизонтальными и наклонными линиями. Получается эта фигура следующим образом. Возьмем в области определения ткани произвольную точку a . Через нее проходит единственный вертикальный слой x1, единственный горизонтальный слой y1 и единственный наклонный слой z1 ткани. На z1 выберем произвольную точку, обозначим ее c . Через точку c проходит вертикальный
слой X2, который пересекает слой у в некоторой точке d , и горизонтальный слой У2, который пересекает слой х^ в точке Ь . На наклонном слое ^ возьмем еще одну точку e . Через нее проходят горизонтальный слой уз и вертикальный слой xз, который пересекает наклонный слой Z2, проходящий через точку Ь , в точке f . Через f проходит горизонтальный слой У4, пересекающий наклонный слой Zl в точке g . Через точку g проходит единственный вертикальный слой X4, который, в свою очередь, пересекает слой Уз в точке h . Если точки Ь и h лежат на одном наклонном слое zз, то говорят, что средняя фигура Bm замыкается;
2) три-ткани Bm обладают замкнутой G -структурой класса 3, так как ковариантные производные тензора кривизны являются комитантами тензоров кручения и кривизны;
3) на третьем слоении тканей Бола естественным образом возникает структура симметрического пространства. Эта симметрия обладает специальными свойствами, которые изучались многими авторами;
4) тензор кривизны три-ткани Bm кососимметричен по двум последним нижним индексам: = .
Четырехмерные ткани Бола полностью описал А. Д. Иванов. Ткани Bm произвольной размерности исследовала В. И. Федорова, которая, в частности, заложила основы классификации шестимерных тканей Bm .
Три-ткани Бола содержат три известных подкласса тканей. Это, во-первых, регулярные три-ткани, которые эквивалентны параллельным тканям, образованным тремя семействами параллельных r -мерных плоскостей в
2r
аффинном пространстве A . Во-вторых, это групповые три-ткани. Пусть G(•) - группа Ли размерности r, X - прямое произведение G х G . Через произвольную точку (a,b) из X проходят три слоя: {(x,y): x = a}, {(x,y): y = b} и {(x,y): xy = ab}, которые находятся в общем положении. Следовательно, слоения x = const, y = const и x • y = const образуют на X три-ткань, которую называют групповой. Наконец, как показано в [6], три-ткани Bm содержат в качестве собственного подкласса класс так называемых эла-
-л
d
Рис. 1
стичных тканей, в координатных лупах которых выполняется тождество эластичности x( yx) = ( xy) x.
3. Мы рассматриваем средние три-ткани Бола, у которых тензор кривизны ковариантно постоянен относительно связности Черна (ткани B^ ):
Щы = 0.
При этом мы оставляем в стороне тривиальное решение bjkl = 0, которому соответствуют групповые, в частности регулярные, три-ткани [2].
Пусть три-ткань W образована тремя слоениями Xa, а = 1,2,3, общего положения коразмерности r на гладком многообразии M размерности 2r.
Согласно [1] кобазис дифференциальных форм (,((i, j,k,... = 1,2,...,r) на
1 2
M можно выбрать так, что формы (, ( и ( + ( аннулируются соответ-
i 2 12
ственно на первом, втором и третьем слоениях ткани W :
X1 : ( = 0; Х2 : ( = 0; ( + ( = 0. 1 2 12
Тогда структурные уравнения три-ткани Bm имеют следующий вид [2] :
d ( = ( л ( + ajk (k, d ( = ( л ( - ajk ( л (, 1 1 J J 1 2 2 J J 2 2
d ( = roj л rok + bjkl (ok л (ol, (1)
где d - символ внешнего дифференцирования; a = (ajk ) и b = (bjkl ) - тензоры кручения и кривизны три-ткани, удовлетворяющие уравнениям:
b'jkl ] = 2a\mka'ml > (2)
bk (kl ) = 0, (3)
bJpkaL - b'kpJaL = jPlm - apkbjm - aJpbklm , (4)
j и \ rm rm
ajk =-b{jk]m [f-f J, (5)
bjkl = (bjpmakl - bjpkaL - bjplaPk ) (<f -f } (6)
Обозначим через Bm средние три-ткани Бола, у которых тензор кривизны ковариантно постоянен относительно связности Черна:
bjkl = 0. (7)
В работе [7] доказано следующее утверждение: тензоры кручения визны ткани (3) и следующими:
и кривизны ткани Б^ связаны только алгебраическими соотношениями (2)
bjpkafm = 0, (8)
aPjkblplm = aPkbplm + a)p4lm, (9)
bjlpbfmq = 0, (10)
^prsj = b'pklbPrs - (11)
4. В работе [7] была предложена классификация три-тканей Б^ по рангу тензора кручения, где ранг означает размерность производной алгебры A, определяемой тензором кручения, или, что то же самое, ранг системы уравнений (8) относительно неизвестных bjn . Согласно (6) три-ткани Bm с тензором кручения ранга 0, r или r — 1 являются групповыми тканями.
В работе [8] был найден класс эластичных три-тканей E[ , уравнения которых в подходящих локальных координатах имеют вид
z1 = x1 + exp
( 2a, x' )( y1 +j yj ), zj = xj+ yj
где = 2,...,г, а. и Хj - постоянные, причем Х^ =—Х
Теорема. Класс тканей Вт с тензором кручения ранга 1 совпадает с классом эластичных тканей Е[ .
Доказательство. Рассмотрим ткани В^ произвольной размерности, для которых производная алгебра А является одномерной. Поместим в А базисный вектор е1, тогда
а)к = 0, (12)
из (8) получаем = 0 . Так как ранг алгебры А равен единице, то хотя бы
одно из чисел а}т отлично от нуля. Поэтому из последних равенств находим
Ь\ы = 0. (13)
В силу косо симметричности (см. (3)) имеем также Ь^ = 0. Поэтому
отличными от нуля могут быть только компоненты Ъ ~ .
ту
Рассмотрим соотношения (9). При 1 = 1 правая часть равна нулю, что дает соотношения адЪт = 0 . Так как хотя бы одно из чисел а}т отлично от нуля, то отсюда получаем
bllm = 0 .
При i = 1 соотношения (9) дают
a\kb}~ = alpkbP~ + a,b
ajk
1ij
pk
jij
j kj •
Далее рассмотрим тождества (2). При 1 = 1 получим
Ъ)ы + 4] + Ъ\ъ = 2 (а)каЬ + alla¡j + ^Ак
а при 1 = 1
] + Ъ] + Ък] = При j = 1 (аналогично при к = 1 или I = 1) из (16) следует
Ъш = 0.
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
Вместе с (14) это дает Ъщ = 0, а с учетом (13) получаем, что ненулевыми компонентами тензора кривизны остаются только Ъ1„.. Поэтому равен-
jsh
ства (15) примут вид
При k= 1 получим
При k = й получим
a1pkbp^ + a\pbP.„ = 0.
JP
JP kjj
alb-L = 0. 1s ijh
a1 . bp.I + a1 bp. = 0.
pu Sij sp uij
(19)
(20)
(21)
Продифференцировав равенства (12) с помощью уравнений (5), получим
Ъ ( ю^ — Ю^ | = 0. (22)
{ 1 2 )
В силу независимости базисных форм отсюда следует Ъ[. = 0, т.е.
тензор Ъг-.„„ симметричен по первым двум нижним индексам. А так как он ко-
]и
сосимметричен по двум последним нижним индексам, то получаем, что он
равен нулю: Ъ1„. = 0. Таким образом, ненулевыми компонентами тензора jgh
кривизны остаются только компоненты с верхним индексом 1. Следовательно, равенства (10), (11) и (19) удовлетворяются тождественно, а из структурных уравнений получаем dю1. = ю" л ю". По теореме Фробениуса система
] ] "
œj = 0 (23)
вполне интегрируема. Ее интегральными многообразиями будут некоторые подсемейства адаптированных реперов рассматриваемой три-ткани. Сузим семейство адаптированных реперов ткани, считая в дальнейшем, что соотношения (23) выполняются.
В силу (22) и (23) из структурных уравнений находим, что dю} = 0, следовательно, можно положить в дальнейшем 0 = 0. Таким образом, из
форм ю0 j ненулевыми остаются только формы ю} .
j
Рассмотрим уравнения (7). При i = i они удовлетворяются тождественно. При i =} получаем dbL = 0, следовательно, b!„ = CL = const.
ijs ijs ijs
Рассмотрим равенства (5). В нашем случае они принимают вид
da} -a*«Г -а}тю™ = -blmm (юГ- «*) . (24)
При i =} получим da}j — a^œj = 0 . При j = 1 эти равенства обращаются в тождества, а при j = j получим da= 0 , откуда a}, = с}] = const.
При i = i , j = j равенства (24) примут вид
dal - Аю} + с},= -C\ | - ). (25)
Ч }j i }i J [tJ]s ^ 1 2 J
В результате равенства (}7) дают
AcL = A C}rr, (26)
} isr i j isr
а (}8) примут вид
CL + cl, + C}~ = 2(Aa}, + Aa^ + c}sai ). (27)
ijs jsi sij \ si h js }s ij I
C}r
Как видно из соотношений (26), отношение —}— не зависит то индек-
cL
ijs
са I, поэтому можно положить
С1„ = 2с1 X --,
1г ¡я
где X ¡» = —X^ - постоянные. Подставив в (27), получим:
1 Л 1 Л 1 Л 11 1 1
с -X^ + с»X _ + с»X^ = + с-а^ + с-а^
1i 1-s j 1j 1j i? 1i sj ji
или
d (.. - а!„) + Л ( - ) + A (( - ai ) = 0 . (28)
1 \ Js jsf 1j\ sl si ) 1s \ tj ij) v '
Итак, система структурных уравнений для рассматриваемой ткани окончательно принимает вид
^ю1 = 2с11к ю1 люк+а1 ю1лю], d1юi = 0, 1 11 1 11 1
причем входящие сюда величины a! удовлетворяют уравнениям (25), и,
lj
кроме того, выполняются соотношения (28). Эти уравнения в точности совпадают с уравнениями эластичной три-ткани Ej , найденными в [7]. Теорема
доказана.
Библиографический список
!. Akivis, M. A. Geometry and Algebra of Multidimensional Three-Webs. Dordrecht / M. A. Akivis, A. M. Shelekhov. - Boston ; London, Kluwer Academic Publishers, 1992. - 358 p.
2. Акивис, М. А. Многомерные три-ткани и их приложения / М. А. Акивис, А. М. Шелехов. - Тверь : Тверской гос. ун-т, 2010. - 307 с.
3. Бляшке, В. Введение в геометрию тканей / В. Бляшке. - М. : Физматгиз, 1959. - 144 с.
4. Chern, S. S. Eine Invariantentheorie der Dreigewebe aus r-dimensionalen Mannigfaltigkeiten in R2r / S. S. Chern // Abhandlüngen Mathematische Seminar Universität Hamburg. - 1936. - Vol. 11, № 1-2. - Р. 333-358.
5. Bol, G. Gewebe und Gruppen / Gerrit Bol // Mathematische Annalen. - 1937. -Vol. 114. - Р. 414-431.
6. Шелехов, А. М. Об аналитических решениях уравнения x(yx)=(xy)x / А. М. Шелехов // Математические заметки. - 1991. - Vol. 50, № 4. - Р. 132-140.
7. Шелехов, А. М. Три-ткани Бола с ковариантно постоянным тензором кривизны / А. М. Шелехов, Е. А. Оноприенко // Известия вузов. Математика. -2016. - № 3. - С. 82-92.
8. Джукашев, К. Р. Многомерные гладкие лупы с универсальным свойством эластичности / К. Р. Джукашев, А. М. Шелехов // Математический сборник. -2015. - Т. 206, № 5. - С. 35-60.
References
1. Akivis M. A., Shelekhov A. M. Geometry and Algebra of Multidimensional Three-Webs. Dordrecht. Boston; London, Kluwer Academic Publishers, 1992, 358 p.
2. Akivis M. A., Shelekhov A. M. Mnogomernye tri-tkani i ikh prilozheniya [Multidimensional three-webs and their applications]. Tver: Tverskoy gos. un-t, 2010, 307 p.
3. Blyashke V. Vvedenie v geometriyu tkaney [Introduction into tissue geometry]. Moscow: Fizmatgiz, 1959, 144 p.
4. Chern S. S. Abhandlüngen Mathematische Seminar Universität Hamburg [Proceedings of a mathematical seminar of Hamburg University]. 1936, vol. 11, no. 1-2, pp. 333358.
5. Bol G. Mathematische Annalen [Mathematical annals]. 1937, vol. 114, pp. 414-431.
6. Shelekhov A. M. Matematicheskie zametki [ ]. 1991, vol. 50, no. 4, pp. 132-140.
7. Shelekhov A. M., Onoprienko E. A. Izvestiya vuzov. Matematika [University proceedings. Mathematics]. 2016, no. 3, pp. 82-92.
8. Dzhukashev K. R., Shelekhov A. M. Matematicheskiy sbornik [Mathematical collection]. 2015, vol. 206, no. 5, pp. 35-60.
Оноприенко Екатерина Андреевна
учитель математики и информатики, Лицей № 1580 при Московском государственном техническом университете им. Н. Э. Баумана (Россия, г. Москва, ул. Стасовой, 8)
E-mail: katrinonoprienko@mail.ru
Onoprienko Ekaterina Andreevna Mathematics and informatics teacher, Lyceum № 1580 under Bauman Moscow State Technical University (8 Stasovoy street, Moscow, Russia)
УДК 514.563.7 Оноприенко, Е. А.
Об одном классе средних три-тканей Бола / Е. А. Оноприенко // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2018. - № 2 (46). - С. 38-46. Б01 10.21685/2072-30402018-2-4.
