О трении качения в грунтах Текст научной статьи по специальности «Физика»

О ТРЕНИИ КАЧЕНИЯ В ГРУНТАХ ON ROLLING FRICTION IN SOILS З.Г. Тер-Мартиросян, А.Ю. Мирный, Е.С. Соболев Z.G. Ter-Martirosyan, A.Y. Mirniy, E.S. Sobolev

ГОУ ВПО МГСУ

В статье рассматриваются вопросы, связанные с изучением трения качения в механике грунтов, а также сравнительный анализ аналитического решения и математического моделирования задачи трения качения и трения скольжения.

In this article the problems of resistance to rolling in soil mechanics are considered. Besides, there is the comparative analysis of analytic and numeric solution of resistance to rolling and resistance to sliding problems.

Впервые трение качения изучалось Ш. Кулоном [9], установившим экспериментально зависимость силы трения качения от силы давления катка на основание, по которому каток перемещается. А. Морен [10] в результате своих экспериментальных исследований дал для силы трения качения F формулу

F = Х% , (1)

где Q - сила давления катка на основание; R - радиус катка; Л - коэффициент, имеющий размерность длины, называемый коэффициентом трения качения.

Дюпюи [11] заметил, что коэффициент трения качения Л не является для разных материалов величиной постоянной и, кроме того, зависит от радиуса катка. На основании своих опытов он заключил, что

Л = с^, (2)

и формула для силы трения качения приняла у него вид

F = cQ/r-, (3)

/4R

О. Рейнольде [12] объяснил возникновение силы трения качения при перекатывании абсолютно упругого катка по абсолютно упругому основанию относительным скольжением соприкасающихся поверхностей вследствие их деформации.

Г. Фромм [13] на основании теории Рейнольдса, сводившей изучение трения качения к изучению трения скольжения в соприкасающихся поверхностях, решил задачу о подсчете силы трения при фрикционной передаче.

В настоящей статье изучается трение качения абсолютно жесткого катка по релак-сирующиему основанию. Возникновение силы трения объясняется при этом несимметричным распределением сил давления катка на грунт по поверхности соприкосновения.

МГСУ

Законы, которым подчиняются напряжения и деформации в релаксирующем основании, выбраны наиболее простыми. Математическая формулировка их аналогична известным законам релаксации, данным Максвеллом [14] и Томпсоном [15].

Пусть каток шириной Ь и радиусом Я катится без скольжения с постоянной скоростью С по деформируемому основанию

В этом случае все силы, действующие на каток, который принимаем абсолютно жестким, уравновесятся. Эти силы следующие (рис. 1):

1. Силы, извне приложенные к катку (включая силу тяжести), которые, будучи приведены к геометрическому центру катка, образуют пару с моментом Ь, горизонтальную силу ¥ и вертикальную силу Q (силу давления на основание).

2. Сила сцепления основания с катком ¥', удерживающая каток от скольжения и обусловленная главным образом трением первого рода поверхностей катка и основания.

3. Распределенные по поверхности соприкосновения катка с основанием вертикальные силы реакции основания на каток. Удельное давление р , производимое этими силами, будем считать постоянным вдоль образующих цилиндрической поверхности катка и зависящим лишь от расстояния £ до вертикальной плоскости, приходящей через ось катка. Поверхность соприкосновения катка с основанием представляет собой часть цилиндрической поверхности, передний край которой удален от вертикальной плоскости, проходящей через ось катка, на некоторое расстояние > 0 (начало соприкосновения с основанием), а задний - на расстояние ^ < 0 (конец соприкосновения) .

«> J

(с малой погрешностью, происходящей за счет искривленности поверхности соприкосновения).

Рис. 1 Расчетные схемы для случая (а) трения качения и (б) трения скольжения.

Уравнение равновесия сил, приложенных к катку, имеют вид:

¥-¥' = 0,

(4)

Сила F называемая силой трения качения, а произведение FR = M - моментом трения качения. Таким образом,

М =

]ьр{№е. (5)

Сила трения качения возникает вследствие некоторого смещения равнодействующей сил давления грунта на каток в сторону движения благодаря асимметрии поверхности соприкосновения > |) и неравномерного распределения сил давления по этой поверхности. Это смещение Л может быть найдено из соотношения

га = Щ (6)

и представляет собой плечо трения или коэффициент трения качения.

К катку приложен движущий момент L , а сила F, направленная в сторону, обратную движению катка (см. рис. 1 а, пунктир), представляет собой сопротивление объекта, приводимого катком в движение.

Третье уравнение равновесия (равенство нулю суммы моментов всех сил относительно наинизшей точки катка) приводит при этом к равенству

L = FR

¡М^. (7;

Здесь FR представляет собой момент полезного сопротивления, а формула для момента трения M остается точно такой же, как и выше.

Для осуществления качения необходимо, чтобы имело место равенство

, (8) где f - коэффициент трения скольжения поверхности катка по поверхности основания.

Иначе возникает проскальзывание.

Теперь рассмотрим модель в которой движущий момент равен нулю L = 0 и последнее уравнение определяет силу F , необходимую для поддерживания постоянной скорости c движения катка:

. (9)

F =

R ^

Сила F называемая силой трения качения, а произведение FR = Ы - моментом трения качения. Таким образом,

М =

. (10)

При движении катка самая низшая его точка А опустится ниже поверхности неде-формированного основания на некоторую глубину у0, представляющую одновременно осадку основания под осью катка (рис. 2). Осадка в некоторой другой точке В с точностью до малых четвертого порядка равна

так как

7 = * « У = Уо~ V- (12)

2R

С /

- У -

$ А { В (* £

Рис. 2. Область контакта Здесь ^ и Т] - координаты точки основания В относительно подвижной системы координат ^г], начало которой находится в наинизшей точке катка А , а ось 7 вертикальна. Так как эта система перемещается поступательно со скоростью С вправо вместе с катком, то абсцисса £ точки В с течением времени уменьшается и, очевидно, = -с . Поэтому скорость оседания основания в какой-либо точке В под катком составит величину

Ау

Аг 2Я А Я

(13)

Заметим, что производную по времени от удельного давления катка на грунт можно выразить через производную по абсциссе £ соответствующей точки грунта. Действительно.

Ар Ар А ^ Ар

А1 А^ А1 А^ В начале соприкосновения катка с основанием = > О) осадка у равна нулю (это будет следовать из законов, которым подчиняется основание) и, следовательно, О = У0~ Й/2Я, откуда

£

(14)

У О =

2Я

(15)

В конце соприкосновения = ^ > О) осадка, вообще говоря, не ноль, но удельное давление следует считать равным нулю, так как основание в этом месте отходит от катка. Таким образом,

р(£)=0(£< 0). (16) Что касается удельного давления в начале соприкосновения = ¿¡О > О), то оно может быть и равно нулю и отлично от нуля, в зависимости от того, какому закону подчиняется основание.

Релаксирующим основанием будем называть основание, подчиняющееся закону

V Ау А1

(17)

НОСТЬ ■—/ 3

/ см

где К и /и - физические константы основания. Константу К (размер-кН' ) назовем модулем жесткости основания, а ¡Л (размерность 'с/ 3 ) -

см

коэффициентом внутреннего трения. Площадка такого основания, нагруженная постоянным давлением р1, опускается вниз. При этом из дифференциального уравнения

^ + Ку = р, (18)

Л

следует

,у = Сехр^-+ КР,, (19)

и при любых начальных данных осадка с течением времени стремиться к значению у1 = Рх/К . Если нагрузку р1 снять, то согласно тому же дифференциальному уравнению получим

у = Сехр^- К^) (20)

и через каждый интервал времени 1 = /к , называемый периодом релаксации, осадка

т = Ук

уменьшится в е ~ 2,72 раза.

Таким образом, релаксирующее основание ведет себя аналогично абсолютно упругому основанию теории балок, если рассматривать достаточно большие промежутки времени действия нагрузок. Из равенства у1 = р1/К следует возможность излома и

разрыва поверхности при кусочно-непрерывной нагрузке на основание р1, что представляет определенный недостаток принятого закона реологического поведения основания. Это может быть устранено введением соответствующих функций влияний осадки одной точки основания на осадку других и сведением задачи к интегральным уравнениям, как это было сделано в теории балок К. Вигхардом.

При качении с постоянной скоростью абсолютно жесткого катка по релаксирую-щему основанию удельное давление распределяется по поверхности соприкосновения согласно предыдущему следующим образом:

^ + + (20

Сила давления катка на грунт будет выражаться формулой

е = = -¿Я-) + )}, (222)

а момент трения соответственно

м = = ь{к(2у& -)) (25;

Если учесть, что

У 0 = ^ £ и 0 = р^ ) = £2 у И -С (24)

то выражения для Q и М могут быть упрощены исключением у0 и приведены к виду

«-*■{ | (е-г)^-6 (е.«3 )},

причем величины и оказываются связанными соотношением

0 = *(£- £^К«

Введем безразмерные координаты граничных точек участка контакта

1

и = 1 & (м < и У = Т£ ^ > 0)'

л К

(25)

(26) (27)

Тогда три предыдущие соотношения примут вид

е

д=У{уъ - иъ)+Ула(у2-и2), ЬКК2 ^ /4 V

-М— = т = I/ а(2у3+М3),

ЬКК3 ' /12 v '

О = V2 -и2 + аи,

(28)

где <7, т и а = 2//с/КК - также безразмерные величины. Эти три соотношения решают задачу об определении силы трения качения. Действительно, исключив из первых двух соотношений V по средствам третьего, имеем

<7 =/(и2-с®)-2-и3 +-^-(2и2 — с®),

т = —\и2 - аи\ -и41 + — 2(и2 - с® У2 8 ' -1 121 У ;

(29)

теперь по данным (), Ь,К, К, /и , а следовательно, и <2 из первого соотношения определим и . Подставив найденное значение и во второе соотношение, получим величину момента трения качения и затем силу трения качения ¥ = М/Я .

Пусть каток радиуса К = 50 см , ширины Ь = 1 см , нагруженный силой

е = 2,5 кЯ , катится со скоростью с = 2,5 по релаксирующему основанию с константами К = 0,05 кНу 3 и /л = $,5 КН' у з (период релаксации такого основания

Т = уК = 1° с). ПРИ

•цт— 1° С ). мрн ЭТОМ, д = - - ,

К ЬКЯ2 5 см • 0,05^/ 3 •(50 см)

/см '

2ис 2-0,5 ^• 5/3 • 2,5 2ЯС _ /см /<

е

2,5 кЯ

а =

■ = 0,02 , а

• = 1.

КК 0 05 «лу 3 • 50 см

/см

Из уравнения 0,02 = (и1 - Ьм)-2-и3 , находится значение

и = —0,055 , после чего т оказывается равным 0,002735, а момент трения

М = тЬКК3 = 0,002735 -1 см- 0,05 з . (50 с^)3 = 17,094 кН-см = 17094 Н-см ,

что соответствует силе трения Р = 0,342 кН = 342 Н

и плечу трения

Я = м/< = ^ = <5,84 см .

Далее, так как

у = (иг - аиУ2 =0,241, то границы поверхности соприкосновения определяются значениями ^:

^ = Яы = —2,75 см и = Яу = 12,04 см , и осадка под центром катка

1 2

у0 =—^ 1,45 см. 0 2 Я 2

При этом, мощность, затрачиваемая на трение качения, равна:

Р = Р-с = 342 Н- 0,025 м/ = 8,55 Вт /с

Представим теперь модель, в которой трение качения (трение второго рода) полностью отсутствует. Приложим усилие Р, приводящее каток в движение к той же точке, в которой приложена сила трения, исключив, таким образом, вращающий момент. Тогда уравнения равновесия примут вид (рис. 1 б):

Так как усилие

е-} ъР{^ = о,

/} Ър{^ = /0

Из закона Аматона-Кулона о трении скольжения следует:

&

р ' = / \Ър(№ = /0,

(30)

(31)

(32)

где / - коэффициент трения скольжения, безразмерная величина, устанавливается экспериментально в зависимости от условий моделирования. Для данного случая примем коэффициент трения скольжения, равный / = 0,7 (что соответствует, скольжению стального катка по каучуковому основанию).

Тогда величина силы трения скольжения составит

р' = /2 = 0,7 • 2,5 кН = 1,75 кН = 1750 Н . При этом, мощность, затрачиваемая на трение скольжения, равна:

Р = Р-с = 1750 Н • 0,025 м/ = 43,75 Вт /с

что почти в 5 раз больше мощности, которая затрачивается на преодоление силы трения качения.

Для моделирования процессов, происходящих при качении катка по деформируемому основанию, нами был использован программный комплекс ANSYS 11.0, реализующий метод конечных элементов. Возможности комплекса позволяют достаточно точно моделировать подобные задачи, так как допускают гибкое задание прочностных

_МГСУ

и деформационных параметров материалов (включая реологические), а также параметров контакта.

Задача решалась в плоской постановке, геометрические параметры модели и величины нагрузок были приняты аналогичными аналитическому решению. Материал катка был принят линейно-упругим, с модулем деформации много большим, чем модуль деформации основания. Материал основания реализует упруго-пластическую модель Кулона-Мора. Решение не рассматривать релаксирующее основание было принято для сокращения потребности в машинных ресурсах при выполнении расчета.

Было проведено два расчета: в одном случае каток свободно катился по основанию, во втором случае скользил. Оба расчета выполнялись в два этапа нагружения. На первом этапе прикладывались нагрузки от собственного веса катка, на втором этапе сдвигающая нагрузка.

На рис. 3 приведены эпюры давления под катком для качения (слева) и скольжения (справа). Хорошо видно, что в случае скольжения эпюра давления под катком значительно неравномерна, наблюдается ярко выраженный максимум в точке, в которую приходит векторная сумма горизонтальной и вертикальной составляющих сил. При качении на эпюре так же появляются зубцы, это связано с образованием зон проскальзывания.

\

Рис. 3. Эпюры давления под катком

На рис. 4 приведены эпюры силы трения на контакте катка с основанием для качения (слева) и для скольжения (справа). В случае качения сила трения двузначна: на нисходящей стороне катка основание сопротивляется внедрению, на восходящей -наоборот. При скольжении сила трения возрастает по направлению к передней части пятна контакта и в пике в два раза превышает силу трения качения.

Результаты математического моделирования полностью подтвердили аналитическое решение. В частности, было обнаружено, что:

1. Энергия, затрачиваемая на перемещение катка качением в несколько раз (от 3 до 5, в зависимости от параметров материалов) меньше энергии, необходимой для перемещения скольжением.

2. Сила трения скольжения в несколько раз превышает силу трения качения, причем величина превышения зависит от соотношения модулей деформации материалов катка и основания - с ростом модуля деформации основания снижается площадь пятна контакта и, как следствие, величина силы трения скольжения.

■

11 - Г™*

Рис. 4. Эпюры силы трения на контакте катка с основанием

Рис. 5. Зависимость сдвиговых деформаций от касательных напряжений и плотности. 1

- недоуплотненный грунт, 2- переуплотненный грунт

Изложенная теория о различии сущности и энергетики трения скольжения и трения качения может служить основой для объяснения причин возникновения пиковой и остаточной прочности в песчаных грунтах при кинематическом режиме сдвига. Действительно, если на начальном участке кривой деформация-напряжение (у-т, рис. 5) при малых смещениях может реализовываться трение скольжения, то при больших сдвигах может реализовываться трение качения. Кроме того известно, что после достижения пикового значения предельного сопротивления сдвигу песчаный грунт разрыхляется (дилатирует), что также способствует взаимному относительному перемещению частиц песка путем преодоления наименьшего сопротивления, т.е. трения качения.

Литература:

1. Горячева И. Г. Механика фрикционного взаимодействия. М.: Наука, 2001, 479 с.

_МГСУ

2. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. М.: Мир, 1989, 501 с.

3. Тер-Мартиросян 3. Г. Механика грунтов. М.: АСВ 2005.

4. Ишлинский А. Ю. Трение качения - Прикладные задачи механики, т. 2. М.: Наука, 1986 г, с. 245-260.

5. Ишлинский А. Ю. О проскальзывании в области контакта при трении качения - Прикладные задачи механики, т. 1. М.: Наука, 1986 г, с. 3-15.

6. Ишлинский А. Ю. Теория сопротивления перекатыванию (трение качения) и смежных явлений. - В кн.: Всесоюз. конф. по трению качения и износу машин. М: Изд-во АН СССР, т. 22, 1940, с. 255-264.

7. Руководство пользователя программного комплекса ANSYS 11.0.

8. Заднепровский Р.П., Трохимчук М.В. Адгезионно-фрикционные свойства дисперсных тел и их регулирование. - Волгоград: ВолгГАСУ, 2010. - 323 с.

Literature

9. Coulomb Ch. A. Theorie des machines simples. - Mem. acad. sci. Paris, 1785, t. 10, p. 161331.

10. Morin A. J. Leçons de mécanique pratique. Résistance des materiaux. P.: L. Hachette, 1853,

456p.

11. Dupuit J. Essai et expériences sur le triage des voitures et sur le frottement de second espèce. P.: Carilian-Goeury, 1837, 167p.

12. Reynolds O. On rolling friction. - Phil. Trans. Roy. Soc. London, 1876, vol. 166, pt. 1, p. 155174.

13. Fomm H. Berechnung des Shiupfes beim Rollen deformierbarer Scheiben. - Ztschr. angew. Math. UndMech., 1927, Bd. 7, H. 1, S. 27-58

14. Maxwell J. C. On the dynamical theory of gases. - Trans. Roy. Soc. London, 1867, vol.157, pt.1, p. 49-88.

15. Thompson J. H. C. On the theory of visco-elasticity: a thermodynamical treatment of visco-elasticity and some problems of the vibrations of visco-elastic solinds. - Phil. Trans. Roy. Soc. London, 1933, vol. 231, p. 339-407.

Ключевые слова: трение качения, трение скольжения, метод конечных элементов, механика грунтов, релаксирующее основание, упругое основание, прочность, дилатансия.

Keywords: resistance to rolling, resistance to sliding, numerical analysis, soil mechanics, elastic foundation, strength, dilatancy.

Тер-Мартиросян З.Г. mgroif@mail.ru Мирный А.Ю. mgroif@mail.ru Соболев E.C. mgroif@mail.ru

Соавтор статьи член Редакционного совета «Вестника МГСУ» профессор, д.т.н. Тер-Мартиросян З.Г.